PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2009/10

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1 PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 9/1 Prova scritta del 13/1/1 Esercizio 1 Ua Ditta commerciale guadaga ogi ao ua somma X, ove si puo assumere che X N(µ, σ ). Ogi ao la Ditta paga ua tassa fissa S di stoccaggio, quado X < µ, metre S = altrimeti. Detta Y la variabile aleatoria X S, si provi che Y o puo assumere valori compresi fra µ S e µ; si descriva poi la distribuzioe di Y, e se e calcoli il valor medio. Esercizio Si immagii di laciare ifiite volte ua moetia, sempre i codizioi di idipedeza; per ogi deotiamo co C la variabile aleatoria che forisce la differeza tra il umero di teste e il umero di croci uscite ei primi laci. Si calcolio media e variaza di ciascua C e, utilizzado il Teorema del Limite Cetrale, si trovi, el caso p = 1, il limite i Distribuzioe delle variabili aleatorie C. Co riferimeto all esercizio 1, si suppoga che σ = e che si voglia stimare µ sulla base di 1 osservazioi I.I.D. della X, x 1,..., x 1 : qual é l ampiezza dell itervallo di cofideza per µ al livello di sigificativita del 5%? Quate dovrebbero essere le osservazioi, se si vuole che l ampiezza dell itervallo si riduca di u terzo? (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: Φ(1.6).94 Φ(1.645).95 Φ(1.8).96 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 13/1/1 Esercizio 1 Deotiamo co S la variabile aleatoria che deota la spesa per lo stoccaggio: S assume il valore costate positivo S quado X < µ, e vale altrimeti. Essedo Y = X S, il calcolo di E(Y ) puo essere svolto come segue: E(Y ) = E(X S ) = E(X) E(S ) = µ SP ([X < µ]) = µ S. Fissato ora t < µ S, si ha chiaramete Y = t se e solo se X = t + S. Duque, per y < µ S si ha F Y (y) = F X (y + S). D altra parte, se X > µ si ha Y = X > µ, per 1

2 cui possiamo dedurre che 1 F X (y) = 1 F Y (y) (e quidi F X (y) = F Y (y)) quado y > µ. Se poi µ S < t < µ, o é possibile che sia Y = t: ifatti, o puo essere é Y = t = X é Y = t = X S. I coclusioe, si ha Pertato, la desita f Y Esercizio F X (y), y µ F Y (y) = F X (y + S), y < µ S F X (µ), µ S y µ. segue la legge: f Y (y) = 1 e (y µ) σ πσ, y > µ, µ S < y < µ 1 e (y+s µ) σ πσ, y < µ S. Deotata co B la variabile aleatoria che descrive il umero di teste uscite i laci, risulta B B(, p), e C = B ( B ) = B. Si ha duque facilmete (poedo q = 1 p): E(C ) = E(B ) = p = (p q), V (C ) = V (B ) = 4V (B ) = 4pq. Nel caso p = 1, chiaramete si ha E(C ) =, V (C ) =, duque C = C. Teedo presete che C é, per ogi, la somma di variabili aleatorie I.I.D. (aveti tutte la stessa distribuzioe di B 1 1), il Teorema del Limite Cetrale ci assicura che le variabili aleatorie C covergoo i Distribuzioe alla N(, 1). Detta x la media aritmetica dei dati x 1,..., x 1, l itervallo di cofideza cercato per µ sara [x δ, x + δ], ove δ = σ z.5, ossia δ = L ampiezza dell itervallo é duque circa 1.6. Se si vuole ridurre di u terzo tale ampiezza, basta moltiplicare per 9 4 osservazioi, per cui il campioe dovra essere costituito da 7 dati. il umero di Prova scritta del 1//1

3 Esercizio 1 U apparecchio Autovelox scatta ogi gioro N fotografie, co N P (λ). Per ciascua foto, la probabilita che essa permetta di rilevare u ifrazioe é p. Detta X la variabile che idica quate ifrazioi vegoo rilevate i tal modo ogi gioro, si determii la distribuzioe di X, valutadoe ioltre valor medio e variaza. Esercizio poga Sia (X ) ua successioe I.I.D., co X U(a, b). Per ogi itero > si Z := max{x 1,..., X }. Si trovio, per ogi itero >, la desita, il valor medio e la variaza di Z ; si studi ifie la covergeza della successioe (Z ). Si vuole trasmettere, i via del tutto cofideziale, u umero reale a, compreso fra e 6, che ha ua otevole importaza strategica. Per evitare che tale iformazioe vega itercettata, viee creata ua sequeza I.I.D. di valori X, distribuiti uiformemete i [, 1], e vegoo trasmessi i dati Y = ax, = 1,,...1. Chi riceve la sequeza (Y ) deve ricavare la quatita icogita a, co u itervallo di cofideza al livello del 5%. Quale itervallo si trovera? E quati dati dovrebbero essere trasmessi, se si vuole che l ampiezza dell itervallo si riduca dell 8%? (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: Φ(1.6).94 Φ(1.645).95 Φ(1.8).96 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 1//1 Esercizio 1 Supposto che i u dato gioro la macchia abbia scattato k fotografie, il umero di ifrazioi riscotrate ha distribuzioe B(k, p), e quidi si puo dedurre che, per ogi itero j: P ([X = j]) = =j P ([X = j] [Z = ])P ([Z = ]) = =j ( )p j (1 p) j λ e λ. j! Semplificado, si ottiee P ([X = j]) = pj λ j j! e λ m= λ m (1 p) m m! = (pλ)j e pλ. j! Duque, X P (pλ), e quidi E(X) = V (X) = pλ per risultati be oti. 3

4 Esercizio Si fissi u umero reale t. Per ogi itero > si ha F Z (t) = P ( i=1[x i t]) = (F X1 (t)), i virtu dell idipedeza. Ora, essedo, t a t a F X1 (t) = b a, a t b 1, t b é facile dedurre la desita f Z : f Z (t) = { (t a) 1 (b a), t [a, b], t / [a, b]. Il valor medio di Z si puo ricavare come segue: E(Z ) = a+e(z a) = a+ (b a) Per quato riguarda la variaza, si ha b a (t a) dt = a+ (b a) V (Z ) = V (Z a) = E((Z a) ) ( + 1 (b a)) = = + (b a) ( + 1) (b a) = (b a) b a b a ( + 1) ( + ) (b a). s ds = a+ + 1 (b a). s +1 ds ( + 1 (b a)) = Da qui si deduce facilmete che la successioe (Z ) coverge q.c. e i L alla costate b. D altra parte, la covergeza quasi certa si poteva immediatamete dedurre i quato la successioe (Z ) é mootoa, e superiormete limitata da b. Chiaramete, la variabile aleatoria Y = ax ha distribuzioe U(, a), co a icogita, ma positiva e miore di 6. Essedo E(Y ) = a, bastera trovare l itervallo di cofideza per E(Y ) e raddoppiare poi l ampiezza. Si ha ioltre V (Y ) = a < Dato il campioe Y 1,..., Y 1, si deoti co Y la quatita 1 1 i=1 Y i. L itervallo per E(Y ) sara duque del tipo [Y δ, Y + δ], ove al solito δ = z α/ σ. Ora, essedo σ = a < 3, ed α/ =.5, risulta δ < L itervallo 3 di cofideza per a é allora [Y.68, Y +.68]. Se poi si vuole che l ampiezza dell itervallo si riduca ad u quito, bisogera moltiplicare per 5 il umero di dati trasmessi, ossia occorroo 5 dati. 4

5 Esercizio 1 Prova scritta del 8/9/1 Soo date due variabili aleatorie idipedeti, X 1 e X, etrambe di tipo espoeziale: la prima ha media 1, la secoda ha media 5. Si trovi la desita della somma X 1 + X. Esercizio Siao X e Y due variabili aleatorie discrete, X NB(1, p 1 ), Y NB(1, p ), idipedeti. Si calcoli la probabilita che risulti X Y. Suppoedo p 1 = 1, si trovi p i modo tale che la probabilita precedete sia uguale a 1 1. Da u idagie codotta su = 9 studeti diplomati co maturita scietifica, risulta che uo studete su 5 ha coseguito la laurea trieale ei 5 ai successivi. a) Costruire u itervallo di cofideza al 99% per la proporzioe p degli studeti che hao coseguito la laurea. b) Quale dev essere il valore miimo di affiché, co gli stessi dati, l itervallo di cofideza abbia meta ampiezza? (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: Φ(1.6).94 Φ(1.645).95 Φ(1.8).96 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito 8/9/1 Esercizio 1 Dette f 1 e f le desita di X 1 e X rispettivamete, si ha, per x > : f 1 (x) = 1 1 e x 1, f (x) = 1 5 e x 5. Usado la formula di covoluzioe, troviamo poi (per u > ): f X1 +X (u) = u f 1 (u x)f (x)dx = 1 5 u e u x 1 e x 5 dx = = e u 1 5 u e 1 1 x dx = e u (1 e 1 u ) = 1 u 5 (e 1 e u 5 ). 5

6 Esercizio Sappiamo che, per k itero maggiore di, risulta P ([X = k]) = p 1 (1 p 1 ) k 1, P ([Y = k]) = p (1 p ) k 1. Si ha poi P [X Y ]) = P ([X k ] [Y = k])p ([Y = k]) = k=1 k=1 P ([X k ])P ([Y = k]), a causa dell idipedeza. Ora, se k = 1 o k =, si ha chiaramete P ([X k ]) = ; duque P [X Y ]) = k=3 P ([X k ])P ([Y = k]) = h=1 P ([X h])p ([Y = h + ]). Ora, per h 1, risulta P ([X > h]) = (1 p 1 ) h, e quidi P [X Y ]) = h=1 (1 (1 p 1 ) h )p (1 p ) h+1 = h=1 p (1 p ) h+1 p (1 p )[(1 p 1 )(1 p )] h = h=1 = p (1 p ) 1 p p (1 p 1 )(1 p ) 1 1 (1 p 1 )(1 p ) = p 1(1 p ) p 1 + p p 1 p. Poedo p 1 = 1, si ottiee P [X Y ]) = (1 p ) 1 + p e facili calcoli portao a cocludere che tale probabilita vale 1 1 se e solo se p = 3 5. Detta X la variabile aleatoria dei laureati tra gli itervistati, X segue ua distribuzioe biomiale co probabilita di successo p. Sfruttado l approssimazioe ˆp(1 ˆp) ormale, gli estremi dell itervallo di cofideza cercato soo ˆp ± z a, dove ˆp =., = 9 e, dalla tabella, z a.58. Pertato l itervallo di cofideza e [ ] , [.1656,.344]. 9 9 L ampiezza dipede da i ragioe quadratica iversa: per dimezzare tale ampiezza bastera moltiplicare per 4: duque, occorre u campioe di almeo 36 persoe, co la stessa media di laureati. Prova scritta del 9/11/1 6

7 Esercizio 1 Sia X ua variabile aleatoria co distribuzioe uiforme cotiua: X U(, 1). Per ogi > si poga X = X. Si trovi la distribuzioe di X per ogi, e si cotrolli se la successioe (X ) coverge (i distribuzioe, quasi certamete o i L 1 ) a qualche variabile aleatoria Z. Si esamii poi la covergeza della successioe (Y ) defiita per ogi da: Y := X (1 X). Esercizio poga Sia Y ua v.a. discreta di tipo biomiale: Y B(, p). Per ogi s si G(s) = E(s Y ). Dopo aver calcolato l espressioe esplicita di G(s), si calcolio le derivate G e G e ifie le quatita : G (1) E(Y ), V (Y ) G (1) G (1) + G (1). Ua fabbrica produce dischi di metallo aveti diametro di lughezza X. Si suppoga che X N(µ, σ =.9). Posto di aver misurato u campioe casuale di = 4 dischi e di aver trovato che x = 5 si calcoli: (a) l errore quadratico medio della Media campioaria; (b) l itervallo di cofideza per la media al livello del 5%; (c) suppoedo che il valore di x rimaga ivariato determiare il valore miimo di affiché l ampiezza dell itervallo di cofideza si riduca a 1. (Detta Φ la fuzioe di ripartizioe della distribuzioe ormale N(, 1), utilizzare la seguete tabella: Φ(1.6).94 Φ(1.645).95 Φ(1.8).96 Φ(1.96).975 Φ(.33).99 Φ(.58).995) Soluzioi compito del 9/11/1 Esercizio 1 Per determiare la distribuzioe di X, itato osserviamo che per ciascu itero si ha X [, ]. Duque, fissato, per x [, ] si ha F X (x) = P ([X x ]) = P ([X x ] = x. 7

8 Posto N = [X = 1], si ha ovviamete P (N) =. Ora, se tale eveto o si verifica, si ha X < 1 e quidi lim X = lim X =. Pertato la successioe (X ) tede a quasi certamete, e quidi ache i Probabilita e i distribuzioe. No si ha ivece covergeza i L 1, essedo E(X ) = lim E(X ) = 1. e quidi +1 Quato alla successioe (Y ), si vede facilmete che ach essa tede a q.c.. I tal caso poi si ha ache covergeza i L 1 : E(Y ) =. Esercizio G(s) = E(s X ) = Per defiizioe di valor medio el caso discreto, si ha ( ) s h p h (1 p) h = h h= grazie alla formula del biomio di Newto. Risulta ora h=, e quidi lim (+1)(+) E( Y ) = ( ) (sp) h (1 p) h = (ps + 1 p), h G (s) = p(ps + 1 p) 1, G (s) = p ( 1)(ps + 1 p). Allora facilmete si trova G (1) = p = E(X), G (1) + G (1) G (1) = p(1 p) = V (X), e quidi etrambe le quatita idicate soo ulle. (a) L errore quadratico medio della Media campioaria é per defiizioe dato da: MSE(X) = E(X µ) = σ e quidi. MSE(X µ) = 9 4 =.5 (b) Poiché la popolazioe di parteza é ormale sappiamo che: P ( z α X µ z α σ ) = 1 α 8

9 Quidi co i dati che oi abbiamo si ha che α =, 5 da cui α/ =, 5. Possiamo quidi determiare il valore di z α ormale vediamo essere: z α = 1, 96. Da cio ricaviamo che l itervallo fiduciario per µ é dato da: e sostituedo co i umeri si ha (5 1, 96 (X z α σ/ ; X + z α σ/ ) che dalla tabella sulla fuzioe.3.3 ; 5 + 1, 96 ) = (5 1, 96, 474; 5 + 1, 96, 474) 4 4 = (5 +.93) = (4.97; 5.93). (c) Sappiamo che l ampiezza di u itervallo fiduciario é data da: A = z α σ Adiamo quidi a determiare il valore miimo di affiché tale ampiezza sia miore di, e sempre co (1 α) =, 95: 1 1 da cio ricaviamo il valore miimo di > 1, 96.3 > (1 1, 96.3) = e i coclusioe il valore miimo di é