(DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scienze dell Informazione

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1 (DA COMPLETARE!!) Esercizi per il corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica per Scieze dell Iformazioe NOTA Quado i problemi soo formulati el liguaggio ordiario, teere presete che la soluzioe cosiste sempre di DUE passi Primo passo: si idividua u modello matematico atto a descrivere il problema Secodo passo: si procede al calcolo all itero del modello matematico scelto NOTA 2 Alcui dei problemi proposti soo veuti i mete a chi scrive, altri soo frutto di coversazioi co colleghi, ed altri acora soo stati presi da vari testi di probabilita el corso degli ai Riporto i fodo al file gli estremi dei testi usati di cui mi ricordo Mi scuso per evetuali omissioi NOTA 3 Questo file viee aggiorato ogi tato gradite Segalazioi di errori soo Esercizio Data u ura coteete 3 pallie biache e 4 ere, si effettuao 3 estrazioi, seza restituzioe, da tale ura Se vegoo estratte 2 pallie biache ed era, il gioco ha termie, altrimeti si reiseriscoo le tre pallie estratte ell ura, e si ripete la procedura Si determii la probabilità che il gioco termii alla terza prova Soluzioe Sia A i ={vegoo estratte 2 pallie biache ed era alla i-esima ripetizioe della procedura} Gli A i formao ua successioe di prove di Beroulli co probabilità di successo P (A ) = 2)( (3 4 ) = p La probabilità che il gioco termii ( 7 3) alla terza prova è ( p) 2 p Esercizio 2 Da u ura, coteete 7 pallie biache e 6 ere, vegoo effettuate 3 estrazioi Dopo ogi estrazioe, la pallia estratta viee rimessa ell ura isieme ad u ulteriore pallia dello stesso colore Si determii la probabilità di otteere 2 pallie biache ed era Soluzioe Idichiamo co B i l eveto pallia biaca alla i-esima estrazioe, co N i l eveto pallia era alla i-esima estrazioe e co A l eveto si ottegoo 2 pallie biache ed era elle 3 estrazioi Allora, A = (B B 2 N 3 ) (B N 2 B 3 ) (N B 2 B 3 ), e si tratta di ua uioe di tre eveti a due a due icompatibili Quidi P (A) è la somma delle probabilità di quei tre eveti Calcoliamo la probabilità del primo P (B B 2 N 3 ) = P (B )P (B 2 B )P ((N 3 B B 2 ) = Si usa lo stesso procedimeto per calcolare la probabilità degli altri due eveti, e si vede subito che soo uguali a quella del primo (i deomiatori restao 3, 4 e 5 i questo ordie, ed i umeratori restao 7, 8 e 6 i u ordie diverso Segue che P (A) = Esercizio 3 U ura cotiee 2 pallie, di cui b biache e v verdi, co b, v > 0 Cosideriamo le possibili composizioi dell ura equiprobabili U amico estrae, seza farla vedere, ua pallia dall ura e e osserva il colore Poi rimette la pallia ell ura, aggiugedo ua pallia dello stesso colore e togliedoe ua dell altro

2 2 colore Completata questa operazioe, l ura viee aperta e si trovao 5 pallie biache e 7 verdi Calcolare la probabilità che la composizioe iiziale fosse di 6 pallie biache e 6 verdi Soluzioe Le possibili composizioi dell ura soo ricooscibili dal umero di pallie biache preseti ell ura Poiché b, v > 0, l ura cotiee almeo pallia biaca, ma o e cotiee più di Ci soo quidi possibili composizioi dell ura Idichiamo co H i l eveto l ura cotiee esattamete i pallie biache, i =,, Per ipotesi P (H i = per ogi i =,, Solo due di queste composizioi soo compatibili co ciò che si trova ell ura quado questa viee aperta Precisamete, sia A l eveto si trovao 5 pallie biache e 7 verdi al termie dell operazioe Allora P (A H i ) = 0 a meo che i = 4 oppure i = 6 Ioltre P (A H 4 ) = P (l amico estrae pallia biaca H 4 ) = 4 2 e P (A H 6 ) = P (l amico estrae pallia verde H 6 ) = 6 2 Il testo richiede di calcolare P (H 6 A Per il teorema di Bayes e le cosiderazioi precedeti, P (A H 6 )P (H 6 ) P (H 6 A) = i= P (A H i)p (H i ) P (A H 6 )P (H 6 ) 6 = P (A H 4 )P (H 4 ) + P (A H 6 )P (H 6 ) = Esercizio 4 Da u ura, coteete 3 pallie biache, 4 pallie ere, e 2 pallie rosse vegoo estratte 4 pallie seza restituzioe Si determii la probabilità di otteere pallia biaca, 2 pallie ere ed pallia rossa Soluzioe Ci soo ( ( 9 4) modi di estrarre le 4 pallie dall ura, e si tratta di 9 ) 4 casi possibili ed equiprobabili Il umero di quatere di pallie che soddisfao la richiesta del testo è ( 3 )( 4 2)( 2 ) ( La probabilità richiesta è quidi 3 )( 4 2)( 2 ) ( 9 4) Esercizio 5 U ura cotiee pallia biaca ed pallia era A turo due giocatori prelevao a caso ua pallia, co restituzioe Vice il primo che prede pallia biaca Trovare la probabilità che vica quello che iizia Soluzioe Gli eveti A i ={esce pallia biaca alla i-esima estrazioe} formao ua successioe di prove di Beroulli co probabilità di successo 2 Vice il giocatore che iizia se il primo A i che si verifica ha l idice i dispari I altri termii, vice il giocatore che iizia se si verifica l eveto A (A c A c 2 A 3 ) (A c A c 2 A c 3 A c 4 A 5 ) Si tratta di ua uioe di eveti a due a due icompatibili Ioltre gli eveti all itero di ciascua paretesi soo idipedeti La probabilità richiesta è quidi 2 + ( 2 )3 + ( 2 )5 + = 2 3 Esercizio 6 Si teta di aprire ua porta usado u mazzo di chiavi i sequeza, a partire da ua chiave scelta a caso (o si riteta mai co ua chiave già provata) Si trovi la probabilità di riuscire al k-esimo tetativo, k Soluzioe Si immagiio le chiavi umerate da ad Scegliere le chiavi i sequeza equivale a scegliere ua permutazioe dei umeri {,, } Siccome la scelta è casuale, le permutazioi soo equiprobabili Ci soo i tutto! permutazioi La porta viee aperta al k-esimo tetativo se la permutazioe scelta ha la cifra k al k-esimo posto Di tali permutazioi ce e soo ( )! La probabilità richiesta è quidi ( )!! =

3 3 Esercizio 7 (Durrett EP, 52) U piccolo isediameto è costituito da 5 famiglie, ciascua composta da 4 persoe Ua certa malattia ha colpito 6 idividui Ammesso che la malattia colpisca a caso, calcolare la probabilità che (a) solo due famiglie abbiao almeo u malato; (b) solo ua famiglia sia seza malati; (c) tutte le famiglie abbiao qualcuo malato Soluzioe Numeriamo le persoe e le famiglie, per esempio immagiado che la prima famiglia sia composta dalle persoe da a 4, la secoda da quelle da 5 a 8, e così via Cosideriamo dapprima le persoe Siccome la malattia colpisce a caso, chiamado successo alla prova i-esima l eveto A i ={la persoa i-esima viee colpita dalla malattia}, si hao 20 prove di Beroulli co probabilitá di successo 6 20 Cosideriamo adesso le famiglie e gli eveti B j ={la j-esima famiglia ha almeo u malato} Quidi l eveto B dipede solo dagli eveti da A ad A 4, l eveto B 2 dipede solo dagli eveti da A 5 ad A 8, e così via Siccome gli eveti A i soo idipedeti, ed i B j dipedoo da quatere di A i che o hao elemeti i comue, ache gli eveti B j soo idipedeti Ioltre soo equiprobabili Ifatti, P (B j ) = P (almeo u successo i 4 prove) = P (essu successo i 4 prove) = ( 6 20 )4 = p Allora ache gli eveti B j soo prove di Beroulli Co riferimeto ad essi, adesso il successo alla prova j-esima è l eveto B j, ed abbiamo quidi 5 prove di Beroulli co probabilità di successo p Ne segue che P (solo due famiglie abbiao almeo u malato) ( ) 5 = P (esattamete 2 successi su 5 prove) = p 2 ( p) 3, 2 P (solo ua famiglia sia seza malati) ( ) 5 = P (esattamete 4 successi su 5 prove) = p 4 ( p), 4 P (tutte le famiglie abbiao qualcuo malato) = P (5 successi su 5 prove) = p 5 Esercizio 8 Ua studetessa rispode ad u test che cotiee 0 domade, ciascua co 4 risposte idicate, di cui esattamete ua è giusta La studetessa o ha seguito le lezioi e rispode scegliedo a caso, per ciascua domada, tra le 4 risposte idicate Qual è la probabilità che dia esattamete 3 risposte giuste? Soluzioe Rispodedo a caso, la studetessa fa 0 prove di Beroulli co probabilità di successo 4 La probabilità richiesta è ( ) 0 3 ( 4 )3 ( 3 4 )7 Esercizio 9 U dado viee laciato 8 volte Qual è la probabilità di otteere esattamete 2 volte il umero 3? Soluzioe Gli 8 laci possoo essere visti come 8 prove di Beroulli co probabilità di successo 6, itededo per successo l uscita del 3 La probabilità richiesta è ( ) 8 2 ( 6 )2 ( 5 6 )6 Esercizio 0 Due studetesse, Alice ed Elisabetta, frequetao il corso di Statistica Alice va a lezioe l 80% delle volte, Elisabetta il 60% delle volte, e le loro asseze soo idipedeti I u dato gioro, calcolare la probabilità che (a) almeo ua delle due studetesse sia i classe;

4 4 (b) esattamete ua delle due studetesse sia i classe Soluzioe Idichiamo co A l eveto Alice è i classe, e co E l eveto Elisabetta è i classe Sulla base delle iformazioi date dal testo, si può formalizzare la situazioe dicedo che P (A) = 80 60, P (E) =, e gli eveti A ed E soo idipedeti Allora poiché A ed E soo idipedeti P (A E) = P (A)P (E), e si ottiee P (almeo ua delle due studetesse sia i classe) = P (A E) = P (A) + P (E) P (A E) = P (A) + P (E) P (A)P (E), P (esattamete ua delle due studetesse sia i classe) = P ( (A E c ) (A c E) ) = P (A E c ) + P (A c E) perché l uioe è di eveti icompatibili = P (A)P (E c ) P (A c )P (E) di uovo per l idipedeza = P (A)( P (E)) + ( P (A))P (E) Sostituedo i valori di P (A) e P (E) si coclude Esercizio Tre studeti hao ciascuo probabilità /3 di risolvere u certo problema, ed agiscoo idipedetemete l uo dall altro Qual è la probabilità che almeo uo risolva il problema? Soluzioe Sia A i l eveto lo studete i-esimo risolve il problema Le iformazioi forite dal testo permettoo di formalizzare la situazioe dicedo che gli eveti A i soo idipedeti ed hao probabilità 3 Allora la probabilità richiesta è P (A A 2 A 3 ) = P (A c A c 2 A c 3) = P (A c )P (A c 2)P (A c 3) = ( 2 3 )3 Esercizio 2 Quati bambii deve fare ua coppia per avere probabilità maggiore di 0, 75 di otteere almeo 2 femmie? Soluzioe Sia A i l eveto asce ua femmia all i-esimo tetativo Formalizziamo dicedo che gli eveti A i soo prove di Beroulli co probabilità di successo 2 Allora, fissato 2, se la coppia fa bambii la probabilità che ottega almeo 2 femmie è P (e ottiee 0 oppure e ottiee ) = P (0 successi su prove) P (esattamete successo su prove) = ( ) 0 ( 2 ) ( ) ( 2 ) = ( 2 ) ( 2 ) = f() Al crescre di ache f() cresce Il umero di bambii che deve fare la coppia è quidi il più piccolo tale che f() supera 0,75 Viee = Esercizio 3 U amico lacia 2 volte ua moeta e vi dice che almeo ua volta è veuto testa Qual è la probabilità che al primo lacio sia veuto testa? Soluzioe Sia A i l eveto esce testa al lacio i-esimo Gli eveti A i soo prove di Beroulli co probabilità di successo 2 Il testo chiede di calcolare P (A A A 2 ) I particolare, per l idipedeza degli A i si ha P (A A 2 ) = P (A )P (A 2 ) Allora, P (A A A 2 ) = P (A (A A 2 )) P (A A 2 ) P (A ) = P (A ) + P (A 2 ) P (A A 2 ) = P (A ) P (A ) + P (A 2 ) P (A )P (A 2 ) = 2 3

5 5 Esercizio 4 U ura cotiee 8 pallie rosse, 7 pallie blu e 5 pallie verdi Si estraggoo (seza restituzioe) 2 pallie, che risultao di colori differeti Data quest iformazioe, qual è la probabilità che si tratti di ua pallia rossa e di ua blu? Soluzioe Sia A rb l eveto si soo estratte ua pallia rossa ed ua blu, e sia B l eveto le due pallie estratte soo di colori differeti Il testo richiede di calcolare P (A B) Per defiizioe P (A B) = P (A B) P (B) Siccome A B, P (A B) = P (A) = (8 )( 7 )( 5 0) ( 20 2 ) = Idichiamo co A rv l eveto si soo estratte ua pallia rossa ed ua verde, e co A bv l eveto si soo estratte ua pallia blu ed ua verde Gli eveti A rb,a rv,a bv soo a due a due icompatibili e la loro uioe è B Quidi P (B) = P (A rb ) + P (A rv ) + P (A bv ) = (8 )( 7 )( 5 0) ( 20 2 ) + (8 )( 7 0)( 5 ) ( 20 2 ) + 0)( (8 7 )( 5 ) ( 20 2 ) Esercizio 5 I ua cittadia il 60% degli abitati è abboato al giorale a, il 40% al giorale b, ed il 30% ad etrambi Si prede ua persoa a caso tra quelle che soo abboate ad almeo uo dei due giorali Qual è la probabilità che questa persoa sia abboata al giorale a? Soluzioe Sia A l eveto la persoa è abboata al giorale a, e B l eveto la persoa è abboata al giorale b Le iformazioi el testo portao a modellare la situazioe dicedo che P (A) = 60 calcolare P (A A B) P (A) P (A)+P (B) P (A B) = , P (B) =, P (A B) =, e che dobbiamo Si ha che P (A A B) = P [A (A B)] P (A B) = P (A) P (A B) = Esercizio 6 Suppoiamo che, i u certo paese, la probabilità che u uomo sposato voti sia 0,45, la probabilità che ua doa sposata voti sia 0,4, e la probabilità che ua doa sposata voti, dato che suo marito vota, sia 0,6 Presa ua coppia sposata a caso, calcolare la probabilità che (a) etrambi votio; (b) l uomo voti, dato che sua moglie vota Soluzioe Cosideriamo la coppia scelta Sia A l eveto la doa vota, e B l eveto l uomo vota Le iformazioi el testo portao a modellare la situazioe dicedo che P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 45, P (A B) = 0, 6, e che si deve calcolare (a) P (A B), (b) P (B A) Si ha P (A B) = P (A B)P (B) = 0, 6 0, 45 e P (B A) = P (B A) P (A) = 0,6 0,45 0,4 Esercizio 7 Dovete adare a predere u amico all aereoporto, ua certa mattia La vostra esperieza vi dice che l aereo arriva i ritardo il 70% delle volte quado piove, ma solo il 20% delle volte quado o piove Le previsioi del tempo per quella mattia dao pioggia al 40% Qual è la probabilità che l aereo arrivi i ritardo? Soluzioe Cosideriamo la mattia i questioe Sia A l eveto l aereo arriva i ritardo, e sia B l eveto piove Usado le iformazioi del testo si può dire che P (A B) = 70, P (A Bc ) = 20 40, P (B) =, e che dobbiamo calcolare P (A) Per il teorema delle probabilità totali P (A) = P (A B)P (B) + P (A B c )P (B c ) = ( ) Esercizio 8 Il 5% degli uomii e lo 0,25% delle doe è cieco ai colori Si può calcolare la probabilità che ua persoa cieca ai colori sia u uomo?

6 6 Soluzioe Prediamo a caso ua persoa Sia A l eveto la persoa è u uomo e B l eveto la persoa è cieca ai colori Il testo ci porta a dire che P (B A) = 5, P (B Ac ) = 25 00, Si vorrebbe calcolare P (A B) Per il teorema P (B A)P (A) di Bayes, si ha che P (A B) = P (A) P (B A)P (A)+P (B A c )P (A c ) = 5 5 P (A)+P ( )( P (A), ma o si può cocludere il coto perché o coosciamo P (A) Esercizio 9 Il test della proteia alpha fetale viee usato per idividuare la spia bifida ei feti La spia bifida è presete i su 000 ati La letteratura sul test idica che el 5% dei casi u feto ormale causa ua reazioe positiva Assumiamo che il test sia sempre positivo quado la spia bifida c è Ad ua doa viee comuicato che il test è positivo Qual è la probabilità che il suo bambio abbia la spia bifida? Soluzioe Sia A l eveto il feto ha la spia bifida e B l eveto il test è positivo Sulla base del testo si può dire che P (A) = 0, P (B Ac ) = 5, P (B A) = Si deve calcolare P (A B) Per il teorema di Bayes P (A B) = P (B A)P (A) P (B A)P (A)+P (B A c )P (A c ) = ( 0 ) Esercizio 20 Ua doa ha u fratello co l emofilia, ma i suoi geitori o hao la malattia Poiché l emofilia è causata da u gee recessivo h sul cromosoma X, si può dedurre che la madre della doa è ua portatrice saa (cioè ha il gee dell omofilia h su uo dei suoi cromosomi X ed il gee sao H sull altro cromosoma X) Poiché la doa ha ricevuto u cromosoma X dalla madre ed uo dal padre, c è probabilità /2 che essa sia portatrice saa, e, i tal caso, c è probabilità /2 che i suoi figli maschi (co padre seza la malattia) abbiao la malattia Se la doa ha due figli maschi seza la malattia, qual è la probabilità che sia ua portatrice saa? Soluzioe Sia A l eveto la doa è ua portatrice saa, B i l eveto l iesimo figlio maschio ha la malattia, co i =, 2 Per la atura del problema, la doa è saa oppure è ua portatrice saa, e si può ache dire che B e B 2 soo idipedeti, ell ipotesi che la doa sia portatrice saa Ioltre, P (B A) = P (B 2 A) = 2, e P (A) = 2 Dobbiamo calcolare P (A B B 2 ) Per il teorema di Bayes, P (A B B 2 ) = P (B B 2 A)P (A) B B 2 A c )P (A c )+B B 2 A)P (A) = P (B A)P (B 2 A)P (A) P (B A)P (B 2 A)P (A)+P (B B 2 A c )P (A c ) = Esercizio 2 Ua compagia aerea vede 200 biglietti per u aereoplao co 98 posti, sapedo che la probabilità che u passeggero o si preseti è 0,0 Calcolare la probabilità che ci siao posti per tutti i passeggeri che si presetao Soluzioe Ache se o è molto realistico, assumiamo che i passeggeri agiscao idipedetemete l uo dall altro Allora, posto A i = (l iesimo passeggero si preseta), gli eveti A i soo 200 prove di Beroulli co probabilità di successo 0, 99 Sia X il umero di passeggeri che si presetao La distribuzioe di X è quella del umero si successi i 200 prove di Beroulli(0,99), ovvero P (X = k) = ( ) 200 k (0, 99) k (0, 0) 200 k Allora P (tutti i passeggeri trovao posto) = P (X 98) = P (X = 99) P (X = 200) = 200(0, 99) 99 0, 0 (0, 99) 200 Esercizio 22 Ua coppia ha figli co probabilità β, dove β = αp se N, β = (α+)p p se = 0, co 0 < p <, α [0, p] Subordiatamete all ipotesi che la coppia abbia > 0 figli, gli eveti E j = (il j-esimo figlio è femmia) siao

7 7 idipedeti e co la stessa probabilità r, co r (0, ) Si dica qual è la probabilità che la coppia abbia esattamete k figlie femmie, k > 0 Esercizio 23 Siao X e Y va idipedeti e tali che P (X = ) = P (Y = ) = 2, =, 2, Trovare P (X 25Y ) Esercizio 24 Sia (X ) ua successioe di va idipedeti, e tali che X N(0, ) se è pari, X U(, ) se è dispari Trovare la probabilità dell eveto A = lim sup ( X [, ] ) Esercizio 25 Sia (X ) ua successioe di va iid, co distribuzioe exp(α) Trovare la probabilità dell eveto A = lim sup ( mi(x, X ) > 2 ) Esercizio 26 Si verifichi che ua va X è idipedete da se stessa se e solo se X è degeere, cioè se esiste c R tale che P (X = c) = Esercizio 27 Si cosideri ua successioe di prove di Beroulli co probabilità di successo p = 2 Si calcoli la probabilità di otteere il risultato (0,, 0,, 0,, 0,, ), i cui c è sempre u successo ai tempi pari ed u isuccesso ai tempi dispari Esercizio 28 Secodo The Nuclear Safety Report - WASH 400, la probabilità di icidete i u dato impiato ucleare è p = per ao Nel 987 c erao almeo 600 impiati ucleari i fuzioe Assumiamo che el presete ao ci siao 600 impiati i fuzioe Sia T (i) il tempo d attesa (misurato i ai) per il primo icidete relativo all i-esimo impiato, e suppoiamo che le va T (i) siao idipedeti e geometriche di parametro p Calcolare la probabilità di u icidete ucleare etro i prossimi treta ai Esercizio 29 Siao X ed Y va idipedeti, etrambe co distribuzioe di Beroulli( 2 ) Si verifichi che X+Y e X Y soo icorrelate ma o idipedeti Esercizio 30 Siao X ed Y va iid co P (X = ) = P (X = ) = 2 Si dica se soo idipedeti le va X ed XY, e se lo soo le va X, Y, XY Esercizio 3 Siao X,, X 5 va iid co fuzioe di ripartizioe cotiua e strettamete crescete Detta m la mediaa di X, si determii P (X (2) m X (4), dove X (i) è la i-esima statistica d ordie Esercizio 32 Sia {X t : t [0, )} ua famiglia di va tali che t 0 E(X t ) = 0 e E(X 2 t ) = t Ioltre sia X t X s idipedete da X s per ogi s, t co 0 s < t Si determii Cov(X s, X t ) Esercizio 33 Date le va A = cosx, B = sex, dove X U( π, π), si determii Cov(A, B) e si dica, giustificado l affermazioe fatta, se A e B soo idipedeti Esercizio 34 Sia (X ) ua successioe di va iid co X P oisso(λ), e sia N ua va idipedete dalle X i e tale che N Geom( 2 ) (a) Si verifichi che per ogi =, 2, si ha X + + X P oisso(λ) (b) Si determii la distribuzioe della va S N = N i= X i Esercizio 35 U vettore di lughezza uitaria (applicato all origie) è distribuito uiformemete el primo quadrate del piao cartesiao Trovare la desità della va X = proiezioe del vettore sull asse delle x, e trovare E(X) Esercizio 36 Siao X ed N va idipedeti, co X N(0, ) e P (N = ) = P (N = ) = 2 Si determii la distribuzioe di XN

8 8 Esercizio 37 Si determii la distribuzioe di Z = log F (X), dove X è ua va che ha fuzioe di ripartizioe F, co F cotiua Esercizio 38 Si determii la fuzioe di ripartizioe della va X, dove X U(, ) Esercizio 39 Sia X ua va assolutamete cotiua, co desità f(x) = x3 64 I [0,4](x), x R Si determii la desità di Z = mi( X, 2 X) Esercizio 40 Sia X N(0) Trovare la distribuzioe di X 2 Esercizio 4 Siao X,, X va iid co distribuzioe exp(α) Trovare la distribuzioe di X + + X Esercizio 42 Siao X,, X va iid co distribuzioe Geom(p) Trovare la distribuzioe di X + + X Esercizio 43 Sia X N(µ, σ 2 ) Trovare la distribuzioe di Y = e X Esercizio 44 Siao X,, X va iid co distribuzioe di Cauchy stadard Si determii la distribuzioe di X i i= Esercizio 45 Si suppoga di effettuare replicazioi successive di u esperimeto, il cui risultato è rappresetato da ua va reale, e di arrestarsi al primo istate X i cui log >, dove X idica la media aritmetica dei primi risultati sperimetali Nell ipotesi che tali risultati siao realizzazioi di va iid co media fiita e diversa da 0, si determii la probabilità che le replicazioi abbiao termie Esercizio 46 Sia (X ) ua successioe di va iid co distribuzioe o degeere Si determii P {ω : (X (ω)) coverge} Esercizio 47 Sia (X ) ua successioe di va iid co X U(0, ) Posto V = mi(x,, X ), si dica se (V ) coverge i distribuzioe, ed i caso affermativo se e determii il limite Esercizio 48 Per ogi N sia X ua va tale che P (X = i ) = per i =,, Si dica se (X ) coverge i distribuzioe, ed i caso affermativo se e determii il limite Esercizio 49 Sia (X ) ua successioe di va iid co P (X x) = e αx per ogi x 0 e per u fissato α 0 Si dica se la successioe max(x,, X ) log α coverge i distribuzioe, ed i caso affermativo se e determii il limite Esercizio 50 Sia (X ) ua successioe di va iid co X U(0, ) (a) Si calcoli E(V ), dove V = i= X i (b) Si verifichi che V 0, qc (c) Si determii la distribuzioe della va Y = log X (d) Fissato x (0, ), si determii la distribuzioe della va T x = if{ N : V + < x}

9 9 Esercizio 5 Sia (X ) ua successioe di vaidipedeti e tali che P (X = log ) = P (X = log ) = 2, e P (X = 0) =, per =, 2, Vedere se vale la legge debole dei gradi umeri Letta Baldi Shiryaev Breima Feller Durrett Billigsley Hoffma Jorgese Grimmett Parze Resick A Probability Path Resick Advetures i Stochastic Processes