alcuni esercizi (unità a-d)

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1 alcui esercizi uità a-d) guido masarotto 16 maggio 4 Per la soluzioe di alcui degli esercizi è ecessario essere i grado di calcolare i quatili e/o la fuzioe di ripartizioe di ua ormale stadard. Questo può essere fatto i R utilizzado le fuzioi qorm e porm oppure utilizzado la tabella riportata ell ultima pagia. I Ighilterra, dal 1 fio a quado le moete soo state coiate i metallo prezioso, l oestà del Master of Mit il resposabile/appaltatore della 1. zecca reale) è stata cotrollata mediate u cotrollo campioario, la cosidetta Trial of Pyx pyx è u recipiete sacro). Il Master of Mit, el caso la prova idicasse la sua disoestà, era soggetto a cosegueze o del tutto gradevoli i alcui secoli ache la codaa a morte). I dettagli per le ghiee d oro el 1799 erao: 18 grai era il peso omiale di ua ghiea 36 grai fao u ocia); 1 ghiee veivao state estratte casualmete tra tutte quelle prodotte durate l itero ao due fuzioari reali si recavao i giori scelti casualmete dissemiati durate tutto l ao presso la zecca e sceglievao a caso ua o più moete della produzioe di quel gioro); le ghiee estratte veivao ma mao coservate el pyx ; alla fie dell ao il recipiete co le 1 ghiee veiva pesato; il Master of Mit passava la Trial of Pyx se il peso delle ghiee estratte era uguale al peso atteso più o meo 1/ del peso atteso stesso. Si ritiee che co la tecologia dell epoca il peso di ogi sigola moeta si distribuisse come ua ormale di media cotrollabile dal Master of Mit e variaza uitaria. a) Calcolare la probabilità che u Master of Mit oesto sopravvivesse alla Trial of Pyx. b) Calcolare la probabilità che u Master of Mit disoesto e che avesse deciso di rubare mediamete,3 grai d oro per ogi ghiea prodotta veisse scoperto. c) Implicitamete quale test statistico utilizzava il re per verificare l oesta del suo Master of Mit? 1 d) Nel cotesto del test delieato al puto precedete che cosa soo e come si chiamao le due probabilità calcolate ai primi due puti dell esercizio? Schema di soluzioe. Poiamo 1 umero ghiee pesate, y i peso della i-sima ghiea, i 1,...,, s y i peso totale delle delle ghiee estratte, i1 y s peso medio delle ghiee estratte, µ peso medio delle ghiee fissato dal Master of Mit. µ 18 peso omiale di ua ghiea µ 1 17,7 peso medio di ua ghiea se il Master cerca di rubare,3 grai d oro per moeta Il Master passa la prova se µ µ s µ + µ. Dividedo per 1 possiamo riscrivere la regola utilizzata dal re come se y µ µ allora il Master of Mit viee dichiarato oesto. Suppoedo che i pesi delle sigole moete siao tra di loro idipedeti sappiamo che y N µ, 1 ) y µ) N, 1). 1) Per rispodere alle prime due domade dobbiamo calcolare Pil master vega dichiarato oesto quado fissa la media a µ) poedo el caso della prima domada µ µ e el caso della secoda µ µ 1. Ci coviee quidi calcolare la probabilità di sopra ua volta per tutte per u valore di µ qualsiasi: Pil Master viee dichiarato oesto se µ è la media) P µ µ y µ + µ ) P µ µ µ y µ µ µ + µ ) P µ µ µ ) y µ) µ µ + µ )) 1 visto che a lezioe abbiamo lavorato co le medie e o co i totali cotiuo a lavorare così questo o è scritto esplicitamete el testo ma eache egato e simile a quato fatto ell uità B

2 P Φ µ µ µ ) µ µ + µ N, 1) )) Φ µ µ µ µ µ + µ )) )) Alla terza riga ho diviso per lo scarto quadratico medio di y 3 i maiera tale da poter utilizzare la 1) ei passaggi successivi. Nell ultima riga Φ ) idica al solito la fuzioe di ripartizioe di ua N, 1). a) U Master oesto cerca di fissare µ uguale µ. Sperado per la sua testa!) che o sbagli, troviamo Pu M. oesto viee dichiarato oesto) 18 ) ) 1 Φ Φ 18 1 Φ3,) Φ 3,) Φ3,) 1. L ultimo passaggio è ua cosegueza del fatto che la simmetria della N, 1) ci permette di scrivere Φ x) 1 Φx). Da ua tabella dei quatili di ua ormale stadard possiamo osservare che Ma allora 3, > 3,9 quatile,999 di ua N, 1). Φ3,) PN, 1) 3,) > PN, 1) 3,9),999 e quidi la probabilità cercata è maggiore di.999 1,998, ovvero u Master of Mit oesto rischia, al più, di perdere la sua testa ua volta ogi 5 ai. Utilizzado R per calcolare la probabilità troviamo > *porm3.)-1 [1] b) I questo caso µ è posto dal Master of Mit uguale a µ 1 µ, 3 17,7. Ovvero µ µ,3. Quidi Pil Master viee dichiarato oesto) 1 Φ, )) 1 Φ,3 18 )) Φ6,) Φ,) Ioltre, utilizzado la tabella dei quatili della ormale e ricordadoci della simmetria della distribuzioe, troviamo e quidi Φ,) 1 Φ,) 1,58,4 PMaster disoesto la faccia fraca) Φ6,) Φ,) 1,4,58. I R > porm6.)-porm-.) [1] La probabilità che vega scoperto è perciò, approssimativamete, 1,58,4. c) Il re vuole verificare il sistema di ipotesi { H : Master oesto H 1 : Master disoesto { H : µ µ H 1 : µ µ Il cotesto e il test utilizzato soo quelli sulla media di ua ormale di variaza ota cosiderato ella secoda parte dell uità B. Quello che sui lucidi è idicato co h 4 è i questo caso posto uguale a µ / 3,. Questo, per quado visto al puto a), garatisce che,998 < Paccettare H quado H è vera) < 1. d) Come appea otato la probabilità calcolata al puto a) è Paccettare H quado H è vera) che possiamo ache idicare come la probabilità di o commettere u errore di I tipo. Al puto b) dell esercizio abbiamo viceversa calcolato la probabilità che il test o commetta u errore di II tipo quado la vera media è uguale a 17,7. Si osservi ioltre che se γµ) idica la fuzioe di poteza allora probabilità puto a) 1 γ18) probabilità puto a) γ17,7) Sappiamo che 3 ovvero per 1/ Φ6,) Per misurare la cocetrazioe di Pb i µgg 1 ) si procede ella seguete maiera: i) il materiale origiario viee diviso i pezzettii; 4 la soglia co cui cofrotare il valore della statistica test 4

3 ii) su ciascu pezzettio viee misurata la cocetrazioe utilizzado uo strumeto appropriato; iii) la stima della cocetrazioe di Pb viee ifie calcolata facedo la media aritmetica delle misure otteute. Sapedo che gli errori commessi dallo strumeto utilizzato si distribuiscoo almeo approssimativamete) come delle ormali di media zero e scarto quadratico medio,, dire quato deve essere grade affichè almeo 9 volte su 1 stima della cocetrazioe) vera cocetrazioe) <,5. Schema di soluzioe. Poiamo µ vera cocetrazioe misura sull i-simo pezzettio y y i / stima cocetrazioe y i i1 σ, scarto quadratico medio dell errore di ua sigola misura,5 massimo errore da commettere 9 volte su 1 1 α,9 probabilità desiderata di u errore iferiore a. Quello che viee richiesto è di determiare i maiera tale che P y µ < ) 1 α. Ma allora, per defiizioe di itervallo di cofideza, y ± è u itervallo di cofideza di livello 1 α per µ. presete cotesto, soo del tipo y ± z 1 α/σ. Sappiamo che questi, el Quidi, affichè sia soddisfatta la codizioe desiderata dobbiamo scegliere i maiera tale che z 1 α/ σ. Risolvedo i questa equazioe troviamo z1 α/ σ). Co i dati del problema, osservado ella tabella dei quatili di ua N, 1) che z,95 1,645, troviamo ) 1,645, 43,3.,5 5 Ovviamete u umero frazioale di misure o possiamo farle. Osservado che più piccolo è più è piccolo l itervallo possiamo scegliere 44. Ifatti, così facedo ci garatiamo che 3. P y µ < ) 1 α. Nella cotea di Chiare Acque da ai viee codotta u idagie per stimare la proporzioe di castelli abitati da fate. L idagie è campioaria: ogi ao, soo cosiderati 1 castelli estratti a caso e per ogi castello viee rilevato se ci abitao o meo delle fate. 1. Sapedo che quest ao il umero di castelli co fate el campioe è risultato pari a 38, costruire u itervallo che icluda la vera proporzioe co ua probabilità almeo approssimativamete) uguale a,9.. I u vecchio libro, il duca di Dolci Acque ha scritto che circa il 5% dei castelli della cotea di Chiare Acque è abitato da fate. Utilizzare u appropriato test statistico per verificare se i dati soo compatibili co questa affermazioe. 3. La vicia cotea di Fresche Acque vuole da quest ao codure ua idagie aaloga. Durate ua riuioe il ciambellao addetto ai castelli fatati dice: La ostra cotea ha il doppio di castelli della cotea di Chiare Acque. Quidi, affichè la stima della ostra idagie abbia la stessa precisioe dobbiamo ogi ao estrarre castelli. Siete d accordo co il ciambellao? Schema di soluzioe. Certamete la desità dei castelli, fatati o meo, è altissima elle cotee di Chiare e Fresche Acque. Quidi, o esattamete se l estrazioe è fatta co reitroduzioe o approssimativamete se l estrazioe avviee seza reitroduzioe, possiamo supporre che per quato ci riguarda siao el Reame della Biomiale. Ovvero, posto y umero castelli fatati estratti umero castelli estratti e ispezioati ϑ percetuale di castelli fatati ella cotea ˆϑ y stima della percetuale di castelli fatati ella cotea assumeremmo che y Bi, ϑ). a) La prima domada richiede di calcolare, quado y 38 e 1 u itervallo di cofideza che icluda co probabilità uguale almeo approssimativamete) a 9% il vero valore di ϑ. Sappiamo dall uità C che ua soluzioe è l itervallo ˆϑ1 ˆϑ) ˆϑ ± z,95 6

4 che el ostro caso diveta,381,38),38 ± 1,645 [,3,46]. 1 b) La secoda domada richiede di verificare, utilizzado gli stessi dati di prima, il sistema di ipotesi { H : ϑ,5 ϑ ) Calcoliamo la statistica test usuale H 1 : ϑ,5 ϑ ) ˆϑ ϑ )/ ϑ 1 ϑ )/,38,5)/,5,5/1,4. Il valore otteuto deve essere cofrotato co i valori previsti da ua N, 1), distribuzioe che descrive i valori che ci attediamo per la statistica test quado è vera H. [versioe accetto/rifiuto] le probabilità di errore di I tipo α) usualmete cosiderate i u approccio di questo tipo e i quatili corrispodeti soo α,1 z 1 α/ 1,645 α,5 z 1 α/ 1,96, α,1 z 1 α/,576. Il valore osservato per la statistica ci porterebbe quidi a rifiutare H per α,1 e α,5 e ad accettare H se fissiamo α,1. Risultati di questo tipo soo ormalmete descritti come sigificativi ma o altamete sigificativi) cotro H. [p-value] può essere calcolato come Utilizzado R lo calcoliamo come > *1-porm.4)) [1] PN, 1) >,4). Se abbiamo a disposizioe solo ua tabella dei quatili di ua ormale possiamo osservare, ad esempio, che e, visto che ovviamete PN, 1),36),1 PN, 1),576),5 PN, 1),576) < PN, 1),4) < PN, 1),36) 7 cocludere che,1 < livello sigificatività osservato) <,. La iterpretazioe è la stessa di prima: i valori otteuti fao sospettare di H ma o proprio escluderla. I defiitiva i risultati suggeriscoo che la situazioe dei castelli fatati ella cotea di Chiare Acque dovrebbe essere cambiata dagli ai del viaggio e del relativo libro del Duca di Dolci Acque. L evideza a questo proposito o è però fortissima. c) Il ciambellao è fuori strada. Quado lo icotreremo ricordiamoci di fargli osservare cose del tipo: i) la distribuzioe dell errore di stima della idagie dipede dalla percetuale di castelli fatati ella sua cotea ϑ) e dal umero di castelli ispezioati ); ii) come cosegueza ache l ampiezza degli itervalli di cofideza dipede solamete da ˆϑ e quidi idirettamete da ϑ), da e ovviamete ache dalla copertura desiderata α). Nessua traccia di dipedeza dal umero complessivo di castelli che, quidi, sembra irrilevate per scegliere u valore appropriato per. [ota importate] Le affermazioi precedeti dipedoo i maiera cruciale dal tipo di campioameto adottato e i questo caso ipotizzato). Soo vere el caso di u campioameto co reitroduzioe. Ma o el caso di u campioameto seza reitroduzioe 5 Prima di u referedum soo state itervistate 65 persoe estratte a caso 4. tra gli aveti diritto al voto. Di questi, 17 hao dichiarato di o avere itezioe di adare a votare. Sulla base di questi dati quale delle segueti affermazioi fareste: A) il quorum sarà certamete raggiuto; B) è molto plausibile che il quorum vega raggiuto; C) o posso cocludere se il quorum verrà o o verrà raggiuto. D) è poco plausibile che il quorum vega raggiuto. Schema di soluzioe. Possiamo pesare di essere el cotesto di u campioameto di tipo biomiale. Il parametro di iteresse la probabilità di successo della biomiale) è i questo caso la percetuale di elettori che si recherao a votare. Ua possibilità per cercare di rispodere alla domada cosiste el calcolare e commetare opportuamete u itervallo di cofideza per questa percetuale. Scegliamo di farlo utilizzado ua probabilità di copertura pari al 99%. ˆϑ y 17 65,463 5 si pesi alla situazioe i cui ci siao 1 castelli ella cotea; se campioiamo co reitroduzioe 1 castelli li prediamo tutti e quidi o abbiamo essu errore di stima; viceversa se e campioiamo co reitroduzioe 1 castelli ma ce e soo 1 ella cotea qualche errore possiamo commetterlo; quidi la distribuzioe dell errore di stima ei due casi o può essere la stessa. 8

5 z 1 α/ ˆϑ1 ˆϑ) ˆϑ ± z 1 α/ ˆϑ1 ˆϑ) α,1 z 1 α/,576,4631,463),576,5 65,463 ±,5 [,438,488] L itervallo di cofideza idica che i valori per la percetuale di votati plausibili sulla base dei dati soo tutti più piccoli del 5%. Difficile dire co certezza che cosa accadrà. Però sembra poco plausibile sulla base di questi dati che il quorum vega raggiuto affermazioe D). Dall agezia che coduce le idagii di mercato per l azieda i cui lavorate 5. ricevete u rapporto coteete la seguete frase: Sulla base di <umero illegibile> iterviste telefoiche, possiamo dire che la percetuale di doe tra i 18 e i 5 ai iteressate al uovo prodotto che state per immettere sul mercato è compresa tra il 4% e il 3% co ua probabilità pari al 9%. Secodo voi, quate iterviste telefoiche soo state fatte? Schema di soluzioe. E verosimile che sia stato utilizzato u itervallo di cofideza basato sulla biomiale del tipo ˆϑ1 ˆϑ) ˆϑ ± z 1 α/. Il puto cetrale di questo itervallo è ˆϑ. Quidi el caso i esame deve essere ˆϑ,4 +,3,8. Ioltre il livello di copertura dell itervallo è 9%. Quidi, α,1 z 1 α/ 1,645. Sfruttado la semiampiezza dell itervallo dato possiamo scrivere ˆϑ1 ˆϑ),3,4 z 1 α/,4 dove l uica icogita rimasta dopo le cosiderazioi precedeti è proprio. Risolvedo quidi per troviamo ) ) z1 α/ 1,645 ˆϑ1 ˆϑ),81,8) 35.,4,4 9 U gruppo di medici vuole stimare l efficacia di u protocollo di terapia recetemete proposto per curare ua certa patologia. Ha quidi deciso di 6. utilizzare il uovo protocollo per i prossimi pazieti e di rilevare su di essi, dopo u tempo appropriato, il carattere dicotomico guarito o o guarito. Si idichi co il umero di pazieti che etrerao ello studio e co y il umero di pazieti che guarirà. Si assuma ioltre che y Bi, ϑ) dove ϑ deota la probabilità che u paziete trattato guarisca e si poga ˆϑ y ovvero ˆϑ è l usuale stima di ϑ calcolata dai dati). Si determii i maiera tale che Schema di soluzioe. Defiiamo P ˆϑ ϑ, ),99.,, α,1. z 1 α/,576 percetile 1 α/ di ua N, 1) Il problema chiede di determiare la umerosità campioaria ) i maiera tale che l errore di stima ˆϑ ϑ) sia più piccolo, i valore assoluto, di co probabilità maggiore di 1 α. Ricordado quello che sappiamo sugli itervalli di cofideza per la probabilità di successo di ua biomiale quato richiesto accade se z 1 α/ ϑ1 ϑ). Isolado ella disequazioe precedete troviamo z1 α/ ) ϑ1 ϑ). L ultima disequazioe deve essere soddisfatta per ogi θ quidi deve risultare E facile verificare che z1 α/ ) sup ϑ1 ϑ). ϑ [,1] sup ϑ1 ϑ) ) 1 ϑ [,1] 4. 1 )

6 Ifatti dϑ1 ϑ) dϑ > se ϑ < 1 1 ϑ se ϑ 1 < se 1 < ϑ 1 e quidi ϑ1 ϑ) è crescete tra e 1/ e decrescete tra 1/ e 1 ovvero ha u massimo quado ϑ 1/. I defiitiva troviamo z1 α/ ) 1 4 ),576 1, ,4. e poichè, per cosiderazioi sia etiche che di tempo/costo, è meglio limitare il più possibile il umero di pazieti coivolti sembra aturale scegliere la umerosità campioaria più bassa tra quelle che garatiscoo la precisioe richiesta ovvero porre [ota] Il problema o precisava possibili valori per ϑ. Lo abbiamo risolto quidi difededoci rispetto alla situazioe meo favorevole. Spesso elle applicazioi esistoo delle iformazioi a priori su ϑ che possoo essere utilizzate per determiare la umerosità campioaria. Ad esempio se ci aspetta che ϑ,85 potremmo porre z1 α/ ) ),576,851,85),851,85) 115., Ovviamete procededo i questa maiera o siamo sicuri di riuscire a rispettare co certezza la codizioe richiesta però, come si può vedere ache dall esempio umerico, si può arrivare ad u valore di iferiore. 7. Siao y 1, x 1 ),..., y, x ) determiazioi idipedeti tratte da ua variabile casuale bivariata X, Y) e si idichi co r i coefficiete di correlazioe calcolato co queste osservazioi. Si idichi viceversa co ρ il coefficiete di correlazioe esistete tra Y, X) ovvero il coefficiete di correlazioe ella popolazioe ). a) Sotto ipotesi deboli, che però o precisiamo, è possibile far vedere che quado ρ è uguale a zero la distribuzioe di z r 1 r può essere approssimata, se è sufficietemete grade, da ua distribuzioe ormale stadard 6. Utilizzare questo risultato per costruire u test per il 6 l approssimazioe è cosiderata ragioevole se > sistema d ipotesi H : ρ H 1 : ρ ovvero per verificare l ipotesi che ella popolazioe o esista correlazioe. b) Si suppoga che 1 e che per certi dati sia risultato r,17. A quali coclusioe arrivate utilizzado il test delieato al puto precedete? Schema di soluzioe. L esercizio da u lato vuole forire uo strumeto utile come verificare la preseza di correlazioe tra due variabili) e dall altro illustrare come cooscedo ua statistica test appropriata e cooscedoe la distribuzioe campioaria sotto l ipotesi ulla si è i grado di costruire autoomamete u test statistico. a) Per il sistema d ipotesi dato è ituitivamete plausibile pesare di utilizzare r come statistica test. Valori di r troppo lotai da zero positivi o egativi) sarao ovviamete da iterpretare come evideza cotro H. Si poga ora fx) x/ 1 x e si osservi che i) f) ; ii) fx) f x) ovvero che la fuzioe, come si usa dire, è dispari; iii) fx) è mootoa crescete se < x < 1; ifatti, derivado troviamo dfx) dx 1 1 x + x 1 x ) 3 > se < x < 1. Queste proprietà fao si che u test che rifiuta per r troppo grade sia equivalete ad u test che rifiuta per z troppo grade. Possiamo quidi ridefiire la statistica test decidedo di utilizzare z al posto di r. Fatta questa scelta la meccaica del test diveta quella descritta elle uità B e C co riferimeto alla media della ormale co variaza ota) e alla probabilità di successo di ua biomiale. Ifatti la distribuzioe sotto H della statistica prescelta è ache i questo caso solo asitoticamete) ua N, 1). b) Calcoliamo z r,17 1 1,71. 1 r 1,17 Questo valore va cofrotato co i valori attesi per ua N, 1). Poichè lotao da H vuol dire i questo caso z grade il livello di sigificativita osservato i questo caso deve essere calcolato come 1 Φ1,71)),9. Siamo ella coda destra dei valori attesi sotto l ipotesi ulla: o sufficietemete a destra per cocludere cotro l ipotesi ulla ma eache sufficietemete vicio a zero per cocludere che i dati o cotegoo essu suggerimeto cotro H. Possiamo quidi cocludere a favore di ua dubbiosa accettazioe che tra i due feomei cosiderati o ci sia correlazioe. 1

7 Si cosiderio i dati bivariati della figura 1. Calcolado il livello di sigificatività osservato del test descritto all esercizio precedete i quale dei segueti 8. itervalli [ 1;,5) [,5;,5) [,5; ) [;,5) [,5;,5) [,5; 1] y 4 vi aspettate che cada? Schema di soluzioe. Il livello di sigificatività osservato o può certamete essere egativo è ua probabilità). Questo eclude i primi tre itervalli. Ioltre, il diagramma mostra chiaramete la preseza di ua correlazioe lieare. Ci aspettiamo quidi che il test la segali. Il valore della statistica test che ci attediamo sarà quidi più grade dei valori prevedibili da ua ormale stadard. Per questo motivo o ci aspettiamo che il livello di sigificatività osservato cada i uo degli ultimi due itervalli. I defiitiva l itervallo [;,5] dovrebbe coteere il livello di sigificatività osservato. [ota per i curiosi] il livello di sigificatività calcolato co i dati ella figura è dell ordie di x Figura 1: Diagramma di dispersioe 13 14

8 quatili di ua distribuzioe ormale stadard La tabella riporta i quatili di dimesioe p + p 1 di ua N, 1). Ad esempio,,9 è il quatile,615 ovvero PrN, 1),9),615. p p