Dispense Inferenza PRELIMINARY DRAFT

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1 Dispese Ifereza PRELIMINARY DRAFT Cristia Mollica & Ja Marti Rossi 1 Esercizio 3 - Prova scritta del Esercizio 3. Ua baca vuole stimare la proporzioe π di persoe che accetterebbe di sottoscrivere u cotratto per il rilascio di ua carta di credito a seguito di u offerta pubblicitaria postale. La baca decide quidi di codurre u idagie esplorativa iviado la publicità a 50 persoe. Di queste, 170 decidoo di sottoscrivere il cotratto. 1. Calcolare ua stima putuale per la proporzioe icogita π. Teoria: Se si desidera otteere iformazioe sulla popolazioe di iteresse e o si vuole o o si può effettuare u idagie totale, allora lo strumeto più adatto è l idagie campioaria. U idagie campioaria cosiste ell estrazioe e ello studio di u campioe di uità della popolazioe al fie di otteere iformazioi cocereti alcui parametri dell itera popolazioe 1. Naturalmete il campioe rappreseta solo ua porzioe delle uità della popolazioe, quidi i parametri della popolazioe soo icogiti e lo studio avviee i u ambito di icertezza, che richiede l uso della probabilità. I ua tale situazioe bisoga trovare ua relazioe tra i dati del campioe ed il parametro icogito, ossia bisoga trovare ua fuzioe dei dati campioari che forisca ua buoa approssimazioe del parametro igoto. Tale fuzioe prede il ome di stimatore; mete il valore che assume la fuzioe è chiamato stima del parametro Formalmete, sia {X 1,..., X } u campioe casuale di dimesioe proveiete dalla popolazioe X, e sia {x 1,..., x } il corrispodete campioe osservato. Per trovare i parametri igoti, idicati co θ, occorre u opportua fuzioe delle osservazioi campioarie, idicata come T = tx 1,..., X, per otteere ua stima, t = tx 1,..., x, di θ. E importate sottolieare come il campioe sia ua realizzazioe di variabili casuali, quidi prima di essere osservato c è icertezza sui valori che può assumere ed è verosimile che campioi diversi avrao realizzazioi diverse. Poiché uo stimatore è ua fuzioe di variabili aleatori è ach esso ua variabile casuale, difatti prima di osservare il campioe o si coosce il valore della stima e per ogi campioe diverso si otterrà ua stima diversa. Quidi se {x 1,..., x } è ua realizzazioe delle variabili casuali {X 1,..., X }, la stima t può essere cosiderata come ua realizzazioe della variabile casuale T = tx 1,..., X. Essedo lo stimatore ua variabile casuale esso avrà ua distribuzioe di probabilità, la cui coosceza permette di derivare le proprietà dello stimatore. Quidi, uo stimatore, essedo ua fuzioe di variabili aleatori, è ua variabile casuale co ua sua distribuzioe di probabilità, che ha lo scopo di stimare attribuire u valore ua determiata caratteristica θ della popolazioe. La proporzioe di uità di ua popolazioe che preseta u certo attributo A può essere rappresetato da ua variabile casuale di Beroulli X, che assume valore 1 se l attributo A è posseduto dall uità statistica e 0 altrimeti. Il parametro d iteresse è π, la probabilità che la variabile casuale X assuma valore 1, che corrispode alla proporzioe icogita da stimare. 1 U parametro è essezialmete ua statistica descrittiva che sitetizza qualche aspetto della distribuzioe della variabile casuale, X. Per ua popolazioe, sia che essa sia fiita o ifiita, i due pricipali parametri soo la media e la variaza. Co le lettere maiuscole si idicao le variabili aleatorie, co le lettere miuscole il valore realizzato. La differeza è importate i quato le variabili aleatorie possoo assumere vari valori ed ogi valore ha u certo livello di icertezza che si verifichi, misurato dalla sua probabilità. Quado l eveto si verifica viee osservato il valore è dato e pertato o ci sta più icertezza. 1

2 Essedo il valore atteso di ua variabile casuale di Beroulli EX = π, si può cosiderare come stima di π la media campioaria, che i questo caso o è altro che la proporzioe campioaria: x = x x = = 1 dove 1 e idicao, rispettivamete, le frequeze assolute delle uità del campioe che presetao e o presetao l attributo A. Soluzioe: T = X = 1 = = Calcolare l itervallo di cofideza al 95% per la proporzioe. Teoria: Oltre alla sigola stima putuale si può ache cosiderare u itervallo di stime plausibili al quale sia associato u fissato livello di affidabilità. Ossia si vuole determiare u itervallo di valori costruito itoro alla stima putuale, che ci aspettiamo cotega il valore del parametro igoto, co u certo livello di fiducia, che idica la sua affidabilità. Sia X u carattere distribuito ella popolazioe secodo ua legge di probabilità o distribuzioe di probabilità dipedete da u parametro igoto θ. Sia ioltre {X 1,..., X } u campioe casuale di dimesioe estratto dalla popolazioe. Essedo il campioe estratto casualmete le variabili casuali, {X 1,..., X }, sarao idipedeti e co distribuzioe idetica a quella della popolazioe X. Si cosiderio ora due statistiche campioarie ossia due fuzioi delle osservazioi campioarie: L 1 = L 1 X 1,..., X L = L X 1,..., X tali che L 1 L per ogi possibile campioe. L itervallo defiito da queste due statistiche, [L 1 X 1,..., X ; L X 1,..., X ], viee chiamato itervallo casuale perché caratterizzato dal fatto che i suoi estremi soo variabili casuali, ossia prima di osservare il campioe c è icertezza sui valori che può assumere. L itervallo causale [L 1 X 1,..., X ; L X 1,..., X ] si dice itervallo di cofideza di livello 1 per u parametro θ se cotiee co probabilità 1 il parametro igoto θ. Ossia il parametro igoto, θ, ha probabilità 1 di essere coteuto ell itervallo. I simboli: P [L 1 X 1,..., X θ L X 1,..., X ] = 1 L itervallo umerico [l 1, l ] = [L 1 x 1,..., x ; L x 1,..., x ] è ua realizzazioe dell itervallo casuale [L 1, L ], otteuta i corrispodeza del campioe osservato, e viee quidi chiamato itervallo di cofideza stimato. Pertato, prima dell estrazioe del campioe, gli estremi dell itervallo soo variabili casuali e si può affermare che la probabilità che l itervallo casuale cotega il vero parametro θ è pari a 1. Ua volta estratto il campioe, gli estremi o soo più variabili casuali, ma loro stime, ossia valori umerici defiiti, quidi l itervallo è fissato e o ha più seso parlare di probabilità che θ sia coteuto ell itervallo stimato, i quato i maiera determiistica o è detro o è fuori l itervallo. Nel caso della proporzioe, la proporzioe campioaria che corrispode alla media campioaria, è u buo stimatore del parametro π. Tramite il teorema del limite cetrale 3, al crescere della dimesioe campioaria, la distribuzioe di X può essere approssimata co quella di ua Normale co media π e variaza π1 π. Di cosegueza, al crescere di, lo stimatore stadardizzato tede i distribuzioe d a ua ormale stadard: X π π1 π/ d N0, 1 Poiché X è uo stimatore cosistete di π, ache lo stimatore X1 X tederà alla quatità π1 π, otteedo così il seguete risultato approssimato: 1 = P z X π z 1 X1 X 3 Ua delle formulazioi più ote del teorema afferma che: sia X j ua dell variabili aleatori idipedeti e ideticamete distribuite, e siao EX j = µ e V arx j = σ j, co 0 < σ < + e posto Y = distribuzioe ormale stadard Y d Y N0, 1. j=1 X j µ σ allora Y covergerà i distribuzioe a ua

3 dove z idica l -simo percetile, ossia P Z z =. Isolado il parametro igoto π dalla formula precedete si ottiee: X 1 1 X X1 = P X + z π X X + z 1 Pertato l itervallo di cofideza per la proporzioe, π al livello 1 è dato da: [ ] X 1 X X1 X X + z ; X + z1 Soluzioe: =0.05 X =0.68 =50 z = z 0.05 = = z 1 = z = X 1 X = = = = 0.09 ICπ 95% =[ ; ] =[0.6; ] 3. Sottoporre a verifica il sistema di ipotesi H 0 : π = 0.65 H 1 : π > 0.65 attraverso u test co livello di sigificatività = Teoria: U test statistico è ua procedura statistica che permette di mettere a cofroto due ipotesi tra loro alterative, e di scegliere tra esse i base all evideza empirica, ossia i base al campioe osservato. Il primo passo ella costruzioe di u test statistico cosiste ella defiizioe di due possibili ipotesi, tra loro alterative, dove per ipotesi statistica si itete ua cogettura riguardate u parametro θ della popolazioe. Si distiguoo due ipotesi cotrapposte: l ipotesi ulla, idicata co H 0 l ipotesi alterativa, idicata co H 1 Per ipotesi ulla s itede l ipotesi preesistete all osservazioe dei dati campioari, ossia quella riteuta vera fio a prova cotraria. Solitamete è l ipotesi sulla quale ci soo dei dubbi e cotro la quale si cerca evideza empirica. Se si idica co Θ lo spazio parametrico ossia l isieme di tutti i possibili valori che può assumere θ, l ipotesi ulla e l ipotesi alterativa idividuao ua particolare partizioe di Θ, Θ = Θ 0 Θ 1, dove Θ 0 idica l isieme dei valori accettati dall ipotesi ulla e Θ 1 è l isieme dei valori accettati dall ipotesi I teoria degli isiemi ua partizioe di u isieme A è ua collezioi di sottoisiemi di A, tali che: 1 i sottoisiemi o soo vuoti; l uioe di tutti i sottoisiemi è l isieme di parteza A; 3 i sottoisiemi soo tra loro disgiuti, ossia o hao essu elemeto i comue. 3

4 alterativa. Le ipotesi posso essere semplici o composte. Semplici quado H 0 : θ = θ 0 cotro H 1 : θ = θ 1, ossia l ipotesi ulla e l alterativa soo u valore specifico, si dice che specifica completamete la popolazioe. Composte quado le ipotesi idicao u itervallo di valori. Esempi di ipotesi composte soo: { H 0 : θ = θ 0 { H 0 : θ θ 0 { H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ 0 H 1 : θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 Nei primi due casi l ipotesi composta idividua u uico itervallo di valori, i questo caso le ipotesi si dicoo uidirezioali, altrimeti, come ell ultimo caso, si idividuao due itervalli uo co i valori miori di θ 0 e uo co i valori maggiori di θ 0 e le ipotesi si dicoo bidirezioale. Il rifiuto o il o rifiuto 5 dell ipotesi ulla dipede dal campioe osservato, tramite ua regola che permette di discrimiare i campioi che portao al rifiuto dell ipotesi ulla da quelli che portao al o rifiuto. Tale regola è chiamata test statistico, o test d ipotesi. La logica sottostate u test statistico si basa sulla costruzioe di ua fuzioe del campioe casuale, chiamata statistica test, tale che: se l ipotesi ulla è vera, la probabilità di osservare u valore della statistica vicio a quello dell ipotesi ulla è molto alto; viceversa, se l ipotesi ulla è falsa, la probabilità di osservare u valore della statistica vicio quello idicato dall ipotesi ulla è bassa. I base alla viciaza dall ipotesi ulla si costruiscoo degli itervalli di valore. L isieme dei valori della statistica test che portao al o-rifiuto dell ipotesi ulla H 0 è chiamato regioe di accettazioe. L isieme dei valori della statistica test che portao al rifiuto dell ipotesi ulla H 0 è chiamato regioe di rifiuto. La defiizioe di tali regioi iduce u aaloga partizioe ello spazio campioario Θ. Il valore che defiisce ossia che separa le due regioi è chiamato valore critico. I particolare ei caso di sistema d ipotesi uilaterale si avrà u solo valore critico, metre el caso bilaterale si avrao due valori critici. Nell eseguire u test statistico si possoo distiguere due tipi di errori, che vegoo chiamati errore del primo tipo ed errore del secodo tipo: Si commette u errore del primo tipo quado si rifiuta l ipotesi ulla metre questa è vera. Si idica co la probabilità di commettere u errore del primo tipo, prede ache il ome di livello di sigificatività del test. Tale valore viee fissato dal ricercatore prima di effettuare il test ed esprime il rischio che si è disposti a commettere rifiutado l ipotesi ulla. Il suo complemeto a 1, 1, si chiama coefficiete di cofideza, ossia la probabilità di o rifiutare quado l ipotesi ulla è vera. Si commette u errore del secodo tipo quado o si rifiuta l ipotesi ulla metre questa è falsa. Si idica co β, la probabilità di commettere u errore del secodo tipo. Il suo complemeto a 1, 1 β, viee chiamato poteza del test, ossia la probabilità di rifiutare quado l ipotesi ulla è falsa. Stato di Natura Decisioe H 0 Vera H 0 Falsa No Rifiuto P H 0 H 0 = 1 P H 0 H 0 = β Rifiuto P H 0 H 0 = P H 0 H 0 = 1 β H 0 H 1 β Regioe di Accettazioe Regioe di Rifiuto Valore Critico Tra i due tipi di errore vi è u trade-off, ossia se si vuole dimiuire la probabilità di commettere u tipo di errore si deve ecessariamete aumetare la probabilità dell altro errore. Tradizioalmete, commettere u errore del primo tipo viee riteuto più grave che commettere u errore del secodo tipo. Per tale motivo si fissa a priori prima di eseguire il test u valore molto piccolo del livello di sigificatività, tale da garatire ua bassa probabilità di commettere u errore di primo tipo. Geeralmete i valori fissati per 5 Per costruzioe il test d ipotesi tede a favorire l ipotesi ulla, difatti si dice che l ipotesi ulla è privilegiata. Pertato o si dice accettare l ipotesi ulla ma solo che o si può rifiutare.

5 soo pari a 0.01 o 0.05 o 0.1. Pertato il valore di viee fissato prima di eseguire il test e rimae costate adado a defiire, isieme al sistema d ipotesi scelto, i valori critici che defiiscoo le regioi di rifiuto e di accettazioe. Difatti misura l area ossia la probabilità sotto la curva dell ipotesi ulla ossia la curva descritta dai parametri dell ipotesi ulla θ 0, i quato essi soo i veri parametri che porterebbero ad u errore del primo tipo che si trova ella regioe di rifiuto i quato per commettere errore del primo tipo bisoga rifiutare. Al cotrario β o viee fissato ed assume u valore diverso per ogi valore dell ipotesi alterativa. Esso misura l area la probabilità sotto la curva dell ipotesi alterativa la curva che usa i parametri dell ipotesi alterativa θ 1, che soo i veri parametri el caso di errore del secodo tipo che si trova ella regioe di accettazioe i quato per commettere l errore del secodo tipo bisoga o rifiutare. Quidi per ogi valore dell ipotesi alterativa si avrà ua diversa curva che adrà a defiire u diverso β, i particolare più i valori si allotaerao da quelli dell ipotesi ulla miore sarà β. Nel caso X sia ua variabile dicotomica ossia può assumere solo valori 1 o 0 che segue ua distribuzioe di Beroulli, X Beroulliπ, co parametro, 0 π 1, per verificare qualuque sistema di ipotesi sul parametro π, si può utilizzare la seguete statistica test: Z = X π 0 π 0 1 π 0 All aumetare di e sotto l ipotesi ulla, per il teorema del limite cetrale tale statistica tede a distribuirsi approssimativamete come ua Normale stadardizzata. A secoda dell ipotesi alterativa si hao le segueti regioi di rifiuto: Se H 1 : π > π 0 = Z z 1 Se H 1 : π < π 0 = Z z Se H 1 : π π 0 = z / Z z 1 / Dove z e z 1 soo i valori critici della regioe di rifiuto, rispettivamete, el caso dell ipotesi alterativa uidirezioale miore H 1 : θ θ 0 e maggiore H 1 : θ θ 0. Metre z e z 1 soo i valori critici della regioe di rifiuto ell ipotesi bidirezioale. Soluzioe: = 0.1, z = 1.81, = 50, X = 0.68, π0 = 0.65 Z = X π 0 π 0 1 π 0 = = = = 0.99 Data l ipotesi alterativa uidirezioale π > π 0 ed essedo Z = 0.99 < 1.81 = z o posso rifiutare l ipotesi ulla, difatti la statistica test ricade ella regioe di accettazioe.. Calcolare il p-value. Teoria: Il p-value è dato dalla probabilità di osservare u valore della statistica test uguale o più estremo del valore otteuto dal campioe, sotto l ipotesi ulla. Ossia se si osservassero altri campioi, la statistica test avrebbe valori diversi, il p-value esprime la probabilità che questi uovi valori siao uguali o più estremi di quello iiziale. Dove per estremo s itede più gradi el caso H 1 : θ θ 0, più piccoli el caso H 1 : θ θ 0, e sia più gradi che più piccoli el caso bilaterale H 1 : θ θ 0. Formalmete per u valore osservato della statistica test, T x 1,..., x = t, il p-value è defiito come Se H 1 : θ θ 0 il p-value = P T t Se H 1 : θ θ 0 il p-value = P T t Se H 1 : θ θ 0 il p-value = P T t + P T t Pertato il p-value o è ua quatità fissata come il livello di sigificatività, ma al cotrario è ua quatità che misura l evideza forita dai dati cotro l ipotesi ulla, miore è il valore del p-value, più forte è l evideza cotro H 0. Viee ache chiamato livello di sigificatività osservato i quato può essere 5

6 iterpretato come il più piccolo valore di per il quale il campioe porta a rifiutare H 0. I pratica, calcolado il p-value e scelto u livello di sigificatività, si giuge alla decisioe sul test d ipotesi el seguete metodo: Se il p-value = si rifiuta H 0 Il vataggio dell uso del p-value risiede ell immediatezza di u suo cofroto co i possibili valori di, i tal modo si è più cosapevoli del grado di evideza otteuta per il rifiuto dell ipotesi ulla. Soluzioe: Per il teorema del limite cetrale la statistica test Z si distribuisce come ua ormale. Per u valore osservato di z = 0.99 il p-value è p-value = P Z 0.99 = 1 P Z < 0.99 = 1 Φ0.99 = = 0.16 dove Φ idica la fuzioe di probabilità cumulata di ua Normale stadard. Esercizio 5 - Prova scritta del Esercizio 5. Di seguito soo riportati i chilometri percorsi i u giro da u campioe di taxi operati i ua grade città Assumedo che la popolazioe geeratrice sia ua ormale, è stato determiato l itervallo di cofideza per la media µ pari a [116, 55; 1, 70] Si determii il livello di cofideza 1 su cui è basato l itervallo. Suggerimeto: si imposti il calcolo partedo dall ampiezza dell itervallo di cofideza. Teoria: La lughezza dell itervallo di cofideza è data dalla differeza tra i due estremi dell itervallo, L X 1,..., X L 1 X 1,..., X. Nel caso di ua distribuzioe Normale si ha che la la semi-lughezza dell itervallo, δ, è data da δ = L X 1,..., X L 1 X 1,..., X = X + z 1 σ X + z σ = z 1 σ σ = z 1 I quato z 1 = z dato che la distribuzioe Normale è simmetrica. Si può otare come la lughezza dell itervallo è positivamete proporzioale alla variaza della popolazioe, σ, al livello di cofideza, 1, e iversamete proporzioale alla umerosità campioaria,. Quidi al crescere della variaza e/o del livello di cofideza la lughezza dell itervallo aumeterà. Ivece aumetado la umerosità campioaria la lughezza dimiuirà. Dalla formula precedete si possoo otteere le formule iverse: = z 1 σ = δ z 1 σ δ = = z 1 z 1 = δ σ = = 1 Φz 1 = Φ z 1 = Φz σ δ 6

7 Nel caso si voglia cooscere la umerosità campioaria e il umero otteuto o è u umero itero si prederà come dimesioe campioaria il primo umero itero superiore a tale valore. Nel caso la variaza sia icogita, essa viee sostituita da ua sua stima forita dalla variaza campioaria corretta S S = 1 X i 1 X i=1 che modifica la distribuzioe della media campioaria stadardizzata, ifatti da ua distribuzioe Normale si passa ad ua distribuzioe t-studet: T = X µ S t-studet 1 Dove 1 idicao i gradi di libertà della distribuzioe. Pertato la semi-lughezza sarà data da δ = t S Dato che ache la distribuzioe t-studet è simmetrica e quidi t = t 1. Soluzioe: Semi-lughezza: δ = l l = = 8.15 = Dove l 1 e l soo le stime degli estremi dell itervallo. Gradi di libertà: 1 = 16 1 = X = 16 = Table 1: Tabella per la costruzioe della variaza campioaria X i X i X i=1 X i X =

8 Variaza campioaria: S = 1 1 i=1 X i X = Deviazioe Stadard campioaria: S = S = = Percetile t-studet: t 1 = δ S = = = Pobabilità associata al percetile: 1 = P t t 1 = = P t t 1 = P t = 0.05 Livello di cofideza: 1 = = = Forire l iterpretazioe della stima itervallare. Soluzioe L itervallo di cofideza è u itervallo di stime plausibili al quale si associa u livello di affidabilità. Prima dell estrazioe del campioe, gli estremi dell itervallo soo variabili casuali e si può affermare che la probabilità che l itervallo casuale cotega il vero parametro θ è pari a 1. Ua volta estratto il campioe, gli estremi o soo più variabili casuali, ma loro stime, ossia valori umerici defiiti, quidi l itervallo è fissato e o ha più seso parlare della probabilità che θ sia coteuto ell itervallo stimato, i quato i maiera determiistica o è detro o è fuori l itervallo. Ioltre, la semi-lughezza dell itervallo costituisce ua misura iversa della precisioe della stima; ifatti quato miore è la semilughezza, tato maggiore è la precisioe della stima itervallare. 3. Verificare l ipotesi ulla H 0 : µ = 11 sulla base dell itervallo di cofideza forito, descrivedo l ipotesi alterativa ed il livello di sigificatività corrispodeti. Teoria: Tra itervalli e test d ipotesi vi è u legame che permette di costruire u test statistico a partire da itervalli di cofideza appropriati. Tale legame esiste però solo el caso di sistemi d ipotesi co ipotesi alterativa bidirezioale, H 1 : θ θ 0. Difatti, fissato u livello di sigificatività i valori critici che delimitao le regioi di rifiuto sarao, z, quidi, data la statistica test per la media della popolazioe media campioaria, per o rifiutare e z 1 H 0 bisoga verificare la seguete codizioe: Ossia che µ 0 sia compreso el seguete itervallo X + z z X µ 0 σ/ z 1 σ µ 0 X + z 1 Nel caso σ sia icogita, bisogerà sostituirla ella formula co la variaza campioaria, S, che porta però ad ua trasformazioe della distribuzioe della statistica test, da Normale a t-studet, co la cosegueza che i valori critici devoo essere presi dalla distribuzioe t-studet. Soluzioe: L itervallo di cofideza forito rifiuta l ipotesi ulla H 0 : µ = 11 cotro l ipotesi alterativa bidirezioale H 1 : µ 11 ad u livello di sigificatività = 0.1. Difatti µ 0 = 11 [116.55; 1.70], o ricade ella regioe di accettazioe.. Si costruisca l itervallo di cofideza al 99% per la variaza della popolazioe. Teoria: Nel caso di ua popolazioe Normale co media µ e variaza σ ambedue scoosciute si cosidera la variaza campioaria S come stimatore della variaza della popolazioe. Sapedo che 1S /σ si σ 8

9 distribuisce secodo ua variabile Chi-quadrato 6 co 1 gradi di libertà, l itervallo di cofideza deve soddisfare: P X 1, 1 X X, 1 = 1 dove X, 1 è il complemetare ad uo del percetile, ossia P χ X, 1 =. Pertato 1 = P X1 1S, 1 1 = P 1S IC 1 σ = σ X, 1 σ Pertato l itervallo di cofideza per la variaza al livello 1 è [ 1S X, 1 ; X, 1 1S X 1, 1 1S X 1, 1 ] Soluzioe: S = Gradi di libertà: 1 = 16 1 = 15 = 0.01 X 1, 1 = X 0.995,15 =.6 X, 1 = X 0.005,15 = 3.80 [ IC 0.9 σ 1S = ; X 1 ] [ 1S X = ; 3.80 ] = [71.93; ] 6 La variabile casuale χ, idicata co X χ g è ua distribuzioe asimmetrica, cotiua che può assumere valori ell itervallo [0;. Il parametro g gradi di libertà è u itero positivo, all aumetare di g la forma della distribuzioe cambia: per valori piccoli la distribuzioe è cocetrata soprattutto su valori piccoli di X, all aumetare di g la distribuzioe tede a sistedersi su tutti i valori positivi di X; ioltre all aumetare di g la distribuzioe tede ad ua Normale. La sua fuzioe di desità è: fx = 1 g Γ x g 1 e x g dove Γ = g + 0 e x x g 1 dx La media e la variaza soo date da: EX = g e V arx = g. La distribuzioe Chi-quadro òtteuta com fuzioe di g variabili casuali idipedeti Normali stadardizzate al quadrato. I particolare siao Z 1,..., Z gi.i.d. N0; 1 allora X = Z Z g χ g. 9

10 3 Esercizio 3 - Prova scritta del Esercizio 3. Si cosideri ua popolazioe qualsiasi co media µ e variaza σ. Siao T 1 = X 1 + X + X 3 + X due stimatori di µ per campioi di ampiezza =. T = 3X 1 + X + X 3 + X 1. Verificare se gli stimatori soo o distorti. Teoria: Lo stimatore, essedo ua variabile casuale, ha ua sua distribuzioe campioaria la cui coosceza permette di capire la qualità di uo stimatore, ossia le sue proprietà. Ua proprietà è la correttezza. T è uo stimatore corretto di θ se il suo valore atteso è uguale al vero valore del parametro, ossia se ET = θ, per tutti i possibili valori di θ. Se ET è diverso da θ, allora T si dirà distorto. La distorsioe di uo stimatore T è uguale a: BT = ET θ. Ituitivamete la correttezza implica che lo stimatore o ha deviazioi sistematiche rispetto al parametro θ, ossia mediamete é sovrastima é sottostima il parametro. Soluzioe: ET 1 = E X 1 + X + X 3 + X = µ 3X 1 + X + X 3 + X ET = E = 5 µ = EX 1 + EX + EX 3 + EX = µ = 3EX 1 + EX + EX 3 + EX = 10µ Il primo stimatore è uo stimatore o distorto della media, metre il secodo sovrastima i media µ e pertato è distorto.. Determiare l errore quadratico medio dei due stimatori. Teoria: Essedo lo stimatore T ua variabile casuale, esso è caratterizzato ache da ua variaza, che idica la sua variabilità. U ulteriore proprietà da richiedere allo stimatore è che assuma valori prossimi a θ, ossia rimaga vicio al vero valore. Come misura sitetica di prossimità di T a θ, possiamo usare il valore atteso di T θ. Questa quatità viee chiamata errore quadratico medio 7 dello stimatore T, ed è calcolata come segue: MSET = E[T θ ] L errore quadratico medio di uo stimatore può ache essere espresso come somma della variaza dello stimatore e il quadrato della distorsioe: MSET = V art + BT U ulteriore proprietà è la cosisteza i media quadratica. Uo stimatore è cosistete se il suo errore quadratico medio tede a zero al tedere a più ifiito della umerosità campioaria: lim MSET = 0 + Ivece uo stimatore è asitoticamete corretto se il suo valore atteso tede al vero parametro al tedere a più ifiito della umerosità campioaria: lim ET = θ + 7 I iglese Mea Squared Error. 10

11 Soluzioe: V art 1 = V ar X 1 + X + X 3 + X = V arx 1 + X + X 3 + X = σ = σ V art = V ar 3X 1 + X + X 3 + X = 9σ + 16σ + σ + σ 16 = 30σ 16 = 15 8 σ BT 1 =ET 1 µ = 0 BT =ET µ = 5 µ µ = 3 µ MSET 1 = σ MSET = 9 µ σ 3. Stabilire quale dei due stimatori è più efficiete. Teoria: L M SET è ua misura sitetica della prossimità di uo stimatore T al parametro igoto θ. E ituitivo che quado è elevata la probabilità che T assuma valori vicii a θ, tato più piccolo sarà il valore di MSET. Dati due stimatori T 1 e T del parametro θ, diremo che T 1 è più efficiete di T se e solo se MSET 1 MSET per tutti i valori di θ. Si evice che, secodo il criterio dell errore quadratico medio, uo stimatore distorto potrebbe essere preferito a uo corretto el caso i cui quest ultimo possedesse ua variabilità così elevata rispetto al primo da redere trascurabile l effetto dovuto alla sua distorsioe Soluzioe: Essedo l errore quadratico miore per il primo stimatore, questo è più efficiete del secodo. Difatti il suo valore atteso è cetrato sul parametro al cotrario del secodo, e possiede ache ua variaza miore.. Dato il campioe osservato x = 3,, 6, 8, determiare la stima putuale per µ impiegado lo stimatore più efficiete. Soluzioe: T 1 x = = 19 =.75 11

12 Esercizio 1 - Prova scritta del Esercizio 1. Si cosideri ua popolazioe qualsiasi co media µ e variaza σ. Siao T 1 = X 1 + X + X 3 + X due stimatori di µ per campioi di ampiezza =. T = X X + 3X X 1 1. Verificare se gli stimatori soo o distorti. Teoria: Il valore atteso di ua costate, c R, è uguale alla costate, Ec = c, metre la sua variaza è pari a zero, V arc = 0. Soluzioe: X 1 + X + X 3 + X ET 1 = E = µ ET = E = 7 µ 1 X X + 3X X 1 = EX 1 + EX + EX 3 + EX = µ = EX EX + 3EX EX 1 = µ + 5 µ + 3µ + 1 µ 1 T 1 è uo stimatore o distorto del parametro µ metre T è uo stimatore distorto.. Determiare l errore quadratico medio dei due stimatori. Teoria: L errore quadratico medio è dato da E[T θ ] = BT +V art, dove BT misura la distorsioe dello stimatore BT = ET θ. Soluzioe: V art 1 = V ar = σ V art = V ar = σ X 1 + X + X 3 + X X X + 3X X 1 = V arx 1 + X + X 3 + X = σ = 16σ + 100σ + 1σ + σ 16 BT 1 = ET 1 µ = 0 BT = ET µ = 7 µ 1 µ = 3 µ 1 MSET 1 = σ 3 MSET = µ σ = µ µ σ 3. Si assuma che il campioe X = X 1, X, X 3, X sia u campioe casuale i.i.d da ua popolazioe ormale Nµ, σ. Si specifichi la distribuzioe campioaria dei due stimatori. Teoria: La somma di variabili aleatorie co distribuzioe ormale è ua variabile aleatoria co distribuzioe 1

13 ormale. Assumedo che X 1,..., X i.i.d. 8 Nµ, σ e defiedo Y = X 1 + +X allora Y Nµ, σ. Ua variabile aleatoria Y otteuta co ua trasformazioe lieare di ua variabile aleatoria X co distribuzioe Nµ, σ : Y = a + bx è acora ua variabile ormale, co valore atteso e variaza opportuamete trasformate: Y Na + bµ, b σ. Date queste proprietà e sia X u campioe i.i.d. di ua popolazioe X, distribuita secodo ua Normale Nµ, σ, e T X u suo stimatore lieare, allora T X si distribuisce acora come ua Normale, T X NET, V art. Soluzioe: T 1 N T N µ, σ µ, 16 σ. Dato il campioe osservato x = 5, 0,, 7, determiare le stime putuali per µ impiegado etrambi gli stimatori. Soluzioe: T 1 x = = 16 = T x = = = 71 = Esercizio - Prova scritta del Esercizio. Si cosideri la distribuzioe doppia dell Esercizio 1. Felicità matrimoiale Reddito Bassa Media Alta Basso Media Alta Formulare ipotesi ulla e ipotesi alterativa el caso i cui si voglia testare la dipedeza tra i due caratteri. Soluzioe: Sapedo che la probabilità p ij di osservare cogiutamete la modalità i-esima della prima variabile e j-esima della secoda è data da p ij = p i p j solo el caso di idipedeza, l ipotesi di idipedeza sarà data da: 8 Ideticamete e idipedetemete distribuiti. 13

14 H 0 : p ij = p i p j H 1 : p ij p i p j La statistica test è X = H K ij ij H K = i=1 j=1 ij i=1 j=1 ij i..j 1 Questa statistica si distribuisce asitoticamete come u Chi-quadrato co K 1H 1 gradi di libertà.. Calcolare l idice Chi-quadrato di dipedeza. Soluzioe: Table : Frequeze assolute al quadrato ij Felicità matrimoiale Reddito Bassa Media Alta Basso Media Alta Table 3: Frequeze ij i..j Felicità matrimoiale Reddito Bassa Media Alta Basso = = = 0.00 Media = = = 0.00 Alta = = = χ = H K i=1 j=1 ij i..j 1 = = = La dipedeza tra i due caratteri può essere riteuta statisticamete sigificativa? Eseguire l opportuo test al livello = Soluzioe: La regioe di rifiuto è data da X X,H 1K 1, dove X,H 1K 1 idica il valore Chiquadrato co K 1H 1 gradi di libertà per il quale P X X =. Gradi di libertà: H 1K 1 = = Valore critico: χ 0.95, = 9.87 Satistica test: χ = La statistica test è più grade del valore critico, χ χ 0.95,, quidi ricade ella regioe di rifiuto e pertato si rifiuta l ipotesi ulla di idipedeza tra le due variabili. 1

15 . Se possibile, forire u esempio di tabella di cotigeza per le variabili osservate che corrispoda al caso di dipedeza perfetta di uo dei due caratteri dall altro ma o viceversa. Soluzioe: Table : Dipedeza perfetta della felicità matrimoiale Felicità matrimoiale Reddito Bassa Media Alta Basso Medio Alto Esercizio - Prova scritta del Esercizio. Si vuole stimare l altezza media delle studetesse del corso di Statistica. E ragioevole assumere che l altezza segua ua distribuzioe ormale Nµ, σ co variaza ota σ = 30. Da u campioe di = 0 studetesse si rilevao i segueti valori Proporre uo stimatore per il parametro d iteresse µ giustificadoe la scelta. Soluzioe: Lo stimatore per il parametro d iteresse dovrebbe essere la media campioaria i quato possiede tutte le proprietà desiderabili da uo stimatore. Difatti esso è o distorto ed è cosistete. E X i=1 = E X i i=1 = EX i = EX EX = µ + + µ = µ = µ V X i=1 = V X i i=1 = V X i = V X V X = σ + + σ = σ = σ lim MSE X = lim V X σ = lim = Calcolare la stima putuale di µ basata sullo stimatore scelto. Soluzioe: x = = = Calcolare l itervallo di cofideza al 95% per µ. Soluzioe: IC 0.95 µ = [ x z 1 σ ; x+z 1 = 0.05 z 1 = z = 1.959; σ = σ = 30 = 5.77; = 0 =.7 ] [ σ = ] [ ] 5.77 ; = ;

16 . Utilizzare l itervallo di cofideza otteuto al puto precedete per verificare l ipotesi ulla H 0 : µ = 17 cotro l ipotesi alterativa H 1 : µ 17 al livello di sigificatività = Soluzioe: Essedo il test d ipotesi u test bidirezioale, si può far combaciare la regioe di accettazioe co l itervallo di cofideza. Essedo l ipotesi ulla al di fuori della regioe di accettazioe, µ 0 IC 0.95 µ, vuol dire che l ipotesi ulla è al di fuori dei valori plausibili e quidi si rifiuta l ipotesi ulla. 7 Schema riassutivo Table 5: Schema riassutivo stima θ parametro T X 1,..., X stimatore IC 1 θ itervallo di cofideza Distribuzioe stimatore π proporzioe X media campioaria X ± z 1 X1 X d N π, π1 π µ media X media campioaria X ± z 1 σ X µ σ/ N0, 1 X ± t, 1 S X µ S/ t-studet 1 σ variaza S variaza campioaria corretta [ 1S ; χ, 1 1S χ 1, 1 ] 1S σ χ 1 Nota: z è l -esimo percetile della ormale stadard, P Z z = t, 1 è il complemetare ad 1 del -esimo percetile di ua distribuzioe t-studed co 1 gradi di libertà, P T t = χ, 1 è il complemetare ad 1 del -esimo percetile di ua distribuzioe χ co 1 gradi di libertà, P χ χ = 16

17 Table 6: Schema riassutivo test ipotesi θ parametro T X 1,..., X statistica test Regioe di rifiuto H 1 : θ θ 0 Regioe di rifiuto H 1 : θ θ 0 Regioe di rifiuto H 1 : θ θ 0 π Z = X π 0 π 0 1 π 0 Z z 1 Z z Z z Z z 1 µ Z = X µ 0 σ Z z 1 Z z Z z Z z 1 T = X µ 0 S T t 1, 1 T t, 1 T t, 1 T t 1, 1 σ χ = 1S σ 0 χ χ, 1 χ χ 1, 1 χ χ 1, 1 χ χ, 1 Idipedeza H 0 : p ij = p i p j χ = H K i=1 j=1 ij i j 1 H 1 : p ij p i p j χ χ,h 1K 1 Nota: z è l -esimo percetile della ormale stadard, P Z z = t, 1 è il complemetare ad 1 del -esimo percetile di ua distribuzioe t-studed co 1 gradi di libertà, P T t = χ, 1 è il complemetare ad 1 del -esimo percetile di ua distribuzioe χ co 1 gradi di libertà, P χ χ = 17