Appunti di matematica Percorso

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1 Biaca Arrigoi Apputi di matematica Percorso Statistica e probabilità EDIZIONE RIFORMA

2 Biaca Arrigoi Apputi di matematica Percorso Statistica e probabilità EDIZIONE RIFORMA

3 iteret: Redattore resposabile: Tecico resposabile: Redazioe: Progetto grafico: Copertia: Impagiazioe e prestampa: Ricerca icoografica: Stefao Gaci Gialuigi Rochetti Edistudio Studio Talarico Simoa Coriola Grade foredit, Moza (MB) Gabriella Marmoti Art Director: Nadia Maestri I coteuti della sezioe Iformath relativi a questo volume dispoibili sul sito soo a cura del professor Domeico Ciceri. Si rigraziao il prof. Carlo Bertoi, che ha curato le schede Modelli e realtà alle pagie 116, 117 e 160, la dott.ssa Fracesca Asselti, che ha curato le schede Modelli e realtà alle pagie 21, 57 e 114, e la prof.ssa Mariapia Poggi per la cosuleza didattica prestata ella realizzazioe dell opera. Derive è u marchio depositato di Texas Istrumets Icorporated Excel è u marchio depositato di Microsoft Corporatio CEDAM Scuola è u marchio registrato e cocesso i liceza da Wolters Kluwer Italia s.r.l. a De Agostii Scuola SpA. Proprietà letteraria riservata 2012 De Agostii Scuola SpA Novara 1ª edizioe: febbraio 2012 Prited i Italy Le immagii di questo volume, trae dove diversamete specificato, soo state forite da: istockphoto, Photos, De Agostii Editore Picture Library L Editore dichiara la propria dispoibilità a regolarizzare evetuali omissioi o errori di attribuzioe. Nel rispetto del DL 74/92 sulla traspareza ella pubblicità, le immagii escludoo ogi e qualsiasi possibile itezioe o effetto promozioale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessua parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta i alcua forma seza l autorizzazioe scritta dell Editore. Fotocopie per uso persoale del lettore possoo essere effettuate ei limiti del 15% di ciascu volume dietro pagameto alla SIAE del compeso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile Le fotocopie effettuate per fialità di carattere professioale, ecoomico o commerciale o comuque per uso diverso da quello persoale possoo essere effettuate a seguito di specifica autorizzazioe rilasciata da CLEARedi, Cetro Liceze e Autorizzazioi per le Riproduzioi Editoriali, Corso di Porta Romaa, Milao autorizzazioi@clearedi.org e sito web Evetuali segalazioi di errori, refusi, richieste di chiarimeto/fuzioameto dei supporti multimediali o spiegazioi sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possoo essere iviate all idirizzo di posta elettroica scrivi@scuola.com. Stampa: AGS - All Graph System srl - Novara Ristampa Ao

4 Idice Uità 1 Uità 2 Uità 3 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA 1 TEORIA 1 Itroduzioe 2 2 Idagie statistica 3 3 Rappresetazioi grafiche 5 4 Idici medi 8 5 Medie di posizioe: moda e mediaa 13 6 Variabilità dei dati 15 ESERCIZI S.O.S. Sitesi 23 START/GO! 24 Verifica sommativa 37 IN PREPARAZIONE ALLA PROVA INVALSI 38 TIME OUT RECUPERO 40 STATISTICA DESCRITTIVA BIVARIATA 41 TEORIA 1 Tabelle a doppia etrata e dipedeza statistica 42 2 Rappresetazioi grafiche 45 3 Iterpolazioe 46 4 La regressioe 49 5 La correlazioe lieare 51 6 Serie temporali e tred 54 ESERCIZI S.O.S. Sitesi 59 START/GO! 61 Verifica sommativa 74 IN PREPARAZIONE ALLA PROVA INVALSI 75 TIME OUT RECUPERO 76 CALCOLO COMBINATORIO 77 TEORIA 1 Raggruppameti 78 2 Disposizioi semplici 79 3 Disposizioi co ripetizioe 80 4 Permutazioi semplici 81 5 Permutazioi co ripetizioe 82 6 Combiazioi semplici 82 7 Coefficieti biomiali 83 Uità 4 Uità 5 ESERCIZI S.O.S. Sitesi 85 START/GO! 86 Verifica sommativa 95 IN PREPARAZIONE ALLA PROVA INVALSI 96 TIME OUT RECUPERO 98 PROBABILITÀ 99 TEORIA 1 Il calcolo delle probabilità e le sue origii storiche Eveti aleatori Defiizioe classica di probabilità Teoremi della probabilità Probabilità e calcolo combiatorio Altre defiizioi di probabilità Prove ripetute Probabilità delle cause. Teorema di Bayes 113 ESERCIZI S.O.S. Sitesi 119 START/GO! 120 Verifica sommativa 138 IN PREPARAZIONE ALLA PROVA INVALSI 139 TIME OUT RECUPERO 141 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ 143 TEORIA 1 Variabili casuali Fuzioe di ripartizioe Valore medio e gioco equo Variaza di ua variabile casuale Distribuzioe uiforme o costate Distribuzioe biomiale o di Beroulli Distribuzioe ormale 155 ESERCIZI S.O.S. Sitesi 161 START/GO! 162 Verifica sommativa 174 IN PREPARAZIONE ALLA PROVA INVALSI 175 TIME OUT RECUPERO 176

5 Uità 6 INFERENZA STATISTICA 177 TEORIA 1 Il metodo iduttivo Il campioameto La media campioaria Parametri e stimatori Stima putuale della media Stima putuale della proporzioe Stima itervallare della media Stima itervallare della proporzioe Verifica delle ipotesi 187 Sul sito soo dispoibili schede di Iformath dedicate al laboratorio relative a: Regressioe e correlazioe Formula di Bayes Distribuzioe ormale e errori di misura ESERCIZI S.O.S. Sitesi 188 START/GO! 189 Verifica sommativa 198 IN PREPARAZIONE ALLA PROVA INVALSI 199 TIME OUT RECUPERO 201

6 MEDIE Caratteristiche del corso Apputi di matematica Percorso D, E, F, S è u corso modulare dedicato ai Nuovi Istituti Professioali, riovato ella quatità e ella qualità degli esercizi e aggiorato co i uovi argometi di studio, comui ai settori Idustria e Artigiaato e Servizi, previsti dalle Liee guida azioali. Tra gli argometi, fiora poco trattati ei Professioali, si segalao: Progressioi (el Percorso D) Goiometria, Trigoometria, Numeri complessi (compresi el Percorso E) Statistica, Probabilità e Calcolo combiatorio (el Percorso S) Successioi e argometi avazati di Aalisi (el Percorso F) 116 Uità 4 PROBABILITÀ MODELLI E REALTÀ Verso le competeze VALE LA PENA? Vale la pea laciare u razzo ello spazio, cosiderati gli altissimi costi e i rischi che ciò comporta? Esiste u modo per calcolare quatitativamete se il gioco vale la cadela? Il metodo esiste, e o si applica solo alle missioi spaziali, ma a qualsiasi attività, come la costruzioe di ua cetrale ucleare o la decisioe se cambiare ua carta i ua mao di poker. Il rischio di u eveto è essezialmete determiato dal prodotto di due parametri: la probabilità di verificarsi e il dao che questo eveto può causare R = P d dove, a secoda dei casi, il dao può essere quatificato i termii ecoomici, di vite umae o altro. I questo modo il rischio esprime il dao medio che ci si può aspettare. Suppoiamo per esempio che la probabilità di rottura di uo strumeto o esseziale alla missioe sia P = 0,02 per ogi volo, e che il valore dello strumeto sommato al valore dei risultati che permette di otteere (quidi ache il dao i caso di rottura) sia euro. Il rischio sarebbe R = P d = 200 euro/missioe. Già da questa prima defiizioe, tuttavia, emergoo alcui limiti di questo approccio; i questo modo ifatti u eveto ad alto rischio e bassa probabilità è equiparato a uo a basso rischio e alta probabilità, che ivece spesso vegoo percepiti diversamete. Per aalizzare il rischio complessivo di u impresa è ecessario idividuare tutti i possibili eveti che possoo comportare u dao, per ciascuo valutare la probabilità di accadere e il possibile dao, e ifie sommare tutti i rischi: Lacio dello Space Shuttle Columbia el R = Σ = P i d i i=1 Osserviamo che il rischio così calcolato o è altro che il valor medio della variabile aleatoria dao. Ovviamete la valutazioe del rischio o ha come uico scopo la decisioe di itrapredere o meo u impresa, ma ache stabilire ua priorità el cercare di elimiare le cause di rischio. A questo scopo è prassi comue classificare gli eveti pericolosi secodo ua tabella (ua matrice) che riporta sulle righe la probabilità e sulle coloe le cosegueze. Riportiamo ad esempio quella usata dalla NASA, co la relativa classificazioe delle probabilità: Quasi certo p > 0,80 C2 C3 C4 Molto probabile C5 P1 0,60 < p < 0,80 C P2 Probabile 0,40 < p < 0,60 P3 17 P5 P P3 P4 Poco probabile 0,20 < p < 0,40 P Improbabile P p < 0,20 P Riferimeti per ua didattica delle competeze I apertura delle uità che scadiscoo il corso soo state elecate oltre ai prerequisiti e agli obiettivi di appredimeto le competeze da acquisire, competeze che costituiscoo per l isegate u elemeto determiate per la didattica e la programmazioe. Espressamete progettate per questo fie soo le schede Modelli e realtà Verso le competeze, che esemplificao l uso di semplici modelli matematici per risolvere problemi legati alla quotidiaità e iterpretare criticamete feomei di tipo statistico e probabilistico. Facilitatori per l appredimeto Nell esposizioe della Teoria, che gli autori hao reso i modo lieare e semplice, soo stati utilizzati umerosi accorgimeti per facilitare l appredimeto e la memorizzazioe. Ogi cocetto teorico è accompagato da esempi che e chiariscoo l applicazioe, metre gli errori più comui e i passaggi cocettuali più complessi soo stati esplicitati co opportui richiami a margie. La sitesi, che preseta i sequeza richiami di teoria, affiacati da esemplificazioi o formule, cosete u rapido ripasso o ua rapida cosultazioe prima e durate l esecuzioe degli esercizi. S.O.S. Sitesi CARATTERI, DATI STATISTICI E FREQUENZA TABELLE Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Si chiama statistica la scieza che si occupa dello studio di u feomeo attraverso idagii co cui si raccolgoo dati che vegoo rappresetati, classificati e, ifie, aalizzati. Il feomeo verso cui si idirizza la ricerca iteressa ua collettività, detta popolazioe, ossia u isieme di elemeti o uità statistiche che hao tutti uo o più aspetti (detti caratteri) i comue. I caratteri possoo essere: qualitativi: se le loro modalità, ossia i loro modi di maifestarsi, si esprimoo co aggettivi o omi; quatitativi: se le loro modalità, ossia i loro modi di maifestarsi, si esprimoo co valori umerici, detti valori del carattere; Si chiama frequeza assoluta della modalità il umero di volte che si è maifestata ua determiata modalità e si idica co f (assoluta) della modalità. Si chiama frequeza relativa di ua data modalità il rapporto fra la frequeza assoluta di tale modalità e il umero totale degli elemeti della popolazioe: f rel = f Le tabelle possoo essere: semplici, se i dati presetati si riferiscoo a u solo carattere; complesse, se presetao dati relativi a più caratteri; a doppia etrata, se ogi uità statistica è osservata secodo due caratteri cogiutamete. Si chiama media ogi valore compreso tra il miimo e il massimo dei dati cosiderati. La media aritmetica semplice di umeri è data dalla loro somma divisa per : M = x 1 + x x La media aritmetica poderata si ottiee sommado i prodotti dei sigoli valori x per le rispettive frequeze f e dividedo per la somma delle frequeze: x M = 1 f 1 + x 2 f x f = x i f i f i f i La media armoica semplice è il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori dati: M ARM = 1 x x = 2 x Σ 1 x i La media quadratica semplice è la radice quadrata della media aritmetica del quadrato dei valori: M Q = x 1 + x x La media geometrica semplice di valori è la radice -esima del loro prodotto: M G = x 1 x 2... x ESERCIZI 23 persoe viveti attualmete i Italia (popolazioe) professioe. i Le essere classificate secodo età e carattere possoo u carattere quatitativo: le modalità del esprimoo Il primo è «età» soo umeri (da 0 a 110, ad esempio), che ai di vita della sigola uità statistica. gli è, ivece, u carattere qualitativo: le modalità impiegato, Il secodo carattere «professioe» soo omi (studete, posizioe del impreditore,...) che esprimoo la alla società. operaio, professioale della sigola uità statistica i seo alla tabella mostra risultati di u'idagie relativa La produzioe di uva e vio i Italia ell'ao Zoa 46 Quitali Frequeza relativa Frequeza % Nord , Cetro , Sud , ITALIA La frequeza relativa e percetuale della modalità Nord è: , % Dati i valori 6, 8, 19, 23, la media aritmetica semplice è: = = 14 Se i valori compaioo co le relative frequeze, occorre calcolare i prodotti di ogi valore per la propria frequeza, quidi sommare i prodotti e dividerli per il totale delle frequeze: x f x f M = Totale = 13,5 Dati i valori 3, 7, 10, 16: La media armoica è: 4 4 M ARM = = 6, La media quadratica è: M Q = = ,17 La media geometrica è: M G = = ,61

7 ESERCIZI Caratteristiche del corso Esercizi, prova INVALSI, prove di verifica Preceduti da ua serie di quesiti vero/falso (Start), per attivare la cocetrazioe, gli esercizi proposti el corso si presetao differeziati per tipologia e grado di difficoltà e soo opportuamete corredati da esercizi iteramete svolti ed esercizi guidati, domade a risposta multipla, verifiche sommative ed esercizi di tipologia aaloga a quelli preseti elle prove Ivalsi ufficiali. Uità 4 PROBABILITÀ La cocezioe frequetista e la legge empirica del caso START Idica se le segueti affermazioi soo vere o false. V F 1 I u esperimeto, la frequeza relativa di u eveto è il rapporto tra il umero di successi e il umero delle prove fatte. 2 La probabilità classica e la frequeza soo la stessa cosa ache su pochi esperimeti. 3 La legge empirica del caso dice che aumetado il umero degli esperimeti la frequeza tede ad avviciarsi alla probabilità. 4 La frequeza relativa di u eveto può variare da 0 a GO! ESERCIZIO SVOLTO U sacchetto cotiee 300 pallie umerate da 1 a 5. Si fao 2000 estrazioi e i risultati soo i segueti: Stima quate soo probabilmete le diverse pallie el sacchetto. Calcoliamo la frequeza relativa di ogi tipo di pallia, dividedo il umero dei successi per il umero totale degli esperimeti: p(1) = = 0,178 p(3) = = 0,1435 p(5) = = 0,1185 p(2) = = 0,183 p(4) = = 0,377 Moltiplichiamo ora le sigole probabilità per il umero totale di pallie (300) coteute el sacchetto: pallia co il. 1: 0, = 53,4 53 pallia co il. 2: 0, = 54,9 55 pallia co il. 3: 0, = 43,05 43 pallia co il. 4: 0, = 113,1 113 pallia co il. 5: 0, = 35, Si eseguoo 1800 laci di u dado. Quate volte ti aspetti che esca il umero 4? [300] 59 Ua scatola cotiee 250 gettoi colorati: dopo 4000 estrazioi di u gettoe, rimettedo ogi volta ella scatola il gettoe estratto, si hao i segueti dati: biachi 800, grigi 1440, eri 1280, rossi 480. Qual è la probabile composizioe della scatola? [50 biachi; 90 gialli; 80 eri; 30 rossi] 60 U cesto cotiee 12 mele, alcue gialle e altre rosse. Si soo eseguite 500 estrazioi rimettedo sempre el cesto la mela estratta e si soo verificate 210 estrazioi di mele rosse. Quate soo probabilmete le mele gialle? [7] 61 U idustria produce lampadie: dopo u cotrollo su 5000 pezzi, si soo riscotrate 25 lampadie difettose. Se compro ua lampadia di quella marca, qual è la probabilità che risulti difettosa? [0,5%] 129 ESERCIZI 40 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA TIME OUT START RECUPERO Altri esercizi per il recupero di questa uità soo dispoibili el sito ell area cotrassegata dal simbolo Idica se le segueti affermazioi soo vere o false. V F 1 La statistica ha per oggetto feomei sia idividuali sia collettivi. 2 Ua popolazioe statistica è sempre composta da persoe. 3 I caratteri esamiati possoo essere quatitativi o qualitativi. 4 Per uità statistica si itede u umero itero. 5 Se i dati hao tutti lo stesso valore, la media aritmetica è uguale a zero. 6 Se i dati hao tutti lo stesso valore, la variaza è uguale a zero. 7 La moda è sempre u umero. 8 Per variabilità dei dati si itede che o hao tutti lo stesso valore. 9 La media aritmetica si calcola dividedo il totale dei dati per la loro somma. 10 Il coefficiete di variazioe e il campo di variazioe soo la stessa cosa. GO! ESERCIZIO GUIDATO 1 Si esegue u idagie sul umero di staze degli alberghi pre- N. staze N. alberghi seti i ua piccola provicia e i risultati soo riportati ella tabella a fiaco. 5 3 Calcolare: 10 5 a) le frequeze relative percetuali; b) la moda; c) la media aritmetica; 25 8 d) lo scarto quadratico medio Rappresetare graficamete la distribuzioe degli alberghi secodo il umero di camere. a) Per calcolare le frequeze relative percetuali, occorre dividere per il totale delle e moltiplicare per. La somma delle frequeze relative percetuali è uguale a. N. staze N. alberghi Freq. relativa 5 3 8,8% Totale 34 Segue su U corso i forma mista All idirizzo doceti e studeti possoo usufruire di due modalità di erogazioe di coteuti digitali: 1 ell area dedicata alle risorse web dell opera (digitare il titolo dell opera) soo dispoibili: ua serie completa di esercizi (Timeout recupero), riferiti a ogi uità del corso, pesati per chi ha difficoltà a superare i puti critici della teoria; le schede vegoo aggiorate periodicamete schede Iformath dedicate al laboratorio di statistica e probabilità, co esercitazioi svolte ed esercizi proposti le soluzioi degli esercizi Start e delle Domade a risposta multipla, proposti el volume, oltre a quelle relative alla sezioe I preparazioe alla prova INVALSI 2 sulla piattaforma Zoa Matematica lo studete può disporre di esercizi di recupero, di poteziameto e di verifiche iterattive classificate per argometo. Dopo avere cocluso la verifica, è possibile cotrollare l esattezza dei risultati ed è ioltre possibile accedere alle verifiche realizzate appositamete dal docete per la classe.

8 Di che cosa si occupa la statistica Uità 1 Prerequisiti Saper operare co i umeri. Obiettivi Cooscere come orgaizzare u idagie statistica. Saper aalizzare e rappresetare ua serie di dati. Saper calcolare le pricipali medie. Saper dedurre iformazioi dall aalisi di rappresetazioi grafiche. Competeze Saper sitetizzare u feomeo attraverso i valori medi. Saper ricooscere e misurare la variabilità di u feomeo quatitativo. Saper leggere e iterpretare u grafico statistico. Saper aalizzare e iterpretare dal puto di vista statistico situazioi della realtà quotidiaa.

9 2 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA 1. Itroduzioe Quado si parla di statistica vegoo subito i mete dati, tabelle, grafici, idici, medie: i poche parole, ua serie di iformazioi su fatti che si voglioo cooscere. Oggi, soprattutto grazie ai diversi strumeti di comuicazioe, abbiamo a disposizioe ua massa stermiata di iformazioi; tuttavia ciò o sigifica automaticamete cooscere meglio il feomeo che si sta studiado. Se, per esempio, vogliamo sapere qual è il tipo di musica preferita dai giovai della ostra città, possiamo realizzare iterviste e raccogliere ua grade quatità di iformazioi, ma per avere ua coosceza adeguata riguardo alla musica più ascoltata dai giovai della ostra città occorrerà raggruppare e sitetizzare i dati raccolti. Scopo della statistica ifatti è redere davvero utilizzabili gradi quatità di iformazioi relative all argometo di u idagie, raccogliedole i modo accurato, selezioadole, orgaizzadole ed elaboradole. Questo lavoro produrrà tabelle, grafici, percetuali, medie, tutto ciò che riuiamo sotto il ome di statistiche ; ivece la statistica è l isieme dei metodi per trattare i dati. Defiizioe La statistica è la scieza che studia i feomei collettivi; si occupa di raccogliere, esamiare, elaborare, iterpretare, rappresetare i dati e di restituire i forma orgaizzata gradi quatità di iformazioi. Le iformazioi oggetto della statistica possoo riguardare feomei diversi, sempre ell ambito di ua collettività di idividui o di oggetti omogeei. La statistica è quidi la scieza dei feomei collettivi; la collettività oggetto di studio si chiama popolazioe o uiverso statistico e idica quidi il gruppo di persoe o l isieme di oggetti omogeei sui quali si fa statistica. Co il termie uità statistica si idica ivece il sigolo elemeto dell uiverso statistico. Se, per esempio, si studiao i gusti musicali degli studeti di ua scuola, il totale degli iscritti rappreseta la popolazioe e il sigolo studete l uità statistica. Oggi il campo di applicazioe della statistica è molto ampio. Alla statistica ifatti fao ricorso tutte le scieze ed essa rappreseta uo strumeto esseziale per la scoperta di leggi e relazioi tra feomei. La troviamo applicata ei sodaggi, el cotrollo di qualità dei prodotti idustriali, elle ricerche di mercato e ella meteorologia. La statistica si divide i due gradi rami: la statistica descrittiva, che descrive u feomeo secodo schemi strutturati i u certo metodo (abbiamo avuto modo di studiarla già el primo bieio); la statistica ifereziale o iduttiva o campioaria, che raccogliedo ed esamiado dati di ua parte della popolazioe, o campioe, trae coclusioi riguardati tutta la popolazioe.

10 2. Idagie statistica 3 2. Idagie statistica Per studiare u feomeo si può ricorrere a u idagie statistica. Ogi idagie è composta di tre fasi: la raccolta, lo spoglio e l elaborazioe dei dati. I dati statistici devoo essere raccolti e poi elaborati. Come si effettua la raccolta? La tecica usata è l itervista codotta direttamete per strada, per telefoo, oppure idirettamete tramite u questioario. Se l idagie è svolta sull itera popolazioe, come i cesimeti, si parla di raccolta globale; se ivece si itervista solo ua parte della popolazioe, si parla di raccolta per campioe. La raccolta globale è più affidabile ma molto costosa; la raccolta per campioi è meo costosa e più veloce, ma il campioe scelto deve essere rappresetativo di tutto l uiverso statistico, altrimeti i risultati risulterebbero falsati. I u idagie, di ogi uità statistica si prede i esame la stessa caratteristica, che viee chiamata carattere. Per esempio, i ua classe di studeti si vuole realizzare ua ricerca sul carattere colore degli occhi degli studeti di quella classe, oppure sul peso, sull altezza, sulle prefereze musicali,... I caratteri si classificao i: qualitativi, se riguardao ua qualità e soo descritti attraverso parole o omi (colore degli occhi, geere musicale preferito, tipo di scuola frequetata, ); quatitativi, se riguardao quatità e soo espressi da umeri (il peso, il umero di globuli rossi, i giori di malattia, ). Ua volta raccolti, i dati vegoo orgaizzati e classificati; ua prima forma di classificazioe è la compilazioe di tabelle. Per esempio, ella tabella a fiaco soo raccolti i dati riguardati lo stato del tempo gioraliero el mese di marzo. Nella prima coloa scriviamo il carattere da aalizzare e i suoi possibili valori o modi di maifestarsi, che si chiamao modalità, e ella secoda il umero di volte i cui il carattere appare, e cioè la frequeza assoluta. La tabella si chiama tabella di frequeza. Se si divide la frequeza assoluta per il umero totale dei dati, si ottiee la frequeza relativa, che spesso è data i percetuale. Completiamo la tabella aggiugedo la coloa delle frequeze relative percetuali: Modalità Frequeze assolute Frequeze relative Sereo 9 29% Nuvoloso 7 23% Piovoso 15 48% Totale % Stato del tempo (modalità) Le frequeze relative soo utilizzate i particolare per effettuare cofroti tra i dati: o all itero dello stesso feomeo, per valutare quato u dato pesa sul totale (ad esempio, vediamo che i giori di pioggia soo quasi il 50% del totale), o co u altra rilevazioe dello stesso tipo (ad esempio, co i dati di u altro mese o di u altro ao). Numero di giori (frequeza) Sereo 9 Nuvoloso 7 Piovoso 15 Totale 31

11 4 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Quado si raccolgoo alcui tipi di dati, come il peso o l altezza, su ua popolazioe umerosa, diveta scomodo usare i sigoli valori, perché peso e altezza variao i modo cotiuo: avremmo ua luga lista di dati, ciascuo magari co pochissime frequeze. Per questo tipo di dati umerici è più utile raggruppare i valori i classi o itervalli. Nella tabella seguete soo raccolti i dati relativi al peso di u gruppo di ragazzi, suddivisi i classi. Osserva che il valore massimo di ua classe viee ripetuto come valore miimo ella classe successiva: la scrittura idica che i questa classe sarao iseriti i pesi da 40 kg compresi fio a 45 kg esclusi. Classi di peso (kg) Frequeze assolute Frequeze relative % % % Totale % È vero che raggruppado i dati i classi si perdoo alcue iformazioi; ad esempio o si sa quate delle 13 persoe della prima classe abbiao u peso vicio a 40 kg e quate più vicio a 45 kg, ma la perdita di iformazioe è compesata da ua tabella che risulta sicuramete più leggibile rispetto a ua lista di 30 valori tutti diversi. Le classi soo caratterizzate da ua dimesioe o ampiezza, che è la differeza tra i due estremi dell itervallo. Le classi possoo avere tutte la stessa dimesioe, o ampiezza, o ampiezze diverse. Nel ostro esempio tutte le classi hao la stessa ampiezza pari a 5 kg. Si può calcolare il valore cetrale di ua classe; esso è utile perché è il valore che rappreseta la classe. Per otteerlo si sommao gli estremi dell itervallo e si divide per 2; ad esempio, il valore cetrale della prima classe è dato da: = 42,5 2 Tabelle complesse Le tabelle viste fiora si dicoo semplici perché riguardao u solo carattere; se ivece le tabelle presetao dati statistici relativi a più caratteri, si chiamao complesse. U esempio di tabella complessa è la seguete, relativa ai caratteri di u gruppo di 4 studeti: Nome Età (ai) Altezza (cm) Peso (kg) Atoio ,7 Bruo ,3 Carlo ,6 Domeico ,3

12 3. Rappresetazioi grafiche 5 Fra le tabelle complesse, particolare importaza hao le tabelle a doppia etrata, utilizzate quado ogi uità statistica viee osservata secodo due caratteri. Le modalità del primo carattere soo elecate ella prima coloa, quelle del secodo carattere ella prima riga; all icrocio di riga e coloa si trovao le frequeze delle uità statistiche che hao cotemporaeamete le due modalità. La tabella a doppia etrata che segue, per esempio, rappreseta la distribuzioe di u gruppo di ragazzi secodo il geere e secodo la ligua straiera preferita: Ligua Sesso Femmie Maschi Iglese 12 8 Fracese 7 4 Spagolo Tedesco 3 5 Ciese Rappresetazioi grafiche Oltre che co le tabelle, i dati si possoo rappresetare ache mediate grafici. Esistoo molti tipi di grafici; oi esamieremo quelli più utilizzati. Diagramma a liee È ua rappresetazioe grafica i cui a ogi dato corrispode ua liea di lughezza proporzioale al dato rappresetato. Le liee possoo essere poste i orizzotale o i verticale. Rappresetiamo co u diagramma a liee la distribuzioe degli ettari della superficie coltivata a frumeto i Italia, come risulta dai dati i tabella. Zoe geografiche Superficie i ettari Nord 1464 NORD Cetro 1146 CENTRO Sud 850 SUD Diagrammi a barre o ortogramma Soo rappresetazioi grafiche elle quali ogi dato è rappresetato da rettagoli aveti tutti uguale base; il cofroto si basa sulle diverse altezze. I rettagoli possoo essere disegati uo di seguito all altro seza spazi itermedi. Si chiamao ache grafici a rettagolo o diagrammi a cae d orgao. Soo utili ache quado, ello stesso grafico, si voglioo operare cofroti tra dati otteuti i rilevazioi diverse: a tal fie si disegao rettagoli affiacati di colori diversi per facilitare il raffroto.

13 6 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA La rappresetazioe dei dati dell esempio precedete co u diagramma a barre è la seguete: Nord Cetro Sud Istogramma L istogramma è utilizzato per rappresetare dati espressi i classi; cosiste i u isieme di rettagoli co base orizzotale di larghezza proporzioale all ampiezza della classe e area proporzioale alle frequeze della classe. frequeza A C D B peso (kg) E La tabella riporta la distribuzioe di frequeza dei pesi di 100 studeti maschi di ua data scuola. A siistra è rappresetato il relativo istogramma. Peso (kg) Numero di studeti A B C D E Totale 100 Diagramma circolare o diagramma a torta I dati di u feomeo vegoo rappresetati all itero di uo stesso cerchio diviso i spicchi, cioè i settori circolari che hao u ampiezza proporzioale alla frequeza del dato, di solito espressa i percetuale. È ua rappresetazioe utile quado si vuole mettere a cofroto la misura di ciascua parte rispetto a u itero. Rappresetiamo i dati degli ettari di superficie coltivata a frumeto i Italia riportati ell esempio a pagia precedete. Superficie i ettari 25% 42% 33% Nord Cetro Sud

14 3. Rappresetazioi grafiche 7 Ideogramma È ua rappresetazioe grafica i cui i dati soo rappresetati per mezzo di simboli o disegi che e rappresetao i valori; dà u idea immediata e compresibile del dato che si vuole rappresetare. Per questo motivo è molto utilizzata su giorali e riviste. Ha lo svataggio che i dati espressi i questo modo o soo molto precisi. Regioe Lazio Veeto Piemote Toscaa Bovii (1000 capi) = capi Cartogramma Si utilizzao le cartie geografiche, sulle quali vegoo disegati colori graduati oppure segi (come puti, liee, diagrammi, cerchi,...) per rappresetare i dati. Il cartogramma è molto utilizzato i geografia e i storia; la compresioe è immediata, ache se preseta ua bassa precisioe. Il cartogramma rappreseta la desità di popolazioe elle regioi italiae. La toalità del colore idica desità diverse, come idicato ella legeda fio a 100 ab/km 2 da 101 a 200 ab/km 2 da 201 a 300 ab/km 2 oltre 300 ab/km Diagramma cartesiao Si tratta di ua rappresetazioe grafica el piao cartesiao, i cui ogi dato di u feomeo statistico è rappresetato da ua coppia ordiata di valori; i puti così determiati vegoo uiti co ua liea, visualizzado i questo modo l adameto del feomeo.

15 8 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Serve soprattutto per rappresetare gradezze che variao i modo cotiuo; ioltre, il diagramma cartesiao cosete di rappresetare le variazioi di ua gradezza rispetto alle variazioi di u altra gradezza dalla quale essa dipede. Rappresetiamo le vedite di computer di u azieda iformatica egli ai dal 2008 al Ai Computer veduti i u ao ( 1000) Idici medi Che cos è ua media Abbiamo studiato come u isieme di dati può essere tabulato e rappresetato attraverso u grafico, per cogliere e capire il feomeo el suo isieme. I molti casi è ecessario elaborare ulteriormete i dati i modo da trovare u valore che riassuma le proprietà globali del feomeo cosiderato: questo dato sitetico si chiama media. Calcolare ua media diveta poi idispesabile quado si vuole fare u cofroto tra dati relativi a diverse popolazioi, ad esempio per stabilire quale classe, fra tutte le terze di ua scuola, ha riportato i voti migliori i matematica. Il calcolo di ua media è ecessario ache per aalizzare l evoluzioe di u feomeo el tempo, ad esempio per cofrotare la spesa media per l istruzioe i Italia egli ai 2008 e I questi casi, tabelle e grafici o soo sufficieti a dare ua risposta al problema: occorre trovare ua media. Esistoo molti tipi di medie, oltre alla media aritmetica che già coosciamo. Defiizioe Si chiama media u qualsiasi valore compreso tra il miore e il maggiore dei dati cosiderati. Naturalmete o sceglieremo u valore a caso, perché lo scopo di ua media è quello di essere u valore che descrive siteticamete i dati, cioè u valore che possa i qualche modo rappresetarli tutti, secodo u certo criterio. Media aritmetica semplice La media aritmetica è quella che utilizziamo per calcolare, ad esempio, il voto di uo studete i pagella, per ogi materia. È così comue che spesso si chiama solo media.

16 4. Idici medi 9 Il modo di calcolarla ci è oto: el caso dei tuoi voti, si sommao tutti quelli che hai preso elle verifiche e poi si divide tale somma per il umero di verifiche. Il valore trovato è la media aritmetica. Defiizioe La media aritmetica semplice di umeri è data dalla loro somma divisa per. I simboli, chiamado i umeri co x 1, x 2,, x, si scrive: M = x 1 + x x Calcoliamo l età media di 5 persoe che hao rispettivamete 35, 48, 16, 8, 28 ai: M = = = 27 FOCUS La media trovata, el ostro caso, o coicide co essu dato dell isieme di parteza, ma è compresa tra il valore miimo e il valore massimo dei dati. Sommado tutte le età e poi dividedole per le persoe, si ridistribuiscoo gli ai i modo uguale fra tutti. La media aritmetica ifatti ripartisce i modo uguale la somma dei valori dei dati. La media aritmetica quidi ha ua caratteristica importate: se la sostituiamo al posto di ciascu dato, la somma totale rimae ivariata. Proprio questo è il criterio della media aritmetica: lasciare ivariata la somma dei valori dei dati. Media aritmetica poderata Calcoliamo la media dei voti riportati i matematica dagli studeti di ua classe, i cui dati soo i tabella. Voti Frequeze Voti frequeze I questo caso o basta sommare i voti dal 4 al 10, perché (x) ( f ) (x f ) ogi voto si preseta co ua diversa frequeza. Aggiugiamo quidi ua coloa i cui calcoliamo il prodotto di ogi voto per la propria frequeza La media aritmetica è: M = , Totale

17 10 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Idicado la somma delle frequeze co Σf i e la somma dei prodotti x i f i co Σx i f i, la media aritmetica poderata è espressa dalla formula: M = x 1 f 1 + x 2 f x f Σf i = Σx i f i Σf i Quado ciascu dato si preseta ua sola volta, parleremo di media aritmetica semplice; quado ivece, come ell esempio, ogi dato si preseta co ua sua frequeza, si parla di media aritmetica poderata. Poderare sigifica pesare, e el calcolo della media occorre teer coto di quato pesa ogi dato. Defiizioe La media aritmetica poderata è la somma dei prodotti di ciascu dato per la loro propria frequeza (o peso), divisa per la somma delle frequeze (o pesi). Media aritmetica co i dati distribuiti i classi U gruppo di persoe è classificato secodo l età e i risultati soo riportati ella tabella. Calcoliamo l età media del gruppo. Età Frequeze ( f ) Poiché il carattere età è rappresetato da u itervallo, dobbiamo cosiderare il valore cetrale della classe come dato da moltiplicare per le frequeze Aggiugiamo duque la coloa dei valori cetrali e moltiplichiamoli per la relativa frequeza. Età Frequeze ( f ) Valori cetrali (x) x f Totale La media aritmetica è: M = = 14,4 La media aritmetica è molto usata perché soo molte le situazioi i cui è utile ripartire equamete ua somma di valori fra più elemeti per avere u valore medio: ad esempio, il peso medio di u gruppo di persoe, il reddito medio degli abitati di u Paese, la quatità media di pae cosumata,... Diveta però poco rappresetativa se i dati si presetao co valori molto distati tra loro. Ad esempio, se i dati soo 128, 125, 2, 1, la media aritmetica risulta 64, che o è molto idicativa, perché due dati soo molto gradi e due molto piccoli, e il valore 64 o rede l idea di ua media.

18 4. Idici medi 11 Altre medie Oltre alla media aritmetica esistoo altre medie. Le più importati e usate soo: la media armoica, la media quadratica, la media geometrica. Media armoica Defiizioe Si dice media armoica semplice il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori dati. I simboli: M ARM = 1 + x x 1 = 2 x Σ x 1 i La media armoica si utilizza ogi volta che si vuole che resti immutata la somma dei reciproci dei valori dati. U esempio è il calcolo della velocità media. U auto percorre il primo kilometro a 10 km/h, il secodo a 30 km/h e il terzo a 60 km/h. Qual è la velocità media dell auto ell itero tragitto? I tutto l auto ha percorso 3 km; il primo kilometro ha richiesto 1 10 di ora, il secodo 1 1 e il terzo Poiché 1 10 di ora = 6 miuti; 1 30 di ora = 2 miuti; 1 di ora = 1 miuto, 60 l auto ha impiegato 9 miuti, cioè 9 di ora, per percorrere 3 km; quidi: 60 velocità media = spazio tempo = 3 = La velocità media è pertato di 20 km/h, che è la media armoica delle tre velocità parziali. La media armoica può essere semplice, quado i valori hao frequeza uitaria, come ell esempio appea visto, oppure poderata, quado i valori compaioo co le rispettive frequeze. I tal caso la formula diveta: M ARM = f 1 + f f = x 1 x 2 x Σ f i x i Ifatti: 3 M ARM = = SAPEVI CHE? L aggettivo armoica risale ai Pitagorici. Facedo vibrare corde di diversa lughezza, scopriroo ifatti gli accordi musicali, i particolare l accordo do mi sol, detto armoico: la corda luga 1 dava il do, quella luga 4 5 della prima dava il mi e quella luga 2 dava il sol. I Pitagorici chiamaroo 3 armoica ua progressioe, cioè ua successioe di valori, i cui reciproci soo i progressioe aritmetica. La media armoica applicata a ua progressioe armoica dà il suo valore cetrale; per esempio, per la progressioe armoica 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1, si ha: 7 5 M ARM = = 5 25 = 1 5, che è proprio l elemeto cetrale della progressioe.

19 12 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Media quadratica Defiizioe Si dice media quadratica semplice la radice quadrata della media aritmetica del quadrato dei valori: M Q = x 1 + x x La media quadratica si utilizza ogi volta che si vuole che resti immutata la somma dei quadrati dei valori dati. Tre pezze quadrate di stoffa hao rispettivamete i lati di 7 m, 2,5 m e 10 m. Qual è la lughezza del lato medio? I questo caso deve rimaere ivariata la somma delle aree dei quadrati: M Q = , = 155,25 3 7,19 Sostituedo le tre pezze co tre quadrati di lato 7,19 m, l area totale della stoffa o varia. La media quadratica è molto sesibile ai valori molto piccoli o molto gradi dei dati ed è utilizzata per sottolieare la dispersioe dei dati; è ioltre usata quado fra i dati ci soo valori egativi. Ache la media quadratica può essere semplice o poderata, se le frequeze o soo uitarie. La media quadratica poderata è data da: M Q = x 1 f 1 + x 2 f x f f 1 + f f Media geometrica Defiizioe Si dice media geometrica semplice di valori la radice -esima del loro prodotto: M G = x 1 x 2... x La media geometrica viee usata ogi volta che si vuole che il prodotto di umeri resti immutato. Ua baca applica sulle somme depositate u tasso di iteresse del 4% il primo ao, del 5% il secodo ao e del 6,5% il terzo ao. Qual è il tasso di iteresse medio? Suppoiamo di depositare 1 e. Alla fie del primo ao, il capitale sarà divetato 1 + 0,04 e; alla fie del secodo ao, (1 + 0,04) (1 + 0,05) e e alla fie del terzo, (1 + 0,04) (1 + 0,05) (1 + 0,065) e. La somma a disposizioe alla fie di ogi ao si chiama motate e il

20 5. Medie di posizioe: moda e mediaa 13 tasso medio è il tasso costate di iteresse i che, applicato per tre ai sul capitale iiziale, dà alla fie lo stesso motate calcolato sopra: (1 + i) 3 = (1 + 0,04) (1 + 0,05) (1 + 0,065) Estraedo la radice terza si ottiee: 1 + i = 3 1,04 1,05 1,065 = 1,0516 Il tasso d iteresse medio applicato dalla baca è duque: i = 1, = 0,0516, cioè il 5,16% Ache per la media geometrica si parla di semplice o poderata; quest ultima si ha quado i valori soo ripetuti rispettivamete f 1, f 2,..., f volte: M G = f x 1 f 1 x 2 f 2... x FOCUS Le medie studiate fiora hao formule diverse e, se calcolate sullo stesso isieme di valori (o tutti uguali fra loro), foriscoo risultati diversi. I particolare si ha la seguete relazioe: media armoica < media geometrica <media aritmetica < media quadratica 5. Medie di posizioe: moda e mediaa No sempre le medie viste fiora soo adatte a riassumere u feomeo. Si vuole sapere la taglia media delle goe vedute i u grade magazzio di abbigliameto. I dati rilevati soo esposti ella tabella seguete. Taglie (x) Frequeze ( f ) No è molto idicativo calcolare la media aritmetica e dire che la taglia media è la 44,86. Coviee quidi cercare u uovo tipo di media. Dalla tabella si osserva che la taglia più veduta è la 46; questo valore rappreseta la media cercata, perché è la taglia di goa più richiesta (quidi più frequete) e il suo valore sitetizza meglio il feomeo. Il tipo di media che abbiamo icotrato ell esempio precedete prede il ome di moda e si idica co Mo. Possiamo affermare quidi che la taglia media delle goe vedute è Mo = 46. Moda Defiizioe Si chiama moda il valore che si preseta co maggiore frequeza.

21 14 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Per determiare la moda basta osservare la tabella dei valori ordiati, cercare la frequeza maggiore e predere il valore corrispodete. U isieme di dati può avere ache più di ua moda. Ad esempio cosideriamo i segueti valori: Valori Frequeze La frequeza più alta è 5 e compare 2 volte: la moda ha valore 6 e ache 8. Il carattere esamiato si dice bimodale. Quado i dati soo divisi i classi tutte della stessa ampiezza, si parla di classe modale. Nell esempio dei dati riportati ella tabella, la frequeza maggiore è i corrispodeza della classe , che è la classe modale; si può ioltre assumere il valore cetrale di questa classe come valore approssimato della moda: Mo = 175. Classi Frequeze ( f ) La moda si utilizza i tutti i casi i cui ha seso cercare il valore più tipico. Perde sigificato quado i dati soo distribuiti i modo uiforme. Mediaa U altra media che o ha bisogo di calcoli è la mediaa. Defiizioe Si chiama mediaa (Me) il valore del dato che occupa il posto cetrale i u isieme ordiato di dati. ESEMPI 1 15 ragazzi vegoo allieati i ordie di altezza. Lo studete che occupa il posto cetrale, e cioè il umero 8, è alto 178 cm. Questo valore rappreseta ua media dell altezza di tutto il gruppo, poiché metà dei ragazzi ha u altezza iferiore (o al massimo uguale) e l altra metà u altezza superiore (o uguale). La mediaa è quidi u valore spartiacque. 2 Calcoliamo la mediaa dei segueti dati: 10, 3, 5, 12, 6, 9, 15. Ordiiamo i dati i seso crescete: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15. I dati soo 7, umero dispari; per idividuare il posto cetrale calcoliamo: = 4 2 Il posto cetrale è il quarto.

22 6. Variabilità dei dati 15 Il dato che occupa il quarto posto è 9: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 La mediaa è Me = 9; tre dati hao u valore miore e gli altri tre hao u valore maggiore. 3 Calcoliamo la mediaa del seguete isieme di dati: 1, 10, 3, 5, 12, 6, 9, 15. I dati soo i tutto 8, umero pari. Ordiiamoli i seso crescete: 1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15. Il posto cetrale è occupato da due elemeti: il quarto, perché 8 2 = 4, e il quito (4 + 1 = 5): 1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 Ifatti, ci soo tre dati prima e tre dati dopo tale coppia. La mediaa sarà la media aritmetica dei due dati cetrali: Me = = 7,5 2 Mediaa e moda dipedoo dal modo i cui si distribuiscoo le frequeze e o da tutti i dati; per trovare il loro valore basta osservare la posizioe dei dati. Per questo si chiamao ache medie di posizioe. 6. Variabilità dei dati Spesso la media, da sola, o è sufficiete per compredere e cofrotare due feomei statistici. Suppoiamo, ad esempio, di studiare la statura degli abitati di due paesi A e B; sappiamo che la statura media di etrambi i paesi è di 165 cm. Potremmo cocludere che o c è molta differeza tra gli abitati dei due paesi, poiché hao la stessa statura media. Aalizziamo la situazioe reale attraverso i dati riportati ella tabella seguete. Paese A Paese B altezza frequeza altezza frequeza Nel paese A tutti gli abitati soo di uguale altezza: o c è alcua variabilità ella statura rispetto alla media. Gli abitati del paese B, al cotrario, soo per metà ai e per metà gigati! Ogi valore è molto lotao dalla media: ell altezza degli abitati esiste ua grade variabilità, cioè ua grade dispersioe dei sigoli dati rispetto al valore medio. La media aritmetica, come abbiamo visto ell esempio, o permette di cogliere la differeza tra le due distribuzioi, e emmeo tutte le altre medie che coosciamo. Ua volta calcolata la media, è importate sapere se i dati soo più o meo cocetrati, vicii a questo valore, o molto dispersi; i ua parola, occorre studiare la variabilità o dispersioe dei dati. La misura della variabilità è data da alcui idici: il campo di variazioe, lo scarto medio semplice e lo scarto quadratico medio.

23 16 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Campo di variazioe Il modo più semplice per vedere come variao i dati è cosiderare il più piccolo e il più grade tra essi: la loro differeza è il campo di variazioe. Defiizioe Si chiama campo di variazioe la differeza tra il valore più grade e il valore più piccolo di u isieme di dati. U applicazioe i meteorologia del campo di variazioe è l escursioe termica. Calcoliamo l escursioe termica elle città di Bolzao e di Palermo relativa a ua giorata d ivero. Massima Miima Bolzao 2 C 8 C Palermo 12 C 8 C Campo di variazioe di Bolzao: 2 ( 8) = 10 Campo di variazioe di Palermo: 12 8 = 4 Cofrotado i due valori possiamo dedurre che a Palermo ci soo meo sbalzi di temperatura, quidi la temperatura durate le 24 ore è più costate rispetto a Bolzao. Il campo di variazioe è u idice molto semplice da calcolare, ma u po grossolao, perché dipede solo dai valori estremi e o è per ulla ifluezato dai valori itermedi. Scarto medio assoluto Per teer coto ache dei valori itermedi cosideriamo lo scarto, cioè la differeza tra ogi valore e la media aritmetica. Le distaze, i kilometri, percorse da 5 persoe per recarsi al lavoro soo: 15, 17, 20, 26, 32. Per calcolare lo scarto dalla media dobbiamo prima calcolare la media aritmetica: M = = = 22 Riportiamo i dati i tabella, aggiugedo la riga degli scarti dalla media, e calcoliamoli. Per il primo dato lo scarto è: = 7. km (x) Scarti (x M) La riga degli scarti ci dice i che misura ogi dato si discosta dalla media aritmetica. U idice di variabilità potrebbe essere quidi lo

24 6. Variabilità dei dati 17 scarto medio. Ma se calcoliamo la media aritmetica degli scarti, osserviamo che la somma degli scarti è uguale a zero, perché ci soo scarti i più e i meo che si compesao; quidi ache la media degli scarti risulta 0 e o è utile per idicare la variabilità. Occorre eutralizzare il sego relativo degli scarti, + e, e lo si può fare i due modi: cosiderado gli scarti i valore assoluto, perché il valore assoluto di u umero egativo è positivo, oppure elevadoli al quadrato, perché il quadrato di u umero egativo è positivo. Se cosideriamo i valori assoluti (osservare la tabella seguete) e calcoliamo la media, otterremo il valore 28 5 = 5,6. Questo valore idica che mediamete le distaze percorse si discostao dalla media di circa 5,6 km i più o i meo, cioè i dati presetao uo scarto medio di 5,6. km (x) Scarti (x M) Valore assoluto x M Totale 0 28 Defiizioe Si chiama scarto medio assoluto semplice (S) di dati la media aritmetica degli scarti, calcolati i valore assoluto, dalla media aritmetica. I simboli: S = x 1 M + x 2 M + + x M Questo idice di dispersioe idica di quato, mediamete, i valori si discostao dalla media. Il suo valore aumeta co l aumetare della dispersioe: se lo scarto ha u valore basso, sigifica che i dati soo mediamete cocetrati itoro alla media, quidi vi è poca variabilità. Se i dati hao frequeze diverse da 1, è ecessario moltiplicare gli scarti per le relative frequeze, otteedo lo scarto medio assoluto poderato. Vediamo u esempio. Valori (x) Frequeze ( f ) x f Scarti assoluti Scarti f ,5 10, ,5 3, ,5 7 Totale M = 7,5 S = 1,75

25 18 Uità 1 DI CHE COSA SI OCCUPA LA STATISTICA Cioè: S = 10,5 + 3,5 + 7 = 12 = = 1,75 Dopo aver calcolato la media aritmetica (M = 90 = 7,5), troviamo gli scarti 12 assoluti di ogi valore dalla media. A questo puto moltiplichiamo gli scarti per le frequeze; il totale di questi prodotti diviso la somma delle frequeze è la media degli scarti: S = x 1 M f 1 + x 2 M f x M f f 1 + f f Scarto quadratico medio L altro modo per elimiare i segi relativi degli scarti è elevarli al quadrato. Riprediamo l esempio precedete. km (x) Scarti (x M) Totale Dopo aver calcolato la media e gli scarti (x M) 2 dalla media, eleviamoli al quadrato. Ora calcoliamo la media aritmetica degli scarti così otteuti: il valore trovato si chiama variaza, e si idica co VAR o co il simbolo σ 2 (che si legge sigma al quadrato ): VAR = σ 2 = = 38,8 Calcolado ora la radice quadrata della variaza si ottiee lo scarto quadratico medio, che si idica co σ e si chiama ache deviazioe stadard: σ = 38,8 = 6,23 Lo scarto quadratico medio è la media quadratica degli scarti. Defiizioe Si chiama variaza (σ 2 ) la media aritmetica degli scarti dalla media M elevati al quadrato. I simboli: σ 2 = (x 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 Si chiama scarto quadratico medio semplice (σ) la radice quadrata della variaza. I simboli: (x σ = 1 M) 2 + (x 2 M) (x M) 2 Ache lo scarto quadratico medio aumeta co l aumetare della variabilità di u isieme di dati. È l idice di variabilità più usato i statistica, perché elevado al quadrato gli scarti, vegoo cosiderate meglio ache le variazioi più piccole, e per questo risulta più sesibile alla variazioe dei dati itoro alla media. Se due feomei statistici hao la stessa media, il cofroto tra i due scarti idicherà quale distribuzioe è più uiforme.

26 6. Variabilità dei dati 19 Esamiiamo due isiemi di dati A e B. Calcoliamo la loro media aritmetica e lo scarto medio sia assoluto sia quadratico. Media aritmetica A B I valori assoluti degli scarti dalla media soo: Scarto medio assoluto A B Le due distribuzioi hao lo stesso scarto medio assoluto. I quadrati degli scarti dalla media soo: Scarto quadratico medio A ,32 B ,55 Le due distribuzioi hao la stessa media, lo stesso campo di variazioe e lo stesso scarto medio assoluto. I effetti le due distribuzioi soo molto simili; soltato lo scarto quadratico medio registra ua differeza ella dispersioe dei dati itoro alla media e idica che il secodo isieme ha ua variabilità leggermete maggiore del primo. Se i dati presetao delle frequeze, è ecessario moltiplicare gli scarti per le relative frequeze, otteedo così lo scarto quadratico medio poderato: (x σ = 1 M) 2 f 1 + (x 2 M) 2 f (x M) 2 f f 1 + f f Valori (x) Frequeza ( f ) x f Scarti (Scarti) 2 (Scarti) 2 f Totale M = 15 VAR = 23 σ = 4,8