Programma della parte introduttiva: Lezione 4

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1 Programma della parte itroduttiva: Lezioe 4 Cap. 3 Presetazioe e cofroto tra misure Cap. 4 Propagazioe delle icertezze Cap 5 Misure ripetute e stimatori 1

2 Stimatori statistici Suppoiamo di aver sei misure, ripetute, di tre oscillazioi di u pedolo espresse i s: 6.00, 5.78, 5.78, 5.90, 5.94 e Qual è la migliore stima? La statistica forisce come stimatori: il valore più probabile (moda) i questo caso e avremmo due 6.00 s e 5.80 s. Il valore che forisce lo stesso umero di valori miori e maggiori di esso (detto mediaa) i questo caso 5.9. La stima migliore per misure ripetute, risulterà essere la media aritmetica (per ua buoa stima servoo almeo dieci misure).

3 Stimatori statistici Le misure ripetute soo quelle che spigoo alla trattazioe statistica dei dati e le useremo per l itroduzioe, la media aritmetica è data da x = Σ i=1 x i, ovvero la sommatoria per i, che va da 1 ad, dove è il umero totale dei dati osservati. Otteiamo per il caso suddetto: ( ) s x = 6 = = s I alcui casi risulta più appropriato cosiderare l itervallo, che comprede tutte le misure dato dal valore cetrale e dalla semidispersioe. Valore cetrale: semidispersioe: x cetr = ( ) s = s sd(x) = Δ x x cetr = x max + x mi Δ x = x x max mi [ x cetr Δ x, x cetr + Δ x, ] Itervallo che comprede il 100 % delle misure ( ) s = = 0.11 s x = 5.89 cetr ± 0.11 semidisp s 3

4 Suppoiamo di ripetere le misure per ove volte: 6.00, 5.78, 5.9, 5.78, 5.88, 5.91, 5.94, 5.89, 6.00 s. Il valore cetrale o cambia, come o cambia la semidispersioe. Quidi la rappresetazioe xcetr + Δx/ o descrive il modo, i cui soo distribuiti i dati, si potrebbe provare co la media degli Σ scarti: vediamo Δx = i=1 (xi x ) = 0 o risulta utile (dim. ) Si utilizza quidi lo scarto quadratico medio: (Δx ) (Es. per calcoli: Σi=1 (xi x ) = Σi=1 (xi x ) = Σi=1 xi x ) Che forisce la distaza media dei dati dal valore medio: Σi=1 (xi x ) detta deviazioe s = x stadard della popolazioe 4

5 Per la serie dei sei dati si ha s x = s, che riportiamo come 0.09 s. Per la serie dei ove dati risulta s x = s, che riportiamo come 0.08 s. Faremo cosiderazioi statistiche tra la deviazioe stadard della popolazioe e la deviazioe stadard del campioe s x = Σ i=1(x i x) σ x = Σ i=1(x i x) 1 Nell esempio del pedolo, se le codizioi rimaessero ivariate, la popolazioe sarebbe ifiita per cui s x potremmo solo stimarla, e sarà il ostro obiettivo forire ua stima quatitativa, di quato possiamo riteere tale stima vicia a s x. Abbiamo forito cosiderazioi, p.e. Il cofroto tra s x e σ x per u solo dato, che porterebbe all assurdo che s x risulta ulla, metre il risultato σ x 0/0, idetermiato, risultato ituitivamete accettabile. Risulta iteressate o solo il valore, ma come soo distribuiti i dati itoro allo stimatore scelto, vedremo come quidi presetare graficamete i dati. 5

6 Completiamo il quadro degli stimatori statistici per più dati o misure ripetute, facedo molta attezioe alle codizioi. Nel caso i cui si dimostri che la gradezza-variabile sia gaussiaa, ovvero segua la distribuzioe di Probabilità di ua variabile casuale, si osserva che i valori medi di più misuratori, seguoo ua distribuzioe sempre gaussiaa, i cui stimatori possoo essere dedotti dal sigolo misuratore, che abbia effettuato misure: La stima della media dei valori medi x = x La stima della deviazioe stadard dei valori medi σ x = σ x σ x è detta deviazioe stadard della media. Il risultato fiale è che, se riuscissimo a verificare che ua gradezza segue la distribuzioe gaussiaa, e se avessimo u umero sufficiete di dati per fare ciò, allora l icertezza casuale sulla ostra misura risulterebbe otevolmete abbattuta, sommado le variaze dei vari tipi di icertezze si avrebbe: δx = σ x + ε x 3 + η x 3 6

7 Acora sugli stimatori: la media pesata. Se avessimo due o più misure, per le quali si dimostri che appartegoo alla stessa popolazioe, vedi cofroto tra due misure x A = x A ±σ A e x B = x B ±σ B si può dimostrare che tali gradezze seguirebbero ua gaussiaa comue i cui stimatori statistici soo rispettivamete: la media pesata: co peso totale: x pes = x A p A + x B p B p A + p B p pes = p A + p B La formula ricorda il baricetro di due corpi di peso p A e p B, di coordiate questo si chiama media pesata, dove el caso delle misure i pesi soo dati da: p A = 1 σ A e p B = 1 σ B x A e x B, per e quidi da p pes si ottiee : 1 = 1 σ + 1 A σ pes σ B 7

8 Esercizio 4.1 Ogi studete utilizzado le dieci rilevazioi di ua oscillazioe del pedolo, ella coloa i cui ha collaborato, provi a forire la misura di g e verificare se il valore atteso è da rigettare o accettare. Gli stimatori statistici per ua gaussiaa soo da fare co calcolatrice utilizzado le formule (serve per orietarsi poi ella teoria): x = classi k=1 k x k / classi σ x = k (x k x) / ( 1) k=1 Ogi studete cosideri i propri dieci dati e forisca la misura di g, co calcoli solo co calcolatrice, come fatto a lezioe. Verificato che il proprio foglio elettroico fuzioi, utilizzarlo per i calcoli co tutti i 110 dati e si forisca la misura di g. Fare la verifica di accettazioe (o meglio rigetto) del valore atteso sia per il caso dei dieci dati, i cui si è collaborato, che per il caso dei 110 dati di tutti gli studeti. Ogi studete stimi poi il valore vero dedotto co i valori medi di ogi coloa, e faccia cosiderazioi su quato otteuto rispetto alla media e dev. st. dei 110 dati. 8

9 Esercizio 4.1 Dove il pedice j idica la coloa, che cosideriamo come i 10 dati di uo sperimetatore. Evideziata i giallo la coloa dell es. svolto alla lavaga 9