5. INDICI DI VARIABILITA'

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso di Laurea i Scieze per l'ivestigazioe e la Sicurezza. INDICI DI VARIABILITA' Prof. Maurizio Pertichetti Statistica sociale

2 Sitetizzado u isieme di dati co u uico valore medio, la media è u valore fodametalmete teorico, si vegoo i sostaza a perdere iformazioi che pure la distribuzioe coteeva. Ne discede allora che è utile u ulteriore parametro che sitetizzi la distribuzioe dei valori co riferimeto alla loro variabilità. La variabilità è l'attitudie di u feomeo ad assumere misure diverse tra loro. Nella metodologia statistica si distiguoo due aspetti della variabilità: la dispersioe, che caratterizza il maggiore o miore addesameto delle osservazioi itoro ad ua media; Cosideriamo il seguete esempio di tre studeti che hao superato ciascuo tre esami: A B C è facile vedere che il voto medio e quello mediao per ciascu studete è pari a. I cosegueti idici che si ottegoo, si distiguoo i: idici assoluti di variabilità, che soo espressi ella stessa uità di misura del feomeo i esame e soo: la variaza, lo scarto quadratico medio, etc. ; idici relativi di variabilità, che prescidoo dall'uità di misura del feomeo esamiato e soo particolarmete adatti per effettuare cofroti tra feomei diversi. Si ottegoo rapportado u idice assoluto ad ua media o al suo massimo; ifie vi soo gli idici ormalizzati. Caratteristiche di u idice di variabilità : assumere solo valori positivi, o ha seso parlare di dispersioe egativa, o ulli, quado tutti i termii della distribuzioe soo uguali fra loro, per cui X 1 X 2 X ;. INDICI DI VARIABILITA' U valore medio è utile a precisare la "posizioe" di ua successioe o di ua distribuzioe, vale a dire la "tedeza cetripeta" dei dati, ma o è sufficiete a caratterizzarle perché o cosete di percepire quali siao le effettive gradezze dei valori da cui esso è ricavato. Nel seso che due distribuzioi possoo avere uguale media, ma essere composte da valori diversi. Così, metre le medie hao u sigificato descrittivo dell'itesità dei feomei, le misure della variabilità hao u sigificato descrittivo dell'uguagliaza o disuguagliaza dei feomei, sia che li si veda al proprio itero, sia che vegao posti a cofroto essedo diversi. la disuguagliaza, che evidezia la diversità delle varie osservazioi tra loro. Per la misura della variabilità gli idici utilizzati si differeziao per la loro doppia atura: idici di variabilità che misurao la variabilità di ua distribuzioe di frequeza rispetto ad u cetro rappresetativo (e quidi si parla di dispersioe). Soo detti scostameti medi e si ottegoo determiado gli scarti tra le modalità del carattere e ua sua media che vegoo poi sitetizzati come media; idici di variabilità che misurao la variabilità di ua distribuzioe di frequeza esamiado le differeze tra le uità statistiche (e quidi si parla di disuguagliaza). Soo detti differeze medie e si ottegoo determiado le differeze i valore assoluto delle modalità del carattere prese a due a due che poi vegoo sitetizzate come media. assumere valori cresceti all aumetare della variabilità, cioè ua misura di variabilità deve essere tato più grade quato maggiore è la differeza fra i dati.

3 Il campo di variazioe U idice assoluto della variabilità di ua successioe di dati, di immediata percezioe e assai semplice da calcolarsi, è rappresetato dal campo di variazioe (o rage), che è dato dalla differeza tra il valore massimo e il valore miimo della successioe. Di fatto costituisce l ampiezza dell itervallo dei dati. I simboli: ω x max x mi L'idice i questioe è poco utilizzato i quato prede i cosiderazioe solo la dispersioe esistete tra i valori estremi della distribuzioe, per cui, oltre a o teer coto di tutte le iformazioi su ua variabile statistica, risete di evetuali valori aomali ei dati. Data la seguete serie: Il valore più alto è 1, il più basso 1 Il rage è dato dalla differeza tra i due valori R Data la seguete serie: Il valore più alto è 18, il più basso 11 Il rage è dato dalla differeza tra i due valori R 18 (11) Il campo di variazioe, che è espresso ella stessa uità di misura dei dati, tato più è piccolo tato più i dati soo cocetrati, viceversa tato più è grade tato più i dati soo dispersi. Gli scostameti medi Questi idici di variabilità, ache se poco usati ella pratica, coivolgoo el loro calcolo tutte le determiazioi della variabile cosiderata e soo: lo scostameto medio dalla media aritmetica e lo scostameto medio dalla mediaa. Questi idici soo calcolati cosiderado i valori assoluti degli scarti, i quato el caso della media aritmetica come sappiamo la media degli scarti, presi co il loro sego, è zero. Lo scostameto medio dalla media aritmetica è u idice di variabilità dato dalla media aritmetica dei valori assoluti degli scarti dalla media aritmetica, ovvero a secoda che si abbia ua successioe di dati o ua distribuzioe di frequeza: S μ x i μ i1 i1 S μ x i μ i Esempio di calcolo dello scostameto medio dalla media aritmetica Data la seguete successioe: μ , S μ 8,4 Il valore così ricavato idica che i dati della distribuzioe si discostao, dalla loro media aritmetica, mediamete di 8,4 uità i più o i meo.

4 La variaza, lo scostameto quadratico medio e la deviaza La variaza di u isieme di dati o di ua distribuzioe di frequeza è ua misura di dispersioe che si ottiee come media dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica. I simboli, ovvero a secoda che si abbia ua successioe di dati o ua distribuzioe di frequeza: 2 2 i1 i1 2 i1 Data la seguete successioe: μ D(X) (x i μ) 2 E' ache possibile usare ua formula semplificata otteuta sviluppado la precedete (sviluppo che qui si omette): x i 2 i i1 i1 (x D(X) i μ) 2 i1 i1 Esempio di calcolo dello scostameto medio dalla media aritmetica μ 2 (x i μ) Da ultimo ifie cosideriamo il umeratore della variaza i quato si preseta come u'altra misura della dispersioe deomiata deviaza. Per u carattere X la sua espressioe aalitica, a secoda che si abbia ua successioe di dati o ua distribuzioe di frequeza:: 74 14,80 (xi μ) 2 i La variaza preseta, tuttavia, u otevole icoveiete el seso che è espressa attraverso il quadrato dell'uità di misura delle osservazioi, per cui se le osservazioi ad esempio soo i metri, la variaza è espressa i metri al quadrato. Motivo per cui o è mai possibile rappresetare su uo stesso diagramma la variaza e la distribuzioe delle osservazioi. Per ovviare all'icoveiete azidetto, si preferisce usare la radice quadrata della variaza e otteere u importate idice di variabilità, tra tutti il più utilizzato, deomiato scostameto quadratico medio o deviazioe stadard. I simboli, ovvero a secoda che si abbia ua successioe di dati o ua distribuzioe di frequeza: (xi μ) 2 i Lo scostameto quadratico medio o deviazioe stadard è u idice altamete rappresetativo del maggiore o miore addesameto dei dati itoro al loro valore medio. E' preferibile i geerale allo scostameto semplice medio perché da risalto e permette di cosiderare ache le variazioi più piccole delle distribuzioi, ovvero rappreseta ua misura della variabilità più sesibile. (xi μ) 2 i

5 x (x i μ) 2 i x i μ 3 11,8 139, 2 D(X) 476,8 9,8 96,04 1 0,2 0, ,2 67, 28 13,2 174, 2 9,77 totale 476,8 9,36 Data la seguete successioe: 3,9 8,9 4,8,0 9,9 μ , 6,0 x i x i μ (x i μ) 2 3,9 2,6 6,76 29,22 8,9 2,4,76 2 D(X) 4,8 1,7 2,89 1, 2,2 2 2,42 9,9 3,4 11,6 totale 29,22,84 Data la seguete distribuzioe di frequeze: x i tot i μ 186 x i μ 12,64 7,64 (x i μ) 2 19,77 8,37 2,64 6,97 2,36 7,36 12,36,7 4,17 12,77 183,80 920, ,4 totale (x i μ) 2 i 2.236, ,6 19, ,80 x 2 i i D(X) 6.878,80 12,03 2 x 2 i i μ , ,03 Data la seguete distribuzioe di frequeze: x i i x i i x i μ (x i μ) 2 (x i μ) 2 i x 2 i i ,18 1,38 82, ,18 0,03 2, ,83 0,68 20, ,83 3,33 83, ,83 7,98 39,90 12 tot totale 228, μ 43 / 200 2,18 2 D(X) 228,88 1,14 μ x 2 i i ,070 4,73 1,14

6 Le differeze medie A volte, per idicare la variabilità dei dati, può essere più utile far riferimeto alle differeze esisteti fra l'uo e l'altro dato che o ai loro scostameti da u valore medio. Le differeze medie soo idici di mutua variabilità che esamiao le differeze esisteti, i valore assoluto, fra ciascu dato e tutti gli altri xi xj e e operao ua sitesi tramite ua opportua media. Le distaze soo calcolate i valore assoluto, i quato cosiderado i valori algebrici la sommatoria si aullerebbe. Quado il cofroto tra tutte le modalità è fatto o cosiderado la differeza di ciascua modalità co se stessa, per cui i cofroti soo (1), e la sitesi è effettuata facedo la media arimetica delle differeze si ottiee la differeza semplice media: Δ I due idici soo legati dalla relazioe Δ Δ R (/1) per cui ogi volta che si calcolerà l'uo il risultato potrà estedersi all'altro. Ai fii del calcolo le due formule possoo essere scritte: Δ x i x j Δ R i1 j1 2 x i x j i1 j1 (ix i ) 4 2 μ(+1) 4 2 μ(+1) j1 j1 Δ R (1) (1) Quado il cofroto tra tutte le modalità è fatto teedo coto ache della differeza di ua modalità co se stessa, per cui i cofroti soo 2, e la sitesi è effettuata facedo la media arimetica delle differeze allora si parla differeza semplice media co ripetizioe: (1) 2 (ix i ) La differeza semplice assume: valore miimo quado tutti i dati soo uguali tra loro per cui Δ mi 0 ; valore massimo quado 1 uità statistiche o possiedoo alcua modalità del carattere metre l'esima possiede l'itero ammotare del carattere che è uguale a μ, per cui si ha Δ max 2μ Per distribuzioi di frequeza la differeza semplice media media può essere calcolata applicado le formule: 1 1 Δ 2 (1) i1 i '( i ')(x i+1 x i ) Δ R 2 2 i1 i '( i ')(x i+1 x i )

7 Esempio di calcolo della differeza semplice media. Data la seguete successioe: x i Δ i ix i μ (ix i ) 2 μ(+1) 4 * 93 j1 (1) (1) *4 2 *1* ,0 Δ R 4 (ix i ) 2 μ(+1) 4 * j1 2 * 93 2 *1* ,2 Il coefficiete di variazioe I realtà cofrotare le deviazioi stadard o è di grade aiuto, perché esse dipedoo fortemete dalle media dei dati su cui soo state calcolate. Per poter operare u cofroto sulla variabilità di gruppi diversi è opportuo calcolare il coefficiete di variazioe, u idice relativo di variabilità assai utilizzato e defiito come rapporto tra scarto quadratico medio e media aritmetica. E' i sostaza u umero puro che esprime i termii di μ. No essedo espresso i alcua uità di misura cosete di effettuare cofroti fra distribuzioi diverse per feomei omogeei. La sua espressioe aalitica è: Cv μ ( x i μ ) 2 i μ Questo coefficiete di variazioe, espresso i geere i termii percetuali moltiplicado Cv per 100, è idipedete dall uità di misura, ovvero è u umero puro utilizzato, sia per misurare la variazioe media del feomeo i rapporto alla sua media aritmetica, sia per cofrotare la variabilità relativa di u feomeo i circostaze differeti (ad esempio, la variabilità della distribuzioe per età tra le varie regioi, la distribuzioe dei redditi per paesi e per ao, la variabilità del peso rispetto al sesso,...). Il coefficiete di variazioe, ioltre, è ecessario come già detto tutte le volte che si itede cofrotare la variabilità di due feomei espressi i uità di misure diverse (ad esempio, la variabilità del peso rispetto a quella dell altezza, la variabilità dei cosumi di carburate rispetto alla variabilità dell usura dei peumatici per ua determiata marca di autovetture, ecc.). Come tutti gli idici relativi ad u valore medio Cv ha il miimo 0 e il massimo o defiito.

8 Esempio di calcolo del coefficiete di variazioe Date le segueti distribuzioi: x i i x i * i (x i μ) (x i μ) 2 (xiμ) 2 i x i i x i * i (x i μ) (x i μ) 2 (xiμ) 2 i , , , , μ 30/10 3 μ 30/10 3 SQM (xiμ) 2 i / 1,414 SQM (xiμ) 2 i / 0 Cv /μ 0,471 (*100 47,1 % ) Cv /μ 0 (*100 0 % ) Date le segueti distribuzioi : U feomeo riferito ai maschi x i i x i i x i μ 34, , 11,4 44, , 1,4 4, ,0 8,6 64, , 18, , (x i μ) 2 129,2 1,9 74, 347,2 (x i μ) 2 i ,3 7, , ,8 2.38, μ 4,866 Cv μ 11,772 4,866 ( x i μ ) 2 i 0,27 (*100 2,7 % ) Stesso feomeo riferito alle femmie x i i x i i x i μ (x i μ) 2 (x i μ) 2 i 34, ,0 18, 343, ,8 44, ,0 8, 72,7 3.02,1 4, ,0 1, 2,2 78,4 64, , 11, 131, , , ,6 2.38, ,772 μ 3,02 ( x i μ ) 2 i Cv 11,284 0,213 μ 3,02 (*100 21,3 % , ,284 Per l'esempio fatto i maschi presetao ua variazioe media del feomeo itoro alla media aritmetica pari al 2% cotro il 21% delle femmie. )

9 Alcui valori particolari del CV che possoo essere utili ello studio di ua distribuzioe di dati: CV 0 i questo caso la deviazioe stadard è pari a 0. Tutti i dati soo uguali tra loro e la media può essere cosiderata come u idice perfetto per rappresetarli. CV 0. i questo caso la deviazioe stadard è più della metà della media. La media, i questo caso, o può essere cosiderata u buo idice per rappresetare i dati. CV 0. i questo caso la deviazioe stadard è meo della metà della media. La media, i questo caso, può essere cosiderata u buo idice per rappresetare i dati. Idice di eterogeeità Per disporre di idici di dispersioe utilizzabili co qualsiasi tipo di carattere (ache qualitativo omiale) occorre che la defiizioe dell'idice coivolga solo le frequeze delle diverse modalità, seza richiedere relazioi di ordie fra le modalità stesse. U esempio è forito dall'idice di eterogeeità di Gii. G f i 2 1 i1 E' u idice assoluto di eterogeeità i quato è massimo ossia pari a (1)/ quado le ee modalità hao tutte la medesima frequeza, metre è miimo (ossia ullo) quado tutte le frequeze si addesao i ua sola modalità. Esempio di calcolo dell'idice assoluto x i i f f 2 x i i f 1 2 0,20 0, ,20 0, ,20 0, , ,20 0, ,20 0, ,00 0, ,00 f 2 1,00 1,00 G 1 f 2 1 0,20 0,80 1 1,00 1 max 1 0,8 mi Per redere pero cofrotabili fra loro due idici calcolati su due diversi caratteri co frequeze i diverse delle modalità occorre utilizzare u idice relativo, che si ottiee dividedo l'idice assoluto per il massimo valore che esso può assumere. Nel caso dell'idice di Gii, essedo G max 1(1/), l'idice ormalizzato G N si ottiee: L'idice così otteuto è u idice relativo che varia tra 0 che è il miimo e 1 che è il massimo. 0 G N 1 Riprededo l'esempio precedete : G G G N 1(1/) G max G (1) l'idice i corrispodeza della massima eterogeeità era G0,8 per cui: G N G * /(1) 0,8*/4 0,8*1,2 1,0 l'idice i corrispodeza della miima eterogeeità era G0 per cui: G N G * /(1) 0*/4 0