Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

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1 CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE (Note didattiche) Bruo Chiadotto Fabrizio Cipollii Capitolo CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato teoricamete fio ad assumere u ruolo particolarmete rilevate ell aalisi dei feomei collettivi, divetado presupposto esseziale della teoria della statistica. La teoria delle probabilità è ua disciplia matematica astratta e altamete formalizzata pur coservado il suo origiale e rilevate coteuto empirico; i questa esposizioe ci limiteremo a esporre gli aspetti esseziali per la compresioe degli argometi trattati el seguito.. Esperimeto casuale, spazio campioario, eveti Defiizioe : Defiizioe di esperimeto casuale. Si dice esperimeto casuale, ogi feomeo il cui risultato o può essere previsto co certezza. Si evidezia che il termie esperimeto va qui iteso i seso lato. Ifatti comprede giochi di sorte (come il lacio di ua moeta, l estrazioe di u umero al lotto, l estrazioe di ua umero alla roulette), esperimeti di laboratorio (come il test di durata di u peumatico, la sommiistrazioe di u pricipio attivo ad u isieme di cavie o il umero massimo di battiti cardiaci di u paziete durate u test di sforzo), misurazioi fisiche (come la temperatura miima di domai i ua certa stazioe meteorologica o l itesità di ua certa scossa di terremoto) feomei ecoomici e sociali (come il umero di computer prodotti da u impresa del settore, il PIL italiao fra 5 ai, il umero di imprese che fallirao i Ighilterra el prossimo ao o il ROE di u impresa el prossimo esercizio) e più i geerale tutte le prove, operazioi, attività o feomei il cui esito o è prevedibile co certezza.

2 Defiizioe : Defiizioe di spazio campioario. Dato u esperimeto casuale, si dice spazio campioario l'isieme Ω di tutti i possibili risultati, esaustivi e mutualmete esclusivi, dell'esperimeto stesso. Tali possibili risultati soo detti puti campioari. Alcui esempi Se l'esperimeto casuale cosiste el lacio di ua MONETA a due facce, lo spazio campioario è dato da Ω {T, C} dove T è il puto campioario testa e C è il puto campioario croce. I questo esempio si è assuto (come si fa di solito) che gli uici risultati possibili siao T e C, e che quidi la moeta o possa rimaere i equilibrio sul bordo. Se ivece si ipotizza che ache questo risultato sia possibile, allora lo spazio campioario di questo esperimeto casuale è Ω {T, C, B}, dove B è il puto campioario moeta i equilibrio sul bordo. Ua situazioe aaloga al lacio della moeta si ha el caso i cui l'esperimeto casuale sia l esito di ua operazioe di fiaziameto di ua baca ad ua impresa cliete, i cui risultati possibili soo la restituzioe o meo del fiaziameto cocesso da parte dell impresa. I tal caso ifatti lo spazio campioario Ω è dato da Ω {R, NR}, dove R è il puto campioario fiaziameto restituito e NR il puto campioario fiaziameto o restituito. Se l'esperimeto casuale cosiste ell'estrazioe di u umero al lotto, lo spazio campioario è dato da Ω {,,, 90}, costituito, come è ovvio, da tutti i umeri iteri da a 90. Aalogamete se l'esperimeto casuale cosiste ell'estrazioe di u umero alla roulette, lo spazio campioario è dato da Ω {0,,,, 36}. Se l'esperimeto casuale cosiste el cotare il umero di difetti (ad esempio dei odi) i ua matassa di filato da 00 metri, lo spazio campioario è dato da

3 Ω {0,,, }. cioè da tutti i umeri iteri o egativi, dato che il umero di difetti è u umero itero e o è possibile stabilire a priori il umero massimo. Ua situazioe aaloga si ha se l esperimeto casuale cosiste el cotare il umero di accessi ad u certo sito iteret ell arco di u ao oppure el cotare il umero massimo di battiti cardiaci durate u test di sforzo. Se l'esperimeto casuale cosiste el test di durata di u peumatico, lo spazio campioario è costituito da Ω [0, + ), cioè tutti i umeri reali o egativi, dato che la durata è u umero che o può essere egativo. Ua cosiderazioe aaloga vale per l itesità di ua scossa di terremoto, dato che questa, se misurata si scala RICHTER, sarà u umero o egativo (0 se o c è stata essua scossa). Se l'esperimeto casuale cosiste el valutare il ROE di u impresa el prossimo esercizio, lo spazio campioario è costituito da Ω (, + ) dato che il ROE di u impresa può essere u qualsiasi umero reale. Se l'esperimeto casuale cosiste el misurare la temperatura (i gradi cetigradi) i ua certa stazioe meteorologica, lo spazio campioario è costituito da Ω [ 73, + ), dato che secodo la fisica la temperatura o può scedere sotto lo 0 assoluto (circa 73 C). Riepilogado, allora, lo spazio campioario è l isieme dei risultati possibili dell esperimeto campioario cosiderato. Dagli esempi riportati possiamo otare che lo spazio campioario può essere costituito da u umero fiito di puti campioari (come el caso del lacio della moeta, dei pezzi buoi/difettosi, delle pallie estratte da u ura o dell estrazioe alla roulette), oppure da u ifiità umerabile di puti campioari (come el caso del umero di computer prodotti, del umero di accessi ad u sito iteret o del umero di battiti cardiaci), o ifie da u ifiità o umerabile di puti campioari (come el caso del test di durata di u peumatico, del PIL italiao fra 5 ai, della temperatura di u luogo o del ROE di u impresa). 3

4 Defiizioe 3: Defiizioe di eveto. Dato uo spazio campioario Ω relativo ad u certo esperimeto casuale, u eveto è sempre u sottoisieme di Ω. Tuttavia: se Ω è costituito da u umero fiito o da u ifiità umerabile di puti campioari, è eveto ogi sottoisieme A di Ω; se ivece Ω è costituito da u ifiità o umerabile di puti, o tutti i possibili sottoisiemi di Ω soo eveti ma soltato i cosiddetti sottoisiemi ammissibili di Ω. I ogi caso, comuque, u eveto è u sottoisieme di Ω ed è quidi costituito da u isieme di puti campioari. Precisiamo ioltre che el caso i cui Ω sia costituito da u ifiità o umerabile di puti, i sottoisiemi o ammissibili soo piuttosto artificiosi da costruire: i sottoisiemi ai quali si è comuemete iteressati (vedremo poi alcui esempi) soo tutti ammissibili. Defiizioe 4: Verificarsi di u eveto. Dato uo spazio campioario Ω relativo ad u certo esperimeto casuale, l eveto A si verifica (si realizza) solo se il risultato dell esperimeto casuale è u qualsiasi puto campioario di A; i caso cotrario A o si verifica. Le due defiizioi precedeti ci cosetoo di precisare che soo eveti ache: Ω stesso, che coteedo tutti i puti campioari deve per forza verificarsi ed è quidi detto eveto certo (importate: i geerale tutti gli eveti certi possoo essere idicati co Ω). tutti gli eveti del tipo {ω}, cioè costituiti da u solo puto campioario ω, che come tali soo detti eveti elemetari; ø, che o coteedo alcu puto campioario o si potrà mai realizzare e che è quidi detto eveto impossibile (importate: i geerale tutti gli eveti impossibili possoo essere idicati co ø). 4

5 Alcui esempi Se l'esperimeto casuale cosiste el lacio di ua moeta a due facce, soo eveti: {T}, {C}, Ω {T, C}, ø. Questi soo ache gli uici eveti che possoo essere defiiti ell esperimeto casuale idicato. {T} e {C} soo eveti elemetari i quato costituiti da u solo puto campioario; Ω è l eveto certo (ifatti è certo che dal lacio vega T o C); gli eveti {BABBO} oppure {CANE, GATTO} soo impossibili e possoo essere rappresetati, come tutti gli eveti impossibili, col simbolo ø. I questo esperimeto casuale implicitamete abbiamo escluso che la moeta possa rimaere i equilibrio sul bordo. Quidi ache l eveto {B} è impossibile e può essere idicato co ø. Se ivece ell esperimeto della moeta a due facce è possibile che la moeta rimaga i equilibrio sul bordo allora soo eveti: {T}, {C}, {B}, {T, C}, {T, B}, {C, B}, Ω {T, C, B}, ø; questi soo ache gli uici eveti che possoo essere defiiti i questo esperimeto casuale. {T}, {C} e {B} soo eveti elemetari, metre {T, C} o è più l eveto certo (ifatti o è certo che vega T o C, dato che è possibile che la moeta rimaga sul B); {B} o è più impossibile metre rimagoo impossibili (e quidi idetificabili co col simbolo ø) gli eveti {BABBO} e {CANE, GATTO}. Se el lacio viee B allora si realizzao tutti gli eveti che cotegoo B ({B}, {C, B}, {T, B} ed ovviamete Ω), metre o si realizzao tutti quelli che o lo cotegoo ({C}, {T}, {T, C} ed ovviamete ø). Ua situazioe simile a quella del lacio della moeta si ha el caso i cui l'esperimeto casuale sia l esito di ua operazioe di fiaziameto di ua baca ad ua impresa cliete. [Lo studete provi per coto proprio a scrivere gli eveti che possoo essere costruiti i questo caso, idicado quali soo quelli che si verificao se l esito è NR] Se l'esperimeto casuale cosiste ell'estrazioe di u umero al lotto, costruire l eleco di tutti gli eveti possibili è u operazioe lughissima (e ache iutile!). Siccome lo spazio campioario cotiee u umero fiito di puti campioari tutti i sottoisiemi possibili di Ω soo eveti, ivi compresi Ω stesso e ø. Ad esempio {33}, {99}, { 0 }, {55, 58}, { 3,.5} {99, 5}, {umeri pari}, {umeri divisibili per 0}, {umeri reali}, soo tutti eveti. Fra questi {99}, { 0 } e { 3,.5} soo impossibili e possoo essere idicati co ø; gli altri soo ivece possibili (ivi compreso {99, 5}: se ifatti viee fuori il 5 questo eveto si realizza); {umeri reali} è certo e può essere idicato co Ω. Se viee estratto il 30 allora si verificao tutti gli eveti che cotegoo il 30 (ad esempio 5

6 si verificao {umeri pari}, {umeri divisibili per 0}, {30, 60, 90} e, aturalmete, Ω) metre o si verificao quelli che o lo cotegoo (ad esempio o si verificao {dispari}, {umeri divisibili per 7}, {,, 33} e, aturalmete, ø). Se l'esperimeto casuale cosiste el cotare il umero di difetti i ua matassa di filato da 00 metri, costruire l eleco di tutti gli eveti possibili è u operazioe impossibile, dato che Ω cotiee ua ifiità umerabile di puti campioari. Ache i questo caso, comuque, tutti i sottoisiemi di Ω soo eveti. Ad esempio soo eveti possibili {0}, {33}, {99}, {55, 58}, {99, 5}, {umeri pari}, {umeri divisibili per 0}; {umeri reali}, {umeri o egativi} coicidoo co l eveto certo Ω; soo ivece impossibili { 0 }, { 8}, { 3,.5}, {umeri egativi} che possoo essere quidi idicati co ø. Se l'esperimeto casuale cosiste el test di durata di u peumatico, allora o tutti i sottoisiemi di Ω soo eveti ma soltato quelli ammissibili; tuttavia, come idicato, quelli ai quali si è comuemete iteressati soo tutti ammissibili. Soo allora eveti possibili {0}, {33}, { 0 }, {3/4, 58}, [3,9), (, 5), {umeri divisibili per 0}; {umeri reali}, {umeri o egativi} coicidoo co l eveto certo Ω; soo ivece impossibili { 55}, [, ] che possoo essere quidi idicati co ø. [Lo studete provi per coto proprio a sviluppare i modo aalogo ai precedeti altri esempi di esperimeti casuali] E chiaro che poiché lo spazio campioario Ω cotiee solo i risultati possibili, e poiché gli eveti soo sottoisiemi di Ω, è coveiete ripulire gli eveti dai puti campioari impossibili quado li cotegoo. Per defiizioe tutti i risultati possibili devoo essere iclusi; tutto il resto è impossibile. Relativamete agli esperimeti casuali più semplici o s'icotrao, usualmete, difficoltà ell'idividuazioe e ella successiva eumerazioe dei puti campioari che e costituiscoo i possibili risultati. I esperimeti più complessi possoo risultare di aiuto alcue formule combiatorie (richiamate i appedice al capitolo) che facilitao tale operazioe. L utilità di tale eumerazioe sarà più chiara quado si parlerà di probabilità. 6

7 Riepilogado, lo spazio campioario Ω è l isieme dei risultati possibili dell esperimeto campioario cosiderato, metre u eveto è sempre u sottoisieme di Ω. Spesso è utile operare sugli eveti, combiadoli fra di loro i modo opportuo, per creare di uovi a secoda dell iteresse di chi studia il feomeo (esperimeto casuale) cosiderato. D altra parte poiché come detto gli eveti soo i tutto per tutto degli isiemi è iutile ivetare u modo uovo per operare sugli eveti: coviee predere a prestito dalla matematica gli strumeti della teoria degli isiemi. I questo ambito l'eveto certo Ω (coicidete co l'itero spazio campioario) o rappreseta altro che l'isieme uiversale, metre l'eveto impossibile ø corrispode all'isieme vuoto. Nelle pagie che seguoo si richiamao gli aspetti fodametali della teoria degli isiemi che risultao utili per operare sugli eveti. Le relazioi/operazioi della teoria degli isiemi che risultao di particolare iteresse per operare sugli eveti soo la relazioe di iclusioe ( ) e le operazioi di egazioe (o complemetazioe) A, di itersezioe ( ), di uioe ( ), e di differeza ( ). Per compredere e mettere i pratica queste relazioi ed operazioi soo utili i cosiddetti diagrammi di Ve. Relazioe di iclusioe. U eveto A è icluso ell'eveto B, e si scrive A B, se ogi puto campioario di A appartiee ache a B (o è detto che valga il viceversa). Relazioe di uguagliaza. Due eveti A e B soo uguali sse cotegoo gli stessi puti campioari, ovvero sse cotemporaeamete A B e B A Operazioe di egazioe. La egazioe (complemetazioe ella teoria degli isiemi) di u eveto A è l eveto A costituito da tutti i puti campioari di Ω che o appartegoo ad A. Il seguete diagramma di Ve illustra graficamete il cocetto di eveto icluso e di eveto egato. 7

8 Ω A B B Fig. - Diagramma di Ve per l iclusioe e la egazioe dove il quadrato rappreseta l itero spazio campioario Ω e A B. Operazioe di itersezioe. L'itersezioe tra due eveti A e B è l'eveto E A B costituito da tutti i puti campioari che appartegoo sia ad A che a B. Operazioe di uioe. L'uioe tra due eveti A e B è l'eveto E A B costituito da tutti i puti campioari che appartegoo ad almeo uo fra A e B. Il seguete diagramma di Ve illustra graficamete le due operazioi (itersezioe ed uioe). Ω Ω E A B A B E Fig. - Diagrammi di Ve per l itersezioe e l uioe. Il tratteggio evidezia l eveto itersezioe ella prima figura e l eveto uioe ella secoda figura. Operazioe di differeza. La differeza fra due eveti A e B è l eveto E 3 A B costituito da tutti i puti campioari che appartegoo ad A ma o a B. 8

9 I palati matematici più fii, oterao che ua volta itrodotte le operazioi di egazioe ed itersezioe si potrebbe fare a meo d'itrodurre le due ulteriori operazioi di uioe e di differeza. Ifatti queste due operazioi possoo essere defiite a partire dalle precedeti el modo seguete [lo studete verifichi tali relazioi utilizzado i diagrammi di Ve]: A B A B ( A B ) ( A B ) L'itroduzioe di queste due ultime operazioi è giustificata dalla semplificazioe che esse comportao quado si opera sugli eveti (isiemi). Si segala ache che la relazioe A B ( A B ) ( A B ) e la relazioe duale A B vegoo usualmete dette leggi di de Morga [si ivita lo studete a verificarle etrambe utilizzado i diagrammi di Ve]. Le operazioi di uioe e di itersezioe possoo, aturalmete, essere applicate ache a (>) eveti. L'itersezioe fra eveti A, A,, A forisce come risultato l'eveto A A A... A I A i che cotiee tutti i puti campioari comui ai eveti cosiderati. L'uioe tra gli stessi eveti dà come risultato l'eveto A A A... A U A i che cotiee tutti i puti campioari che appartegoo ad almeo uo dei eveti cosiderati. A questo puto possiamo elecare ua serie di proprietà di facile dimostrazioe che coseguoo dalle operazioi itrodotte. Lo studete è ivitato a dimostrarle utilizzado i diagrammi di Ve (il simbolo rappreseta la relazioe di implicazioe). A B A B A A B A B B 9

10 φ Ω Ω ø ø A Ω A ø ø A Ω A A ø A A Ω Ω A A ø A A Ω A (A B) (A B) A B (A B) (A B) B A B B A A B B A (proprietà commutativa) (proprietà commutativa) A A A 3 (A A ) A 3 A (A A 3 ) A A A 3 (A A ) A 3 A (A A 3 ) A (A A 3 ) (A A ) (A A 3 ) A (A A 3 ) (A A ) (A A 3 ) (proprietà associativa) (proprietà associativa) (proprietà distributiva) (proprietà distributiva) Le due ultime proprietà (distributive) per eveti divegoo A (U A (I A i ) U A i ) I (A A i ) (A A i ) Dopo aver elecato relazioi ed operazioi della teoria degli isiemi utili per operare sugli eveti, utilizziamo ora la teoria degli isiemi ache per defiire il cocetto importate di icompatibilità fra eveti. Due eveti A e B soo icompatibili se la loro itersezioe è l eveto impossibile, cioè 0

11 A B ø. I pratica ciò sigifica o che i due eveti che o hao puti campioari i comue, oppure che hao qualche puto i comue che però è impossibile (e quidi è come se o l avessero). U altro cocetto importate (e el quale di uovo si sfrutta la teoria degli isiemi) quado si opera sugli eveti è quello di codizioameto. Questo è utile quado si vuol aalizzare u certo eveto A (l eveto codizioato) avedo a disposizioe ua certa iformazioe B (l eveto codizioate). Per fare u esempio, el lotto l uscita alla secoda estrazioe del 5 el caso i cui (iformazioe) alla prima estrazioe sia uscito il 90. L'eveto A B (A codizioatamete ad B o, più semplicemete, A dato B) riguarda l aalisi di A assumedo verificato l'eveto codizioate (iformazioe) B. Si sottoliea che l espressioe assumedo verificato o sigifica ecessariamete che B si è verificato, ma solo che oi si ragioa come se si fosse verificato (si ragioa cioè sulla base dell iformazioe a disposizioe). Il codizioameto degli eveti si risolve i pratica i ua sorta di ridefiizioe dello spazio campioario el modo seguete. Ω A B Fig. 3 - Ridefiizioe degli spazi per eveti codizioati. Se si assume che l'eveto B si è verificato allora accadoo due importati cosegueze:. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari che o appartegoo ad B; i pratica ell assumere che si è verificato B diviee ua specie di uovo eveto certo.. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari di A o appartegoo ad B.

12 Quidi se si cosidera l'eveto codizioato A B, B si trasforma i Ω ed A si trasforma ell'eveto A B. Ulteriori dettagli su questo cocetto sarao dati el seguito parlado di probabilità codizioata. Ifie u ultimo importate cocetto: quello di algebra. Poiché tale cocetto o è di semplice compresioe, facciamolo precedere da alcue cosiderazioi ituitive. Nelle pagie precedeti, dopo avere dato la defiizioe di eveto abbiamo aalizzato alcui esempi. Abbiamo visto che quado lo spazio campioario Ω è composto da pochi puti campioari è semplice costruire la lista di tutti gli eveti: basta fare l eleco di tutti i sottoisiemi di Ω. Se ivece Ω è composto da u umero sempre fiito ma abbastaza elevato puti campioari, esplicitare tale lista è u operazioe alquato tediosa. Operazioe che risulta addirittura impossibile se Ω è costituito da u umero ifiito di puti campioari. D altra parte, abbiamo otato che esplicitare l isiemoe di tutti gli eveti, talvolta chiamato spazio degli eveti, o è u operazioe molto utile. Quello che ivece è importate è stato, seppure implicitamete, evideziato dopo: operare sugli eveti co le operazioi della teoria degli isiemi produce come risultato altri eveti. I altri termii è importate operare i u isieme chiuso. Possiamo sitetizzare tutto ciò el modo seguete: lo spazio degli eveti (facile da esplicitare solo i casi particolarmete semplici) è u isieme chiuso rispetto alle operazioi di egazioe e di itersezioe (e quidi ache rispetto all uioe e alla differeza che possoo essere derivate dalle precedeti). Esplicitiamo ora questo cocetto i modo più rigoroso. U algebra è u isieme chiuso rispetto alle operazioi di egazioe e di itersezioe fra isiemi (e quidi ache rispetto a quelle di uioe e differeza che possoo essere defiite a partire dalle precedeti): ciò sigifica che se prediamo elemeti apparteeti all isieme, allora ache il risultato delle operazioi di egazioe e di itersezioe fatte su di essi appartegoo all isieme. Più i particolare, se l isieme è chiuso rispetto ad u umero fiito di operazioi, si parla di algebra di Boole o, più semplicemete, di algebra; se il sistema è chiuso rispetto ad u ifiità umerabile di operazioi, si parla di algebra di Boole completa o, più semplicemete, di σ-algebra. Nella successiva esposizioe si assumerà che dato u esperimeto casuale e lo spazio campioario Ω ad esso relativo, gli eveti che possoo essere costruiti a partire da Ω

13 formio ua σ-algebra A. Quidi lo spazio degli eveti A sarà ua σ-algebra e il risultato di u umero fiito o ifiito umerabile di operazioi fatte su eveti (elemeti di A) sarà acora u eveto (elemeto di A). Torado a ua distizioe fatta i precedeza, se Ω è costituito da u umero fiito oppure da u ifiità umerabile di elemeti allora A cotiee tutti i possibili sottoisiemi di Ω; se ivece Ω è costituito da u ifiità o umerabile di elemeti allora A cotiee solo i sottoisiemi ammissibili di Ω. Dato u esperimeto casuale, la coppia (Ω, A), dove Ω è lo spazio campioario e A è la σ-algebra geerata da Ω, è detta spazio misurabile.. La probabilità Oguo di oi ha i testa ua idea, almeo vaga, del cocetto di probabilità. Per itrodurre il cocetto di probabilità partiamo proprio da questa idea ituitiva. Se volessimo spiegare il cocetto co parole semplici, potremmo dire che la probabilità di u eveto A è il grado di certezza, su ua scala da 0 ad, attribuito al verificarsi di tale eveto: più è la probabilità è vicia a più è sicuro che A si verifichi; più la probabilità è vicia a 0 meo è sicuro che A si verifichi. Facedo per il mometo affidameto su questa idea ituitiva di probabilità, il primo problema che occorre affrotare ella pratica è come attribuire la probabilità, dal puto di vista umerico, ei sigoli casi cocreti. Tra le iumerevoli defiizioi proposte i letteratura, e presetiamo presetao soltato tre: la defiizioe classica, la defiizioe frequetista e la defiizioe soggettiva. Defiizioe 5: Defiizioe classica della probabilità. La probabilità di u eveto A è data dal rapporto P(A) A umero dei casi favorevoli umero dei casi possibili purché tutti i casi siao ugualmete possibili. 3

14 Alla defiizioe classica di probabilità soo state rivolte critiche di varia atura. La prima critica è di ordie logico e riguarda la circolarità della defiizioe: affermare che tutti i casi soo ugualmete possibili sigifica dire che soo ugualmete probabili (o si può defiire u cocetto utilizzado se stesso). Altre due critiche, decisamete più rilevati dal puto di vista pratico, riguardao l operatività della defiizioe: o soo affatto rare le situazioi reali elle quali o è possibile procedere all eumerazioe dei casi favorevoli e dei casi possibili; ioltre, ache elle situazioi i cui si può effettuare ua tale eumerazioe, o è ifrequete la circostaza i cui o tutti i casi soo ugualmete possibili. Per superare questi icoveieti è stata itrodotta la seguete defiizioe di probabilità. Defiizioe 6: Defiizioe frequetista della probabilità. La probabilità di u eveto ripetibile A è data dal rapporto fra A, il umero di volte i cui A si è verificato, ed, il umero delle prove, quado il umero delle prove tede ad ifiito P(A) A lim, supposto che tutte le prove siao effettuate elle stesse codizioi. La probabilità, secodo questa defiizioe, può essere quidi itesa come ua sorta di idealizzazioe della frequeza relativa che verrà itrodotta el cotesto della statistica descrittiva. Talui autori ritegoo, ifatti, che probabilità e frequeza relativa o siao altro che l'aspetto teorico e quello empirico di uo stesso cocetto ed iterpretao la frequeza relativa di u eveto come misura approssimata (per fiito) della probabilità. Ache alla defiizioe frequetista soo state rivolte critiche di varia atura. Azitutto quella relativa al limite irraggiugibile (+ ) imposto al umero delle prove; ma a tale critica si rispode accettado la frequeza relativa di u umero fiito (ma sufficietemete elevato) di prove come misura approssimata della probabilità. Più problematiche soo la critica relativa alla ripetibilità delle prove (esperimeto) i situazioi ivariate e, soprattutto, quella che fa riferimeto alle situazioi reali, e o 4

15 soo affatto ifrequeti, elle quali o è possibile procedere all effettuazioe di alcua prova. Ua defiizioe che supera le critiche, sia di ordie logico che operativo, rivolte alla defiizioe classica e alla defiizioe frequetista di probabilità è la defiizioe seguete. Defiizioe 7: Defiizioe soggettiva della probabilità. La probabilità di u eveto A è defiita come il grado di fiducia che u idividuo razioale attribuisce al verificarsi di u eveto. La misura (soggettiva) di probabilità si deriva poedo l'idividuo (razioale) di frote ad u'operazioe di scommessa chiededo quato è disposto a putare per ricevere el caso i cui l'eveto i questioe si realizzi. Ache alla defiizioe soggettiva di probabilità soo state rivolte critiche: la prima riguarda proprio la soggettività isita ella defiizioe; la secoda è relativa alla difficoltà di tradurre i u valore umerico il grado di fiducia. Alla prima critica si rispode osservado che qualuque probabilità deve essere itesa i seso codizioato, cioè codizioatamete all iformazioe dell idividuo (razioale). Pertato, ache se apparetemete due idividui diversi attribuiscoo ua diversa misura di probabilità ad uo stesso eveto, gli stessi idividui si riferiscoo a due diversi eveti essedo diversa l iformazioe sulla base del quale formulao il proprio grado di fiducia. Alla secoda critica si rispode che, oostate alcue difficoltà operative, alla misura di probabilità si perviee, come detto, attraverso l attivazioe di u processo relativamete semplice (almeo sul piao cocettuale) che è quello di porre l idividuo di frote ad ua operazioe di scommessa. Le tre defiizioi itrodotte, cui si può far ricorso per otteere ua valutazioe umerica della probabilità, o soo ecessarie per lo sviluppo del calcolo delle probabilità. A tal fie ifatti è sufficiete ua defiizioe di carattere più formale che ivece di stabilire come attribuire i valori di probabilità ei casi cocreti, fissa semplicemete le regole che la probabilità deve rispettare. A questa defiizioe 5

16 assiomatica si farà riferimeto egli sviluppi teorici che seguoo, metre le tre defiizioi o assiomatiche sarao utilizzate i alcui esempi. Defiizioe 8: Defiizioe assiomatica della probabilità. Siao dati u esperimeto casuale, co il suo spazio campioario Ω e la corrispodete σ-algebra A (l isieme degli eveti geerati da Ω). Allora la probabilità è ua fuzioe che ad ogi eveto (elemeto di A) associa u umero fra 0 e, i simboli P: A [0,] A a P(A), che soddisfa le segueti proprietà:. P(A) 0 (ridodate, ma è bee sottoliearla). P(Ω) 3. Se A B ø (cioè A e B soo icompatibili), allora P(A B) P(A) + P(B). Questa defiizioe assiomatica della probabilità, dovuta a Kolmogorov, o ha sollevato obiezioi sostaziali da parte degli studiosi. Ifatti precisa e chiarisce soltato i coteuti sitattici, cioè le regole formali che deve rispettare la probabilità, regole sulle quali è più facile trovare l'accordo. Dall'altro lato il cosiderare i soli aspetti formali esclude ogi operatività della defiizioe, i quato o dice iete su come attribuire la probabilità, dal puto di vista umerico, ei sigoli casi cocreti. Quado si vuol utilizzare la probabilità per risolvere problemi reali si dovrà, quidi, fare ecessariamete ricorso alle defiizioi precedeti, elle quali l'aspetto sematico, cioè del sigificato, viee privilegiato. Notiamo che la distizioe fra aspetto sitattico (o delle regole formali) e aspetto sematico (o del sigificato) è la stessa distizioe che c è, ello svolgimeto di u tema, fra l aspetto grammaticale, che riguarda solo le regole della ligua i cui si scrive, e l aspetto dei coteuti e delle idee che el tema soo esposte. I due o vao ecessariamete isieme: u tema può essere buoo come forma ma povero di idee o viceversa u po sgrammaticato ma dai coteuti iteressati. 6

17 Si evidezia ifie che tutte e tre le defiizioi o assiomatiche soddisfao le regole della defiizioe assiomatica di probabilità. Ricollegadosi alla defiizioe assiomatica, è facile dimostrare che da tale defiizioe seguoo alcue utili relazioi: P(A) P(ø) 0 A B P(A) P(B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) L'ultima relazioe per 3 eveti diveta P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) che ovviamete si riduce a P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) quado i 3 eveti soo tra loro icompatibili. Per eveti tale relazioe diveta P U A i i P + K + che ovviamete si riduce a ( Ai ) P( Ai A j ) + P( Ai A j Ah ) i j i + ( ) P I Ai P U quado i eveti soo tra loro icompatibili. A i P(Ai ) i j i h i, j I coclusioe u ultima otazioe. Alla fie della sezioe abbiamo detto che dato u esperimeto casuale, la coppia (Ω, A), dove Ω è lo spazio campioario e A è la σ- algebra geerata da Ω, è detta spazio misurabile. Se a questa coppia aggiugiamo la (fuzioe) probabilità otteiamo la tripletta (Ω, A, P(.)) detta spazio probabilistico. 7

18 3. La probabilità codizioata Nella sezioe abbiamo euciato il cocetto di codizioameto fra eveti. Ricordadoe gli elemeti fodametali, (per maggiori dettagli si veda la sezioe idicata) il codizioameto è utile quado si vuole aalizzare u certo eveto A (l eveto codizioato) avedo a disposizioe ua certa iformazioe B (l eveto codizioate): l'eveto A B (detto A codizioatamete a B o A dato B) riguarda quidi l aalisi di A assumedo verificato l'eveto codizioate (iformazioe) B. Si ricorda ache che l espressioe assumedo verificato o sigifica ecessariamete che B si è verificato, ma solo che si ragioa come se si fosse verificato (cioè prededo per buoa l iformazioe a disposizioe). Abbiamo ache detto che il codizioameto degli eveti si risolve i pratica i ua sorta di ridefiizioe dello spazio campioario. Ifatti se si assume che B si è verificato e cosegue che:. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari che o appartegoo a B, cosicché B diviee ua specie di uovo eveto certo;. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari di A che o appartegoo a B, cosicché l uica parte di A che acora può verificarsi è soltato A B. La seguete defiizioe di probabilità codizioata rispode perfettamete a questa logica. Defiizioe 9: Defiizioe di probabilità codizioata. Assumedo P(B) > 0, la probabilità di A B è data da P(A B) P ( A B) P( B) I pratica, allora, P(A B) o è altro che P(A B) riproporzioato sulla base di P(B) (la probabilità dell eveto codizioate). Si può dimostrare [si ivita lo studete a provare per coto proprio] che la probabilità codizioata è ua vera e propria probabilità, cioè è ua fuzioe P(. B): A [0,] A a P(A B) che soddisfa gli assiomi di probabilità,, 3 di cui alla defiizioe 8. Ifatti 8

19 se A ed A soo icompatibili. Valgoo ioltre P(A B) 0 P(B B) P(A A B) P(A B) + P(A B) A A P (A B) P (A B) P( A B) P(A B) P(A A B) P(A B) + P(A B) P(A A B) Si evidezia che le regole della probabilità valgoo per l eveto a siistra del (l eveto codizioato), metre l eveto codizioate, l iformazioe, è teuto fermo. E ovvio che se il ruolo dei due eveti è ivertito rispetto alla defiizioe, cioè siamo iteressati ad B avedo A come iformazioe (co P(A) > 0), allora basta scambiare i due eveti ella defiizioe per ricavare P(B A): P(B A) ( B A) P( A) P. Dalla defiizioe di probabilità codizioata e dalle cosiderazioi precedeti possoo poi essere derivate ua serie di formule assai utili ella pratica per il calcolo di certe probabilità.. La prima è ota come formula delle probabilità composte ed è data da P(A B) P(A B) P(B) P(B A) P(A). Tale relazioe si dimostra ricavado P(A B) i fuzioe degli altri elemeti sia ella defiizioe di P(A B) che di P(B A) (si ricorda che, per la proprietà commutativa, A B B A e quidi P(A B) P(B A)).. La secoda è ota come formula della probabilità margiale ed è data da P(B) P(B A) P(A) + P(B A ) P( A ) Questa formula può essere dimostrata, sfruttado le proprietà delle operazioi fra eveti e della probabilità, attraverso i segueti passaggi: P(B) P(B Ω) P[B (A A )] P[(B A) (B A )] P(B A) + P(B A ) P(B A) P(A) + P(B A ) P( A ), 9

20 dove fra le altre cose si sfrutta il fatto che (B A) e (B A ) soo icompatibili (lo studete è ivitato a verificare ciò utilizzado i diagrammi di Ve) e la formula delle probabilità composte. 3. La terza è ota come formula di Bayes ed è data da P(A B) ( B A) P( A) P( B) P Tale formula può essere ricavata immediatamete dalla formula delle probabilità composte. Si sottoliea che ella pratica il deomiatore P(B) è spesso calcolato a partire da P(B A), P(B A ), P(A) e P( A ) utilizzado la formula della probabilità margiale.. Sulla base delle cosiderazioi precedeti possiamo ora discutere più i dettaglio l utilizzo pratico della probabilità codizioata. E baale osservare (ma spesso gli studeti se lo dimeticao!) che la formula ella defiizioe di probabilità codizioata è ua uguagliaza: quidi dati due elemeti (qualsiasi!) della stessa il terzo può essere ricavato. Di cosegueza tale defiizioe può essere utilizzata i tre modi:. Uso diretto. E l utilizzo più immediato: sapedo P(B) e P(A B) si ricava P(A B) utilizzado direttamete la defiizioe.. Uso idiretto via pricipio delle probabilità composte: sapedo la probabilità codizioata P(B A) e quella margiale P(A), si vuol ricavare la probabilità dell itersezioe P(A B). I questo caso la defiizioe è utilizzata idirettamete perché si ricava la probabilità dell itersezioe i fuzioe della probabilità codizioata. 3. Uso idiretto via formula di Bayes: sapedo le probabilità codizioate P(B A) e P(B A ) e quella margiale P(A) (da cui si ricava ache e P(B A )), si vuol otteere P(A B). I questo caso la defiizioe è utilizzata idirettamete perché si ricava ua probabilità codizioata i fuzioe di altre probabilità. Alcue delle relazioi precedeti possoo essere estese ache a più di eveti.. Il formula delle probabilità composte può riguardare ache u umero qualsiasi di eveti A, A, A 3, Si avrà allora P(A A A ) P(A ) P(A A ) P(A 3 A A )... P(A A A ), 0

21 che è detta ache regola della catea.. La formula della probabilità margiale può essere estesa ache ad ua partizioe dello spazio campioario Ω più fie di quella vista i precedeza fra A e A. Ma vediamo prima cos è ua partizioe. Ua partizioe di Ω (ma la defiizioe di partizioe vale per u qualsiasi eveto B) è ua suddivisioe di tale spazio i tati eveti A, A,..., A che siao esaustivi ed icompatibili: esaustivi i quato devoo esaurire Ω, cioè U A i Ω; icompatibili i quato o devoo avere puti campioari i comue, cioè A i A j ø per ogi i j. Per avere u idea possiamo immagiare la partizioe come le mattoelle di u pavimeto: la loro uioe forma il pavimeto (esaustività) ma fra loro o vi soo sovrapposizioi (icompatibilità). Detto cos è ua partizioe, la formula della probabilità margiale per ua geerica partizioe A, A,..., A di Ω è data da P(B) P(B A i ) P(A i ). Ache questa formula può essere dimostrata sfruttado le proprietà delle operazioi fra eveti e della probabilità. I passaggi soo i segueti: P(B) P(B Ω) P[B (U A i )] P[U P(B A i ) P(A i ), (B A i )] P(B A i ) dove fra le altre cose si sfrutta il fatto che i (B A i ) soo fra loro icompatibili. 3. Aalogamete alla formula della probabilità margiale, ache la formula di Bayes può essere estesa ad ua geerica partizioe A, A,..., A di Ω. I tale caso la formula di Bayes è ua semplice riscrittura di quella vista i precedeza: P(A i B) P ( B Ai ) P( Ai ) P( B),

22 dove ormalmete P(B) è ricavato sulla base della formula della probabilità margiale precedete. Precisiamo che da u puto di vista pratico la formula di Bayes assume ua rilevaza particolare quado i eveti A i possoo essere iterpretati come possibili cause dell'eveto B. I tale cotesto: P(A i B) è detta probabilità a posteriori della causa A i ; P(A i ) è detta probabilità a priori della stessa causa e P(B A i ) è detta verosimigliaza dell'eveto B. La formula di Bayes esprime i maiera molto semplice il processo di appredimeto dall'esperieza i cotesti o determiistici. Della realtà si possiede ua coosceza probabilistica, che viee espressa i termii di probabilità (a priori) P(A i ); queste probabilità si trasformao, al verificarsi dell'eveto B (acquisizioe di ulteriore iformazioe), elle probabilità (a posteriori) P(A i B). Come molte volte ripetuto, ifatti, le probabilità codizioate si usao per riassegare le probabilità agli eveti ua volta che siao state acquisite ulteriori iformazioi relative ad ua realizzazioe parziale di u esperimeto casuale. Ω A A 3 A4 A A A 5 Fig. 4 - Partizioe dello spazio campioario Ω i cique eveti A, A, A 3, A 4 ed A 5 possibili cause dell eveto B. Vediamo adesso u altro cocetto di fodametale importaza ell ambito della probabilità: quello di idipedeza fra eveti (importate: o cofoderlo co quello di icompatibilità!). Avere l iformazioe che si è realizzato u certo eveto B, o è detto che modifichi ecessariamete la probabilità di verificarsi di u altro eveto A; può accadere cioè che la valutazioe di probabilità rimaga la stessa che si aveva seza avere l iformazioe, ovvero

23 P(A B) P(A). E ragioevole defiire questa situazioe come idipedeza, e più i particolare A idipedete da B. D altra parte se ciò accade, sostituedo tale relazioe ella formula di Bayes per P(B A) si ottiee immediatamete P(B A) P(B), ovvero che B è idipedete da A. Questo sigifica che la relazioe di idipedeza fra due eveti è biuivoca, cioè se c è i u seso c è ache ell altro: di cosegueza si può parlare o solo di idipedeza di u eveto da u altro ma di idipedeza fra due eveti. Ioltre se la relazioe P(A B) P(A) si sostituisce ella formula delle probabilità composte si ricava subito che P(A B) P(A) P(B), che esprime quidi la formula delle probabilità composte per eveti idipedeti. Riassumedo allora possiamo dare la seguete defiizioe. Defiizioe 0: Defiizioe di idipedeza. Due eveti A e B soo fra loro idipedeti se (ua qualsiasi implica le altre due): P(A B) P(A), oppure P(B A) P(B), oppure P(A B) P(A) P(B). Più i geerale, eveti A, A,..., A soo idipedeti se P ( A A K A ) P( A ) P( A )... P( A ) i i per ogi sottoisieme di eveti A i, i s A i,, i i A i s co s, 3,...,. Ad esempio tre eveti A, B, C soo idipedeti se valgoo tutte le segueti relazioi P(A B) P(A) P(B) P(A C) P(A) P(C) P(B C) P(B) P(C) P(A B C) P(A) P(B) P(C) i s 3

24 Si sottoliea che le prime tre relazioi (idipedeze doppie) o implicao la quarta (idipedeza tripla). Così come la quarta relazioe o implica le prime tre. 4. Variabili casuali I estrema sitesi possiamo riassumere le sezioi precedeti ello spazio probabilistico (Ω, A, P(.)), dove: Ω è lo spazio campioario; A è la σ-algebra geerata da Ω, cioè lo spazio di tutti gli eveti dell esperimeto casuale; P(.) è la fuzioe di probabilità (si veda la parte fiale della sezioe ). A partire da tale spazio probabilistico (e da tutto quello che ci sta dietro, ovviamete!) possiamo itrodurre u ulteriore cocetto fodametale ello sviluppo del calcolo delle probabilità e della statistica: quello di variabile casuale (che spesso abbrevieremo i v.c.). Defiizioe : Defiizioe di variabile casuale. Dato uo spazio probabilistico (Ω, A, P(.)), ua variabile casuale è ua fuzioe che ad ogi puto campioario associa u umero reale, i simboli X: Ω R ω a X(ω), che soddisfa la seguete proprietà: ogi isieme del tipo {ω Ω: X(ω) } è u eveto, cioè u elemeto di A. I parole semplici ua variabile casuale è u modo di trasformare i puti campioari i umeri. Siccome ci soo ifiiti modi di fare questo, di solito si sceglie il modo che più ci fa comodo e, magari, ache quello più ovvio. Il motivo ritrasformare i puti campioari i umeri è semplice: lavorare sui umeri è molto più semplice che lavorare sui puti campioari, ache perché questi ultimi possoo essere di atura assai diversa fra u esperimeto casuale ed u altro. La codizioe tecica che {ω Ω: X(ω) } deve apparteere a A, cioè deve essere u eveto (ricordiamo che A è l isieme di tutti gli eveti di u esperimeto casuale) deriva dal fatto che su A abbiamo defiito ua 4

25 probabilità. Questa probabilità, defiita sugli elemeti di A, o vogliamo perderla, ma vogliamo trasferirla ai sottoisiemi di R, cioè ai umeri. Alcui esempi Cosideriamo l esempio della moeta a due facce i cui Ω {T, C}. Come v.c. possiamo cosiderare quella che trasforma T i e C i 0, cioè X(T) X(C) 0. Cosideriamo l esempio dell ura co 0 pallie umerate da a 0. I tal caso Ω {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Come v.c. possiamo cosiderare quella che associa ad ogi pallia il umero riportato sulla stessa, cioè X( co umero i) i. Potrebbe però accadere, ello spesso esempio, di o essere iteressati al umero i sé, ma solo a distiguere fra pari e dispari. I tal caso potremmo cosiderare la v.c. X( co umero pari) X( co umero dispari) 0. Come ulteriore esempio cosideriamo ua certa popolazioe di N imprese idustriali. Poiché ciascua impresa è idetificata dalla sua ragioe sociale, lo spazio campioario è dato da Ω {ω,, ω N }, dove ω i è la ragioe sociale della impresa i. Se di tali imprese iteressa studiare la redditività, ad esempio misurata dall idice ROE, possiamo cosiderare la v.c. X che associa a ciascua impresa il suo ROE, cioè X(ω) ROE dell impresa ω. Aggiugiamo che i questi casi per idicare la v.c. cosiderata si utilizza l espressioe abbreviata X è la v.c. ROE, itededo X è la v.c. che associa a ciascua impresa il suo ROE. Nella stessa situazioe delle N imprese potremmo cosiderare la v.c. ragioe sociale, distiguedo, ad esempio, fra società di persoe, società di capitali e società cooperativa. I tal caso potremmo utilizzare la v.c. X strutturata el modo seguete: X(ω) se ω è ua società di persoe X(ω) se ω è ua società di persoe X(ω) 3 se ω è ua società cooperativa 5

26 Ache i questo caso per idicare la v.c. cosiderata si utilizza l espressioe abbreviata X è la v.c. atura giuridica, itededo X è la v.c. che associa a ciascua impresa u opportuo codice che idetifica la sua atura giuridica. Ache se ai fii di u aalisi corretta abbiamo isistito molto sull aspetto che la v.c. trasforma i puti campioari i umeri i modo da coservare la probabilità prima defiita sugli eveti, be presto ci dimeticheremo di tale probabilità e, più i geerale, dello spazio probabilistico (Ω, A, P(.)) che sta a mote di ogi v.c. Spesso lo spazio probabilistico sarà semplicemete sottiteso seza esplicitarlo (questo però o vuol dire che o c è!). Per questo motivo è bee allora avere u immagie facilmete compresibile e immediata di cos è ua v.c., co l avverteza che tale immagie deve aiutare a capire cos è ua v.c. ma o deve sostituire la defiizioe rigorosa. Possiamo allora pesare ua v.c. come u oggetto casuale, cioè u qualcosa di cui o possiamo sapere co certezza cosa verrà fuori ma, al massimo, possiamo descrivere cosa può veire fuori e co quale probabilità. Per avere qualche esempio pesiamo al umero estratto al lotto, alla quotazioe di u titolo azioario fra u mese, al voto che prederemo all esame di statistica: tutti esempi di oggetti casuali, cioè di feomei di cui o si coosce co certezza il risultato (data la preseza del caso) ma, al massimo,. quali risultati si possoo avere;. co che probabilità ciascu risultato può veire fuori. Vedremo questo più i dettaglio ella prossima sezioe. 5. Distribuzioe di ua variabile casuale Riassumedo, allora, la variabile casuale serve a due scopi: primo a trasformare i puti campioari i umeri; secodo a trasferire ai umeri (ma è più corretto dire ai sottoisiemi di R) la probabilità prima defiita sugli elemeti di A. Per idetificare ua variabile casuale dobbiamo allora idicare due cose (teerlo sempre be presete!):. quali valori può assumere;. come la probabilità è distribuita su tali valori. 6

27 Relativamete ai valori che la variabile casuale può assumere, come ovvio questi cambiao da caso a caso, e i seguito e vedremo umerosi esempi. Tuttavia, per motivi che vedremo i seguito, vegoo distite i discrete e cotiue. Ua v.c. si dice: a. discreta, se può assumere u umero fiito oppure u'ifiità umerabile di valori; b. cotiua, se può assumere u isieme cotiuo (e quidi o umerabile) di valori. Relativamete a come la probabilità è distribuita (potremmo dire spalmata ) sui valori che la variabile casuale può assumere, questo può essere idicato i diversi modi, ciascuo utile per scopi i parte diversi. Noi e vedremo 3: la fuzioe di ripartizioe (defiita sia per v.c. discrete che cotiue), la fuzioe di massa (defiita solo per v.c. discrete) e la fuzioe di desità (defiita solo per v.c. cotiue). Defiizioe : Defiizioe di fuzioe di ripartizioe (o fuzioe delle probabilità cumulate). Data ua variabile casuale X, la fuzioe di ripartizioe di X è la fuzioe F() P(X ), dove è u qualsiasi umero reale. La fuzioe di ripartizioe di ua variabile casuale, quidi, è semplicemete P(X ), cioè, al variare di, la probabilità che questa assuma valori miori o uguali ad : solo per brevità è idicata co F(), ma dobbiamo sempre pesare che suo sigificato è, apputo, P(X ). A questo proposito il termie, mutuato dall iglese, di fuzioe delle probabilità cumulate, rede sicuramete meglio l idea: la probabilità è cumulata da fio al puto. Si ota ioltre che la fuzioe di ripartizioe rappreseta (o a caso) la probabilità degli eveti {ω Ω: X(ω) } di cui alla defiizioe di variabile casuale, cioè P(X ) è la scrittura abbreviata per P{ω Ω: X(ω) }. Come già detto, ifatti, la proprietà che {ω Ω: X(ω) } sia u eveto serve per poter trasferire la probabilità dagli eveti ai sottoisiemi di R (X(ω) sigifica ifatti X(ω) (, ] che apputo è u sottoisieme di R). Aalizzeremo i seguito le proprietà più importati della fuzioe di ripartizioe. Per adesso facciamo soltato osservare che cooscedo la fuzioe di ripartizioe di X è 7

28 possibile ricavare la probabilità che X assuma valori i u qualsiasi itervallo (, ]. Ifatti P( < X ) P(X ) P(X ) F( ) F( ). Torado a quato detto sopra, la fuzioe di ripartizioe rispode allora perfettamete all esigeza espressa: idicare come la probabilità è distribuita sui valori che la v.c. può assumere. La fuzioe di ripartizioe fa questo idicado, al variare di, la probabilità di X assumere valori miori o uguali ad. Questo modo di specificare come la probabilità è distribuita sui valori che la variabile casuale può assumere, ha dei pregi e dei difetti. Il pregio pricipale è che la fuzioe di ripartizioe è defiita allo stesso modo sia per v.c. discrete che per v.c. cotiue. Il difetto più importate, ivece, è che è riferita ad itervalli, i particolare itervalli aperti a siistra del tipo (, ]. Ifatti per molte esigeze (i particolare la semplicità di iterpretazioe) è utile sapere come la probabilità si distribuisce su ciascu valore che la v.c. può assumere piuttosto che sugli itervalli (, ]. E per ovviare a questo icoveiete che si itroducoo la fuzioe di massa (per v.c. discrete) e la fuzioe di desità (per v.c. cotiue). Defiizioe 3: Defiizioe di fuzioe di massa (di probabilità). Sia X ua v.c. discreta che assume valori, ordiati i seso crescete,,, (evetualmete è se la v.c. assume u ifiità umerabile di valori). La fuzioe di massa di X è la fuzioe f() P(X ). Tale fuzioe vale quidi f( i ) P(X i ) se i,,, metre vale 0 per gli altri valori di. La fuzioe di massa di ua v.c. discreta, quidi, è semplicemete P(X ), cioè la probabilità che X sia uguale ad : solo per brevità è idicata co f(), ma dobbiamo sempre pesare che suo sigificato è, apputo, P(X ). Come idicato ella defiizioe, tale probabilità sarà maggiore di 0 solo per i valori che la v.c. può assumere, metre sarà 0 per tutti gli altri valori di. 8

29 Rispetto alla fuzioe di ripartizioe, la fuzioe di massa ha il grosso pregio di essere più itelligibile, perché la probabilità è riferita a ciascu puto ivece di essere cumulata da a. D altra parte c è u rovescio della medaglia: la fuzioe di massa o può essere defiita per le v.c. cotiue. Ua spiegazioe esauriete del motivo richiederebbe sofisticati strumeti matematici ai quali o è il caso di fare riferimeto; ci limiteremo quidi ad ua spiegazioe basata su argometi ituitivi. Ua v.c. cotiua, come detto può assumere valori i u isieme cotiuo. Ora el cotiuo, e questo vale ache se si prede u itervallo piccolio, ci soo tati valori, assai più che ell ifiito umerabile. Se X avesse probabilità positiva, ache piccolissima, i ciascuo di questi valori, sommado tali probabilità otterremmo che la probabilità che X assuma u valore qualsiasi (eveto certo) sarebbe ifiito, cotravveedo ad ua delle regole fodametali della probabilità secodo le quali P(Ω). Quidi: primo, o ci possoo essere più di u ifiità umerabile di puti co probabilità maggiore di 0 (e di questo e abbiamo già teuto coto quado abbiamo parlato della fuzioe di massa); secodo, el cotiuo P(X ) 0 i ogi. Pertato el cotiuo la fuzioe di massa o può essere defiita e occorre u altro modo per vedere cosa accade sulle sigole : la fuzioe di desità. A questo scopo aggiugiamo u altra cosiderazioe. Come idicato, el cotiuo parlare di probabilità el sigolo puto o serve a molto, dato che questa è sempre 0. Ha ivece seso parlare di probabilità che la X assuma valori i u certo itervallo, ache piccolissimo, purché di ampiezza maggiore di 0. Ad esempio ha seso la probabilità che X appartega ad u itervallo di ampiezza piccola a piacere d, cioè P( < X + d). Idealmete, possiamo allora pesare di far scorrere da siistra a destra (ogi volta partedo dall estremo superiore dell itervallo precedete) e di calcolare, al variare di, la probabilità che X assuma valori ell itervallio (, + d]. Tali probabilità avrao u certo adameto, che può essere il più vario. La cosa che qui iteressa, però, o è tato il valore di tali probabilità ma di quato cambia tale probabilità da ua alla successiva. Iteressa cioè il tasso: quato vale la probabilità i rapporto all ampiezza dell itervallo (d), ovvero ( < X d) P + d. 9

30 La fuzioe di desità è esattamete tale tasso per l itervallio di ampiezza ifiitesima. Defiizioe 4: Defiizioe di fuzioe di desità (di probabilità). Sia X ua v.c. cotiua che assume valori ell itervallo (a, b) (evetualmete a può essere e b + ). La fuzioe di desità di X è la fuzioe f() ( < X + d) P lim. 0 d d La fuzioe di desità i, allora, rappreseta quato vale la probabilità itoro ad i rapporto all ampiezza di tale itoro. Il termie fuzioe di desità serve proprio ad evocare quato illustrato: quato è desa la probabilità i ciascu puto. A questo puto riassumiamo quato visto fiora. Prima abbiamo defiito il cocetto di variabile casuale; successivamete abbiamo affermato che ua variabile casuale si idetifica dado: i valori che questa può assumere e come la probabilità si distribuisce su questi valori. Ifie abbiamo detto che quest ultima cosa, cioè la distribuzioe della probabilità sulle, può essere data i tre modi diversi: fuzioe di ripartizioe, fuzioe di massa e fuzioe di desità. Ciascua co pregi e difetti. Rimae ua cosa da vedere: che i diversi modi di idicare la distribuzioe di ua v.c. soo fra loro equivaleti. E chiaro che deve essere così: preso u esperimeto campioario, la probabilità è distribuita sugli eveti i u solo modo. Pertato fuzioe di ripartizioe fuzioe di massa (per v.c. discrete) e fuzioe di ripartizioe fuzioe di desità (per v.c. cotiue) soo fra loro strettamete collegate: si può passare dall ua all altra a secoda di quello che fa comodo e di quello che iteressa. Isieme a questa equivaleza fra le diverse fuzioi illustreremo ache alcue proprietà importati delle stesse. Cosideriamo prima il caso discreto. Sia X ua v.c. discreta che assume valori, ordiati i seso crescete,,, (evetualmete è se la v.c. assume u ifiità umerabile di valori). Allora per ricavare la fuzioe di massa dalla fuzioe di ripartizioe e viceversa possiamo utilizzare le segueti relazioi: Poiché d può essere ache egativo, i tale caso il umeratore è da itedere come P( d < X ) +. 30