ANALISI STATISTICA DEI DATI

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1 AALISI STATISTICA DEI DATI STATISTICA E PROBABILITA' Misura di ua gradezza fisica Errori dovuti a: Strumeti di misura Parametri o cotrollabili da sperimetatore da valore vero gradezza varia da misura a misura La misura è feomeo casuale e la sigola misura sarà eveto casuale. Eveto casuale (o aleatorio): eveto ripetibile (ifiite volte) che si maifesta i modo o prevedibile sigolarmete (es. lacio dado/moeta, estrazioe carta...) AS-

2 S S: isieme di tutti i modi possibili del feomeo casuale E: geerica modalità dell'eveto casuale (geerico eveto casuale) E x(e): x(e) i modo uivoco (umero reale) variabile casuale defiita ell'isieme S. Variabili casuali discrete o cotiue umero fiito o ifiito di valori La misura di ua gradezza fisica può essere cosiderata come u eveto casuale e il umero (che si ottiee) la variabile casuale associata all'eveto. PROBLEMA DELLA MISURA isieme di misure della stessa gradezza fisica? valore vero Aalisi statistica delle misure che utilizza teoria della probabilità Defiire itervallo di valori della variabile casuale "misura" co assegata probabilità di coteere valore vero della gradezza AS-

3 La STATISTICA è u ramo della matematica che studia i feomei casuali utilizzado la TEORIA della PROBABILITA` PROBABILITA` ) Defiizioe "classica" Probabilità P(E) di u eveto casuale E: rapporto fra umero dei casi "favorevoli" (casi i cui si preseta E)e umero totale casi possibili, purché tutti i casi possibili siao equiprobabili COROLLARIO: 0 P umero reale PROBLEMA: Tautologia (per defiire probabilità è ecessario valutare equiprobabilità) Es.. Lotto P() 90 P(pari) Es.. 3 figli o dello stesso sesso MMM MMF MFM FMM MFF FMF FFM FFF Tot casi possibili 8 P(o stesso sesso) AS-3

4 ) Defiizioe "empirica" (Frequezistica) Frequeza relativa di E : f (E) f (E) : umero totale prove : umero volte i cui si è presetato E su prove Si defiisce: P(E) lim f (E) lim fi 8 fi 8 PROBLEMA: postula che lim f (E) sia umero defiito o è def. operativa f (E) E: testa su lacio moeta AS-4

5 ) Defiizioe "assiomatica" S: Isieme di tutti i possibili E A: Sottoisieme di S A s P(A) E' u umero associato uivocamete ad A tale che: Uioe P(A) 0 per ogi A Itersezioe P(S) Coteuto P(A+B) P(A) + P(B) se A B 0 A B PROBLEMA: o ci dice quato vale P L'assegazioe di P ad A è u modello matematico A partire da defiizioe assiomatica di P si può dimostrare che: f(e) P(E) per 8 LEGGE DEI GRADI UMERI AS-5

6 LEGGE DEI GRADI UMERI Dato eveto casuale E a cui è associata P(E), se f(e) (su prove), scelti due umeri positivi a piacere e', e" è possibile defiire u tale che, per ogi M > : P ( f(e) - (E) >e )<e (I aalisi: f(e) - P(E) <e) Si dimostra a partire dalla diseguagliaza di BIEAYME' - CEBICEV v v AS-6

7 PROPRIETA` DELLA PROBABILITA` ) Eveto complemetare di E : E f (E) - - P(E) - P(E) P(E) + P(E) - f(e) Se E... E m: isieme di tutti gli eveti possibili i S, mutuamete esclusivi: S P(E i ) m i Eveto complesso prodotto logico di due eveti casuali E, F (es.: moeta/carta) Su prove E E F F 4 possibili casi: EF EF EF EF AS-7

8 f (EF) ; f(ef) ; f(ef) ; f(ef) ; f (E) + f (EF) + f (EF) f (F) + f (EF) + f (EF) P(E) P(EF) + P(EF) P(F) P(EF) + P(EF) PROBABILITA` CODIZIOATA: Probabilità che si verifichi E se si è verificato F (o viceversa) P(E F) f (E F). + P(F E) f (EF) + f (F) f (F E) + f (EF) f (E) P(E F) P(EF) P(F) P(EF) P(F). P(E F) P(F E) P(EF) P(E) P(EF) P(E). P(F E) AS-8

9 ) LEGGE DELLE PROBABILITA` COMPOSTE Se E ed F soo statisticamete idipedeti P(E F) P(E) P(F E) P(F) La probabilità che avvegao cotemporaeamete E ed F (prodotto logico) è uguale al prodotto delle probabilità dell'eveto E e dell'eveto F P(EF) P(E). P(F) P(E. E.... E m) P i se E ed F soo statisticamete idipedeti Es. dadi - Probabilità che escao due 4 m P(E ) i P(4,4) P(4). P(4). 6 6 Se E ed F soo mutuamete esclusivi: 36 P(E F) P(F E) 0 P(EF) 0 AS-9

10 3) LEGGE DELLE PROBABILITA` TOTALI f (E + F) : eveto E o eveto F o ambedue f (E + F) + + ( + )+( + )- f(e + F) f (E) + f (F) - f (EF) P(E + F) P(E) + P(F) - P(EF) Se E ed F soo mutuamete esclusivi P(EF) 0 P(E + F) P(E) + P(F) P(E... E ) m m S i P(E ) i Dimostrabile ache usado la defiizioe assiomatica di probabilità: C A (A - C) + C A B B (B - C) + C (A - C),(B - C), C: disgiuti AS-0

11 Da III assioma: (P(A + B) P (A) + (P(B)) se A,B disgiuti; P(A) P(A - C) + P(C) P(B) P(B - C) + P(C) P(A - C) P(A) - P(C) P(B - C) P(B) - P(C) Se ora cosideriamo isieme somma A+B : A + B (A - C) + (B - C) + C P(A + B) P(A - C) + P(B - C) + P(C) P(A + B) P(A) - P(C) + P(B) - P(C) + P(C) P(A + B) P(A) + P(B) - P(C) P(A + B) P(A) + P(B) - P(A. B) P(A. B) Se cosidero 3 eveti casuali : P(A + A + A ) P(A ) + P(A ) + P(A ) - P(A A ) - P(A A ) P(A A ) + ( P(A A A ) A A A3 AS-

12 STATISTICAMETE IDIPEDETI P(E F) P(E) P(F E) P(F) P(EF) P(E). P(F) STATISTICAMETE DIPEDETI MAZZO CO 4 CARTE (solo KQJ fiori) E F estrazioe FIORI estrazioe RE P(E) 3 4 P(F) 4 4 P(E F) 4 P(F E) 3 P(E. F) P(E) P(F E) # 3 P(E). P(F) AS-

13 SOMMARIO statisticamete idipedeti statisticamete dipedeti statisticamete esclusivi P(A. B) P(A). P(B) P(A). P(B A) P(B). P(A B) 0 P(A+B) P(A) + P(B) - P(A. B) P(A) + P(B) -P(A. B) P(A) + P(B) -P(A. B) AS-3

14 Es.: efficieza di scaig ella ricerca di eveti rari :. di eveti rari preseti el campioe (icogito) + :. di eveti trovati ella a ricerca + :. di eveti trovati ella a ricerca :. di eveti trovati i ambedue P() + () e () statisticamete idipedeti P() P(, ) + P() P() ( + ).( + ). P() + P() ( + ) Probabilità di trovare u eveto elle due ricerche: P( +) P() + P() - P(). P() ( + ) + ( + ) - ( + ). ( + ). ( + + ) AS-4

15 DISTRIBUZIOE DI PROBABILITA` E DESITA` DI PROBABILITA` ) Variabile casuale discreta x i i,... x i i P i (x i ) S P i (x i ) lim " (x i ) L'isieme di P i costituisce la distribuzioe di probabilità della variabile casuale ) Variabile casuale cotiuax Dx Dx f (x - Dx, x + Dx ) : frequeza i x ± Dx x Frequeza limite per uità di Dx: lim 0 Dx f (x - Dx, x + Dx Dx ) " (x ± Dx ) f(x) f(x) : DESITA` DI PROBABILITA` o FUZIOE DI DISTRIBUZIOE AS-5

16 dp(x, x + dx) dx f(x) dp f(x) dx P(a, b) a b probabilità che la variabile casuale cada i (a,b) a b f(x) dx Es. P(x) 6 u dado s f(x) dx x +" f(x) dx -" P(x) 6 36 dadi (somma) 36 7 x Es. f(x) f(x) b-a a b x m x Desità uiforme di probabilità f(x) C bc. dx C. (b - a) C a b - a AS-6

17 CUMULATIVA DI UA FUZIOE DI DISTRIBUZIOE Fuzioe cumulativa: PROPRIETA': F(x) P (-" < x' < x) F(x) f(x') dx' b b P(a < x < b) f(x) dx f(x) dx - a -" f(x)dx F(x + dx) - F(x) df(x) x -" -" a f(x) dx F(b) - F(a) df(x) dx f(x) F(x) è mootoa crescete dato che f(x) " 0 sempre Es. f(x) Se x è defiito fra a e b: F(a) 0 F(b) (F(-" ) 0; F(+" ) ) b-a a b x F(x) 0 a b x F(x) b - a a x x - a dx' b - a AS-7

18 PARAMETRI CARATTERISTICI ISTRIBUZIOI DI PROBABILITA` ) La "posizioe" della distribuzioe I II La moda: x per cui la distribuzioe ha il massimo (uimodali, multimodali ) La mediaa: x M che divide a metà la distribuzioe -" x M f(x) dx +" f(x) dx x M III La media (o valore aspettato) : E[x] µ +" -" x. f(x) dx E[x] µ S i x i. P i (x i ) ( µ) cotiuo discreto I geerale si defiisce il valore aspettato di ua fuzioe di x, g(x) (se x variabile casuale g(x) è ache variabile casuale): E[g(x)] +" -" g(x). f(x) dx AS-8

19 f(x) x Media (valore aspettato) Mediaa Moda f(x) x o x Moda Mediaa Media (valore aspettato) AS-9

20 Proprietà del valore aspettato: E[Sk a k. g k (x)] Sk a k. E[g k (x)] Casi otevoli: E[a] a E[a. g(x)] a. E[g(x)] a. f(x) dx a. f(x) dx a otare: E[(x - µ)] E[x] - µ 0 ) La "larghezza" della distribuzioe valore aspettato di (x - µ) variaza Variaza s E[(x - µ) ] s -" +" (x - µ). f(x) dx s Si (x i - µ). P i (x i ) cotiuo discreto E[(x - µ) ] E[(x + µ - µx)] E[x ] + µ µ - µe[x] E[x ] - µ E[x ] - (E[x]) s s deviazioe stadard AS-9A

21 3) La "asimmetria" della distribuzioe (valore aspettato di (x - µ) 3 ) SKEWESS SK Si può dimostrare che: k -" +" (x- µ) 3 f(x) dx µ k (x o ) S (-) r o r. k r. x r o. µk -r (0) coefficiete biomiale Fuzioe simmetrica mometi dispari rispetto µ 0 rispetto a µ s 3 CURTOSIS E [(x - µ) 4 ] s 4-3 > 0 più piccata 0 per gaussiaa < 0 meo piccata I geerale la fuzioe di distribuzioe è completamete defiita dall'isieme dei suoi mometi: Mometo k-esimo di f(x) rispetto a x +" o (x - x o ) k. f(x) dx µ k (x o ) E[(x - x o ) k ] -" µ o (0) µ o (µ) > 0: coda a destra < 0: coda a siistra rispetto a µ 0 per distribuzioi simmetriche f(x) S i (x i - x o )k P i (x i ) VALORE ASPETTATO : µ (0) µ mometo primo rispetto a x o 0 VARIAZA : µ (µ) s mometo secodo rispetto a x o µ SKEWESS : µ 3 (µ/s 3 ) mometo terzo rispetto a µ s 3 CURTOSIS : mometo quarto rispetto a µ s 4 AS-0

22 VALORE ASPETTATO di f(x) simmetrica rispetto a x o µ x o x o x Ifatti: µ x f(x) dx (x' + xo ) f(x' + x o ) dx' x' x - x o x x' + x o dx dx' x'. f(x' + x o ) dx' + x o f(x' + x o ) dx' x o VARIAZA a b 0 (f dispari. f pari) D a µ b x µ x f(x) dx x dx a b b - a di ua distribuzioe uiforme b - a b s (x - µ) b f(x) dx x f(x) dx - µ a a f(x) -8 a 0 b +8 c b - a a,b b - a b + a b 3 - a 3 (b + a) 3(b-a) 4 - (b - a) (b - a) s (b - a) D 3 3 AS-

23 FUZIOE GEERATRICE DEI MOMETI Fuzioe della variabile casuale x : Sviluppao i serie e xt : G x (t) E [e xt ] x t G x (t) E [ + xt ] t x k t k + µ (0)t + µ (0)... µ k (0) +... I coefficieti dello sviluppo della G x (t) i serie di poteze di t soo i mometi itoro all'origie. k! t k k! d k G x (t) d E k e k dt dtk xt E x k. e xt d k G x (0) dt k E x k µ (0) k AS-

24 PROPRIETA` OTEVOLI : I II III... G cx (t) E [e c x t ] E [e x ct ] G x (ct).. G c+x (t) E [e (c+x) t ] e ct E [e xt ] e ct G G x (0) x (t) La II ci permette di calcolare i mometi cetrali: Es. s : mometo secodo di (x - µ) G x-µ (t) e -µt G x (t) d dt G x-µ (t) -µ. e -µt G. x (t) + e -µt. d dt G x (t) d dt G x-µ (t) µ e -µt G. x (t) -µ e. -µt -µ. e -µt. d G x (t) + e -µt. dt. d dt d dt G x (t) + G x (t) d dt G x-µ (0) -µ G x (0) d dt G x-µ (0) µ - µ s + d - µ. dt d dt G x (0) 0 µ G x (0) + µ d dt d dt G x (0) G x (0) µ s d dt G x (0) - µ AS-3

25 FUZIOE DI DISTRIBUZIOE PER FUZIOE DELLA VARIABILE CASUALE x f(x) y y(x) corr. biuivoca f(y)? dp(x, x + dx) dp(y, y + dy) y(x) f(x) dx f(y) dy f(y) dx (y) dy. f(x(y)) dato che f deve essere sempre 0 AS-4

26 OTARE : E[g(x)] g(x). f(x). dx g(x) y E[y] y. f(x). dx y. f(y). dy Ifatti: f(y) dx dy. f(x) E[y] y f(y) dy y. dx dy f(x). dy y(x) f(x). dx AS-5

27 Es. SORGETE DI PARTICELLE ISOTROPA z q r Isotropa: flusso di particelle emesso (per uità di tempo ) proporzioale ad agolo solido e costate ds sfera r siqdqdj y dw d(cos q). dj Quidi la fuzioe di distribuzioe di cosq sarà costate fra -, +; f(cosq) Fuzioe di distribuzioe di q? - < x < q arcos (cos q) y p > y > 0 x. dx f(y) f(x) dcos q dy dq si q f ds sfera r x 0 p si q dq - cos q 0 p Es. CUMULATIVA F(x) è variabile casuale fuzioe di x y F(x) x f(x') dx' -8 dy dx f(x) Fuzioe di distribuzioedi y : f(y) f(x) dx dy uiforme fra 0 e f(x) f(x) f(x) AS-6

28 Dato che F(x) è distribuita uiforme (0, ) posso otteere variabili casuali co fuzioe di distribuzioe qualsiasi a partire da variabile casuale co distribuzioe uiforme fra 0 e (utile ei calcolatori). Es. DISTRIBUZIOE ESPOEZIALE x f(x) x o e - x x o f(x) dx y F(x) 0 x x o - e x' x o - dx' - e x x o 0 Se y è la cumulativa di f(x), geerato y uiforme, x g(y) sarà distribuito secodo f(x) y - e- x x o lg x e ( - y) - x - x lg x o e ( - y) o Per geerare gaussiaa(µ 0, s ) : x si (py ). - lg e y y, y : umeri casuali co distribuzioe uiforme AS-7

29 VALORE ASPETTATO E VARIAZA DI y y g(x) x Siao µ x e s valore aspettato e variaza di x. Sviluppo y(x) i serie di Taylor itoro a : dy y(x) y(µ x ) + dx (x - µ x ) + d y µẋ dx (x - µ µ x ) +... x A µ x dy µ d y y E[y] y(µ dx µx dx E (x - µ µ x ) x ) +. E [(x - µ x )] x 0 Trascurado i termii di ordie più alto: µ y E [y] ~ y(µ x ) dalla E y - y(µ x ) A ~ dy E dx µx (x - µx ) dy dx µx. E (x - µ ) x µ(y) s x s y E y - y(µ x ) dy dx µx. s x approssimata AS-8

30 Se y è fuzioe lieare di x : y g (x) y ax + b µ y aµ x + b s a y s x ESATTA AS-9

31 DISTRIBUZIOE BIOMIALE Processo casuale geerico "successo" : ua certa modalità E di presetarsi el processo casuale co probabilità p (eveto complemetare E, probabilità ( - p)) Se facciamo prove, quale è la probabilità che il successo si preseti k volte? P,p (k) Da teorema delle probabilità composte (le prove soo statisticamete idipedeti) : k successi, -k isuccessi p k ( - p ) -k p ( - p) -k p k-... k volte (SI), (-k) volte (O) SI, (-k) volte O, (k-) SI Sommare su tutte le possibili combiazioi:. di combiazioi oggetti k a k k! k! ( - k)! AS-30

32 PERMUTAZIOI P Dati oggetti distiti, i quati modi se e possoo selezioare r? P r.( - )... ( - r + ). P ( - )... ( - + )! P r! ( - r)! RICORDARE: 0! COMBIAZIOI C Se o siamo iteressati all'ordie i cui compaioo gli r oggetti: C r! ( - r)! r! r.( - )...( - r + ) r! C r. r! P r C r! ( - r)! r! AS-3

33 P p, (k) k k 0 fi. p k. ( - p) -k DISTRIBUZIOE BIOMIALE Distribuzioe di probabilità ella variabile casuale k (. fiito di valori: 0... ) S P 0 k, p (k) S 0 k Ricordare che: Es. k. p k.( - p) -k Probabilità di u su 0 laci di u dado: p 6 P 0, () 6 (a+b) S k 0 probabilità eveto favorevole 0!! (0 - )! Probabilità di essu : k ak b -k 0 p + ( - p) umero prove P 0, (0) 6 0! 0! 0! Probabilità di tutti : P 0, (6) 6 0! 0! 0! AS-3

34 Probabilità di avere almeo u : S 0 k P 0,/6 (k) - P 0,/6 (0) Proprietà otevoli della biomiale: Valore aspettato e variaza µ E[k] k.! Sk k! ( - k)!. p k. ( - p) -k 0 dato che k 0 aulla primo termie. p S k ( -)! (k -)! ( - k)! p k-.( - p) -k k' k - ' - '. p Sk' 0 '! k'! (' - k')! p k'.( - p) '-k' µ. p s E (k - p) E[k ] - (p) AS-33

35 S k 0 E[k ] k! k! ( - k)! pk ( - p) -k p S k k ( -)! (k -)! ( - k)! p k- ( - p) -k k' k - ' - p S ' (k' + ) P ',p (k') 0 su - prove p. E[(k' + )] p.(e[k'] + ) ( - ). p p. {( - ). p + } ( - ). p +. p s ( - ). p +. p -(. p) p( - p) s p. ( - p) s p ( - p) Distribuzioe biomiale: p,p (k) k p k q -k q ( - p) µ p s pq AS-34

36 µ e s della distribuzioe biomiale usado fuzioe geeratrice dei mometi µ µ (0) s µ (µ) P,p (k) k. p k q -k G e tk k (t) E [e tk ] p k k q -k d dt d S k 0 (e t. p + q) Sk 0 k. ( p) k q -k. G k (t).(e t. p + q) -. p. e t sviluppo di u biomio G dt k (t).(e t. p + q) -. p. e t + +. ( - ). (e t. p + q) - p. e t µ (0) µ (µ) s d dt G k (0) dt d G e (0) - µ AS-35

37 µ d dt G k (0).(p + q) -. p. p d dt G k (0).(p + q) -. p + + ( - ).(p + q) -. p. p +. ( - ). p s d dt Gk (0) - µ p + p - p + -(p) p.( - p). p. q AS-36

38 Massimo della distribuzioe Massimo i corrispodeza a k ~ p se p >>! P,p (k + ) P,p (k) (k + )! ( -k -)!!. p k+ q -k- p k. q -k k! ( - k)! - k k +. p q Distribuzioe crescete per : - k k +. p q k p - q AS-37

39 Massimo della distribuzioe Massimo i corrispodeza a k ~ p se p >> 3 se p 0.5 p,/ (k)! k! ( - k)! k. - - k p,/ ( - k)! ( - k)! k! -k. - k p(k) p ( - k) Se p 0.5 distribuzioe simmetrica itoro a p (itero) 4 8, p costate Tede alla distribuzioe "ormale" (gaussiaa) co: µ p s p. ( - p) 5 8, p costate Tede alla distribuzioe di Poisso AS-38

40 0.5 p0. 5 p0. 0 p0. 0 p Poisso (m ) P (k) Biomiale 0. p0.5 p.0 5 p0. p.0 0 p0. p.0 0 p0.05 p AS-39

41 Es. Frequeza su prove (Eveto favorevole co probabilità p) k µ E[] E[k] p p s E[( - µ ) k ] E - p vedi k E - p ( - ) p + p - p AS-34. p.( - p) p.( - p) s 0 per p per Vedi ache Teorema di Beroulli Es. Fluttuazioi di desità i u gas ideale A B V Date molecole i V, sia p la probabilità per geerica molecola di essere i A e ( - p) la probabilità di essere i B. (essua iterazioe fra molecole, a parte urti fi posizioe molecola idipedete da posizioe altre molecole). AS-40

42 Probabilità ad u certo istate di avere A molecole i A? Ogi molecola è ua prova idipedete e "eveto favorevole" essere i A. P,p ( A ) A. p A.( - p A ) - A A A se p ( - p ) A A (dato che i volumi soo uguali)! P, ( A ) A! ( - A )!. µ ( A ) s( A ). Applicado la formula di Stirlig alla variabile x: x A - scarto relativo di A d a l s u o valore aspettato P(x) p.. e -(-). x. x Dato che ell'espoete compare - co molto grade, appea x si scosta da 0, P fi 0 (x 0-8, P ~ 0). U GAS HA SEMPRE DESITA` UIFORME AS-4

43 DISTRIBUZIOI SPERIMETALI Variabile casuale discreta Es. Somma di due dadi x P(x) P P 3 P 4... P Esperimeti ripetuti (lacio dadi) Risultato: 3... S F F 3... F Per il Teorema di Beroulli 3 fi 8... P P 3 P AS-4

44 Cosideriamo u particolare valore della variabile casuale (Es. ): fi 8 fi P fiito: F? P? P Quale è la distribuzioe di probabilità di? P, P (k) P ( - P ) -k k k (biomiale) Se P è probabilità della variabile, la probabilità di k( ) successi su prove si ottiee dalla distribuzioe biomiale Ripetedo M volte la serie di laci ( cost) i valori di che si ottegoo sarao distribuiti secodo la P, P ( ) (0 < < ). [Se grade e P piccolo la distribuzioe tederà alla poissoiaa co m P. Vedi dopo. Valore aspettato e variaza d i : µ( ) P s ( ). P. ( - P ) AS-43

45 Variabile casuale cotiua prove : x..... x i i Dx i valori di x i itervallo i x i x i +Dx fi 8 DP i f(x) dx ~ f(x i ). Dx x i Per fiito i? DP. Ripetedo M volte la serie di misure il coteuto i del geerico Dx avrà distribuzioe biomiale P,f(x ) Dx ( i ) [tederà alla poissoiaa i. co m( i ). f(x i ). Dx per grade e DP piccolo]. Valore aspettato di i : µ( i ) f(x i ). Dx s ( i ). f(x i ). Dx. ( - f(x i ). Dx) AS-44

46 Rappresetazioe grafica (istogrammi) caso discreto eveti 0 5 * * * * * * * * prove * valore aspettato P i : eveti osservati * * * x caso cotiuo eveti 5 i valori di x i itervallo i. f(x i ). Dx 0 prove 5 x i Dx Area Si i Dx Dx S i i Dx Ṅ Valore aspettato i itervallo i: µ i f(x i ). Dx Area S i µ i Dx. Dx S i f(x i ) Dx Dx. x s f(x) dx AS-45

47 QUICOCE DI GALTO 0 3 Dx : file di peri Dx : spaziatura peri 0 x p : probabilità di deviazioe a destra (i geere p ) x i k Ad ogi urto la pallia subirà spostameto Dx Coordiata x i fiale della pallia : x i D - Dx Ifatti: D :. urti co deviazioe a destra S ( - D ):. urti co deviazioe a siistra x Dx D. - ( - D ) ( D - ) Dx Dx ( D - ) Dx D 0,..., x -,..., Vogliamo valutare la probabilità che la pallia abbia alla fie x i + valori (Dx ) P (x i ) P ( D ) AS-46

48 Eveto favorevole : U sigolo urto : deviazioe a destra ua prova ogi fila di peri Dopo prove ( di file di peri), la probabilità che eveto favorevole si sia presetato D volte (essedo p la probabilità di deviazioea destra) : P,p ( D ) µ ( D ). p. p D. ( - p) - D D s ( D ). p.( - p) Se cosidero ora la variabile x f( D ): y az + b P(y) P(z a {y - b}) µ z, s z µ(y) a. µ z + b s (y) a. s z x ( D - D x Dx + ) Dx P(x) P ( D calcolato i x) µ(x) (. p - ). Dx s (x). p. ( - p). Dx D. p D.( - p) - D La probabilità che la pallia abbia coord. fiale x è ua BIOMIALE co. prove. file chiodi p prob. urto a destra AS-47

49 umeriamo caselle di arrivo della pallia da 0 a (k (umero della casella) D ) LACI RIPETUTI x k (coordiata cetro cella) k - P(k) P( D ) P(x k ) avedo posto: Dx Se faccio laci di pallie, quale è la probabilità di trovare m k pallie i cella k? Se eseguiamo laci ( prove) e se P(k) è la probabilità che la pallia vada ella cella k (eveto favorevole), la distribuzioe di probabilità per la variabile casuale m k ( umero di successi su prove, cioè umero di pallie i cella k) è ua biomiale: P p(k) (m k ), m k. P(k) mk. Q(k) -m k Q-P 0 m k co P(k) P,p (k) k pk.( - p) -k : umero di file di chiodi p: probabilità di deviazioe a destra AS-48

50 La variabile casuale m k avrà valore aspettato e variaza: s µ(m k ). P(k) (m k ). P(k).( - P (k)) Dove µ(m k ) rappreseta il umero aspettato di pallie ella cella k se si eseguoo laci e s ( variaza deviazioe stadard) è la larghezza della distribuzioe itoro al valore aspettato. otare che: s (m k ) m(m k ). P(k). - P(k). P(k). - P(k) Larghezza relativa distribuzioe itervallo fluttuazioe valori osservati itoro a valore aspettato/valore aspettato Quidi s µ decresce come per u dato P(k) OTARE: se P(k) <<, - P(k) & s (m k ) ~ µ (m k ) s µ µ AS-49

51 TRACCIA SUGGERITA ESPERIEZA (P 0.5; XD ) Verifica valore aspettato e variaza variabile x determiazioi di x co Miglior stima di µ e s : laci x S i x i s S i (x i - x) ( - ) ~ S i x i - x ( - ) ~ ella geerica cella k, m k pallie; osservato m k volte x k k - S i x i S S i x i S 0 k x k. m k 0 k (x k. m k ) AS-50

52 Cofroto valori misurati valori aspettati (Stime) x, s(x) µ(x), s(x) Per buo accordo alto umero di laci ( 30, ) Cofroto distribuzioe aspettata e distribuzioe osservata variabile m k Valore aspettato di m k i cella k avedo effettuato laci: µ k µ(m k ). P(k) Cofrotare, per ogi cella k, µ k co valore osservato m k. Verificare, utilizzado il test del c (vedi dopo),l'accordo fra distribuzioe aspettata e distribuzioe osservata. Accordo (visivo)migliora co s µ AS-5

53 Co stesso valore di fare due serie co piccolo e grade Cofroto distribuzioe osservata e distribuzioe aspettata per u determiato m k Fisso ua cella k j M serie di laci m k umero di pallie i cella k ella serie j(j, M) Distribuzioe aspettata per i, i i umero di volte che si osserva m k i cella k i (m i k ) M. i P(m k ) co P(mi m k ) m P(k) k -m i.. Q(k) k k i i i i(m k ) 0 m k m k i AS-5

54 DISTRIBUZIOE DI POISSO Eveto casuale E cui è associata variabile casuale t co le segueti caratteristiche : ) Desità di probabilità uiforme f(t) l dp l dt ) Eveti statisticamete idipedeti 3) Probabilità trascurabile di avere più di u eveto i dt Distribuzioe di probabilità che i u itervallo (0, t) si verifichio k eveti: P (k, t) dp (, dt) l dt dp(0, dt) - l dt P(k, t + dt) P(k -, t). dp(, dt) + P(k,t) dp (0, dt) P(k -, t). l dt + P(k, t). ( - l dt) P(k, t + dt) - P(k, t) l. P(k -, t) - l. P(k, t) dt dp(k, t) dt + l. P(k, t) - l. P(k -, t) 0 AS-53

55 k 0 P(k -, t) 0 dp(0, t) dt - l P(0, t) k dp(, t) dt P(0, t) e -lt P(0, 0) + l. P(, t) - l e -lt 0 Sol. : P(, t) lt. e -lt ifatti: l e -lt - l te -lt + l te -lt - l e -lt 0 k.. dp(, t) dt + l. P(, t) - l t. e -lt 0 k P(k, t) ( l t) k k! e -lt t : costate; m l t costate m P m (k) k k! e -m k: variabile casuale discreta fra 0 fi + 8 Distribuzioe di Poisso (dipede da u solo parametro: m) ormalizzazioe : 8 S 0 k m k k! e -m 8 0 e -m. S k m k k! e -m. e +m sviluppo i serie di e m AS-54

56 Valore aspettato : 0 k 8 k' k - 8 m k µ E[k] Sk k e-m m e -m 0 k! m e -m Variaza : 8. m k' Sk' 0 e m µ m k'! m. e-m. e m. 8. Sk otare: m k- (k -)! P m (k) P m (k -) crescete fio a k m P m (m) P m (m - ). m k E k Sk 0 k' k - s E (k - m) E k - m 8 m k 8 Sk' 0 m k k! (k' + ) e -m 8 m Sk m k' k'! s m(m + ) - m k m k- e (k - )! -m e -m m E [k' + ] m (m + ) s m s m AS-55

57 La distribuzioe di Poisso si può ache otteere da distribuzioe biomiale per molto grade, p molto piccolo (. p limitato). Ifatti (esempio decadimeto radioattivo): per ogi itervallo di tempo t: p : probabilità di decadere ) Si fao prove ( uclei che possoo decadere) ) Si ottegoo k "successi" ( k decadimeti) p : molto piccolo : molto grade p : limitato P,p (k) lim fi8 pcost. k p k ( - p) -k -p~ se p piccolo lim fi8 lim. fi8 lim - fi8 µ(k). p s (k) ~ p. i Poisso m p m.( - )... ( - k +) k!.( - )... ( - k +) k m k mk k! datoche kfiito m -k - - m - m k m k -... k- -.. k! - m - m k m k e k! -m Ricordare che: lim + xfi8 a x x e a lim - fi8 m e -m c.v.d. AS-56

58 DIMOSTRAZIOE ALTERATIVA: lim fi8 p m! k! ( - k)!. p k ( - p) -k! ~ p. e - FORMULA DI STIRLIG :. >> lim fi8 k! -k p p ( - k).. e - ( - k) -k. e -(-k). k m. m -k - lim fi8 k! m k m -k - k -k -. e k e -m e -k Ricordare: lim + xfi8 a x x e a m k. e k! -m AS-57

59 Es. Decadimeto uclei radioattivi : Se m è umero medio di decadimeti per uità di tempo (m media), la probabilità di osservare k dec. ell'uità di tempo è data dalla : P m (k) m k e k! -m 0 dec./u.t. ; Probabilità di 0 dec.? 0 P 0 (0) 0 e ! -5 0 P 0 (0) 0 e ! µ m s m P(m - m k m + m )? P 0 (7 k 3) F 0 (3) - F 0 (7) Se m 4: P 4 ( k 6) F 4 (6) - F 4 () AS-58

60 Es. (Esperimeto di Rutherford) Sorgete a su bersaglio coteggio umero di particelle co agolo di "scatterig" q 608 coteggi da 7.5 s; particelle i totale i media 3.87 particelle/coteggio m 608 Verifica della distribuzioe Poisso del umero di particelle osservate i u coteggio: Prove fatte: 608 Probabilità di osservare k particelle i u coteggio : P m (k) m k e k! -m umero aspettato di coteggi i cui osservo k particelle, avedo fatto prove (da biomiale) : k. P m (k) k k (osservato) k (aspettato) s k AS-59

61 Es. Coteggi da rivelatore co e < umero medio per uità di tempo di particelle el rivelatore : (co distribuzioe di Poisso) r: umero di particelle osservate ell'uità di tempo P (r)? Per avere r coteggi, r particelle el rivelatore co p probabilità del rivelatore di osservare particella 8 P(r) S P (). B,p (r) r quale è: S 8. r!. e-. pr (. r - p) -r 8.. r! (p) r e - Sr.(p) r. r! e -. e (-p) (p) r e r!.. -p P p (r) Poisso co m p -r ( - r)!..( - p) sviluppo i serie di e k co k ( - p) AS-60

62 DISTRIBUZIOE UIFORME f(x) b - a F(x) b - x b - a? b µ E[x] x dx b - a a b - a x b a b - a b - a (b + a) s E (x - µ) E x - µ? b E x x dx b - a a b - a b 3 - a 3 3 s - a 3 - (b + a) 3(b - a) 4 (b - a) 3 b - a b3 (b - a) m (b + a) s (b - a) s (b - a) (b - a). Dx s Dx 3 P(µ - s x µ + s) 3 Dx Dx 0.58 AS-6

63 DISTRIBUZIOE ESPOEZIALE 0 8 s f b (x) b e-x/ b f(x) dx b µ(x) b b b x x 8 0 e-x/ b dx e -x/ b 0 0 e -x/ b dx - x. e -x/ b 8 8 b > e-x/ b 0 dx itegrado per parti : u x v e -x/ b dv - b e-x/ b dx x e -x/ b dx - b b -. b 3 - b b x e ax dx eax a x - x a + a µ(x) µ f m (x) m e-x/m s (x) µ AS-6

64 CUMULATIVA DELLA DISTRIBUZIOE ESPOEZIALE x F(x) m e -x'/ m 0 dx' -e -x/m P(µ - s x µ + s) F(µ) - e µ AS-63

65 Esempio Distribuzioe del Dt fra due particelle cosecutive i u fascio co distribuzioe temporale uiforme. Dt tot particelle t - t f(t) t t 0 t t f(t) cost t t t Fissato arbitrariamete t 0 : 0 particella i Dt " " dt dp(dt ) e -ldt. l dt P(0, t) dp(, dt) (vedi pag. AS-54) f(dt ) dp( Dt ) dt l. e -ldt l tot t - t µ(dt ) l t - t tot AS-64

66 DISTRIBUZIOE DI GAUSS (ORMALE) f(x) p e - (x - x o ). a. a ; f(x)dx Simmetria itoro a: x x o x o - a, x o + a soo i puti di flesso d f dx 0 a misura la larghezza della distribuzioe 3 massimo: f(x x o ) p. a df dx 0 Valore aspettato µ E[x] p.a +8-8 xe- (x - x o ) a dx cambiado variabile: t x - x o a dt a dx p +8 (a. t + x o ) e- t -8 dt Gauss co x o 0 a a p +8-8 t. e - t dt + x o p +8-8 e - t dt x o 0 AS-65

67 f(x) x o - a 0.5 t 0.5 t x o.5 a x o 3.5 a x AS-66

68 Variaza x o s E (x - µ) p a (x - µ) (x - µ) e- a dx a p t x - µ a t. e - t dt a dx dt itegrado per parti u t du dt v e - t dv t. e - t dt u. dv u. v vdu - a t p. 0 e - t a p e - t dt Gauss x 0 a a f(x) p s. e-(x - µ) s Distribuzioe di Gauss AS-67

69 F(x) -8 x p.s - µ) e-(x' s dx' Cumulativa Variabile ridotta t x - µ s dt dx s Se x ha fuzioe di distribuzioe f(x), t t(x) g(t) dx dt. f(x t) Fuzioe uiversale g(t) s.. p s t e - µ 0 Gaussiaa s Cumulativa G(t) t -8 g(t') dt' g(t) e G(t) tabulate. AS-68

70 ~ g(t) t G(t) t AS-69

71 Il coteuto probabilistico di u itervallo Dx per la fuzioe di Gauss si ottiee usado G(t): P µ, s (µ- t o D, µ+d) P(-t o, t o ) g(t) dt t o g(t) dt -to 0 t o x o - µ s Se si ha G(t) tabulata fra 0 e t -8 t o 0 g(t) dt - g(t) dt -8 G(t o ) - G(0) G(t o ) - G(0) 0.5 G() G() G(3) G(4) g(t) G(t o ) G(0) t o t P(µ ± s). G() P(µ ± s). G() P(µ ± 3s). G(3) P(µ ± 4s). G(4) AS-70

72 P(a x b) G b - µ s - G a - µ s Se, fissato P P o, voglio ricavare (a, b)? P o G b - µ s a - µ - G ifiite soluzioi s Se richiedo itervallo simmetrico: (itoro a µ) P o G b - µ s - b - µ G P o + s Es: P o 0.9 b - µ G 0.95 s b - µ s.645 b - µ.645. s P(x > µ + s) - G() P(µ - s x µ + s) ( - G()) AS-7

73 Fuzioe di distribuzioe di più variabili casuali Dato u feomeo causale che dipede da più variabili casuali x (x, x,... x ) Si può defiire ua desità di probabilità cogiuta f(x) f(x,... x ) f(x) dx c E G(x) G(x) f(x) dx c E x i x i f(x) dx µ i c E (x i - µ i ) (x i - µ i ) f(x) dx c E (x i - µ i ) (x j - µ j ). (x i - µ i ) (x j - µ j ) f(x) dx c AS-7

74 (x i x j + µ i µ j - x i µ j - x j µ i ) f(x) dx c E x i x j + µ i µ j - µ i µ j E x i x j -E x i. E x j V ij V ij : matrice di covariaza I II è ua matrice simmetrica V ij V ji elemeti diagoali V ii s (x i ) III i? j V ij : covariaza (x i, x j ) > 0 < 0 Coefficiete di correlazioe r (x i, x j ) : r (x i, x j ) V ii V ij. V jj cov(x i, x j ) s i. s j - r(x i, x j ) r 0 scorrelate r ± completamete correlate Ifatti : (es) s (x +ax ) s (x ) + a s (x ) + a. cov(x x ) [Vedi dopo combiazioi lieari di variabili casuali] AS-73

75 Dato che s (x +ax ) è per defiizioe 0 : s (x ) + a s (x ) + a cov(x x ) 0 Dividedo per s (x ) : + a s (x ) s (x ) + a s (x ) s(x ). cov(x x ) s(x ). s(x ) 0 a a r(x x ) + a + ar 0 per ogi a r - r Se le x i soo mutuamete idipedeti: f(x... x ) f(x ) f(x. )... f(x ) E{x i x j } x i x j f(x i )... f(x ) dx... dx x i x j f(x i ). f(x j ) dx i dx j x i f(x i ) dx i. x j f(x j ) dx j E{x i }. E{x j } (vedi pag. prec.) cov(x i x j ) 0 per j? i AS-74

76 Es. x e x idipedeti 0 < x < 0 < x < x 0 F. di distribuzioe uiforme etro C C f(x, x ) x Ifatti: 0 0 f(x,x ) dx dx x x f(x,x ) dx dx x 0 x x x " 0 µ µ s x V (x -µ ). f(x,x ). dx. dx (x -µ ) dx x 0 x x E -µ x x µ x - V (x- µ x ) (x - µ ) f(x x ) dx dx x (x - µ ) dx (x - µ ) dx 0 AS-75

77 x e x correlati x 0 0 x + x C F. di distribuzioe uiforme etro C x 0 < x < 0 < x < f(x,x ) cost. f(x,x ) dx dx C f(x,x ) 4 p area pr 4 µ x 4 p x dx dx 4. 0 p x. - x. dx 0.4 s x V 4 p 0 0 -x 0 (x - µ x ) dx dx 4.. (x p - µ x ). -x dx x 0 V 4 p 0 (x - µ ) dx x 0 -x (x - µ x ) dx r AS-76

78 DISTRIBUZIOE GAUSSIAA MULTIVARIATA La fuzioe di distribuzioe di variabili casuali gaussiae correlate: f(x) k. e T.. -/(x - a) B (x - a) k (p) /. (DET B - ) / Co: a (µ, µ... µ ) B - C Matrice delle covariaze di x,... x f(x). dx (x - µ,... x - µ ) B..... B B..... B x - µ.... x - µ AS-77

79 DISTRIBUZIOE GAUSSIAA BIDIMESIOALE Distribuzioe biormale C s cov (x x ) cov (x x ) s B - B s - cov (x x ). s - cov (x x ) - cov (x x ) s s se (x x ) soo scorrelate (cov (x x ) 0): B /s 0 0 /s (x - µ, x - µ ) /s 0 0 /s. x - µ x - µ (x, µ, x - µ ) x - µ s x - µ s (x - µ s ) + (x - µ ) s f (x, x ) p. s s. e - (x - µ ) s. e- (x - µ ) s Prodotto di gaussiae AS-78

80 el caso i cui x e x soo correlate: r cov (x x ) s s moltiplico e s divido per C s s s s r s r s s B può essere scritta: B s - r s s - r - r s s s f(x x ) p s s - r. e -/ G G (x - µ ) (x + - µ ) - r s s - r x - µ x - µ s s f(x, x ) x x Probability desity of a bivariate Gaussia distributio AS-79

81 FUZIOI LIEARI DI VARIABILI CASUALI y(x,... x ) i a i x i Valore aspettato: E[y] E[S i a i x i ] S i a i E[x i ] S i a i µ i Dato che E è u operatore lieare Variaza: E[(y - µ y ) ] E S i a i x i - S i a i µ i E S i a i (x i - µ i ) E S i a i (x i - µ i ) + S a i a j (x i - µ i ) (x j - µ j ) i?j S i a i si + S a i a j. cov (x i, x j ) i?j AS-80

82 Se le variabili x i soo idipedeti: y? a i. x i i µ y? a i. µ x s y i? a i. s i i xi Ma: forma della ƒ y, date le ƒ x? Difficile i geerale ma: i Alcui casi particolari a) Distribuzioi gaussiae b) "Tate" f(x i ) qualsiasi (sottoparticolari codizioi) AS-8

83 FUZIOI LIEARI DI VARIABILI CASUALI CO DISTRIBUZIOE "ORMALE" (GAUSSIAA) Date variabili casuali x i co fuzioe di distribuzioe gaussiaa ("ormale") f(µ i, si) la fuzioe : y? a i. x i i avrà acora ua fuzioe di distribuzioe "ormale" (si può dimostrare) f(µ y, sy) co : µ y? a i. µ i i s y? a i. si i e segue che la media x? di u campioe di dimesioe di ua variabile "ormale" (sx, µ x ) è acora i x i ua variabile "ormale" co: µ x µ x e sx sx [Ogi x i può essere cosiderata ua variabile casuale co f. di distribuzioe ormale] AS-8

84 TEOREMA DEL LIMITE CETRALE Date variabili casuali idipedeti x i co fuzioi di distribuzioe qualsiasi (µ i, si fiita), la fuzioe: y? a i. xi i el limite fi 8 avrà distribuzioe "ormale" co :? a i µ i µ y i s y? a i s i Codizioi di validità molto ampie, ma : è importate che le s i siao tutte fiite e paragoabili, cioè essua domia le altre..b. Se le ƒ i soo cocetrate attoro al valore aspettato (s i piccole), il teorema è valido già per valori piccoli di. AS-83

85 Es.: T y x y x + x y x + x + x 3 T µ T s T µ T µ 3 s T T s T 4 0 T T 3 T T 3 p e-3(x-t) /T T p e-(x-.5 T) /T Gaussiaa co stessa µ, s Gaussiaa co stessa µ, s ES. Geeratore di umeri a caso co distribuzioe Gauss G (0, s): otteuto co la somma di umeri a caso co distribuzioe uiforme i (0, ). y? x i i - µ. - s. 0 Buo accordo co gaussiaa per > 5 0. Per si ottiee G (0, ).B. Il teorema del L.C. ha validità più geerale. AS-84

86 Il modello di Laplace degli errori di misura Sia x* il valore vero di ua gradezza fisica, x il risultato di ua geerica misura. x x* a causa degli errori di misura che assumeremo puramete casuali Modello di Laplace : errore di misura isieme estremamete grade (fi 8 ) di disturbi cotemporaei molto piccoli (fi ifiitesimi) Ogi disturbo ± e (50% + e, 50% - e ) Ogi disturbo è statisticamete idipedete Se soo i disturbi e k i disturbi +e : x x* + ke -( -k) e x* + (k - ) e P,p (k)! k! ( - k)! p k. q -k co : p probabilità di disturbo + e AS-85

87 µ(k). p s (k) pq l : scarto di k dal suo valore aspettato k - p l k p + l - k. q - l 0 k -p l. q P,p (l)! (p + l)! (q - l)!.. p p + l q q - l µ(l) E[l] E[k] -. p 0 s (l) E[(l - E(l)) ] 0 E[(k - p) ] pq Al crescere di si può utilizzare per! la formula di Stirlig :! ~ p. +/. e - I (p + l)! p (p + l) p+l+/. e -p-l p ( + p l ) p+l+/. e -p-l. (p) p+l+/ AS-86

88 II (q - l) p - l q q - l + e -q + l (q) q - l + I e II P,p (l). valide per l lotao dai suoi limiti p + l q p p + l p+l+/. p q + e - q q - l p - p p + l +. q q - l + l q - p q p-l+/ e -q -q. + /. p. pq. + l q. - l q -p-l- -p+l- OTE: I P,p (0) p. pq Valore massimo Sk P(k) P(0) fi 0 come ; quidi il umero di valori di l per cui P(l) o è trascurabile rispetto a P(0) deve divergere come, ache se il umero totale di valori di l diverge come +. II La formula approssimataper P(l) oè validaper l ~ -pe l~ q; mai questi itori P(l) è trascurabile rispetto a P(0). AS-87

89 Cosideriamo ora: lg + l p p - l - - l q p + l - p + l + lg + l p - q - l + lg - l q l p e l q soo << lotao dagli estremi. lg ( + x) x - x + x p + l l + - p l p +... p - l l l q q l pq - l - p - q + l p q +... Per l ~ (uici valori o trascurabili) solo I termie fiito (secodo fi 0, terzo fi 0, altri come ). AS-88

90 lg k ~ - l pq k e - l pq P(l) ~ p pq e - l pq P( l) ~ p s l. e - l s l Ma el modello di Laplace: p x l* + (k - ). e p + l p + l -.. / + l - l x* + le (x - x*) le E[x] E[x* + le] x* + e E[l] 0 E[(x - x*) ] E [(le) ] 4e E[l ] 4e s l AS-89

91 Per e fi 0 (x da discreta a cotiua) : P(x)? l?x. P(l) e l l (x) P(x) e p s l. e - l s l x x* + le s x es l P(x) p s x e - (x - x*) s x c.v.d I questo caso P(x) rappreseta ua desità di probabilità La misura di ua gradezza fisica è ua variabile casuale co f. di distribuzioe gaussiaa (ormale). Il valore aspettato di tale variabile casuale è proprio il valore vero della gradezza. AS-90

92 MISURA DI UA GRADEZZA FISICA (Caso geerale) ) Ammettiamo che esista u valore "vero" x* della gradezza. ) Ammettiamo che esistao molte sorgeti () di disturbo della misura. Queste sorgeti geerao degli errori casuali ei che hao le segueti proprietà: µ(ei) ei f(ei) d ei 0 s (ei) ei f(ei) d ei fiito (essua ipotesi sul tipo delle f(e i )) Potremo quidi scrivere per la geerica misura di x, x M : x M x* +? i e i e? i e i x M x* + e Per il teorema del limite cetrale la variabile casuale e, somma di variabili casuali a variaza fiita, per fi 8 avrà distribuzioe ormale co valore aspettato e variaza: µ(e)? i µ(ei ) 0 s e? i s (e i ) f(e) e - e p s s e e AS-9

93 Per il teorema della addizioe di variabili ormali, x M sarà acora ua variabile ormale co : µ x x* + µ x* M e y ax + b s x M se µ y aµ x + b s y a s x f(x M ) p sxm. (x M - x*) e - s x M Dimostreremo (vedi prossime lezioi) ache che: h se si eseguoo misure x i della gradezza, cioè se si estrae u campioe di dimesioe dalla popolazioe (ifiita) della variabile x M (che ha fuzioe di distribuzioe ormale), la miglior stima di µ x (cioè del valore x* della M gradezza fisica) sarà dato da: x? i x i (media aritmetica delle x i ) AS-9

94 e che la miglior stima di s x : M s? i (xi - x ) - (scarto quadratico medio) La media x, essedo combiazioe di variabili casuali ormali, avrà a sua volta distribuzioe ormale co : µ (x) x* s (x) Idicheremo il risultato di misure ripetute (co stesso metodo elle stesse codizioi) di ua gradezza fisica co la otazioe: sx x x ± s x x ± s x x? i xi Co questa otazioe si itede : s x? (x i - x) - P( x - x* s x ) 68% Cioè la probabilità che l'itervallo: x - s x x* x + sx cotega x* è il 68% Risultato di ua sigola misura x i (assumedo oto s x ) : x x i ± s x AS-93

95 f(x) 0,399? +8-8f(x) dx WP GAUSS WP σ uiforme σ σ, , ,7% 95,45% 99,73% GAUSS 57,8% uiforme AS-93 bis

96 PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI (STATISTICI) Misura idiretta di ua gradezza fisica: y f(x,... x ) Dove x i soo gradezze fisiche misurate direttamete (x i ± s i ); dato che le x i soo variabili casuali, ache la y sarà variabile casuale. Se sviluppiamo y i serie di Taylor i u itoro di (µ,... µ ) [valori aspettati delle x i ]: y y(µ,... µ ) +? i (x i - µ i ) +...?y?x i µ i Se trascuriamo i termii di ordie superiore (cioè assumiamo che le x i siao i u itoro dei loro valori veri µ i ) y è combi azioe lieare di variabili casuali distribuzioe ormale (quidi) co y ha fuzioe di distribuzioe ormale co : µ y y(µ,... µ ) (dato che (x i - µ i ) ha valore aspettato 0) AS-94

97 Per la variaza: s y E[(y - µ y ) ] E? i?y E? i?y?y? j?x i µ i?x j µ j?x i µ i (x i - µ i )..(x i - µ i ). (xj - µ j )? i??y?y j?x i µ i?x j µ j.. E (x i - µ i ). (xj - µ j ) V ij E (x i - µ i ) (x j - µ j ) E x i x j + µ i µ j - x i µ j - x j µ i (V ij V ji ) V ij E [x i x j ] + µ i µ j - µ i µ j E [x i x j ] - µ i µ j s y? i?y LEGGE??y j. DI PROPAGAZIOE V?x i?x ij j ERRORI STATISTICI s y? i s?y?x i x i +? i? j?y i? j?y. V?x i?x ij j Se le x i soo statisticamete idipedeti : (Vij 0 i? j)?y?x i s y? i sx i LEGGE DIPROPAGAZIOE ERRORI STATISTIC I (x i scorrelate) Questa legge di propagazioe degli errori è esatta solo se y è fuzioe lieare della x i. AS-95

98 a el caso i cui y sia u moomio : y? x i i i LEGGE D IPROPAGAZIOE ERRORIRELATIVI x i correlate: sy ai y? i. si x i +? i? j a. i aj. si rij.. i j x i sj x j xi scorrelate: sy ai y? i. si x i AS-96

99 STIMA DEI PARAMETRI DELLE DISTRIBUZIOI Se distribuzioe di probabilità o fuzioe di distribuzioe o ote a priori : umero ifiito di prove per determiarla Esperimeto co. fiito di prove : "campioe" di dimesioe della popolazioe Aalisi statistica dei dati (risultato delle prove) permette ua stima delle proprietà (delle gradezze caratteristiche) della distribuzioe e permette di valutare botà della stima. BOTA' : probabilità statistica che il valore vero del parametro cada i u certo itervallo itoro alla stima otteuta (itervallo di cofideza) Stime co campioi di egual hao botà equivaleti. Stime co maggiore hao itervalli di cofideza più stretti. AS-97

100 . CAMPIOAMETO Estrazioe di valori della variabile casuale fi campioe di dimesioe x () x () x (m) x (m) m CAMPIOI Se cosidero : (j) (j) (j) x (x... x ) _ x sarà acora ua variabile casuale co _ f(x) f(x... x ) Il campioe sarà casuale se : I x i idipedeti f(x... x ) f(x )... f(x ) II x i tutte co la stessa formula di distribuzioe: f(x )... f(x ) f(x) Ua geerica fuzioe di u campioe: "statistica" AS-98

101 Ua "statistica" si usa per stimare i parametri di ua fuzioe di distribuzioe Estimatore S(x... x ) S è ua variabile casuale se a soo i parametri icogiti: ^stima a a S U estimatore gode delle segueti proprietà: ) ASSEZA DI DISTORSIOE Per u campioe fiito, u estimatore è o distorto se: E[S(x,... x )] E[a] ^ a* (per ogi ) Se la distorsioe tede solo asitoticamete a 0 lo estimatore si dice asitoticamete o distorto. ) COSISTEZA Al crescere delle dimesioi del campioe l'estimatore coverge al valore vero del parametro : per 8 s a ^ 0 3) 4) EFFICIEZA La stima otteuta da u estimatore avrà ua certa variaza; è più efficiete u estimatore co variaza miore. (A parità di dimesioi del campioe). IVARIAZA SOTTO TRASFORMAZIOE DEI PARAMETRI Se a^ è la stima del parametro a, allora la stima per ua geerica f(a), è proprio f(a). ^ AS-99

102 Estimatore del valore aspettato : media aritmetica PROPRIETA': x (x +... x ) _ E[x] E[x] +... E[x ]. µ µ(x) o distorto Per le proprietà di fuzioi lieari di variabili casuali: a _ s (x).. s (x) s (x) è cosistete s fi 0 fi 8 3 Si può dimostrare che la media aritmetica è la stima del valore aspettato che ha la miima variaza, cioè è la più efficiete AS-00

103 Proprietà della media: I _ Somma degli scarti da x 0?? i (x i - x)? i x i - x. i x i. _ - x x - x 0 II _ Somma dei quadrati degli scarti da x miima Ifatti, scelto u geerico x:? i (x i - x)? i (x i - x) + (x - x) (x i - x) + (x - x) + (x i - x) (x - x) _ (x i - x) +. _ (x - x) + (x - x)? i (x i - x)? i? i? i 0 _ (x i - x) + (x - x) >? i (x i - x) Estimatore della variaza (scarto quadratico medio) s - _? i (x i - x) AS-0

104 Cosideriamo iizialmete: s' (x - x) +... (x - x) E[s' ] E _? i (x i - x)? _ i E (x i - µ) - (x - µ)? _ i E (x i - µ) - E (x - µ) s - s s (x) - s ( - ). s E' distorto (solo "asitoticamete o distorto") s - _? i (x i - x) Sarà ivece o distorto AS-0

105 LA LEGGE DEI GRADI UMERI (Applicata al caso della media aritmetica) Data ua popolazioe di variaza fiita s, e dati umeri positivi e' e e", esisterà sempre u umero tale che, per ogi campioe della popolazioe di dimesioe M, si avrà: P( x- µ x e') e" v v DISEGUAGLIAZA DI BIEAYME' - CEBICEV Data ua variabile casuale x co fuzioe di distribuzioe f(x) e variaza fiita s : P( x - µ ls) l per l positivo qualuque. Ifatti: P( x - µ ls) f(x) dx C* dove C* domiio i cui x - µ ls. AS-03

106 Graficamete: ± s ± s f(x) l m x s Voglio dimostrare che: f(x) dx C* l 4 f(x) x C* AS-04

107 I C* sarà ache vero : (x - µ) l s Quidi: P( x - µ ls ) C* C (x - µ) l s f(x) dx (x - µ) l s f(x) dx Dove C è tutto il campo di defiizioe di x. P( x - µ ls) l s E[(x - µ) ] l c.v.d. Ricordado che x ha variaza la diseguagliaza di B.C. : v s variaza di x s, potremo riscrivere P( x - µ l s ) l e' e" e' ls e" s l e' AS-05

108 Fissato e' ed e" (quidi l), si sceglie tale che : s e'. e" Per ogi M la diseguagliaza iiziale sarà soddisfatta. * Es.: Valore di per cui la probabilità che la media x disti da µ più di s 0%. e " 0. e'. s Ifatti se e' s, e segue che l ; l s 5 0.* s I geerale, fissato, la P( x - µ > s) : P( x - µ > s) / /5 /0 / f(x) qualsiasi f(x) gaussiaa s x s AS-06

109 * Sigificato dell'argometo : Data ua variabile casuale co distribuzioe qualsiasi, fissato u livello di cofideza richiesto (cioè ua probabilità), è possibile determiare la gradezza miima del campioe (cioè il valore di ) per cui la media è (co probabilità assegata) prossima al valore "vero" più di u dato valore (i uità di s) s popolazioe µ campioe x AS-07

110 TEOREMA DI BEROULLI Data distribuzioe biomiale: P,p (k) cosideriamo la variabile casuale : f k P,p (f) P,p (k f) p E[f] E[k] p s [f] E[k pq ] pq v Dalla diseguagliaza di B.C. : P( x - µ ls) l ls e l e s s P( x - µ e) e p. q P( f - p e) e Per fi 8 P( k - p > e) tede a 0. frequeza AS-08

111 I altre parole, per fi la probabilità che la frequeza relativa differisca dalla probabilità per più di ua quatità e assegata, tedea 0. 8 Il teorema di Beroulli è ua giustificazioe della defiizioe di probabilità i termii della frequeza relativa. AS-09

112 METODO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIAZA Stima dei parametri di distribuzioi : data ua fuzioe di distribuzioe di ua variabile casuale, co forma fuzioale ota, dipedete da u certo umero di parametri icogiti, si vuole stimare il valore dei parametri a partire da u campioe limitato della popolazioe. f(x, a) a : parametri icogiti (a... a ) x, x, x 3,... x : misure della variabile casuale (campioe) Se f è la fuzioe di distribuzioe di x, la probabilità di osservare l'isieme x... x di valori : dp f(x, a) dx f(x, a) dx... f(x, a) dx? i f(x i, a) dx AS-0

113 Se si defiisce fuzioe di verosimigliaza : L? i f(x i, a) i IL PRICIPIO DELLA MASSIMA VEROSIMIGLIAZA : La miglior stima dei parametri a è quella che rede massima la fuzioe? L L?a i 0??a i < 0 U estimatore di massima verosimigliaza gode delle segueti proprietà: L ) ASSEZA DI DISTORSIOE. E[Estimatore] valore vero (per ogi ) Gli estimatori di massima verosimigliaza soo solo asitoticamete o distorti. ) COSISTEZA. 3) (a ^ a* per 8) sa ^ 0 8 Gli estimatori di massima verosimigliaza soo cosisteti EFFICIEZA. Gli estimatori di massima verosimigliaza soo quelli co efficieza migliore. 4) IVARIAZA SOTTO TRASFORMAZIOE DEI PARAMETRI. Gli estimatori di massima verosimigliaza soo ivariati sotto trasformazioe dei parametri. AS-

114 I geerale si preferisce usare, ivece della L, il suo logaritmo: w ll? i lf(x i, a) e cercare quel valore di a che rede massimo w.?w?a 0;? w? a < 0 Es. Stima di µ e s per ua distribuzioe ormale I Stima di µ. (dati: x... x ) L p s? i e - (x i - µ) s w ll - l?w?µ? i p l(s ) /? i (x i - µ) s 0 (xi - µ) s? i x i -. µ 0 µ ^? i x i? w?µ - s < 0 Stima di massima verosimigliaza del parametro µ AS-

115 II Stima di s.?w? s - s + (x i - µ) s 4? i 0 s^? i (x i - µ) Ma µ da I, è : µ? i ^ x i x Es. s? i ^ (x i - x) Stima di massima verosimigliaza del parametro s è solo asitoticamete o distorta s o dist. Combiazioe di misure co diversa precisioe (Media pesata di misure co diversa s stesso µ). ^ s s o ( - ) dist.. - Asitoticamete o distorto x x... x s s... s L? i p si e - (x i - µ) s i w - l p -? i lsi - (x i - µ)? i s i? w? i x i - µ?µ 0 s i AS-3

116 ? i x i µ s i? i. s i ^ m? i s i? i s i x i Poedo : p i s i MEDIA PESATA ^ m? i? i p i p i x i Variaza della stima di massima verosimigliaza Si può dimostrare che per fi 8 la fuzioe di verosimigliaza L (che è la fuzioe di distribuzioe per a) tede ad ua distribuzioe gaussiaa: L (a) p s a e - (a - a*) s a Se cosideriamo w(a) l L rispetto ad a: (a) e la deriviamo volte w(a) - (a - a*) s a + cost AS-4

117 ?w?a? w?a - - (a - a*) sa sa s a -? w?a Se o si ha espressioe aalitica di w: w max w Fare grafico di w i fuzioe di a w max - parabola s a s a ^ Se: a ~ a* : w max - a a^ (a ^ - a*) s I corrispodeza ad: (a - a) ^ s a a + cost. ~ cost. se a ^ ~ a* w(a) w max - Quidi le due itersezioi co w max - : ± s a AS-5

118 Es. Variaza sulla media stima di µ µ? i x i x Errore sulla stima di µ : s µ ^ s x? w?µ s^? w?µ - s^ µ s s^ Es. Variaza sulla variaza s^ stima di s? i(x i - x) AS-6

119 ?w?s? w?(s ) - + +? i (x i - µ) s s 4 - s 4 ( s )? i s 4 - s 6 s 4 - (x i - µ).? i s 4 - s 6 (x i - µ) s 4 ^ s s ^ s s ^4 s s^ ds ds s^ 4 s s s 4 s x? x?x s x s s^ ^ s s s^ s ^ Es. Variaza sulla media pesata ^ µ? i? i? w -?m? i s i s i s i x i s ^µ? i s i AS-7

120 Es. Stima di m i ua distribuzioe di Poisso Fatte prove, soo stati osservati i valori:... Ò? i w? i e -m m i i! lge e -m m i i! - m +? i i lg e m +? i lg e i!?w?m - +? i i m 0 m ^? i i? i m? w i -?m s m^? i m m ^^ i ^m m AS-8

121 Es. Stima di p i ua distribuzioe biomiale Fatte serie di prove: k, k... k, casi favorevoli i ogi serie L? i! k i! ( - k i )! k. p i. k ( - p) - i w? i? i ki lg e p + ( - k i ). lg e ( - p) + cost?w?p p? i k i - -p? i ( - ki ) 0 ( - p)? i? i k i p? i k i - p? i ( - k i ) ki p - p? i k i p? i k i k p ^ k AS-9

122 Es. Stima parametri retta y ax + b y ± s... y ± s (y i : fuzioe di distribuzioe Gauss) x... x L? i p s i e- (y i- y i s i *) y i * a*x i + b* w -? i (y i - y i *) s i + cost max (w) (y mi? i - y i i s i *)?w?a?w?b + + (y? i - ax i - b) i s i (y? i - ax i - b) i s i. x i 0 0 a? i a? i x i s i x i s i + b? i x i s i + b? i s i? i x i y i s i? i y i s i ^a e ^ b AS-0

123 t t Es. Stima di t per distribuzioe: f(t,t) e f(t,t) dt Osservati i tempi: t... t i. prove Voglio stima di massima verosimigliaza per t. L? i t e - t i t lge + w -? i t?w? i?t - t? i +? i - t i t t i 0 t ^ t? i t i? w?t +? i t -? i t i3 t t - t 3? i t ^ t i - ^ t st^ ^ t AS-

124 IL METODO DEI MIIMI QUADRATI Date due gradezze x, y legate dalla relazioe fuzioale: y f(x, a) a : a,..., a parametri Fatte misure : y ± s... y ± s x... x [Errore su x trascurabile; f(x i + D x ) - f(x i ) << s y ] i Voglio stimare i valori dei parametri a,..., a. Se le y i hao formula di distribuzioe gaussiaa, posso applicare il metodo della massima verosimigliaza. L? i p si e - (y i - µ i s i ) w -? i (y i - µ i s i ) + cost AS-

125 (y w -? i - f(x i, a) i + cost s i ) Max (w) mi? i (y i - f(x i, a) s i ) Il pricipio dei miimi quadrati afferma che la miglior stima dei parametri a è quella che miimizza la somma: X? i (y i - f(x i, a) s i ) + cost idipedete dalla formula di distribuzioe delle y i. otare che il metodo richiede la coosceza a priori di tutte le si; el caso però i cui le si siao tutte uguali il metodo è acora applicabile ache o cooscedo s. (Altro parametro icogito) AS-3

126 MIIMI QUADRATI EL CASO LIEARE Suppoiamo che la dipedeza della y dai parametri sia lieare: y f(x, a)? k a k. fk (x) y ± s... y ± s x... x Assumiamo ioltre che la y i siao fra loro statisticamete idipedeti X y i -? k? a k f k (x i ) i s i? X? a j 0 j,..., equazioi lieari elle icogite a k? X? a j.? i y i -? k a k f k (x i ). f j (x i ) 0 s i? k a k? i. f k (x i ) f j (x i )? i f j (x i ) s i y i s i AS-4

127 ? k a k? i f k (x i ) f j (x i )? i f j (x i ) s i y i s i equazioi lieari al variare j,. Sistema di equazioi lieari elle icogite a k. A a + A. a A a b A a + A. a A a b k A a + A. a A a b j A.... A.... A.... A a..... a b.... b A jk? i b j? i f k (x i ). f j (x i ) A kj y i. f j (x i ) s i si matrice simmetrica A. a b sistema di equazioi lieari AS-5

128 SOLUZIOE: matrice iversa A - (A - A U) A -. A. a A -. b U. a a a A -. b - A kj A (-) k+j kj. A A determiate matrice A A kj miore kj della matrice A ^? - j. b j? j A kj? i y i f j (x i ) a k A kj -. s i Stima a k co miimi quadrati A - : matrice delle covariaze Ifatti si può dimostrare che : E (a k - a * k ).(a j - a *) cov (a k, a j ) j - A kj AS-6