Corso di Statistica - Esercitazione 2

Transcript

1 Corso di Statistica - Esercitazioe 2 Dott. Davide Buttarazzi d.buttarazzi@uicas.it Esercizio 1 La seguete tabella riporta dati relativi al giudizio espresso da alcui clieti sulla qualità dell ultimo modello di smartphoe prodotto da ua ota azieda. Valutazioe i Iaccettabile 250 Scarsa 500 Accettabile 1500 Buoa 2100 Ottima 350 Tot Defiire la tipologia della variabile Valutazioe 2. Calcolare l idice di asimmetria stadardizzato 1. Valutazioe è ua variabile di tipo qualitativo ordiale Soluzioi esercizio 1 2. L idice di asimmetria per variabili qualitative ordiali può essere defiito come A = D dx D sx D dx +D sx Occorre quidi idividuare la parte destra e la parte siistra della distribuzioe sulle quali calcolare l idice di dispersioe. Lo mediaa rappreseta lo strumeto per dividere la distribuzioe. Operado co le frequeze assolute cumulate si ha che N 2 = 2350, pertato Buoa risulta essere la modalità mediaa. La parte siistra e destra della distribuzioe possoo essere così suddivise: Parte siistra Valutazioe i N i F i Iaccettabile Scarsa Accettabile Buoa Parte destra Valutazioe i N i F i Buoa Ottima D sx = 2 k 1 D dx = 2 k 1 F i (1 F i ) = 2( ) = F i (1 F i ) = 2[0.85(1 0.85)] = L idice di asimmetria ormalizzato sarà quidi: A = D dx D sx D dx +D sx = = = 0.47 (segale di asimmetria egativa)

2 Esercizio 2 La seguete tabella riporta il prezzo di mercato di u campioe di smartphoe cosiderati da ua ota azieda come pricipali competitor. Prezzo Defiire la tipologia della variabile Prezzo 2. Calcolare l idice di asimmetria di Pearso 3. Calcolare l idice di asimmetria di Fisher (relativo) 4. Calcolare l idice di Yule-Bowley 5. Costruire il Boxplot ed idividuare evetuali valori aomali 1. Prezzo è ua variabile umerica. 2. A P earso = µ Me σ µ = N σ = x i N = 18 (x i µ) 2 P rezzo i 18 = 158 = = = Me = x ( +1 2 ) = x i : F i 0.5 = 140 Soluzioi esercizio 2 Pertato: A P earso = = 0.18 (segale di asimmetria a destra) (x i µ) 3 3. L idice di asimmetria di Fisher I F = é espresso ell uità di misura al cubo. Pertato può essere ricodotto all uità di misura origiale estraedo la sua radice cubica, oppure può essere trasformato i idice relativo dividedolo per u altro idice espresso ella stessa uità di misura, come σ 3. Per facilitare i calcoli, è opportuo costruire la seguete tabella: x x µ x µ

3 Avedo già calcolato σ = ell esercizio precedete, l idice di Fisher (relativo) sarà: I F σ 3 = ( (x i µ) 3 ) σ = ( ) = Lo stesso risultato può essere otteuto calcolado la media degli scarti stadardizzati al cubo, ovvero I F = ( x i µ σ )3 4. L idice di Yule-Bowley è defiito come A Y B = (q3 Me) (Me q1) (q 3 Me)+(Me q1). È ecessario quidi idividuare i quartili della distribuzioe. Per calcolare i quartili occorre riorgaizzare la serie grezza i ordie o-decrescete: Q1 = x ( 4 ) = x i : F i 0.25 = 100 Q2 = Me = x ( +1 2 ) = x i : F i 0.5 = 140 Q3 = x ( 3 4 ) = x i : F i 0.75 = 195 Quidi: A Y B = (q3 Me) (Me q1) (q = ( ) ( ) 3 Me)+(Me q1) ( )+( ) = = = 0.16 (segale di asimmetria destra) 5. Il boxplot sulla variabile Prezzo pu essere cos rappresetato: Prezzo Evetuali valori aomali possoo essere idividuati all estero dei segueti valori soglia (i rosso el grafico): q1 1.5 (q3 q1) = 42.5 (ovvero 0, se si assume che il prezzo degli smartphoe sia o-egativo) q (q3 q1) = I valori (prezzi) aomali soo quidi x i = 360 ed x i = 450 Miimo e massimo relativi (el grafico i baffi eri o tratteggiati) sarao quidi, rispettivamete, x i = 20 ed x i = 200. Esercizio 3 Utilizzado i dati dell esercizio 2: 1. calcolare l idice di cocetrazioe di Gii ormalizzato per la variabile Prezzo 2. rappresetare graficamete la curva di Lorez

4 Soluzioi esercizio 3 1. L idice di cocetrazioe di Gii ormalizzato può essere così calcolato: G = ( q i) 1 Dopo aver ordiato i modo o-decrescete la serie grezza, per calcolare l idice di Gii è opportuo costruire la seguete tabella: i x i (ord) i x j = i N q i = j=1 i j=1 N x j q i N=2844 L idice di Gii può essere otteuto quidi sommado tutti gli elemeti dell ultima coloa della tabella costruita ( q i ). Per ormalizzarlo occorre dividere per la somma di tutti gli elemeti della quarta coloa della tabella ad eccezioe dell ultimo (, per i = 1,..., 17). Formalmete: G = 1 ( q i) = = La curva (o spezzata) di Lorez si ottiee collegado i puti di coordiate (, q i ), icludedo l origie degli assi tra le coordiate.

5 Curva di Lorez q i La retta tratteggiata rappreseta il caso di equidistribuzioe ( = q i ). L area compresa tra la retta di equidistribuzioe e la spezzata di Lorez deomiata area di cocetrazioe (ovvero idice di Gii). Tale quatità è calcolabile ache sottraedo ad 1/2 (area al di sotto della retta di equidistribuzioe), l area al di sotto della curva di Lorez (calcolabile sommado le aree dei 18 trapezi che si ottegoo proiettado ortogoalmete i puti di coordiate (, q i ) sull asse delle ascisse). Per i procedimeti dettagliati su come ricavare gli idici di posizioe e variabilità utilizzati egli esercizi sopra svolti, si faccia riferimeto all esercitazioe 1 del