Introduzione alla Statistica descrittiva. Definizioni preliminari. Definizioni preliminari. Fasi di un indagine statistica. Tabelle statistiche

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1 Itroduzioe alla Statistica descrittiva Defiizioi prelimiari È la scieza che studia i feomei collettivi o di massa. U feomeo è detto collettivo o di massa quado è determiato solo attraverso ua molteplicità di osservazioi. Esempi: umero di compoeti delle famiglie di ua data area geografica, l eta dei cittadii di u certo paese, la lughezza delle foglie di u tipo di piata,la durata delle lampadie di ua certa marca, La statistica isega a idividuare i modi i cui u feomeo si maifesta, a descriverlo siteticamete, e a trare da esso coclusioi più geerali di feomei più ampi. Popolazioe statistica: isieme o collettività etro cui si studia il feomeo Esempio: la popolazioe statistica relativa alla durata delle lampadie di ua certa marca (fabbrica) è costituita da tutte le lampadie prodotte da quella fabbrica. Uità statistica: ogi elemeto della popolazioe statistica. Campioe statistico: u qualsiasi isieme di uità statistiche prese da tutta la popolazioe. U campioe è duque ua parte della popolazioe statistica. Esempio: delle lampadie prodotte dalla fabbrica (estratte a caso). Defiizioi prelimiari Fasi di u idagie statistica Variabile statistica: il feomeo collettivo si preseta secodo modalità diverse elle varie uità statistiche, perciò lo chiameremo variabile statistica. Il valore assuto dalla variabile statistica i ua data uità statistica lo chiameremo osservazioe. Esempio: variabile statistica: durata delle lampadie; osservazioe: prima lampadia ha la durata di ore, la secoda lampadia ha durata ore, la terza. Dati statistici soo costituiti dal umero che esprime quatitativamete ua modalità ( ore) e dal umero delle volte i cui ua modalità si preseta ell idagie ( volte). Variabile quatitativa: quado assume valori umerici (durata delle lampadie) Variabile qualitativa: quado assume valori o umerici (colore dell iride di ua persoe). Idividuazioe dell obiettivo da raggiugere, defiedo co accuratezza i termii del problema a cui bisoga dare risposta, cioè quali variabili statistiche bisoga osservare. Vegoo fissati i metodi, i mezzi e i tempi da utilizzare ella raccolta dati. Per quato riguarda i metodi è fodametale decidere se l osservazioe viee fatta su tutta la popolazioe oppure su u campioe. Programmazioe dell idagie ed effettiva rilevazioe dei dati. Sistemazioe dei dati raccolti i forma di facile lettura (tabelle e grafici). I dati allo stato grezzo soo riferiti alla sigola uità statistica. Gruppi saguigi AB A B N. Di persoe Fasi di u idagie statistica Tabelle statistiche Rappresetazioe grafica dei dati i tabella: rappresetazioe più sitetiche e immediate. Determiazioe di valori che descrivoo siteticamete il feomeo: misure di tedeza cetrale. Calcolo delle misure di dispersioe che idicao quato le misure di tedeza (per esempio la media) di discosta dai dati raccolti. Determiazioe di rapporti statistici o umeri idici: rapporti tra umeri che a volte soo piu sigificativi dai valori assoluti. (es. rapporto tra m edificati i ua regioe e il umero di abitati della regioe) Nelle idagii statistiche a campioe occorre effettuare delle geeralizzazioi (di cui si occupa l ifereza statistica). Spoglio dei dati e loro sistemazioi i tabelle: Tabella di variabile qualitativa: serie. Tabella di variabile quatitativa: seriazioi. Lo spoglio dei dati raccolti cosiste ella loro divisioe secodo i diversi valori che la variabile del feomeo ha assuto. Per ogi valore si determia la frequeza assoluta ossia il umero di volte co la quale compare ogi valore. Distribuzioe di frequeze vs distribuzioe di itesità: el primo caso i umeri derivao da ua eumerazioe (quate volte esce testa laciado volte ua moeta), el secodo caso i umeri derivao da ua misurazioe (temperature di u determiato mese).

2 Tabelle di variabile qualitativa Distribuzioe delle frequeze Le distribuzioi di frequeza tedoo a mostrare la distribuzioe reale del feomeo solo quado è possibile utilizzare u umero sufficietemete elevato di osservazioi. Esempio di spoglio i ua serie Feomeo: colore dell iride degli alui della classe II C della scuola media a. Vespucci di torio. Dati raccolti: Marroi: Neri:+++ Azzurri: Verdi:+ Grigi: Colore iride marroe ero azzurro Verde grigio N. Di persoe 6 Valori assuti dalla variabile statistica Tabelle di variabile quatitativa Ua variabile quatitativa si dice discreta se può assumere solo u umero fiito di valori, oppure ua ifiità umerabile di valori. Esempio: umero di libri i possesso delle famiglie di u certo territorio. Ua variabile quatitativa si dice cotiua se può assumere uo qualsiasi dei valori di u certo itervallo di umeri reali. Esempio: l altezza delle persoe. Esempio: umero di persoe di compoeti delle famiglie degli alui di ua data scuola. Tabella delle frequeze Numero compoeti Tabelle di variabile quatitativa Distribuzioe di frequeza i classi: per variabili cotiue le osservazioi possoo essere molto disperse cioè molte osservazioi soo diverse tra loro. Per essa risulta o molto sigificativa ua tabella come quelle precedeti. I tal caso si raggruppao i dati i fasce di classi. Esempio: l altezza delle persoe. Arrotodameti di dati per iserirli i ua delle classi Raggruppameto i classi Valori cetrali 6 6 Itervallo di classe: - limiti della classe: e Iferiore () Superiore () Ache, e, appartegoo alla classe, I limiti reali o cofii della classe soo 6, e 6, Tabelle di variabile quatitativa Cofie iferiore: (limite superiore della classe precedete + limite iferiore della classe)/ Esempio: cofie iferiore secoda classe (+6)/=, Cofie superiore: (limite superiore della classe + limite superiore della classe successiva)/ Esempio: cofie iferiore secoda classe (6+6)/=6, Ampiezza di ua classe = cofie superiore cofie iferiore della classe Esempio: ampiezza secoda classe= 6,-,= Valore cetrale = semisomma dei limiti della classe Campo di variazioe: differeza tra il valore osservato più grade e quello più piccolo. Questa ifo serve per decidere l ampiezza di ua classe. Esempio: Suppoiamo che il valore mi osservato sia, e che il max sia, allora il campo di variazioe è -,=, Raggruppameto i classi Tabelle di variabile quatitativa Raggruppameto i classi Cofie iferiore,, 6, Cofie superiore ampiezza Valori cetrali Cofie iferiore: (limite superiore della classe precedete + limite iferiore della classe)/

3 Tabelle di variabile quatitativa Raggruppameto i classi Cofie iferiore,, 6, 6,,,, 6, Cofie superiore,,, ampiezza Valori cetrali Tabelle di variabile quatitativa Raggruppameto i classi Cofie iferiore,, 6, 6,,,,, Cofie superiore, 6, 6,,,,,, ampiezza Valori cetrali Cofie superiore: (limite superiore della classe + limite superiore della classe successiva)/ Ampiezza di ua classe = cofie superiore cofie iferiore della classe Tabelle di variabile quatitativa Raggruppameto i classi Cofie iferiore,, 6, 6,,,,, Cofie superiore, 6, 6,,,,,, ampiezza Valori cetrali 6 Tabelle di variabile quatitativa Raggruppameto i classi Cofie iferiore,, 6, 6,,,,, Cofie superiore, 6, 6,,,,,, ampiezza Valori cetrali 6 6 Valore cetrale = semisomma dei limiti della classe Tabelle di variabile quatitativa Completare la seguete tabella 6 Cofie iferiore Cofie superiore ampiezza Valori cetrali Classi co ampiezza diversa Itervalli aperti a destra o a siistra: o si è specificato il limite iferiore o superiore della classe Gli itervalli aperti soo usati sia per variabili cotiue che per quelle discrete I geere, a parte per le classi estreme, si usao classi di uguale ampiezza Numero libri Fio a Oltre

4 Tabelle di variabile quatitativa Frequeza cumulata dal basso: si ottiee dalla somma delle frequeze di ua classe co tutte le frequeze delle classi che la precedoo. Frequeza cumulata dall alto: si ottiee dalla somma delle frequeze di ua classe co tutte le frequeze delle classi che la susseguoo. Frequeza relativa: rapporto tra la frequeza assoluta e il totale delle frequeze di ua distribuzioe Frequeza percetuale: frequeza relativa per. Frequeza cumulata relativa: rapporto fra la frequeza cumulata e il totale delle frequeze. Frequeza cumulata percetuale: frequeza cumulata relativa per Altezza totale Tabelle di variabile quatitativa relative Frequeza percetuale 6 cumulate dal basso cumulate dall alto 6 Freq.cum. dal basso relative Frequeza cumulata percetuale N.B.: le diverse frequeze possoo essere calcolate ache per Dati o raggruppati i classi completare la seguete tabella completare la seguete tabella - relative Frequeza percetuale cumulate dal basso cumulate dall alto Freq.cum. dal basso relative Frequeza cumulata percetuale Fio a. relative Frequeza percetuale cumulate dal basso cumulate dall alto Freq.cum. dal basso relative Frequeza cumulata percetuale totale totale Vedremo come risolvere questi esercizi i Excel. Esercizi tipo quelli el paragrafo. del capitolo (fotocopie). Tabelle di variabile quatitativa Tabella a doppia etrata o a più coloe:spesso capita di studiare due variabili statistiche tra le quali esiste u qualche relazioe. I questi casi si usa ua tabella a doppia etrata. peso Altezza F p,a Cosiderata la seguete tabella, calcolare ampiezza delle classi di altezza e di peso I cofii delle classi di altezza e di peso I valori cetrali delle classi La frequeza degli studeti apparteeti alla classe di altezza - La frequeza degli studeti apparteeti alla classe di peso - Le frequeze cumulate di altezza Le frequeze cumulate di peso -6 Altezza peso

5 Rappresetazioi grafiche Rappresetazioe grafica Soo umerose e devoo essere scelte i rapporto dei tipi di Dato e della scala di valori utilizzata Vataggio: evideziao a colpo d occhio le caratteristiche pricipali di u feomeo. Icoveiete: macaza di precisioe e altamete soggettive Dati quatitativi: istogrammi poligoi Dati qualitativi: Diagrammi a rettagoli distaziati Diagrammi a puti Areogrammi (tra cui i diagrammi circolari) Diagrammi a figure (o diagrammi simbolici) Tabella Istogrammi Grafici a barre verticali ei quali le misure della variabile statistica soo riportate sull asse orizzotale metre sull asse verticale soo idicati il umero assoluto, oppure la frequeza relativa o quella percetuale, co cui compaioo i valori di ogi classe. I istogramma è ua rappresetazioe areale, soo le superfici dei rettagoli ad essere proporzioali alle frequeze corrispodeti. L asse verticale deve sempre mostrare lo zero reale o origie, ode evitare di distorcere le caratteristiche de dati e i rapporti tra essi. Istogrammi Quado le classi hao la stessa ampiezza, le basi dei rettagoli soo uguali, quidi sarao le altezze ad essere proporzioali alle frequeze che rappresetao. (ragioare sull area equivale a ragioare sulle altezze) Ache quado le ampiezze delle classi soo diverse bisoga garatire che le superfici dei rettagoli siao sempre proporzioali alle frequeze che rappresetao, e segue che è ecessario ragioare sulle altezze dei rettagoli per garatire la correttezza del diagramma Usato la frequeza media delle due classi raggruppate La rappresetazioe grafica deve essere i grado di o alterare od iterrompere la regolarità della distribuzioe Istogrammi

6 Poligoi U poligoo può essere otteuto a partire dal relativo istogramma, uedo co ua liea spezzata i puti cetrali di ogi classe. La liea spezzata deve essere uita all'asse orizzotale, sia all'iizio sia alla fie, per racchiudere l'area della distribuzioe. Poligoi Le distribuzioi cumulate soo rappresetate sia co istogrammi cumulati sia co poligoi cumulati. Rettagoli distaziati e ortogrammi I diagrammi a rettagoli distaziati, o grafici a coloe, soo formati da rettagoli co basi uguali ed altezze proporzioali alle itesità (o frequeze) dei vari gruppi cosiderati. A differeza degli istogrammi, sull asse delle ascisse o vegoo riportati misure ordiate ma omi, etichette o simboli, propri delle classificazioi qualitative. Co dati qualitativi o omiali, le basi dei rettagoli soo sempre idetiche avedo solo u sigificato simbolico. Rettagoli distaziati e ortogrammi Gli ortogrammi o grafici a astri soo uguali ai rettagoli distaziati; l uica differeza è che gli assi soo scambiati, per ua lettura più facile Diagrammi a barre, che rappresetao le frequete, co liee cotiue più o meo spesse (figura ). Ache i questo caso è possibile sostituire ai rettagoli ua liea otteedo diagrammi a barre o a puti e l itesità o frequeza delle varie classi viee letta co ua proiezioe sull asse delle ascisse. Areogrammi Gli areogrammi soo grafici i cui le frequeze o le quatità di ua variabile qualitativa soo rappresetate da superfici di figure piae, come quadrati, rettagoli o, più frequetemete, cerchi oppure loro parti. La rappresetazioe può essere fatta sia co più figure dello stesso tipo, aveti superfici proporzioali alle frequeze o quatità, sia co u'uica figura suddivisa i parti proporzioali. Nel caso dei diagrammi circolari o a torta, si divide u cerchio i parti proporzioali alle classi di frequeza. Gli areogrammi vegoo usati soprattutto per rappresetare frequeze percetuali. Figure Co i diagrammi a figure, o diagrammi simbolici o pittogrammi, la frequeza di ogi carattere qualitativo viee rappresetata da ua figura, sovete stilizzata, oppure da simboli che ricordao facilmete l'oggetto. Questi diagrammi a figure hao tuttavia il grave icoveiete di prestarsi a trarre i igao co facilità. E ua specie di istogramma costruito co figure, dove l altezza della figura deve essere proporzioale alla frequeza, quado le basi soo uguali. L'occhio coglie complessivamete o l altezza di ogi figura ma la superficie che essa occupa, che è il quadrato del valore che si itede rappresetare. 6

7 E possibile ovviare all'icoveiete, ricorredo all'artificio di figure idetiche, ripetute tate volte quate soo le proporzioi. Figure sitesi dei valori osservati Per i caratteri qualitativi, la tabella e le rappresetazioi grafiche esauriscoo quasi completamete gli aspetti descrittivi, quado sia possibile leggere co esattezza le frequeze delle varie classi. Per i caratteri quatitativi, si poe il problema di sitesi oggettive che possao essere elaborate matematicamete e quidi che siao umeriche, al fie di u'aalisi obiettiva che deve codurre tutti i ricercatori, co gli stessi dati, alle medesime coclusioi. Ua serie di dati umerici è compiutamete descritta da proprietà pricipali: ) la tedeza cetrale o posizioe; ) la dispersioe o variabilità; ) la forma. (che o vedremo) Misure di tedeza cetrale o posizioe Media aritmetica Servoo per idividuare il valore itoro al quale i dati soo raggruppati. La tedeza cetrale è la misura più appropriata per sitetizzare l'isieme delle osservazioi, se ua distribuzioe di dati dovesse essere descritta co u solo valore E la prima idicazioe della dimesioe del feomeo. Le misure proposte soo essezialmete tre: la media, la moda e la mediaa. La media aritmetica semplice è la misura di tedeza cetrale più comuemete utilizzata. Quado si parla solo di media, si itede la media aritmetica semplice dove: - x = media del campioe - x i = i-esima osservazioe della variabile X - = umero di osservazioi del campioe - = sommatoria di tutti gli xi del campioe. Media aritmetica La media può essere vista come il baricetro della distribuzioe campioaria, quado ogi sigola osservazioe è rappresetata da u peso covezioale, idetico per tutte, lugo l'asse che riporta i valori su ua scala di itervalli o di rapporti. Per dimostrare graficamete che la media aritmetica corrispode al puto di bilaciameto o di equilibrio dei dati, si suppoga di avere misure:,,,,,. Numero compoeti I media, quale è la gradezza delle famiglie cosiderate? Di quati compoeti si compoe i media ua famiglia? (*+*+*+*)/(+++)=.6 compoeti Abbiamo usato la media poderata!

8 Media poderata Media poderata La media aritmetica di distribuzioi di frequeza raggruppate i classi, detta media aritmetica poderata, è calcolata più rapidamete co dove: - x = media della distribuzioe i classi, - x i = valore medio della i-esima classe di itervallo, - f i = umero di osservazioi della classe i-esima classe, - = umero di classi, - = sommatoria per tutte le classi Esercizi Calcolare le medie dei sequeti dati: (a) U cocorso è articolato i tre prove scritte e u orale, alle quali soo attribuiti rispettivamete i pesi:,, e. Se u cadidato ha riportato le votazioi 6, 6 e e u altro ha riportato le votazioi, 6,, 6, quale dei due è primo i graduatoria? (b) x i f i (c) Classi frequeze Proprietà della media La media è sempre compresa tra il più piccolo e il più grade dei dati Chiamiamo scarto la differeza x i -x tra u valore x i e la media x. La somma algebrica di tutti gli scarti è ulla. La somma dei quadrati degli scarti dei dati da u valore v è miima quado v coicide co la media dei dati. Moda È u valor medio che dipede esclusivamete dalle frequeze f i dei dati e o dai dati stessi. La moda (detta più raramete ache dato prevalete) è il valore più frequete di ua distribuzioe. Caratteristiche: a o è ifluezata dalla preseza di essu valore estremo viee utilizzata solamete a scopi descrittivi, perché è meo stabile e meo oggettiva delle altre misure di tedeza cetrale. Può differire ella stessa serie di dati, quado si formao classi di distribuzioe co ampiezza differete. Per idividuare la moda etro ua classe di frequeza, o cooscedo come i dati soo distribuiti, si ricorre all'ipotesi della uiforme ripartizioe.

9 Esempio Moda Eta degli alievi di due classi. Moda? per etrambe le distribuzioi Eta 6 A B 6 Oltre alle distribuzioi di frequeza che hao ua sola moda e che si chiamao distribuzioi uimodali, si trovao distribuzioi di frequeza che presetao due o più mode; soo deomiate distribuzioi bimodali o plurimodali. Per esempio, misurado le altezze di u gruppo di giovai i cui la parte maggiore sia formata da femmie e la miore da maschi si ottiee ua distribuzioe bimodale, co ua moda pricipale ed ua secodaria. Moda Esempio di distribuzioe bimodale: Moda Esempio di distribuzioe bimodale: Moda Moda per dati raggruppati Quado la distribuzioe dei dati evidezia due o più mode, si deve sospettare che i dati o siao omogeei, ma formati da altrettati gruppi co differeti tedeze cetrali. Requisiti: tutte le classi devoo avere la stessa ampiezza E pertato errato fodare le aalisi sulla media geerale della distribuzioe, poiché o è vera l assuzioe fodametale che siao dati tratti dallo stesso uiverso o popolazioe co ua sola tedeza cetrale. Moda= L + + a Dove: L =cofie iferiore della classe avete la massima frequeza, detta classe modale =differeza tra la frequeza della classe modale e quella della classe precedete =differeza tra la frequeza della classe modale e quella della classe seguete a= ampiezza della classe modale

10 Moda per dati raggruppati Esercizi Esempio classi Freq. 6 Moda= L + + Dove: L =cofie iferiore della classe modale =. =differeza tra la frequeza della classe modale e quella della classe precedete =6-= =differeza tra la frequeza della classe modale e quella della classe seguete= 6-= a= ampiezza della classe modale= Moda=.+(/(+))=.+/=6.6 a Trovare la moda delle segueti distribuzioi: (a) (b) (c) x i f i 6 6 Classi di lughezza Freq. Mediaa Mediaa La mediaa è il valore che occupa la posizioe cetrale i u isieme ordiato di dati. E ua misura robusta, i quato poco ifluezata dalla preseza di dati aomali. La sue caratteristiche più importate soo due: è calcolata sul umero di osservazioi; si ricorre al suo uso quado si vuole atteuare l'effetto di valori estremi; i ua distribuzioe o serie di dati, ogi valore estratto a caso ha la stessa probabilità di essere iferiore o superiore alla mediaa. Per calcolare la mediaa di u gruppo di dati, occorre - disporre i valori i ua fila ordiata i modo crescete oppure decrescete e cotare il umero totale di dati; - se il umero () di dati è dispari, la mediaa corrispode al valore umerico del dato cetrale, quello che occupa la posizioe (+)/; se il umero () di dati è pari, la mediaa è stimata utilizzado i due valori cetrali che occupao le posizioi / e /+; co poche osservazioi, come mediaa viee assuta la media aritmetica di queste due osservazioi itermedie; co molte osservazioi raggruppate i classi, si ricorre talvolta alle proporzioi. Mediaa Mediaa ESEMPIO. Calcolare la mediaa ella serie di dati:,,,,,,,. ESEMPIO. Calcolare la mediaa ella serie di 6 dati:,,,,,,. ESEMPIO. Calcolare la mediaa ella serie di dati:,,,,,,,,. Risposta: Il umero di osservazioi è pari e i due valori cetrali soo, e,; la mediaa è idividuata dalla loro media aritmetica e quidi è uguale a,.

11 Mediaa di dati raggruppati Mediaa di distribuzioi i classi Per determiare la mediaa di questa distribuzioe si procede come segue: (a) Si cotrolla che le x i siao i ordie crescete; (b) si sommao le f i e si divide per, idividuado la posizioe cetrale dei dati. Nel ostro caso (+++++)/=. e quidi la posizioe cetrale è la 6. (c) Per trovare quale dato corrispode alla posizioe trovata, si calcolao le frequeze cumulate fiche o si arriva ad ua frequeza cumulata maggiore o uguale alla posizioe cetrale. 6 x i f i Freq.cum Vogliamo trovare la mediaa di ua variabile statistica cotiua i cui dati soo distribuiti i classi La mediaa cade i questa classe dato che >/ classi Freq. fre.q. cumul. Se suppoiamo che i valori ella classe - siao distribuiti uiformemete all itero ell itervallo, avete ampiezza.-.=, Dobbiamo pesare che essi si trovio a distaza / l uo dall altro. La mediaa, ossia il valore che si trova alla posizioe (/=) è quel valore che ella classe occupa posizioe =-. La mediaa quidi è il valore che supera il cofie iferiore della classe (.) di posizioi ciascua ampia / Mediaa=.+*/=. Mediaa di distribuzioi i classi I formula: Mediaa=L if + (P-F c ) a/f dove: ) L if è il cofie iferiore della classe coteete la mediaa ) P-F c posizioe della mediaa all itero della classe (P è la posizioe cetrale della mediaa e F c è la frequeza cumulata della classe precedete) ) a è l ampiezza della classe mediaa ) f frequeza assoluta della classe mediaa Trovare la mediaa della distribuzioe i tabella classi Freq. Ass. Quartili Soo degli idici di della stessa atura della mediaa. Ne soo defiiti tre, il primo quartile, il secodo quartile e il terzo quartile. I quatili ripartiscoo la distribuzioe i parti di pari frequeza, dove Ogi parte cotie la stessa frazioe di osservazioi. Il primo quartile è defiito come il umero q per il quale il % dei dati statistici è miore o uguale a q. Quartili Ricosiderado i voti di Aa (,,,, 6) e Stefao (,,,, ), abbiamo: studete Aa Stefao miimo 6 q mediaa q massimo Il secodo quartile è defiito come il umero q per il quale il % dei dati statistici è miore o uguale a q. Il secodo quartile corrispode, per defiizioe alla mediaa Il terzo quartile è defiito come u umero q per il quale il % dei dati statistici è miore o uguale a q.

12 Percetili Se, ivece di dividere I dati statistici i quattro parti, li dividiamo i parti, defiiremmo i percetili. Soo utilizzati i campo medico Esempio: dire che il peso di u eoato ricade el - percetile sigifica che, i liea di massima, il % dei eoati ha u peso iferiore ad esso, ed il rimaete 6% ha u peso superiore. Misure di dispersioe Misure di dispersioe o idici di variabilità Gli idici statistici di posizioe riassumao siteticamete ua lista di dati, ma fao perdere iformazioe. Ifatti cooscedo l idice di posizioe o sappiamo se i dati soo cocetrati itoro ad esso oppure se soo dispersi. Per quatificare quato di dati soo distati tra loro (quidi quato variao rispetto alla media) soo state defiite le misure di dispersioe (o variabilità). Campo di variazioe È il più semplice idice di variazioe. Il campo di variazioe di ua distribuzioe è la differeza tra il dato più grade e quello più piccolo della distribuzioe: C= x max - x mi Questo idice è abbastaza grossolao o dicedo ulla sulla variabilità dei dati itermedi. Campo di variazioe Esempio - il campo di variazioe della seguete distribuzioe: 6 è C = = Esempio - il campo di variazioe della seguete distribuzioe: è C = = Guardado le due distribuzioi cosa possiamo cocludere? Scarto semplice medio assoluto dalla media U modo di teer coto della variabilità dei dati è quello di misurare quato ciascu dato x i si discosti dal valor medio. Si chiama scarto semplice medio assoluto e si idica co s m la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti x i -x. I simboli: S m = Σ i= x i - x Perché usiamo il valore assoluto?

13 Scarto semplice medio assoluto dalla media Variaza campioaria Come diveta questa formula di s m per dati x i raggruppati i frequeze f i? U altro accorgimeto che permette di elimiare i segi degli scarti è quello di elevare al quadrato gli scarti alla media. Otteiamo i questo modo u uovo idice di variabilità chiamato variaza. Se ad x si sostituisce la mediaa dei dati, si ottiee u altro idice di variabilità chiamato scarto semplice medio assoluto dalla mediaa. Questo idice ha la proprietà di essere miimo rispetto agli altri scarti semplici medi assoluti. Perché? è ua deviaza media o deviaza rapportata al umero di osservazioi. La variaza della popolazioe, il cui simbolo è s, è otteuta dalla formula: Dove: s x - è il umero di osservazioi - x è la media dei dati osservati - x i è l i-esimo dato statistico osservato Variaza campioaria Variaza campioaria Alcui statistici defiiscoo la variaza campioaria come Applicado le proprietà della sommatoria otteiamo ua formula che ci permette di sellire I calcoli della variaza: s = Σ i= (x i xx i + x ) = Ovviamete, quado è grade le differeze tra le due formule soo miime; quado è piccolo, le differeze soo sesibili. Si usa la prima quado il umero delle osservazioi è elevato, la secoda altrimeti. I geere possiamo assumere equivaleti le due espressioi per >. (questa osservazioe adrebbe fatta oer tutte le formule che seguoo) = = Σ i= x i Σ i= x i Σ i= xx i + x Σ i= x = Variaza campioaria Quale è la formula della variaza i caso di dati raggruppati? Deviazioe stadard o scarto quadratico medio É la radice quadrata della variaza, i formule: s = Σ i= f i (x i x) Σ i= f i = umero di raggruppameti s x Dove: - è il umero di osservazioi - x è la media dei dati osservati = Σ i= f i x i Σ i= f i x - x i è l i-esimo dato statistico osservato E ua misura di distaza dalla media e quidi ha sempre u valore positivo. E' ua misura della dispersioe della variabile statistica itoro alla media.

14 Deviazioe stadard o scarto quadratico medio E ua misura di distaza dalla media e quidi ha sempre u valore positivo. E' ua misura della dispersioe della variabile casuale itoro alla media. I geerale si preferisce usare come idice di variabilità la deviazioe stadard perche essa matiee l uità di misura dei dati statistici. Esempio cosideriamo i voti di due studeti: Aa (,,,, 6) e Stefao (,,,, ). Etrambi hao la stessa media dei voti (media=.) ma Stefao sembra essere più bravo. Calcolado la deviazioe stadard otteiamo σ(aa)=.6 σ(stefao)=.6. Cosa sigifica? Se i dati statistici soo relatici alle altezze di idividui espresse i cm, la variaza è espressa i cm metre la deviazioe stadard matiee come uità di misura il cm come I dati osservati. Sigifica che i voti di Aa soo piu cocetrati (vicii) rispetto a quelli di Stefao. Covezioi di otazioi Alcui testi usao idicare la variaza co il simboloσ e la deviazioe stadard co σ. Calcolare media, variaza e deviazioe stadard di :, 6,,,, Media= (+6++++)/6=(*+*+6+)/6=/6=., Variaza= deviazioe stadard= Esercizi a pagia