Soluzioni quarta esercitazione

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1 Soluzioi quarta esercitazioe. (a) Dobbiamo calcolare il valor atteso dei due stimatori T e T 2 per verificare la o distorsioe. Partiamo col calcolare il valor atteso per la variabile X. E(X) = 3 x 3 dx = 3 x = 3 4 da cui E(T ) = 2 3 [E(X ) + E(X 2 )] = 4 3 E(X) = = cocludiamo che T é o distorto per. Per quato riguarda T 2 ricordiamo che i geerale la fuzioe di desitá per il massimo di campioe X () ha l espressioe f X() (x) = [F (x)] f(x). Nel ostro caso F (x) = 3 t2 dt = x3, ricordado che = 2 si 3 ha la desitá del massimo X (2) ( ) x f X(2) (x ) = x2 = 6 x5 6 Per cui avremo 3 x E(X (2) ) = 6 x 6 dx = e E(T 2 ) = 7 6 E(X (2)) = =, ache lo stimatore T 2 é di cosegueza o distorto per. (b) Ricordiamo che E[( T i ) 2 ] = var(t i ) + ( E(T i )) 2, ma sia T che T 2 soo o distorti per cui l espressioe si riduce alla sola variaza. Calcoliamo i mometi secodi per X e per X (2) E(X 2 ) = 3 x 4 dx =

2 e E(X(2)) 2 = 6 x 7 dx = Possiamo ora calcolare le variaze sfruttado il risultato per cui var(t ) = E(T 2 ) E(T ) 2. var(x) = = che ci porta a calcolare la variaza per il primo stimatore var(t ) = 4 9 var(x + X 2 ) = 8 2 var(x) = 9 3. Per quato riguarda il secodo stimatore abbiamo e quidi var(x (2) ) = = var(t 2 ) = var(x (2)) = (c) Dal mometo che gli stimatori cosiderati soo etrambi o distorti e la loro variaza coicide quidi co l errore quadratico medio possiamo dire che lo stimatore T 2 è preferibile dato che il suo MSE é iferiore 2 48 < La desità i questioe appartiee alla famiglia espoeziale per cui puó essere riscritta ella forma f(x ) = e ( ) log(x) I (,) (x) possiamo quidi cocludere che la statistica i= log(x i) è ua statistica sufficiete miimale e completa per il parametro. 2

3 (a) Per determiare la legge di Y = log(x) osserviamo che X = e Y e applichiamo la formula di trasformazioe f Y (Y ) = dg (y) dy f X(g (y)) = de y dy e y( ) = e y e y( ) = e y I R + quidi si vede che Y = log(x) segue ua distribuzioe espoeziale di parametro / (o dipede dalla parametrizzazioe cosiderata). (b) Cosideriamo la verosimigliaza L( x ) = passado ai logaritmi x = i= l( x ) = log() + ( ) derivado rispetto a e uguagliado a l( x ) = + i= cosiderado la derivata secoda i= x, log(x i ) i= log(x i ) = ˆ = i= log(x i) 2 l( x ) 2 = 2 < per cui ˆ = ˆ MLE è effettivamete il massimo di verosimigliaza. (c) Per la proprietà di ivariaza dello stimatore di massima verosimigliaza, lo stima di verosimigliaza per la fuzioe τ() é data da i= τ(ˆ MLE ) = log(x i) siccome sappiamo dal puto precedete che Y = log(x) ha desità espoeziale di parametro / e che la sua variaza sarà quidi var(y ) = allora 2 var(ˆτ MLE ) = var( ( log(x 2 i )) = var( log(x 2 i )) = var(y ) = 2. 2 i= 3 i=

4 A questo puto ricordiamo che il limite iferiore della disuguagliaza di Cramer-Rao é dato da l CR = (τ ()) [ 2 ( ] = E log(f(x ))) 2 (τ ()) 2 E [ 2 log(f(x )) ] 2 ma τ () = 2 e 2 2 log(f(x )) = 2 (log() + ( ) log(x)) = 2 2 cocludiamo che l CR = 4 2 = 2 coicidete co la variaza calcolata i precedeza. Poiché la sua variaza coicide co il limite iferiore della disuguagliaza di Cramer-Rao possiamo osservare che ˆτ MLE è lo stimatore UMVUE per, avremmo potuto trarre la stessa coclusioe osservado che ˆτ MLE é fuzioe di ua statistica sufficiete e completa ed é ache o distorto per per cui vale il teorema di Lehma-Scheffé. (d) Abbiamo che ˆΘ = i= log(x i) = log(x i ) somma di espoeziali di parametro idipedeti, segue perció ua legge gamma di parametri (, ). Per dimostrarlo si potrebbe usare la fuzioe geeratrice dei mometi. i= 3. (a) Osserviamo che la desità appartiee alla famiglia espoeziale per cui la statistica T (X, X ) = i= X5 i è ua statistica sufficiete miimale e completa per. (b) Cosideriamo la verosimigliaza L( x ) = (5) 4 i= x 4 i e i= x5 i

5 prededoe il logaritmo avremo l( x ) = log(5) + log() + 4 log(x i ) i= i= x 5 i derivado ed uguagliado a zero quest ultima l( x ) = i= x 5 i = ˆ = i= x5 i verifichiamo che è effettivamete u massimo studiado la derivata secoda 2 l( x ) 2 = 2 < per cui ˆ = ˆ MLE é effettivamete il massimo di verosimigliaza. (c) Per determiare la legge di Y = X 5 osserviamo che X = 5 Y e applichiamo la formula di trasformazioe f Y (Y ) = dg (y) dy f X(g (y)) = d 5 y dy 5y 4 5 e y = y 5 5y 5 e y = e y osserviamo che quidi Y é distribuita secodo u espoeziale di parametro. La fuzioe Z = i= Y essedo la somma di espoeziali idipedeti sarà distribuita come ua gamma di parametri (, ). abbia- (d) Calcoliamo il valore atteso dello stimatore ˆ MLE = mo E( ) = E( ) = E( Z ) i= x5 i i= x5 i i= x5 i ma dal puto precedete sappiamo che i= x5 i segue ua legge Gamma(, ), per cui usiamo la desità per calcolare il valor medio di Z ( ) E = Z z Γ() z e z dz = z ( ) e z dz Γ() = Γ() Γ( ) ( ) = 5

6 per cui E(ˆ MLE ) = E( Z ) = risulta essere uo stimatore distorto per. No è uo stimatore UMVUE e o potrebbe esserlo dato che è distorto. (e) Lo stimatore ˆ MLE, essedo uo stimatore di massima verosimigliaza, verifica la proprietá di asitotica ormalitá el seso che ˆ MLE N (, l CR ) co l CR = (τ ()) 2 E [ 2 log(f(x )) ] = 2 2 dato che τ() = e 2 2 log(f(x )) = 2. Verifichiamo se vale la cosisteza. Per essere cosistete lo stimatore deve essere asitoticamete o distorto e co variaza asitoticamete ulla. Verifichiamo come prima cosa che ˆ MLE è asitoticamete o distorto. Ifatti E(ˆ MLE ) =, per. Calcoliamo ora la sua variaza var(ˆ MLE ) = E(ˆ MLE 2 ( ) E(ˆ MLE ) 2, calcoliamo il mometo secodo E(ˆ MLE 2 ) = E ), 2 ma allora Z 2 dato Z è distribuita secodo ua Gamma(, ) ( ) E = Z 2 z 2 Γ() z e z dz = z ( 2) e z dz Γ() = Γ( 2) 2 = Γ() ( 2) ( )( 2) ( ) e E(ˆ MLE 2 ) = E 2 = 2 Z 2 ( )( 2) 2 e deriva che var(ˆ MLE ) = = 2 2 ( )( 2) 2 ( ) ( ) 2 ( 2) 2, co 6

7 cocludiamo che lo stimatore è cosistete. 4. (a) Calcoliamo la verosimigliaza L(, a x ) = i= (x i a) e I (a,+ )(xi ) = i= e ( x a) I (,x() ](a) co x = i= x i. Fissato la fuzioe é crescete i a per cui il massimo viee raggiuto per â MLE = x (). Per otteere il massimo rispetto a cosideriamo la derivata della log-verosimigliaza l(, a = x () x ) = log() ( x x ()) derivado ed uguagliado a l(, a = x () x ) = + 2 ( x x ()) = e quidi ˆ MLE = ( x x () ). Cosideriamo la derivata secoda per verificare se é veramete u massimo 2 l(, a = x () x ) = ( x x ()), 3 per = x x () la derivata secoda è sempre egativa per cui ˆ MLE = x x () è effettivamete u puto di massimo rispetto a. (b) Siccome devo stimare due parametri, devo cosiderare per il metodo dei mometi sia il mometo primo che quello secodo. Calcoliamo i due mometi + x (x a) E(X) = a e dx = xe (x a) = a e (x a) = a + a a + a e (x a) dx 7

8 metre E(X 2 ) = + x 2 a = a (x a) e + a dx = x 2 e (x a) a + 2 a e (x a) dx x (x a) e dx = a 2 + 2(a + ) = a 2 + 2a Uguagliado i mometi attesi ai mometi campioari si ha { x = a + i= x2 i = a 2 + 2a = (a + ) per cui { x = a + i= x2 i = ( i= x i { x = a + = â = x ˆ = ) i= x2 i ( i= x ) 2 i i= x2 i ( i= x i i= x2 i ( i= x ) 2 i ) 2 8