Statistica. variabili aleatorie indipendenti e tali che F X1

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1 Statistica µ Defiizioi: Ø X variabili aleatorie idipedeti e tali che F X = = F X si dicoo capioe co µ e icogiti Per deteriare i paraetri icogiti si fa ifereza statistica capioi e ϑ paraetro icogito: Ua statistica è ua fuzioe del capioe S = S( X ) Uo stiatore di ϑ è ua statistica utile per stiare ϑ µ Media Capioaria: Ø È uo stiatore o distorto di µ à X = X k capioe co edia µ, variaza = µ E X Se X à X ~ µ, Se à X N µ, Ø X ~ N µ, µ Variaza capioaria: Ø È uo stiatore o distorto di à S = ( X k X ) Ø La variaza capioaria si può calcolare ache così: S = Ø E S = Ø Teorea: Sia X capioe: X,S soo idipedeti X µ ( ) ~ χ ~ N ( 0,) k = µ Teoria della stia: capioe co ϑ paraetro icogito Η = Η X k = X i X stiatore di ϑ Η è uo stiatore corretto (o distorto) se [ ] = ϑ E Η

2 Nota d aiuto per esai: Se abbiao X va co E[ X] = µ, Var( X) = Possiao deteriare E X co la forula iversa della variaza, ossia E X = Var( X) + E[ X] = + µ := E[ Η ] ϑ 0 co diciao che Η è asitoticaete corretto = 0 à corretto Defiiao distorsioe = Bias Η Se Bias Η Se Bias Η 0 Ø Η è cosistete se ε > 0 à P Η ϑ > ε Ø Errore quadratico edio (Mea Square Error): MSE Η MSE( Η) = Var( H ) + Bias( H ) Ø Η è cosistete i edia quadratica se MSE Η Ø Η è corretto se e soltato se E Η Ø Cofroto tra stiatori: [ ] = ϑ = E ( Η ϑ ) 0 co MSE( H ) < MSE( H ) MSE H < i questo caso è preferibile adottare H coe MSE H stiatore, el caso cotrario H µ Metodo della assia verosiigliaza: Ø Strategia: lo stiatore di assia verosoigliaza ϑ è defiito coe il valore di ϑ che rede assia f ( x,, x ϑ ), che è la fuzioe di assa o desità cogiuta, quado i valori osservati soo x,, x Nel calcolare il valore di ϑ che assiizza f è eglio utilizzare il log f ( x,, x ϑ ), sapedo che etrabe le fuzioi assuoo il assio i corrispodeza dello stesso valore di ϑ Quidi: si scrive log f ( x,, x ϑ ), si fa la derivata di tale fuzioe ed ifie si prede il valore di ϑ i cui abbiao il assio Ø Ricorda che f x,, x = f Xi ( x i ) Metre usado i logariti e le sue proprietà log f ( x,, x ) seplice da derivare µ Metodo dei oeti: ~ f x,ϑ Ø Defiiao: h := E X h oeto h - esio, siccoe soo tutte variabili aleatorie idipedeti = log f Xi x i che è più h := h X i oeto capioario h - esio Soo tutti terii oti h

3 Ø Strategia: facciao u sistea eguagliado i oeti h - esii ai oeti capioari h - esii La soluzioe del sistea sarà ϑ = ϑ E[ X ] = ( ϑ ) = = E X = ϑ = = E X k = k ϑ µ Teorea stiatori: = k = Ø Ipotesi: Sia X ~ f x ϑ X i X i X k i co ϑ icogito ϑ = MLE ( ϑ ) ossia ϑ è uo stiatore di assia verosiigliaza di ϑ (MLE = Maxiu Likelyhood Estiator) Ø Tesi: Bias ϑ MSE ϑ 0 co + 0 (Errore quadratico edio) 3 ϑ N ϑ, E ϑ log f ( x ϑ ) co 4 Se ϑ * è uo stiatore di ϑ che soddisfa 3 MSE ϑ * Ø Corollario: Sia τ = h ϑ co h :, τ = h ϑ =τ τ N ( h' ϑ ) ( h ϑ ), E ϑ log f ( x ϑ ) = MSE τ MSE ϑ µ Itervalli di cofideza: Ø Molte volte è utile sapere quato la ostra stia sia esatta, per far ciò si utilizzao gli itervalli di cofideza Ipotesi ϑ Itervallo bilaterale Itervallo siistro Itervallo destro ota µ o ota µ X ± z X ± t, S, X + z, X + t, S X z, X t S,, 3

4 µ o ota ( )S ( )S, χ χ,, ( )S ( )S 0,, χ, χ, µ Stie per la differeza tra le edie di due popolazioi orali:,, X N e Y,Y,,Y due capioi estratti da popolazioi orali differeti co Ø µ, i paraetri della pria e µ, i paraetri della secoda X := X e Y := Y j soo gli stiatori di assia verosoigliaza dei µ,µ j = rispettivaete Ø S := ( X i X) e S := ( Y j Y ) soo gli stiatori di, rispettivaete Ø Defiiao N := + e S p := capioaria pooled j = ( )S + ( )S N Ø Co, ote: l itervallo bilaterale è X Y ± z, X Y + z + + che viee defiita variaza etre l itervallo siistro è Ø Co, NON ote MA uguali: l itervallo bilaterale è X Y ± t,n S p + etre l itervallo siistro è, X Y + t,n S p + µ Itervalli di cofideza approssiati per la edia di ua distribuzioe di Beroulli: Ø Poiao p := X stiatore del paraetro di Beroulli p co X = uero di valori el capioe beroulliao p ( p ), quello siistro Ø L itervallo di cofideza bilaterale è p ± z, p p p + z, quello destro è p p p z, µ Verifica delle ipotesi: Ø U ipotesi statistica è oralete u afferazioe su uo o più paraetri della distribuzioe di popolazioe Ø Facedo u test (o verifica) di ua data ipotesi H 0 (che solitaete viee chiaata ipotesi ulla) possiao icorrere a due tipi di errore: Errore di pria specie: quado rifiutiao u ipotesti H 0 che i realtà è corretta 4

5 Errore di secoda specie: quado accettiao H 0 quado i realtà è falsa Ø Verifica di u ipotesi sulla edia di ua popolazioe orale: Co variaza ota: Vogliao verificare l ipotesi ulla H 0 : µ = µ 0 Siccoe X := X i è lo stiatore putuale aturale per µ, sebra ragioevole accettare H 0 quado X o è troppo lotao da µ 0 = P( errore di I specie) = P µ0 > c è la probabilità di coettere u errore di pria specie, ossia rifiutiao l ipotesi ( µ = µ 0 ) etre i realtà è vera Co opportui passaggi otteiao che si rifiuta H 0 se > z, si accetta H 0 se z Spesso o si fissa i aticipo il livello di sigificatività, a si osservao i dati e si ricava il p- dei- dati (p- value) corrispodete che fa da spartiacque tra l accettare e il rifiutare Per pria cosa si calcola v = = P z > v P Z > v, poi il valore otteuto lo scriviao + P( z < v) = Φ( v) + Φ( v) = Φ( v) Se esso risulta olto aggiore di quato siao disposti ad accettare coe probabilità di u errore di pria specie, accettiao l ipotesi; se ivece la probabilità è olto piccola possiao rifiutare il dato seza aver paura di aver coesso u errore di pria specie Ora discutiao la possibilità degli errori di secoda specie itroducedo ua uova fuzioe β chiaata curva OC (curva operativa caratteristica, operatig characteristic curve) che rappreseta apputo la probabilità di accettare H 0 quado la edia reale è µ : = P µ µ 0 µ β µ z Z µ µ 0 + z = Φ µ µ 0 + z Φ µ µ 0 z Suppoiao di cercare il valore di co il quale la probabilità di accettare H 0 : µ = µ 0 quado il valore è µ, sia approssiativaete pari ad u valore β fissato, la forula è: + z β µ µ 0 z 5