Modelli di probabilità

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1 Modelli di probabilità Corso di STATISTICA Siciliao Ordiario di Statistica, iversità di Napoli Federico II Professore supplete, iversità della Basilicata a.a. / Siciliao Statistica Obiettivo dell uità didattica Defiire i cocetti di base sull ifereza statistica Coteuti L iduzioe statistica Defiizioe di statistica campioaria e distribuzioe campioaria Stima putuale e per itervalli Il test statistico Siciliao Statistica..

2 Ifereza statistica Il problema di risalire alla struttura o ota delle popolazioi (e delle v.c.) viee affrotato teoricamete dalla ifereza statistica. Siciliao Statistica Problema iverso Si passa dalla Deduzioe alla Iduzioe, dal Problema diretto al Problema Iverso. L Ifereza statistica è lo strumeto metodologico utile ad affrotare e a risolvere il problema iverso. Siciliao Statistica..

3 Il problema iverso Le iformazioi sulla struttura della popolazioe soo forite da u campioe casuale. Siciliao Statistica 5 Problema iverso I risultati e le decisioi comportao u rischio, dovuto alla limitatezza delle iformazioi usate. Il rischio può essere valutato e cotrollato i termii probabilistici co gli strumeti della ifereza statistica. Siciliao Statistica..

4 La Procedura Ifereziale Popolazioe Collettivo oggetto di ifereza Campioe Parte delle uità statistiche ella popolazioe sottoposta alla osservazioe Nota: L osservazioe di u feomeo è vista come la realizzazioe di u modello di probabilità teorico. Siciliao Statistica 7 La Procedura ifereziale Parametri Assuzioi Icertezza Valori caratteristici della popolazioe Iformazioi a priori sulla popolazioe che cosetoo di scegliere u modello piuttosto che u altro. Riteere più probabile che ua data osservazioe sia stata geerata da alcue distribuzioi di probabilità che da altre apparteeti al modello. Siciliao Statistica 8..

5 La Procedura ifereziale Ifereza Modello Essere idotti a riteere piu probabile che la popolazioe appartega ad u certo sottoisieme del modello che ad u altro. L isieme delle distribuzioi di probabilità defiite su u opportuo spazio campioario e caratterizzato da uo o più parametri. Siciliao Statistica 9 Stima Teoria della stima Cooscere il valore umerico o u itervallo di valori di uo o più parametri icogiti del modello di probabilità teorico (ovvero della popolazioe) a partire dai dati campioari. Siciliao Statistica.. 5

6 Test Teoria della verifica delle ipotesi Verificare co ua regola di decisioe ua certa affermazioe fatta relativamete alla popolazioe, ovvero se essa debba riteersi vera o falsa sulla base di ciò che appare dal campioe. Siciliao Statistica Campioameto Campioe casuale o probabilistico: ogi elemeto della popolazioe ha ua probabilità o ulla di etrare a far parte del campioe. Estrazioe co ripetizioe: la struttura della probabilità o si modifica ad ogi estrazioe perché ciascua uità estratta è iserita uovamete ella popolazioe. Estrazioe seza ripetizioe: si estraggoo uità i blocco dalla popolazioe e la struttura di probabilità si modifica ad ogi estrazioe. Siciliao Statistica..

7 Statistica campioaria La statistica campioaria e la sua distribuzioe Realtà operativa Si avrà a disposizioe u solo campioe o comuque u umero limitato di campioi. I teoria Se si avessero u umero elevato di campioi o tutti i campioi possibili, cioè u uiverso campioario. Siciliao Statistica Cocetti teorici Statistica campioaria: a v.c. defiita quale fuzioe di u campioe casuale ( X, X,... X ) ovvero ua qualuque trasformazioe dei valori osservati che cosete di iferire sui parametri o oti della popolazioe. Distribuzioe campioaria: É la distribuzioe delle stime al variare del campioe. Estraedo tutti i possibili campioi di umerosità dalla popolazioe si ottegoo tutti i possibili valori che la statistica campioaria può assumere, ovvero l isieme delle possibili stime del parametro icogito della popolazioe. Siciliao Statistica.. 7

8 x campioe x x x N x... x Siciliao Statistica 5 v.c. media campioaria Cosideriamo ua popolazioe di quattro uità statistiche, e proviamo ad estrarre tutti i possibili campioi di ampiezza, geerado quidi N possibili campioi, cioè.. iverso di campioi Calcoliamo poi la media di ogi campioe e costruiamo la distribuzioe di frequeza di tutte le medie. Siciliao Statistica.. 8

9 .. 9 Siciliao Statistica 7 campioi possibili N N tutti i possibili campioi Siciliao Statistica 8 X f i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X VAR ( ) X E

10 E Nella popolazioe si ha: x ( X ) VAR i ( x ). 5 i v.c Media Campioaria.5 ( X ). 5 Siciliao Statistica 9 v.c. media campioaria (seza reitroduzioe) Cosideriamo ua popolazioe di quattro uità statistiche, e proviamo ad estrarre tutti i possibili campioi di ampiezza (seza reitroduzioe), geerado quidi possibili campioi. Calcoliamo poi la media di ogi campioe e costruiamo la distribuzioe di frequeza di tutte le medie. Siciliao Statistica..

11 .. Siciliao Statistica Seza ripetizioe Medie di tutti i campioi tutti i possibili campioi Siciliao Statistica X f i v.c Media Campioaria ( ) ( ) 5. N N X VAR X E

12 Cocetti teorici Suppoiamo di avere ua popolazioe che segue u modello oto a meo di uo o più parametri. Ciò implica ad es.che: - la v.c. X (associata alla popolazioe) ha ua distribuzioe di probabilità (v.c. discreta) o ua fuzioe di desità di probabilità (v.c.cotiua), idicata co f(x;θ), i cui il parametro θ è icogito. Il problema che si poe è quello di stimare θ. Siciliao Statistica Cocetti teorici Estraiamo co ripetizioe u campioe casuale di uità: Prima che l operazioe di estrazioe sia effettuata le estrazioi campioarie geerao v.c. campioarie idipedeti X X,... ( ) Dopo che l estrazioe campioaria è avveuta, si otterrao solo osservazioi campioarie x x,... cioè umeri. ( ), x, X Siciliao Statistica..

13 Cocetti teorici stimatore Lo stimatore di θ è la v.c. T ( X ) t( X, X,..., X ) defiita quale fuzioe ota del campioe. stima Fuzioe di stima La stima di θ é il valore assuto dallo stimatore assuto i corrispodeza di u particolare campioe. É la particolare fuzioe (t.) che lega le v.c. del campioe. Siciliao Statistica 5 Alcue proprietà degli stimatori Cocetti teorici Correttezza Efficieza relativa o stimatore T(X) di θ, è corretto se, i media, forisce stime o distorte del parametro icogito. ( ) o stimatore corretto T X di θ è più efficiete di u altro stimatore corretto T ( X ) di θ se ha variaza più Impossibile visualizzare l'immagie. La memoria del computer potrebbe essere isufficiete per aprire piccola. Siciliao Statistica..

14 Cocetti teorici Efficieza assoluta Esiste u limite iferiore alla variaza di uo stimatore di θ che può essere raggiuto dallo stimatore più efficiete i seso assoluto, sebbee o si può escludere, che uo stimatore la cui variaza o raggiuge tale limite o sia il più efficiete. Coereza o stimatore T(X) di θ è coerete se cotemporaeamete la sua distorsioe e la sua variaza tedoo a zero al crescere della umerosità campioaria. Siciliao Statistica 7 Stima per itervalli La Teoria della Stima precisa delle proprietà ottimali per uo stimatore e costruisce degli stimatori i quali, ua volta otteuto il campioe, foriscoo mediate semplice sostituzioe il valore umerico della stima. Per u altro campioe, geeralmete, lo stesso stimatore codurrà ad ua stima differete. Il valore umerico della sigola stima o iforma sul probabile campo di variazioe delle stime del parametro. Siciliao Statistica 8..

15 I preseza di campioi di umerosità limitata questi problemi divegoo particolarmete gravi i quato il semplice "affidameto" al valore umerico trovato può essere iopportuo per l'elevata variabilità delle osservazioi. Vi è pertato l'esigeza di costruire u itervallo, aziché u puto, che co probabilità fissata icluda il parametro da stimare. Siciliao Statistica 9 ( X X,... ) Itervalli di stima Dato u campioe casuale, co estrazioi co ripetizioe da ua popolazioe X co ota la f(x; θ). L itervallo di cofideza: É u itervallo casuale che cotiee il parametro icogito θ co ua probabilità ota (ciò prima di estrarre il campioe) ( L θ L ) ( ) P X L dove L ed soo fuzioe dello stimatore putuale di θ. Siciliao Statistica.. 5

16 No è corretto affermare : L Itervalli di stima ( L, ) cotiee co probabilità ( ) il vero valore di θ. Ma si è cofideti al ( )% che l'itervallo [, ] icluda il vero valore di θ. L L Per u ipotetico processo di estrazioi campioarie l'itervallo osservato o casuale coterrebbe θ el ( )% dei casi metre lo escluderebbe el %. Tato miore è il livello fissato di tato più ampio risulta l'itervallo di cofideza. Siciliao Statistica Elemeti chiave La variabilità del feomeo La umerosità campioaria L ampiezza dell itervallo Il livello di cofideza Siciliao Statistica..

17 Metafora variabilità ampiezza itervallo ε Grado di fiducia dimesioe del campioe x ± z,99,95,9 Variabilità ella popolazioe campioe Siciliao Statistica (miore è la distaza dal bersaglio) variabilità ampiezza itervallo dimesioe del campioe ε A parità di miore è maggiore, ε Siciliao Statistica.. 7

18 (più grade è il bersaglio) variabilità a m p i e z z a itervallo ε dimesioe del campioe A parità di, piú grade è ε maggiore è (il bersaglio) Siciliao Statistica 5 (più preciso è lo strumeto di tiro) ε ampiezza itervallo variabilità Dimesioe del campioe A parità di, ε, miore è (variaza) maggiore è (grado di fiducia) Siciliao Statistica.. 8

19 Test statistico ipotesi statistiche tavola delle decisioi variabili test regole di decisioe Siciliao Statistica 7 Il Test Statistico Il Test Statistico è u giudizio di coformità probabilistica fra campioe e popolazioe e serve per decidere se alcue situazioi ipotetiche cocereti la popolazioe appaioo ragioevoli o meo alla luce dell'evideza empirica. Ipotesi Statistica: è u'affermazioe riguardate i parametri della f(x; θ) o il processo cha ha geerato le osservazioi campioarie. Ipotesi ulla vs. Ipotesi alterativa Siciliao Statistica 8.. 9

20 Tavola delle decisioi REALTA DECISIONE Decisioe giusta Errore del II tipo β Errore del I tipo Decisioe giusta A-posteriori, ovvero dopo aver estratto il campioe e presa ua decisioe co la statistica test, o ha seso parlare di probabilità di decisioi giuste o errate, i quato o essedo ota l'ipotesi vera sulla popolazioe si è già commesso di fatto u errore o si è già presa di fatto ua decisioe giusta. Siciliao Statistica 9 β Variabile test Statistica Test: è ua fuzioe d(x) che fa corrispodere ad ogi campioe casuale u valore umerico che può essere classificato come coerete o meo co l'ipotesi specificata dalla. Il test statistico coduce ad ua partizioe dell'uiverso dei campioi i due sottoisiemi complemetari: la regioe di accettazioe, ovvero i campioi per i quali la statistica test assume valori compatibili co, la regioe critica o di rifiuto, ovvero i campioi per i quali la statistica test assume valori compatibili co. Siciliao Statistica..

21 Numerosità Campioaria e Poteza del Test Nella costruzioe del test si poe come ipotesi ulla quella per la quale si ritegoo più gravi le cosegueze derivati dal commettere u errore del primo tipo, così che si sceglie u opportuo valore del livello di sigificatività. Qualora si desideri cotrollare, oltre alla probabilità dell'errore del primo tipo, ache quella dell'errore del secodo tipo, occorre determiare la umerosità campioaria i modo tale che il test garatisca, oltre al livello di sigificatività a, ache ua poteza del test β prefissata. Siciliao Statistica Lo Schema per l'applicazioe. Cosiderazioi geerali: scelta del modello di probabilità, campioameto, assuzioi;. Ipotesi statistiche da verificare: defiizioe dell'ipotesi ulla e dell'ipotesi alterativa;. Statistica Test: si defiisce la fuzioe dello stimatore, la sua distribuzioe (co evetuale stima di parametri icogiti o sottoposti a test), e si determia il valore osservato della statistica test; Siciliao Statistica..

22 Lo Schema per l'applicazioe. Regioe critica di ampiezza : sulla base della distribuzioe ota della statistica test e quidi della corrispodete tavola statistica, si determia il valore critico (test uidirezioale) o i valori critici (test bidirezioale) per distiguere la regioe critica dalla regioe di accettazioe; 5. Commeti e geeralizzazioi: Si coclude il test accettado l'ipotesi ulla o rifiutadola, e si commetao i risultati. Siciliao Statistica Regioe di accettazioe Regioe critica d* Valori di statistica test Regioe critica Regioe di accettazioe d* Regioe di accettazioe d d d(x) valore osservato da cofrotare co il valore critico di d* Regioi critiche e di accettazioe per test ui- e bidirezioali Siciliao Statistica..

23 .. Siciliao Statistica 5 Cosideriamo ua variabile casuale distribuita come ua Normale: Si estrae u campioe di ampiezza Si fissa il livello di sigificatività ( ) ota co, ~ N X Siciliao Statistica Abbiamo tre possibili situazioi: Test sul valore medio co variaza ota: ( ) z X + > : RCO : : ) ( ) z X < : RCO : : ) ( ) + z X z X : RC : : )

24 Test sul valore medio co variaza ota: ) : : > Regioe di accettazioe z Regioe di rifiuto Siciliao Statistica 7 Test sul valore medio co variaza ota: ) : : < Regioe di rifiuto z Regioe di accettazioe Siciliao Statistica 8..

25 Test sul valore medio co variaza ota: ) : : Regioe di rifiuto z z Regioe di accettazioe Regioe di rifiuto Siciliao Statistica 9 Test e itervalli di stima Si costruisce l itervallo di stima e si verifica se esso è coerete co l ipotesi ulla x ± z,99,95,9 Comprede? test sulla media Siciliao Statistica 5.. 5

26 Caso particolare Popolazioi descritte da ua v.c. dicotomica (,) i corrispodeza di isuccesso e successo co probabilità di successo π La media campioaria di e corrispode al coteggio dei successi sul totale delle osservazioi campioarie (proporzioe campioaria p) Siciliao Statistica 5 Ifereza sulla probabilità di successo La variabile test è P π Z ~ N π ( π ) ( ) ; L itervallo di cofideza è: p ± z p ( -p) Siciliao Statistica 5..

27 Test di idipedeza Data ua tabella di cotigeza di dimesioi r x c o : π ij π i+ π + j per ogicoppia ( i, j) : πij πi+ π+ j per almeo ua coppia ( i, j) co i,..., r ; j,..., c r c ( ij i+ + j ) i j i+ + j oss Statistica test ~ χ ( r )( c ) Decisioe critico se è vera Se χ < χ si accetta o o Valori tabulati Siciliao Statistica 5.. 7