c calcolare i diversi tipi di valori di sintesi di un insieme di dati

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1 c Cocetti fodametali c Distribuzioi statistiche c Valori di sitesi È ecessaria la coosceza del calcolo letterale. Coosceze Alla fie dell uità cooscerai c la distribuzioe di frequeze c gli idici di posizioe e gli idici di variabilità Abilità Alla fie dell uità sarai i grado di c calcolare i diversi tipi di valori di sitesi di u isieme di dati c Saper sitetizzare u feomeo attraverso i valori medi. c Saper ricooscere e misurare la variabilità di u feomeo quatitativo. Cocetti fodametali Defiizioi Richiamiamo brevemete alcui cocetti di statistica descrittiva già icotrati el primo bieio. Si dice uità statistica l uità su cui si raccolgoo iformazioi. L uità statistica può essere u idividuo, come accade ad esempio ei cesimeti o elle idagii di mercato o elettorali, oppure u gruppo di persoe (ad esempio ua famiglia), ma può ache essere u oggetto, come accade ad esempio el caso del cotrollo statistico di qualità di ua determiata produzioe. Si dice uiverso statistico o popolazioe statistica l isieme di tutte le uità statistiche. Ad esempio, i u cesimeto l uiverso statistico è la popolazioe di uo stato, i u idagie elettorale è l isieme degli elettori, el cotrollo di qualità è l isieme degli oggetti prodotti.

2 Uità Statistica descrittiva: richiami e approfodimeti Si chiamao caratteri statistici quelle caratteristiche delle uità statistiche che soo oggetto dell idagie. U carattere statistico è quatitativo quado rappreseta ua quatità misurabile, è qualitativo quado rappreseta ua caratteristica qualitativa o misurabile. Ad esempio soo caratteri statistici quatitativi il peso e la statura di u idividuo, la lughezza e il peso di u oggetto; soo caratteri qualitativi il colore dei capelli, l itezioe di votare per u certo partito el caso di u idividuo, l adeguatezza a certi parametri di qualità el caso di u prodotto. Ciascu carattere si può presetare i diverse modalità. Ad esempio il carattere peso di u idividuo si può presetare elle modalità 54 kg oppure 78 kg ecc. Il carattere colore dei capelli si può presetare elle modalità biodo, castao, ecc. Tabelle semplici I dati raccolti i u idagie statistica si possoo rappresetare mediate vari tipi di tabelle. Ua tabella semplice si preseta come u prospetto a due coloe: ella prima soo riportate le modalità, qualitative o quatitative, di u carattere, ella secoda l itesità, cioè la frequeza co la quale ciascua modalità si preseta. Nel caso di u carattere co modalità quatitative di tipo cotiuo o che preseta u alto umero di modalità, per costruire le tabelle è ecessario che queste siao suddivise i classi di frequeze. Le frequeze idicate possoo essere assolute o relative; queste ultime si ottegoo, com è oto, dividedo la frequeza assoluta per il umero di elemeti del campioe, e si idicao solitamete come percetuali. La Tabella è ua tabella semplice che si riferisce al reddito mesile, i euro, di u campioe di famiglie di ua città, e riporta le frequeze assolute di ciascua classe di reddito. I Tabella soo riportate le corrispodeti frequeze relative. I questo caso ogi famiglia è u uità statistica, la popolazioe è l isieme delle famiglie della città esamiata, il carattere cosiderato è il reddito mesile ed è u carattere quatitativo; le sue modalità soo raggruppate i classi di frequeze. Tabella Tabella reddito umero famiglie reddito umero famiglie fio a totale 895 fio a 000 4,0% ,98% ,87% ,63% ,6% ,34% totale 00%

3 Uità 3 Tabelle composte Le tabelle composte soo dei prospetti a più coloe. Nella prima coloa soo riportate le modalità di u carattere, elle altre le itesità riferite a casi diversi. Nella Tabella 3 soo riportate le iformazioi relative al umero medio di ore di studio settimaali per alcue materie degli alui di ua classe, suddivisi per sesso. Tabella 3 ore di studio settimaali materia maschi femmie italiao 3 4 storia iglese 4 5 matematica 4 6 fisica 3 totale ore Tabelle a doppia etrata Le tabelle a doppia etrata soo prospetti a due o più righe e due o più coloe, elle quali soo riportate le modalità e le relative itesità di due caratteri che possoo essere preseti cotemporaeamete i u uità statistica. La Tabella 4 riporta i dati riguardati il colore dei capelli e degli occhi i u campioe di 50 persoe. I questo caso i caratteri cosiderati soo «colore dei capelli» e «colore degli occhi»; le loro modalità soo i colori riportati i tabella. Per sapere, ad esempio, quate persoe del campioe cosiderato hao capelli castai e occhi azzurri, basta leggere il umero che si trova ella casella corrispodete alla riga «occhi azzurri» e alla coloa «capelli castai». occhi Tabella 4 capelli biodi castai eri grigi 5 4 azzurri 7 castai verdi Distribuzioi statistiche 5 Distribuzioi semplici I ua tabella di frequeze, come la Tabella del Paragrafo, a ogi modalità di u carattere è associato u umero che rappreseta la frequeza di quella modalità. No è difficile ricooscere che ci troviamo di frote a ua fuzioe. Si chiama distribuzioe semplice di frequeze o, semplicemete, distribuzioe di frequeze la fuzioe che associa a ogi modalità di u dato carattere la sua frequeza. Il domiio di ua distribuzioe di frequeza è l isieme delle modalità di u carattere. 3

4 Uità Statistica descrittiva: richiami e approfodimeti 6 Distribuzioi cogiute Ua tabella a doppia etrata, come la Tabella 4, defiisce ua distribuzioe cogiuta di frequeze, ossia ua fuzioe di due variabili, il cui domiio è l isieme delle coppie ordiate aveti come primo elemeto ua modalità del primo carattere e come secodo elemeto ua modalità del secodo carattere. Ad ogua di tali coppie è associato u umero che rappreseta la frequeza co cui queste modalità si presetao cogiutamete. Ad esempio, cosiderado la distribuzioe defiita dalla Tabella 4, alla coppia (azzurri; biodi) è associato il umero 7. La Tabella 4 del Paragrafo 4 rappreseta la distribuzioe cogiuta di frequeze assolute relativa ai due caratteri «colore dei capelli» e «colore degli occhi», rilevate i u campioe di 50 persoe. Dividedo ciascua frequeza per 50 si ottiee la Tabella 5, che rappreseta la corrispodete distribuzioe cogiuta di frequeze relative. Da tale tabella possiamo desumere, ad esempio, che le persoe che hao occhi azzurri e capelli castai soo il 4% del campioe esamiato. occhi Tabella 5 capelli biodi castai eri grigi 0% 8% 4% azzurri 4% 4% % castai 0% 0% % eri 6% 0% 0% 7 Distribuzioi codizioate Se è assegata ua distribuzioe cogiuta di frequeze, relativa a due caratteri, e si fissa ua particolare modalità, relativa a uo dei due caratteri, cosiderado i corrispodeza di questa le frequeze associate a tutte le modalità dell altro carattere, si ottiee ua uova distribuzioe, detta distribuzioe codizioata. Cosideriamo acora la distribuzioe riportata ella Tabella 4. Se fissiamo per il carattere «colore degli occhi», la modalità «castai», otteiamo la distribuzioe di frequeze riportata ella Tabella 6; si tratta della distribuzioe del carattere «colore dei capelli» codizioata alla modalità «castai» del carattere «colore degli occhi»; ciò i pratica sigifica che, dell itero campioe, si soo cosiderate solo le persoe co gli occhi castai. Per tale motivo metre i valori delle frequeze assolute restao ivariati, occorrerà ricalcolare le frequeze relative (Tabella 7), teedo presete che si soo cosiderati solo gli elemeti del campioe che presetavao per il carattere «colore degli occhi» la modalità «castai». Tabella 6 Tabella 7 capelli capelli occhi castai biodi castai eri occhi castai biodi castai eri 3,5% 3,5% 37,50% 8 Distribuzioi margiali Se, assegata ua distribuzioe cogiuta di frequeze relativa a due caratteri, si cosiderao le frequeze associate a uo solo dei due caratteri, si ottiee ua uova distribuzioe, detta distribuzioe margiale. Naturalmete, da ua distribuzioe cogiuta re- 4

5 Uità lativa a due caratteri si possoo otteere due distribuzioi margiali, ua per ciascuo dei due caratteri. Data ua tabella a doppia etrata rappresetate ua tale distribuzioe cogiuta, le due distribuzioi margiali a essa associate si possoo facilmete otteere calcolado i totali di ogi riga e di ogi coloa. e sempi Riprediamo i cosiderazioe la Tabella 4; aggiugiamole ua riga, elle cui caselle riportiamo i totali di ciascua coloa, e aggiugiamole ua coloa, elle cui caselle riportiamo i totali di ciascua riga. Otteiamo così la Tabella 8, i cui l ultima riga rappreseta la distribuzioe margiale relativa al carattere «colore dei capelli», metre l ultima coloa rappreseta la distribuzioe margiale relativa al carattere «colore degli occhi». Tabella 8 capelli biodi castai eri totale grigi 5 4 occhi azzurri 7 0 castai eri totale Operado allo stesso modo sulla Tabella 5, che riporta le frequeze relative della stessa distribuzioe cogiuta, si ottiee la Tabella 9, i cui ell ultima riga compaioo le frequeze relative della distribuzioe margiale del carattere «colore dei capelli», metre l ultima coloa riporta le frequeze relative della distribuzioe margiale del carattere «colore degli occhi». Tabella 9 capelli biodi castai eri totale grigi 0% 8% 4% % occhi azzurri 4% 4% % 0% castai 0% 0% % 3% eri 6% 0% 0% 6% totale 40% 3% 8% 00% Valori di sitesi 9 Idici di posizioe e idici di variabilità La fuzioe dei valori di sitesi, detti ache idici statistici,èquella di sitetizzare, i u uico umero, alcue iformazioi della distribuzioe statistica di u carattere quatitativo. 5

6 Uità Statistica descrittiva: richiami e approfodimeti Distiguiamo due tipi di idici. Idici di posizioe, detti ache medie o idici di tedeza cetrale. Soo così chiamati perché dipedoo dalla posizioe dei dati sulla retta reale: suppoedo tutti i dati positivi, se questi ad esempio crescoo, ossia si spostao a destra sulla retta reale, gli idici di posizioe si spostao ach essi ello stesso verso. Tra gli idici di posizioe si distiguoo le medie ferme e le medie lasche. Idici di variabilità, detti ache idici di dispersioe. Idicao la maggiore o miore cocetrazioe dei dati. 0 Medie ferme Le medie ferme soo quelle medie il cui valore dipede da tutti i dati: se si modifica ache solo u dato, cambia ache la media. c Media aritmetica La media aritmetica, detta ache valor medio, di umeri x, x,..., x è il quoziete M tra la loro somma e il loro umero. Si ha quidi: M ¼ x þ x þ ::: þ x! M ¼ X x i i¼ Sommatoria La lettera greca maiuscola (sigma) è il simbolo di sommatoria; la scrittura X i¼ x i si legge «sommatoria di x i per i che varia da a» e idica la somma di tutti i umeri x, x,..., x : X i¼ x i ¼ x þ x þ ::: þ x c Media aritmetica poderata La media aritmetica poderata di umeri x, x,..., x, ai quali soo associati i pesi p, p,..., p è il quoziete M tra la somma dei prodotti di ciascu peso per il umero a esso associato e la somma dei pesi Si ha quidi: M ¼ p x þ p x þ ::: þ p x p þ p þ ::: þ p! M ¼ X p i x i i¼ X p i i¼ m atematica e fisica La media aritmetica poderata si utilizza i fisica per determiare la posizioe del baricetro (o cetro di massa) di u sistema di due o più corpi. Immagia due corpi di masse, rispettivamete, m ed m e uiti da u asta rigida di massa trascurabile, posizioati su ua retta come ella Figura, dove x e x idicao le ascisse dei loro baricetri. L ascissa x G del baricetro del sistema formato dai due corpi è la media poderata delle ascisse dei due corpi, calcolata assumedo come pesi le rispettive masse: 6

7 Uità x G = m x + m x m + m x Figura Se immagiiamo i due corpi posizioati i u piao cartesiao, ache l ordiata del baricetro si calcola allo stesso modo: y G ¼ m y þ m y m þ m Queste formule si possoo estedere a sistemi formati da tre o più corpi: x G ¼ m x þ m x þ ::: þ m x m þ m þ ::: þ m y G ¼ m y þ m y þ ::: þ m y m þ m þ ::: þ m c Media geometrica La media geometrica M G di umeri positivi x, x,..., x è la radice di idice del prodotto degli umeri: M G ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x x ::: x! Q M G ¼ x i i¼ Produttoria La lettera greca maiuscola (pi) è il simbolo di produttoria, aalogo del simbolo di sommatoria: Y i¼ x i ¼ x x ::: x c Media armoica La media armoica M A di umeri positivi x, x,..., x è il reciproco della media aritmetica dei reciproci degli umeri: M A ¼ þ þ ::: þ! M A ¼ x x x! X xi i¼ m atematica e fisica U corpo percorre 60 m alla velocità di m=s e quidi altri 60 m alla velocità di 8m=s. Qual è la velocità media lugo l itero percorso? La velocità media richiesta è il rapporto tra lo spazio percorso, che è di0m,eil tempo impiegato a percorrerlo. Per calcolare i tempi t e t, espressi i secodi, impiegati rispettivamete ella prima e secoda parte del percorso faremo uso della ota uguagliaza t ¼ s v : t ¼ 60 m m=s ¼ 5s t ¼ 60 m 8m=s ¼ 7;5 s 7

8 Uità Statistica descrittiva: richiami e approfodimeti Perciò il tempo complessivamete impiegato è,5 secodi. Possiamo ora calcolare la velocità media: v m ¼ 0 m ;5 s ¼ 9;6 m=s Osserva che sarebbe errato calcolare la media aritmetica delle velocità: questa è 0 m=s. Il calcolo corretto si esegue ivece el modo idicato sopra. I geerale, se s è lo spazio e v e v soo le due velocità, lo spazio complessivamete percorso è s e il tempo complessivo è s v þ s v, quidi la velocità media è: v m ¼ s s þ s! v m ¼ v v Quidi v m è la media armoica di v e v. þ v v c Media quadratica La media quadratica M Q di umeri x, x,..., x è la radice quadrata della media dei loro quadrati: M Q ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ x þ ::: þ x! M Q ¼ X x i¼ c Altre medie poderate Il cocetto di media poderata, itrodotto per la media aritmetica, si può estedere ache alle altre medie. Dati umeri x, x,..., x, ai quali soo associati i pesi p, p,..., p, si hao le segueti medie: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðp media geometrica poderata M G ¼ x p x p ::: x p þ p þ::: þ pþ media armoica poderata M A ¼ p þ p þ ::: þ p p þ p þ ::: þ p x media quadratica poderata x x! sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p M Q ¼ x þ p x þ ::: þ p x p þ p þ ::: þ p m atematica e fisica Se u corpo si muove per i tempi t, t,..., t rispettivamete alle velocità v, v,..., v, copre complessivamete la distaza v t þ v t þ ::: þ v t el tempo t þ t þ ::: þ t e quidi la sua velocità media è: v m ¼ v t þ v t þ ::: þ v t t þ t þ ::: þ t la velocità media è quidi la media aritmetica poderata delle velocità v, v,..., v calcolata co i rispettivi pesi t, t,..., t. Se u corpo percorre gli spazi s, s,..., s rispettivamete alle velocità v, v,..., v, copre complessivamete la distaza s þ s þ ::: þ s el tempo s þ s þ ::: þ s e quidi la sua velocità media è: v v v 8

9 Uità v m ¼ s þ s þ ::: þ s s þ s þ ::: þ s v v v la velocità media è quidi la media armoica poderata delle velocità v, v,..., v calcolata co i rispettivi pesi s, s,..., s. Medie lasche Le medie lasche soo quelle medie il cui valore o dipede da tutti i dati, ossia può restare costate se cambiao alcui dati. c Moda La moda di u isieme di dati è il dato che si preseta co la frequeza maggiore; i ua distribuzioe statistica di frequeze la moda è il carattere cui corrispode la frequeza maggiore. Nel caso di ua distribuzioe suddivisa i classi di frequeza, si dice classe modale quella a cui corrispode la frequeza maggiore. c Mediaa La mediaa di u isieme di dati umerici, posti i ordie crescete è: se il umero di dati è dispari, il valore cetrale; se il umero di dati è pari, la media aritmetica dei due valori cetrali. I ua classe di 0 studeti si è svolta ua verifica di matematica; i voti riportati soo riassuti ella Tabella 0; determiiamo moda e mediaa. La moda è 7, perché è il voto che si preseta co maggiore frequeza. Per determiare la mediaa dispoiamo i voti i ordie crescete. Poiché i dati soo i umero pari, la mediaa è la media aritmetica dei due valori cetrali, ossia il decimo e l udicesimo. Tabella Tabella 0 voto umero studeti totale 0 posizioe voto La mediaa è pertato 6,5. 6 þ 7 6;5 mediaa Idici di variabilità: variaza e deviazioe stadard I ua classe si soo svolte fio ad ora due verifiche scritte di matematica. I voti otteuti dagli studeti, e la media di ciascua verifica, soo riportati ella Tabella. Tabella studete media a verifica a verifica

10 Uità Statistica descrittiva: richiami e approfodimeti La media dei voti è 6 per etrambe le verifiche, tuttavia la distribuzioe dei voti elle due verifiche è be diversa, come è evideziato dagli istogrammi di Figura. Nella secoda verifica i voti soo più cocetrati, ossia più vicii alla media, metre ella prima i voti soo più dispersi Figura Tale osservazioe è cofermata dalla Tabella 3 dove, isieme ai voti, abbiamo riportato gli scarti dalla media, ossia le differeze tra ciascu voto e la media. Tabella 3 a verifica a verifica studete media voto scarto dalla media voto scarto dalla media Come si vede, gli scarti dalla media soo più prouciati ella prima verifica. Queste cosiderazioi ci suggeriscoo che la media aritmetica, pur essedo u importate valore di sitesi di ua distribuzioe statistica, o può riassumere tutte le iformazioi coteute ei dati; i particolare la media aritmetica o ci dice ulla relativamete alla dispersioe dei dati, ossia se questi siao più o meo vicii alla media. È quidi evidete la ecessità di u idice statistico che possa «misurare» la dispersioe dei dati. Lo scarto dalla media, ossia la differeza tra u dato e la media, idica quato quel dato si discosta dalla media aritmetica. Si potrebbe quidi cosiderare la media aritmetica degli scarti dalla media come idice di dispersioe di ua distribuzioe. Tuttavia la preseza, tra gli scarti dalla media, di valori sia positivi sia egativi, fa sì che le loro somme si «compesio». Come si potrebbe dimostrare, la somma degli scarti dalla media è sempre ulla e quidi la loro media aritmetica è ivariabilmete 0. L icoveiete si evita cosiderado i quadrati degli scarti dalla media, che soo maggiori o uguali a zero. La loro media è u importate idice statistico della variabilità dei dati. d efiizioe Variaza La variaza di umeri x, x,..., x è la media aritmetica dei quadrati dei loro scarti dalla media. La variaza si idica solitamete co il simbolo ; quidi se M idica la media aritmetica degli umeri x, x,..., x, la loro variaza è 0 ¼ ðx MÞ þðx MÞ þ ::: þðx MÞ! ¼ X i¼ ðx i MÞ

11 Uità La variaza di u isieme di dati o è dimesioalmete omogeea co i dati stessi: ad esempio, se si cosidera ua distribuzioe di stature, espresse i cetimetri, la variaza risulta espressa i cetimetri quadrati. Ache per questo motivo si usa spesso u altro idice di dispersioe, che è la radice quadrata della variaza. d efiizioe Deviazioe stadard La deviazioe stadard o scarto quadratico medio è la radice quadrata della loro variaza. La deviazioe stadard si idica co il simbolo ; si ha quidi: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx ¼ MÞ þðx MÞ þ ::: þðx MÞ! ¼ X i¼ ðx i MÞ! Ricordado la formula della media quadratica ti puoi redere coto che: la deviazioe stadard è la media quadratica degli scarti dalla media. Questa cosiderazioe spiega il ome di scarto quadratico medio co cui spesso viee idicata la deviazioe stadard. Vogliamo calcolare le variaze e le deviazioi stadard dei voti delle due verifiche che abbiamo cosiderato. Coviee orgaizzare i calcoli i ua tabella (Tabella 4): dopo aver trascritto i voti della prima verifica i ua riga e avere calcolato la media aritmetica scriviamo, ella riga sottostate a quella dei voti, i valori degli scarti dalla media. Nella terza riga scriviamo poi i quadrati degli scarti. Aggiugiamo, a destra di questa riga, ua casella ella quale riportiamo la somma dei quadrati degli scarti e i u ulteriore casella il valore che si ottiee dividedo questa somma per il umero dei dati, ossia 0. Abbiamo otteuto la variaza; a questo puto basta calcolare la radice quadrata per otteere la deviazioe stadard. Allo stesso modo calcoliamo la variaza e la deviazioe stadard dei voti della secoda verifica. Tabella 4 studete voto media ¼ 6 a ver. scarto scarto somma ¼ 8 ¼ 4; ¼ ;0 voto media ¼ 6 a ver. scarto scarto somma ¼ 3 ¼ ;6 ¼ ;6 Come si vede, variaza e deviazioe stadard soo maggiori per i voti della prima verifica, cofermado che per essa la variabilità dei voti è maggiore rispetto alla secoda verifica. Poderiamo La variaza è ua media aritmetica e pertato, ei casi opportui, può essere calcolata ricorredo alla formula della media aritmetica poderata. Cosideriamo ad esempio i voti della secoda verifica: essi costituiscoo ua distribuzioe

12 Uità Statistica descrittiva: richiami e approfodimeti statistica riassuta ella Tabella 5: la modalità 4 ha frequeza 3, la modalità 5 ha frequeza 4 e così via. Tabella 5 voto frequeza Possiamo perciò calcolare la variaza come media aritmetica poderata cosiderado le frequeze come pesi: ¼ 3 ð4 6Þ þ 4 ð5 6Þ þ 6 ð6 6Þ þ 4 ð7 6Þ þ 3 ð8 6Þ 3 þ 4 þ 6 þ 4 þ 3 ¼ ;6 I geerale, dati umeri x, x,..., x, ai quali soo associati i pesi p, p,..., p, detta M la loro media aritmetica (ovviamete poderata), la variaza è: ¼ p ðx MÞ þ p ðx MÞ þ ::: þ p ðx MÞ p þ p þ ::: þ p Per otteere la deviazioe stadard basterà predere la radice quadrata della variaza. 3 Formula per il calcolo di variaza e deviazioe stadard Dalla formula della variaza, sviluppado i quadrati dei biomi che vi compaioo e ordiado i termii, si ottiee la seguete formula: ¼ Mðx Þ M Si può quidi dire che la variaza è la differeza tra la media dei quadrati e il quadrato della media. Ovviamete per la deviazioe stadard si ha qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ Mðx Þ M Queste formule permettoo di otteere e eseguedo u umero iferiore di operazioi aritmetiche. Le formule precedeti si possoo utilizzare ache per calcolare la variaza e la deviazioe stadard di ua distribuzioe di frequeze. I tal caso M e Mðx Þ sarao medie aritmetiche poderate. Utilizziamo le formule precedeti per calcolare la variaza e la deviazioe stadard dei voti della secoda verifica dell esempio precedete. Coosciamo già la media M ¼ 6; dobbiamo perciò calcolare la media aritmetica dei quadrati dei voti: Mðvoti Þ¼ 3 4 þ 4 5 þ 6 6 þ 4 7 þ 3 8 ¼ 37;6 3 þ 4 þ 6 þ 4 þ 3 ¼ Mðvoti Þ M ¼ 37;6 6! ¼ ;6! ¼ ;6 Ritroviamo così gli stessi risultati già otteuti i precedeza.