Statistica inferenziale, Varese, 5 febbraio 2009 Prima parte - Modalità B - Soluzione

Transcript

1 Statistica ifereziale, Varese, 5 febbraio 2009 Prima parte - Modalità B - Soluzioe Cogome Nome: Numero di matricola: ISTRUZIONI: Il puteggio relativo alla prima parte dell esame viee calcolato el seguete modo: +1 se la risposta è corretta, -1 se la risposta o è corretta, 0 se la risposta o viee data. Codizioe ecessaria (o sufficiete) per superare l esame è otteere u puteggio maggiore o uguale a 5 ella prima parte. Tempo a disposizioe 2 ore dalla cosega del testo d esame. Barrare co ua X la risposta corretta e riportarla chiaramete i maiuscolo (A, B, C...) ella seguete tabella: Domada Risposta B D A B E C B A C A 1. Cosideriamo ua variabile aleatoria X che può assumere valori 2, 4 o 6. Se sappiamo che P (X = 2) = 1 3 e P (X = 4) = 1 2 allora: (a) P (X = 6) = 0 e F X (6) = 1 (b) P (X = 6) = 1 6 e F X(6) = 1 (c) P (X = 6) = 1 e F X (6) = 1 6 (d) P (X = 6) 0 e F X (6) = Sia X ua variabile aleatoria N(0, 1) e Φ la sua fuzioe di ripartizioe. Allora: (a) P [X > 2.5] = 2[1 Φ(2.5)] (b) P [X > 2.5] = Φ(2.5) Φ( 2.5) (c) P [X > 2.5] = è circa 1 (d) P [X > 2.5] = 1 Φ(2.5) 3. Siao A e B due geerici eveti che verificao B A e P (A) = 1 p, P (B) = p, (0 < p < 1 2 ); idicare quale delle segueti risposte è vera: (a) P [A B] = p (b) P [A B] = P [A]P [B]

2 (c) P [A B] = 1 p (d) P [B A] = 0 4. Cosideriamo il test d ipotesi H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0 per la media di ua popolazioe ormale di variaza σ 2 ota, co errore del primo tipo pari a 1 α. Sia [ X σ Φ 1 ( 1+α 2 ), X + σ Φ 1 ( 1+α 2 )] I α u itervallo di cofideza per µ al 100(α). (a) l ipotesi H 0 è rifiutata se e solo se µ 0 I α (b) l ipotesi H 0 è rifiutata se e solo se µ 0 / I α (c) l ipotesi H 0 è rifiutata se e solo se l ampiezza di I α è σ Φ 1 ( 1+α 2 ) (d) il fatto che µ 0 appartega o meo ad I α è iifluete sulle ostre decisioi riguardo ad H 0 5. Sia X ua variabile aleatoria che cota il umero di palle biache estratte i 10 estrazioi co rimpiazzo da u ura che cotiee solo palle rosse e biache. Dire quali delle segueti risposte soo corrette: (a) può o esistere var[x] (b) X è ua va cotiua (c) var[2x] = 4 + var[x] (d) var[a + X] = a 2 var[x] (e) E[X] 0 6. U itervallo di cofideza al 90% per u parametro icogito θ è: (a) il complemetare di u itervallo che ha probabilità 0.90 di coteere θ (b) u itervallo che ha probabilità pari 0.10 di coteere θ (c) u itervallo che ha probabilità pari 0.90 di coteere θ (d) u itervallo i cui il parametro θ cade co probabilità Uo stimatore MLE è (a) sempre diverso dallo stimatore otteuto co il metodo dei mometi (b) asitoticamete corretto (c) o è asitoticamete ormale (d) o è cosistete 8. Cosideriamo u variabile aleatoria X co distribuzioe di Biomiale co parametri = 3 e p = 2 3. Allora la P (X 2) vale: (a) 0.74 (b) 0.13

3 (c) 0.33 (d) La fuzioe di ripartizioe di ua variabile aleatoria X è 0 se x < 0 x/4 se 0 x < 3 F X (x) = 4/5 se 3 x < 6 1 se x 6 Quato vale P (X 1)? Idicare la risposta corretta. (a) 0 (b) 3 4 (c) 1 4 (d) U itervallo di cofideza di livello 0.95 per la media µ di ua popolazioe ormale e co variaza ota σ 2 è, a parità di ampiezza campioaria: (a) più ampio dello stesso itervallo di livello 0.90 (b) più ampio dello stesso itervallo di livello 0.99 (c) il livello α o icide sull ampiezza dell itervallo perché la variaza è ota (d) se la variaza o fosse ota l ampiezza dell itervallo sarebbe la stessa

4 Secoda parte - Modalità B - SOLUZIONE 1. Dimostrare che la variaza di ua variabile aleatoria co distribuzioe di Beroulli di parametro p è var[x] = p(1 p). Si sa che ua variabile aleatoria di Beroulli X B(p) può assumere solo valori pari a 0 o 1, co probabilità rispettivamete 1 p e p. Si ha perciò che 1 E[X] = x i p(x i ) = 0 (1 p) + 1 p = p. i=0 Da cui segue E[X] 2 = p 2 e E[X 2 ] = 1 x 2 i p(x i ) = 0 2 (1 p) p = p. i=0 Da cui V AR[X] = E[X 2 ] E[X] 2 = p p 2 = p (1 p) = p q. 2. La società Femmia è bello, per cui la sigora Grazia lavora, orgaizza ua cea tra doe per i dipedeti e le loro figlie. Soo ivitate solo le dipedeti madri di figlie femmie, isieme co la maggiore tra le figlie femmie. La sigora Grazia ha due figli (di cui o si coosce il sesso) ed è ivitata alla cea. Qual è la probabilità codizioata che etrambi i figli siao femmie? (suggerimeto: scrivere le possibili coppie di figli che può avere la sigora Grazia) Lo spazio delle possibili coppie di figli della sigora Grazia è dato da {(m, m), (m, f), (f, m), (f, f)} dove la scrittura (m, f) dice che il primo figlio è maschio e il secodo è femmia e così via per le altre coppie. Il fatto che la sigora Grazia sia ivitata a cea implica che almeo ua tra i suoi figli è femmia, quidi l eveto (m, m) sicuramete o si verifica. Sia A l eveto almeo u figlio è femmia e sia B l eveto etrambe le figlie soo femmie. La probabilità cercata è: P (B A) = A B B = P ({(f, f)}) P ({(f, f), (f, m), (m, f)}) = 1/4 3/4 = 1/3 3. Due ricercatori tetao di dimostrare, idipedetemete, lo stesso teorema. La probabilità che il primo ricercatore riesca a dimostrarlo è 0.2, metre la probabilità che ci riesca il secodo è 0.7. Si calcoli: (a) la probabilità che solo il primo ricercatore riesca a dimostrare il teorema

5 Sia A l eveto il primo ricercatore dimostra il teorema e B l eveto il secodo ricercatore dimostra il teorema. P (A)=1/5 (b) la probabilità che essuo dei due ricercatori dimostri il teorema L eveto C essuo dei due ricercatori dimostra il teorema è il complemetare dell eveto A B o uo o l altro, o etrambi dimostrao il teorema. P (C) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)+P (B) P (A B)) = essedo gli eveti idipedeti otteiamo 1 P (A) P (B) + P (A)P (B) = = Si poteva ache usare De Morga secodo cui la prob del complemetare della somma è la prob. dell itersez. dei complemetari, per cui, sfruttado l idipedeza, si ha: P (C) = P (A B) = P (Ā) B) = P (Ā))P ( B) = (1 0.2) (1 0.7) = = (c) la probabilità che almeo uo dei due dimostri il teorema Ragioado come prima: P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) = P (A)+P (B) P (A)P (B) = = 0.76 (d) la probabilità che, dato che il primo ricercatore ha dimostrato il teorema, lo dimostri ache il secodo P (B A) = P (A B) P (A) = P (A)P (B) P (A) = P (B) = Sia X la quatità di succo d aracia (i grammi al gioro) cosumata da ua persoa italiaa. Si suppoga di cooscere la deviazioe stadard di X (σ = 84). Per stimare la media µ di X, u associazioe di cosumatori cosidera u campioe aleatorio di = 1089 italiai e trova che, i media, essi cosumao 153 gr di succo d aracia al gioro.

6 (a) Calcolare u itervallo di cofideza bilaterale al 95% per µ. Si sa che σ = 84, = 1089 e che X = 153. Ioltre, X N(µ, ). Voglio trovare u itervallo per µ tale che P ( a X µ σ a) = 0.95, cioè a = Φ 1 (1 α 2 ) = Φ(0.975) = 1.960, perciò l IC cercato è [ X σ, X σ ] = [ , ] = [148.01, ] (b) Calcolare u itervallo di cofideza uilaterale siistro al 90% per µ. Si sa che σ = 84, = 1089 e che X = 153. Ioltre, X N(µ, ). Voglio trovare u itervallo per µ tale che P ( X µ σ a) = 0.9, cioè a = Φ 1 (1 α) = Φ(0.9) = 1.282, perciò l IC cercato è [ X σ, + ] = 84 [ , + ] = [152.9, + ] Sia X la quatità di whisky (i mm) coteuta i ua bottiglia. Si suppoga che la distribuzioe di X sia N(µ, 9). Per testare l ipotesi H 0 : µ = 750 cotro l ipotesi alterativa H 1 : µ = 748 si utilizza la seguete regioe critica C = { x : x } dove x è la media campioaria del coteuto di whisky di bottiglie. (a) Qual è il livello di sigificatività del test (α)? Sia X la quatità di whisky, X N(µ, 9). Sia H 0 : µ = 750 cotro l alterativa H 1 : µ = 745. P ( X α = P (rifiutare H 0 quado H 0 è vera) = P ( X C H 0 è vera) = P ( X µ = 750) = ) = Φ( 1.25) = 1 Φ(1.25) = = 0.11

7 (b) Calcolare la probabilià di errore del secodo tipo. β = P (accetare H 0 quado H 0 è falsa) = P ( X / C H 0 è falsa) = P ( X > µ = 748) = P ( X ) = 1 Φ(1.41) = = (c) Stabilire se, sulla base delle segueti osservazioi, l ipotesi ulla viee o meo accettata 755, 752, 754, 747, 748, 746, 747, 754, 755, 753, 744, 750, 746, 747, 754, 755. Si calcola x = = , poiché x / C, allora o si rifuta H 0. (d) Calcolare il p-value del test Si sa che il p-value è P ( X x H 0 ) perciò p value = P ( X µ = 750) = P ( X Φ(0.59) = ) = 6. (Esercizio facoltativo) U ecoomista ha cofrotato l output di due processi fiaziari, X e Y. Ha estratto dal processo X u campioe di umerosità = 64, da cui ha otteuto ua media campioaria X = 12.5, metre dal processo Y ha estratto u campioe di umerosità m = 100, che ha dato ua media campioaria Ȳ = I due processi hao deviazioi stadard coosciute, σ X = 2.1 e σ Y = 2.2. A livello 5% l ecoomista potrebbe cocludere che i processi presetao output medi diversi? Si voglioo cofrotare le medie di due popolazioi idipedeti cooscedo le variaze. I ipotesi di ormalità, X N(µ X, σx 2 ) e Y N(µ Y, σy 2 ). Il sistema d ipotesi è H 0 : µ X = µ Y cotro H 1 : µ X µ Y e la statistica test è U = X Ȳ σ 2 X + σ2 Y m co regioe di rifiuto U z 0.95 = Il valore osservato risulta essere u =

8 pertato l ecoomista coclude che i due output medi coicidoo al 5% di sigificatività.