14. TEORIA DEI TEST STATISTICI

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1 4. TEORIA DEI TEST STATISTICI 4. Geeralità sui test di sigificatività I dati campioari possoo essere utilizzati, oltre che per costruire l itervallo di cofideza di u parametro igoto, ache per verificare se ua certa cogettura su ua caratteristica della popolazioe può essere riteuta verosimile o meo, alla luce dei risultati otteuti sul campioe casuale estratto. Co il termie ipotesi statistica si idica ua supposizioe su ua qualche caratteristica igota di ua popolazioe: per esempio, si può voler verificare se u macchiario produce ua proporzioe adeguata di pezzi che rispettao caratteristiche prestabilite, se u dado o ua moeta soo equilibrati, se u farmaco è efficace ella cura di ua determiata malattia, se esiste o meo ua qualche dipedeza fra due variabili o se la distribuzioe di ua certa variabile può essere approssimata da u determiato modello teorico. Le ipotesi soo sottoposte a verifica sulla base del campioe estratto e la procedura utilizzata per la verifica di queste ipotesi costituisce il cosiddetto test statistico. Per esempio, per verificare se ua moeta è equilibrata si potrebbe laciare più volte la moeta e registrare il umero di teste e di croci. Si riterrà plausibile l ipotesi che la moeta sia equilibrata se il umero di teste e di croci otteute i u umero sufficietemete elevato di laci o risultao molto diversi fra loro, ma o si può stabilire co certezza se u'ipotesi è vera o falsa, dato che uo stesso risultato può derivare da moete diverse. Se si laciasse ua moeta equilibrata 00 volte, il umero di teste otteute potrebbe comuque variare da u risultato miimo pari a 0 fio ad u massimo pari a 00, ache se ovviamete i risultati più probabili soo quelli i cui il umero di teste e di croci o soo troppo diversi fra di loro. È però possibile otteere u umero di teste pari a 0 o pari a 00, ache se la probabilità di questi risultati è piccolissima (i etrambi i casi è ). U qualsiasi criterio di decisioe circa l accettazioe o il rifiuto di u ipotesi comporta il rischio di commettere due diversi tipi di errore che cosistoo: - el rifiutare l ipotesi quado è vera - ell accettarla quado è falsa. Nel caso della moeta, il risultato campioario potrebbe idicare che la moeta è equilibrata ache se o lo è realmete, oppure potrebbe idicare che la faccia testa ha ua probabilità molto maggiore di croce ache se la moeta fosse equilibrata o, addirittura, se la faccia croce avesse i realtà ua probabilità maggiore della faccia testa. Per semplicità elle pagie successiva si prederà i cosiderazioe solo il primo tipo di errore, ossia la probabilità di rifiutare u'ipotesi quado è vera, per cui i test che verrao descritti i seguito vegoo più correttamete chiamati test di sigificatività. 69

2 I geerale, l ipotesi che si vuole verificare è detta ipotesi ulla ed è idicata co la otazioe H 0: seguita dal suo euciato formale, dove H è l iiziale del termie iglese Hypothesis. Nel caso della moeta, se idica la probabilità associata alla faccia testa, l ipotesi che la moeta sia bilaciata corrispode a H 0 : =0.5. I geerale l ipotesi che u parametro assuma uo specifico valore 0 viee idicata mediate la otazioe H 0: = U ipotesi H 0 su è ovviamete cosiderata tato più verosimile quato più la stima campioaria risulta probabile sotto H 0, per cui la regola di decisioe cosiste ell accettare H 0 se la stima campioaria rietra ell isieme dei risultati più probabili sotto H 0 e el rifiutarla i caso cotrario. Nell esempio relativo alla moeta si sarà portati a riteere che la moeta sia equilibrata se, laciadola u adeguato umero di volte, si ottiee u umero di teste pressoché uguale al umero di croci, ossia se la frequeza relativa delle teste si avvicia a 0.5 metre, al crescere della differeza fra il risultato campioario otteuto e 0.5, si sarà sempre più portati a riteere che la moeta è sbilaciata. I geerale, u ipotesi sul valore del parametro è cosiderata tato più verosimile quato più il valore t 0 assuto dallo stimatore T di sul campioe estratto risulta probabile se si assume come vera l ipotesi H 0. I altri termii, la regola di decisioe su cui si basao i test di sigificatività cosiste ell accettare l ipotesi H 0 se il valore t 0 della stima campioaria di rietra ell isieme dei risultati più probabili sotto H 0 e el rifiutarla i caso cotrario. I geerale, per verificare u ipotesi 4.., si sceglie uo stimatore T di e si fa riferimeto alla sua distribuzioe di probabilità determiata come se 0 fosse il vero valore di. Questa è la cosiddetta distribuzioe dello stimatore sotto ipotesi ulla. L isieme dei possibili risultati campioari viee quidi suddiviso ella regioe di accettazioe di H 0 (che comprede i risultati più probabili sotto H 0) e i ua regioe di rifiuto o regioe critica (che comprede i risultati che soo ivece poco probabili sotto la stessa ipotesi). Ua volta scelto il livello di probabilità, gli estremi dell itervallo di accettazioe dell ipotesi ulla, detti 70

3 valori critici (o valori soglia), spesso corrispodoo ai due quatili che i questa distribuzioe isolao il primo sulla sua siistra ed il secodo sulla sua destra ua probabilità pari ad /. Come abbiamo visto, la regola di decisioe cosiste el rifiutare l ipotesi ulla quado il risultato campioario t di T risulta compreso ella regioe critica. I questo caso si dice che il valore della statistica è sigificativo. Nell esempio della moeta, ipotizzado l idipedeza dei laci e suppoedo che sia abbastaza elevato da poter utilizzare il teorema limite cetrale, la distribuzioe dello stimatore P "proporzioe di teste otteute ei laci" può essere approssimata da ua ormale di valore atteso 0.5 e variaza , per cui i risultati più probabili di P sotto H 0 soo compresi i u itervallo cetrato su 0.5. La regola di decisioe cosiste el riteere verosimile l ipotesi ulla se la stima campioaria ell itervallo dei risultati più probabili e el rifiutarla se p p è compresa cade all estero, ache se esiste ua probabilità o ulla di rifiutare H 0 quado è vera, perché si può otteere u risultato campioario che rietra fra quelli poco probabili sotto tale ipotesi. La probabilità dell errore che cosiste el rifiutare l ipotesi ulla quado è vera viee idicata co e viee detta errore di prima specie o livello di sigificatività. Il valore corrispode quidi alla probabilità di otteere, quado è vera H 0, u risultato compreso ella regioe di rifiuto dell ipotesi. Questo sigifica che la regola di decisioe utilizzata porterà ecessariamete al rifiuto di u ipotesi vera co ua probabilità pari ad, per cui il valore di viee fissato i modo da essere quasi sicuri di o respigere H 0 quado è vera. Nelle situazioi reali si tegoo preseti le cosegueze che derivao dall evetuale rifiuto di u'ipotesi vera per cui, se si ha iteresse a tutelarsi cotro questo rischio, è ecessario ridurre questa probabilità. D altra parte è evidete che al dimiuire di aumeta di cosegueza l ampiezza dell itervallo di accettazioe per cui, fissado u valore estremamete basso, si fiisce per o respigere H 0 ache i preseza di risultati che soo molto improbabili sotto quell ipotesi e per i quali, quidi, l ipotesi stessa risulta poco verosimile. I valori di più comuemete utilizzati soo 0.0, 0.05 e 0.0. Nel caso della verifica di ipotesi sulla moeta, se il umero di laci è abbastaza elevato da poter utilizzare il teorema limite cetrale, la regioe di accettazioe dell ipotesi ulla =0.5 sarà itera ai due quatili di ordie / e / che isolao, rispettivamete, u area pari ad / sulla siistra e sulla destra della distribuzioe dello stimatore P sotto H 0. Le due regioi di rifiuto sarao ivece posizioate lugo le code di questa distribuzioe. Va ifie otato che quado la stima campioaria t 0 assuta dallo stimatore T sul campioe estratto è compresa ell itervallo di accettazioe dell ipotesi ulla, questo o implica che H 0 sia effettivamete vera. Se, per esempio, si fosse otteuto u umero di teste pari a 50 su 000 laci o si rifiuterebbe l ipotesi che 7

4 la moeta sia equilibrata, ma o si rifiuterebbe eppure l ipotesi che il parametro igoto sia uguale a 0.50 oppure a Per questo motivo, quado la stima campioaria è compresa ell itervallo di accettazioe dell ipotesi ulla, si coclude l aalisi affermado che o si ha motivo di rifiutare H 0 al livello prefissato. Ogi stima t di T rietra ifatti ache ell isieme dei risultati più probabili sotto altre ipotesi, diverse da H 0, ed è quidi compreso ell itervallo di accettazioe associato a tutte queste ipotesi. 7

5 4. Verifica di ipotesi su Quado l ipotesi ulla riguarda il parametro di ua variabile Z l ipotesi 4.. assume la forma seguete H 0: e la sua verifica viee effettuata i modo diverso a secoda del grado di coosceza sulla distribuzioe della variabile Z ella popolazioe - Primo caso Se è oto che la variabile Z ha ua distribuzioe ormale di variaza ota Z~N μ, σ oto assumedo come vera l ipotesi ulla 4.., la distribuzioe della media campioaria risulta σ X ~ N μ0,. L itervallo di accettazioe di H 0 sarà quidi cetrato su 0 e, ua volta scelto il livello di sigificatività, risulterà delimitato dai due quatili che isolao rispettivamete a siistra e a destra della distribuzioe u area pari ad /. Cosiderata ifatti la distribuzioe dello stimatore media campioaria sotto l ipotesi ulla 4.., ossia assumedo vera l ipotesi 0, e scelto il livello di probabilità, gli estremi dell itervallo di accettazioe corrispodoo ai due quatili che i questa distribuzioe isolao il primo sulla sua siistra ed il secodo sulla sua destra ua probabilità pari ad /. Questi due valori critici delimitao al loro itero la regioe di accettazioe dell ipotesi ulla, data dall isieme dei risultati campioari più probabili sotto l ipotesi H 0: se la media campioaria cade ella regioe di accettazioe si coclude l aalisi affermado che o si ha motivo di rifiutare H 0 o che l ipotesi è compatibile co il risultato campioario. Gli itervalli a siistra del valore critico iferiore e a destra del valore critico superiore costituiscoo ivece la regioe di rifiuto dell'ipotesi. Pertato, se la media campioaria cade ella regioe critica, il valore della statistica è sigificativo e l ipotesi va rifiutata al livello di sigificatività La verifica dell'ipotesi ulla può essere effettuata i modo più semplice, facedo riferimeto alla ormale stadardizzata. Si cosidera quidi la statistica test X μ0 ~ N0, 4.. σ 73

6 e la regioe di accettazioe dell ipotesi è i questo caso costituita dai valori compresi fra i quatili di ordie / e / della N(0, ), perché soo questi i valori della statistica 4.. che risultao più probabili sotto ipotesi ulla. Data la simmetria della distribuzioe rispetto allo zero è però sufficiete cofrotare il risultato della statistica test 4.. presa i valore assoluto X μ0 σ 4..3 co il quatile positivo z / della ormale stadardizzata. Se risulta X μ0 σ > z -/ il valore della statistica test è sigificativo e l'ipotesi ulla viee rifiutata al livello di sigificatività ; i caso cotrario l'ipotesi è compatibile co i risultati campioari e o c è motivo di rifiutarla. U test di sigificatività può essere effettuato i modo più accurato mediate il calcolo del p-valore (i iglese p-value) associato al valore assuto dalla statistica test Questo p-valore rappreseta la probabilità che la statistica test assuma u valore più estremo di quello osservato, sempre assumedo l ipotesi che H 0 sia vera, per cui quato più il p-valore è piccolo, tato meo verosimile appare l ipotesi ulla. I geerale, cosiderato il valore t assuto dalla statistica test T che si distribuisce come ua N(0, ), il p-valore corrispodete è pari alla somma dell area isolata alla destra di t più l area alla siistra dello stesso valore preso co sego egativo - t. Posto per semplicità t > 0, il p-valore corrispodete è pari a t t tt t Esempio 4.. Su u campioe di 0 elemeti estratto da ua popolazioe ormale di variaza ota pari a 60 si è otteuta ua media campioaria pari a 0. Si vuole verificare l ipotesi che la media ella popolazioe sia 5 al livello =0.. L ipotesi ulla assume la forma H 0: = 5 per cui la statistica test 4..3 risulta uguale a 74

7 X μ 0 σ 05 60/0.5 Il risultato otteuto va cofrotato co il quatile z 0.95=.645, per cui.5 cade ella regioe di accettazioe e o si ha quidi motivo di rifiutare l ipotesi al livello di sigificatività del 0%. Esempio 4.. Sulla base dei dati dell esempio precedete, si calcoli il p-valore associato alla statistica test. Il p-valore associato a.5 è uguale all area isolata alla destra di tale valore più l area alla siistra dello stesso valore preso co sego egativo, ossia Si può quidi cocludere che il risultato della statistica test o porta al rifiuto dell ipotesi ulla per essu livello di sigificatività miore di 0. e, quidi, per essuo dei valori di più comuemete usati. - Secodo Caso Se è oto che la Z si distribuisce i modo ormale ma la sua variaza è igota e il campioe è piccolo, co ua umerosità fio a 30 elemeti, per la verifica dell ipotesi 4.. si utilizza la seguete statistica test X μ S c 0 ~t 4..4 che si distribuisce come ua t di Studet co gradi di libertà. I risultati più probabili sotto ipotesi ulla soo quidi cocetrati itoro allo zero e i due valori critici corrispodoo ai due quatili che ella distribuzioe t isolao rispettivamete a siistra e a destra u area di probabilità pari ad /. La regioe di accettazioe dell ipotesi è quidi costituita dall itervallo t t per cui, data, α/ ;, α/ la simmetria della distribuzioe rispetto allo 0, la verifica dell ipotesi può essere effettuata cofrotado X μ0 S c 4..5 co il quatile t, α/ Se risulta. X μ S c 0 t, α/ l ipotesi ulla viee rifiutata al livello, metre i caso cotrario risulta compatibile co il risultato 75

8 campioario. Esempio 4..3 Su u campioe casuale di 8 elemeti estratto da ua popolazioe ormale soo stati rilevati i segueti valori della variabile oggetto di studio Verificare l ipotesi che la media della popolazioe sia pari a 5 al livello di sigificatività=0.0. Dai dati campioari risulta 8 E X E X 5. S Sc S Per la verifica dell ipotesi H 0: = 5 si utilizza la statistica 4..5 che el caso i esame assume il valore t 7, / 8 per cui o si ha motivo di rifiutare l ipotesi ulla al livello di sigificatività prefissato. 7 - Terzo Caso Se la Z si distribuisce i modo ormale co variaza igota e il campioe è grade, co ua umerosità superiore a 30 elemeti, la verifica di ipotesi 4.. si basa sempre sulla statistica test 4..4 la cui distribuzioe però, per il teorema limite cetrale, tede a ua distribuzioe ormale. Pertato il procedimeto approssimato cosiste el calcolare la statistica test 4..5 e di cofrotare il risultato otteuto co il quatile della distribuzioe N(0,) che isola alla sua destra u area pari ad /. Pertato, se risulta X μ S c 0 z / 4..6 l ipotesi ulla viee rifiutata al livello, metre i caso cotrario è da riteersi compatibile co il risultato campioario. Esempio 4..4 Su u campioe casuale di 65 uova è stato rilevato lo "spessore del guscio (i millimetri) otteedo x 0. 3 e S c I base a queste iformazioi e sapedo che la variabile ha ua distribuzioe ormale, si vuole verificare l'ipotesi che lo spessore medio del guscio sia pari a 0.3 millimetri al livello di sigificatività = La verifica dell ipotesi H 0 : 0.3 va effettuata cotrollado se è verificata la disuguagliaza Dato che si ottiee 03, 030, 0. z , 0, l'ipotesi viee rifiutata al livello di sigificatività =

9 Esempio 4..5 Sulla base dei dati dell esempio precedete si verifichi l ipotesi H 0 : 0.3 mediate il calcolo del p-valore. Il p-valore risulta uguale a per cui l ipotesi ulla deve essere rifiutata per u livello = 0.05, ma sarebbe compatibile co il risultato campioario otteuto se si decidesse di lavorare ad u livello = Quarto caso Se o si ha essua iformazioe circa la distribuzioe della variabile Z ella popolazioe ma il campioe è grade, co ua umerosità superiore a 50 elemeti (ache se spesso viee cosiderata sufficiete ua umerosità campioaria superiore a 30), la verifica di ipotesi 4.. si basa sempre sulla statistica test 4..5 e il valore otteuto va cofrotato co il quatile di ordie / della ormale stadard. Pertato il procedimeto risulta il medesimo descritto el caso precedete e l ipotesi ulla viee rifiutata se è verificata la disuguagliaza

10 4.3 Verifica di ipotesi su Data ua popolazioe i cui la variabile Z ha ua distribuzioe Zero-Uo caratterizzata dal parametro, la verifica di ipotesi sul valore del parametro assume la forma H 0 : = Se il campioe è sufficietemete umeroso, lo stimatore proporzioe campioaria P ha ua distribuzioe asitoticamete ormale, i base al teorema limite cetrale. Assumedo come vera l ipotesi ulla, la distribuzioe di P ha valore atteso 0 e variaza cui la statistica test π 0 0 π, per P 0 0(0) tede a distribuirsi come ua N(0, ). Di cosegueza, teedo presete quato descritto a proposito della verifica di ipotesi su e seguedo il medesimo procedimeto, l ipotesi ulla 4.3. verrà rifiutata se risulta P 0 0(0) z / 4.3. metre sarà riteuta compatibile co il risultato campioario i caso cotrario. Esempio 4.3. Si vuole verificare al livello di sigificatività dell % l ipotesi che il tasso di disoccupazioe dei laureati co ua votazioe fiale superiore o uguale a 00 sia pari al 5% sapedo che dalla popolazioe è stato estratto u campioe casuale di 5000 studeti sui quali 300 soo risultati disoccupati. H 0 : = 0.05 La proporzioe di studeti disoccupati el campioe estratto è pari al 6% per cui la statistica test assume il valore seguete z e l ipotesi viee quidi rifiutata al livello =

11 Esempio 4.3. Sulla base dei dati dell esempio precedete calcolare il p-valore associato alla statistica test. Si ottiee

12 4.4 Verifica dell uguagliaza fra due valori medi I molte situazioi reali lo scopo di u idagie statistica cosiste el cofroto fra due o più popolazioi cosiderate i tempi o i situazioi diverse ache se di seguito, per semplicità, verrà cosiderato solo il caso i cui le popolazioi esamiate soo solo due. I questi casi si ha geeralmete iteresse a cofrotare i valori medi di ua determiata variabile elle due popolazioi oppure le proporzioi di uità che presetao ua determiata caratteristica elle due popolazioi. I etrambi i casi si estrae u campioe da ciascua popolazioe e sui due isiemi di dati si calcola la media campioaria o la proporzioe campioaria per verificare se la differeza fra le stime otteute è così piccola da poter essere imputata solo all effetto di fattori casuali o se ivece è così elevata da portare al rifiuto dell ipotesi ulla di uguagliaza dei valori dei parametri che caratterizzao le due popolazioi. I campioi cosiderati soo ovviamete idipedeti fra di loro, i quato estratti da due popolazioi diverse. I questo paragrafo è cosiderata la verifica dell ipotesi di uguagliaza dei valori attesi di Z ella prima e ella secoda popolazioe H 0 : = 4.4. così come accade, per esempio, quado si vuole cofrotare l effetto di due diversi fertilizzati sul redimeto per ettaro di ua coltura o l effetto di due mediciali ella cura di ua malattia: se la differeza fra le due medie campioarie è così grade da o poter essere imputata ai soli fattori casuali, si è portati a cocludere che u fertilizzate è migliore rispetto all altro o che il tempo di guarigioe co u mediciale è sesibilmete miore rispetto all altro. Altri esempi comui del cofroto fra i valori medi di ua variabile esamiata i due popolazioi distite si hao quado si esamia il redimeto di due diversi titoli, i risultati otteuti all esame da studeti che hao utilizzato due testi differeti, la durata di fuzioameto di prodotti otteuti co due macchiari diversi. La verifica di ua ipotesi 4.4. viee effettuata i modi diversi a secoda del grado di coosceza sulla distribuzioe della Z elle due popolazioi e a secoda della umerosità e dei campioi casuali estratti. Idicata co X la v.c. valore di Z sull uità estratta dalla prima popolazioe e co X la v.c. valore di Z sull uità estratta dalla secoda popolazioe, la verifica dell ipotesi 4.4. viee effettuata sulla base del valore assuto dalla differeza delle due medie campioarie X e X. Tato più questa differeza è piccola i valore assoluto, tato più l ipotesi ulla sembra verosimile, metre diveta via via più improbabile al crescere del suo valore. Se la umerosità dei due campioi è sufficietemete elevata da poter utilizzare il teorema limite cetrale, la distribuzioe di probabilità delle due medie campioarie può essere approssimata da σ X ~ N μ, 80

13 σ X ~ N μ, dove σ e σ soo le variaze della Z elle due popolazioi. Dato che i due campioi provegoo da due differeti popolazioi, le v.c. X e X risultao idipedeti fra loro, per cui la distribuzioe approssimata della loro differeza risulta X X ~ N μ μ, σ σ ed effettuado la stadardizzazioe, si ha quidi X X ~ N σ σ μ μ 0, Di solito le variaze delle popolazioi o soo ote, ma possoo essere stimate i modo corretto e coerete mediate le variaze campioarie corrette per cui, al posto della 4.4., si utilizza la seguete statistica test X X ~ N S c Sc μ μ 0, che, sotto l ipotesi ulla 4.4. assume la forma X ~ N c Sc S X 0, Per effettuare la verifica dell ipotesi 4.4. al livello di sigificatività si può quidi cofrotare il valore assoluto della statistica test co il quatile z / della ormale stadardizzata. Se risulta 8

14 X c S X c S > z -/ il valore della statistica è sigificativo e l'ipotesi ulla viee rifiutata al livello di sigificatività, metre i caso cotrario l'ipotesi è compatibile co il risultato campioario e o vi soo motivi per rifiutarla. Esempio 4.4. Due diversi metodi di coltura soo stati utilizzati su due campioi di piate di umerosità =40 e =60 otteedo i segueti risultati: x 97.6 s c 5 x 94.0 sc 6 Si vuole verificare l ipotesi che i due diversi metodi di coltura o diao risultati sigificativamete diversi fra loro al livello di sigificatività =0.05. La statistica test assume il valore z per cui o si ha motivo di rifiutare l ipotesi. Esempio 4.4. Sulla base dei dati dell esercizio precedete, si calcoli il p-valore associato alla statistica test. Risulta per cui l ipotesi di uguagliaza fra valori attesi va rifiutata per qualsiasi valore di superiore a Nel caso i cui si possa assumere la cosiddetta ipotesi di omoschedasticità, ossia l ipotesi che le variaze delle due popolazioi siao uguali fra loro e uguali a, la statistica 4.4. assume la forma seguete X X μ μ X X μ μ X X μ μ ~ N σ σ σ σ 0, Ache i questo caso, i geere, il valore del parametro è igoto, ma può essere stimato i modo corretto mediate la cosiddetta variaza campioaria pooled che assume la forma seguete S p S c S c 8

15 e corrispode quidi alla media delle due variaze campioarie corrette poderate co le rispettive umerosità campioarie dimiuite di. Al posto della 4.4.5, si utilizza quidi la seguete statistica test X X S p μ μ ~t che si distribuisce come ua t co + gradi di libertà. Sotto l ipotesi ulla 4.4. questa statistica assume la forma X X S p ~t Per cui, per effettuare la verifica dell ipotesi 4.4. al livello di sigificatività, si cofrota il valore assoluto della statistica test co il quatile t, /. Se risulta X X S p t, / il valore della statistica è sigificativo e l'ipotesi ulla si rifiuta al livello di sigificatività, metre i caso cotrario o va rifiutata. Esempio È stato effettuato u esperimeto per cofrotare gli effetti di due diverse miscele (A e B) aggiute al magime dei polli che dovrebbero favorire l accrescimeto degli aimali. Sapedo che dopo u periodo di settimae soo stati rilevati gli icremeti di peso (espressi i grammi) riportati ella tabella successiva, verificare se le due miscele hao u effetto sigificativamete diverso al livello di sigificatività 0.05 ipotizzado che l accrescimeto di peso si distribuisca i modo ormale e che sia valida l ipotesi di omoschedasticità. A B I due campioi, di umerosità =0 e =, hao media e variaza corretta rispettivamete pari a c x 643.8, s

16 x 637, s c 39.6 La variaza pooled è pari a s p e la statistica test per la verifica dell ipotesi ulla è pari a Dato che il quatile di riferimeto è t9, si rifiuta H 0 al livello di sigificatività Va ricordato che se il umero dei gradi di libertà della t è superiore a 30, il valore dei suoi quatili può essere approssimato dal valore dei quatili dello stesso ordie della ormale stadard. 84

17 Verifica dell uguagliaza fra due proporzioi Quado si ipotizza che la variabile di iteresse Z ha ua distribuzioe Zero-Uo e si vuole effettuare il cofroto fra il valore del parametro che la caratterizza i due diverse popolazioi, l ipotesi ulla assume la forma H 0 : = = dove 0 idica il valore igoto della proporzioe comue. Dato che la distribuzioe di Z è caratterizzata da u solo parametro, la 4.5. equivale i realtà a verificare l uguagliaza della distribuzioe di Z elle due popolazioi. Se le umerosità campioarie e soo sufficietemete elevate, le due proporzioi campioarie P e P hao ua distribuzioe che può essere approssimata da due distribuzioi ormali, rispettivamete di parametri, P ~ N, P ~ N Ache i questo caso le due v.c. soo idipedeti fra loro, per cui la differeza P P ha la seguete distribuzioe asitotica, P ~ N P. Effettuado la stadardizzazioe, risulta quidi 0, N ~ P P 4.5. Sotto l ipotesi 4.5. la 4.5. assume la forma seguete 0, N ~ P P P P 4.5.3

18 i cui compare il parametro igoto 0 che deve essere stimato i qualche modo. Dato che si dispoe di due diverse stime p e p di 0 si utilizza la media aritmetica delle due proporzioi campioarie poderata co le umerosità e, per cui lo stimatore di 0 assume la forma seguete P P 0 P0. Questo stimatore corrispode a quello che si ottiee cosiderado u uico campioe costituito dagli elemeti apparteeti al primo campioe e dagli elemeti apparteeti al secodo campioe. La statistica test per la verifica dell ipotesi 4.5. corrispode quidi a P P ~ P0 P0 N 0, per cui, scelto il livello di sigificatività, si cofrotar il valore assoluto della statistica test precedete co il quatile z / della ormale stadardizzata. Se risulta P 0 P P P 0 > z -/ il valore della statistica è sigificativo e l'ipotesi ulla viee rifiutata al livello di sigificatività, metre i caso cotrario l'ipotesi è compatibile co il risultato campioario e o vi soo motivi per rifiutarla. Esempio 4.5. Ai fa vee codotto uo studio per aalizzare gli effetti positivi dell uso di aspiria sulla prevezioe degli attacchi cardiaci. Su u isieme di 07 idividui veero formati due gruppi: il gruppo di trattameto e quello di cotrollo. Gli idividui del gruppo di trattameto ricevettero ua dose quotidiaa di aspiria metre quelli di cotrollo u farmaco placebo. Lo studio vee codotto per u periodo di 5 ai osservado il umero di decessi per ifarto. Si otteero i segueti risultati Farmaco\Esito Ifartuati No ifartuati Placebo Aspiria

19 39 La proporzioe dei colpiti da ifarto el gruppo di cotrollo è p , metre la stessa proporzioe el gruppo sottoposto a trattameto è p Pertato risulta p E la statistica test è pari a Dato che il p-valore associato a tale risultato è praticamete ullo, l ipotesi di uguagliaza fra le due proporzioi va rifiutata per qualuque livello di sigificatività. 87

20 4.6 Test di idipedeza Nella prima parte di queste dispese si è studiato l idice chi-quadrato per misurare il grado di dipedeza assoluta (o dipedeza i distribuzioe) fra due variabili rilevate cotemporaeamete su uità statistiche. Quado l isieme di uità statistiche cosiderate è l isieme delle uità che costituiscoo u campioe casuale il risultato otteuto co la 6.3. o co la 6.3. viee utilizzato per verificare se è verosimile l ipotesi che le variabili siao idipedeti ella popolazioe da cui il campioe è stato estratto. Idicato rispettivamete co k e h il umero di determiazioi assute dalle due variabili di iteresse, Z e W, le jl che compaioo ella 6.3. o le f jl che compaioo ella 6.3. rappresetao le frequeze cogiute campioarie relative alle variabili casuali X valore di Z sull uità estratta e di Y valore di W sull uità estratta metre le ' j..l jl per j =,,, k; l =,,, h o le f ' jl f j. f.l per j =,,, k; l =,,, h soo le corrispodeti frequeze teoriche, calcolate sotto ipotesi di idipedeza assoluta fra le due variabili. Assumedo come vera l ipotesi ulla di idipedeza, le statistiche 6.3. e 6.3. tedoo a distribuirsi come ua variabile chi-quadrato co u umero di gradi di libertà pari a (k)(h), purché siao soddisfatte due codizioi: - la umerosità campioaria deve essere sufficietemete elevata - le ' jl ' jl f devoo essere almeo pari a 5 per ogi j =,,, k, l =,,, h. Se è vera l ipotesi di idipedeza fra le due variabili ella popolazioe, la statistica test 6.3. (o la 6.3.) tede ad assumere valori prossimi a zero. L ipotesi ulla di idipedeza sembra quidi tato più verosimile quato più il valore della statistica test è prossima a zero, per cui la regioe di rifiuto dell ipotesi ulla è posizioata lugo la coda destra della distribuzioe della χ k h. Scelto quidi u livello di sigificatività, la regioe di rifiuto dell ipotesi di idipedeza fra Z e W è, α. costituita da tutti quei valori maggiori del quatile χk h 88

21 Esempio 4.6. Si verifichi l ipotesi di idipedeza fra due variabili Z e W al livello di sigificatività =0.05 sapedo che su u campioe casuale si soo otteuti i segueti risultati relativi alle variabili casuali X valore di Z sull idividuo estratto e di Y valore di W sull idividuo estratto X\Y A B a b Si cotrolla facilmete che le frequeze teoriche calcolate sotto ipotesi di idipedeza soo tutte maggiori di 5, come risulta dai valori riportati ella tabella successiva X\Y A B a b Utilizzado la formula di calcolo semplificata la statistica test risulta pari a e l ipotesi di idipedeza va quidi rifiutata perché la statistica risulta maggiore del quatile 3.84 che ella chiquadrato co grado di libertà isola alla sua destra u area pari a Esempio 4.6. Si verifichi l ipotesi di idipedeza fra due variabili Z e W al livello di sigificatività =0.0 sapedo che su u campioe di 00 elemeti si soo otteuti i segueti risultati relativi alle variabili casuali X valore di Z sull idividuo estratto e di Y valore di W sull idividuo estratto X\Y A B a b c Le frequeze relative teoriche calcolate sotto ipotesi di idipedeza assumoo i valori riportati ella tabella successiva X\Y A B a b c per cui ogi ' ' jl 00 f jl è superiore a 5. Utilizzado la formula di calcolo semplificata la statistica test risulta pari a e l ipotesi di idipedeza va quidi rifiutata perché la statistica risulta maggiore del quatile 9.0 che ella chiquadrato co gradi di libertà isola alla sua destra u area pari a

22 4.7 Test sulla botà di adattameto U ulteriore comue utilizzo dei dati campioari è la verifica di ipotesi fuzioali, ossia la verifica di ipotesi circa la distribuzioe della variabile di iteresse. Ache se geeralmete o si è i grado di stabilire co certezza la distribuzioe di Z, è tuttavia possibile che le iformazioi parziali i possesso del ricercatore, o altre cosiderazioi di varia atura, cosetao di formulare u ipotesi distributiva. I aalogia co le situazioi esamiate i precedeza, lo scopo dell idagie campioaria cosiste el verificare se l ipotesi ulla circa la forma fuzioale della distribuzioe della variabile ella popolazioe possa essere riteuta compatibile o meo co i dati campioari raccolti. Le ipotesi di questo geere vegoo verificate attraverso i cosiddetti test fuzioali che possoo essere utilizzati ache i situazioi diverse come, per esempio, quado si ha iteresse a cofrotare la distribuzioe di ua variabile rilevata su due diverse popolazioi oppure su ua stessa popolazioe i tempi diversi, al fie di valutare se si rilevao differeze sigificative. Data ua certa variabile Z co distribuzioe f(z), l ipotesi da sottoporre a verifica assume la forma z z H0 : f f dove la distribuzioe teorica f 0 (z) può essere completamete o solo parzialmete specificata, el seso che l ipotesi può riguardare o meo ache il valore dei parametri che compaioo el modello. Nel caso i cui l ipotesi vega completamete specificata, si formulao delle ipotesi ache sui valori dei parametri che caratterizzao la fuzioe, metre i altri casi l ipotesi riguarda solo la forma fuzioale della f 0 (z). Il criterio geerale per la verifica di u ipotesi 4.7. si basa sul cofroto fra la distribuzioe teorica, sotto ipotesi ulla, e la distribuzioe della variabile ella popolazioe, che a sua volta viee stimata sulla base dei dati campioari raccolti, ossia attraverso la distribuzioe della v.c. X valore di Z sull uità estratta. Occorre quidi calcolare ua qualche statistica test i grado di misurare la differeza fra le due distribuzioi e determiare la distribuzioe di probabilità di tale differeza, i modo da idividuare la regioe critica e la regioe di accettazioe dell ipotesi ulla. Uo dei test utilizzati frequetemete, soprattutto quado la variabile cosiderata è di tipo qualitativo o quatitativo discreto, è la statistica chi-quadrato aalizzata i precedeza. I questo caso, però, la statistica si basa sulla differeza fra i valori assuti dalle probabilità teoriche, calcolate sotto H 0, rispetto ai valori delle stime campioarie corrispodeti, date dalle frequeze relative calcolate sul campioe osservato. Cosiderata ua variabile qualitativa o quatitativa discreta Z che assume k determiazioi diverse, sia P(Z=z j) = j per j =,,, k 4.7. la probabilità che Z assuma la geerica determiazioe z j. L ipotesi da verificare può essere espressa el modo seguete 90

23 H 0 : per j =,,, k j 0 j e il geerico valore di probabilità teorica 0 j, calcolata sulla base del modello distributivo ipotizzato sotto H 0, va cofrotato co la sua stima campioaria, che corrispode alla frequeza relativa osservata f j j pari al rapporto fra il umero dei casi i cui si è rilevata la j-esima determiazioe della variabile i esame rispetto alla umerosità campioaria complessiva. È evidete che quato più i valori f j e 0j risultao simili fra loro, tato più sembra verosimile l ipotesi ulla 4.7.3, metre al crescere della loro differeza si sarà portati a rifiutare H 0. Il test chi-quadrato che cosete di valutare complessivamete l etità delle differeze fra le k coppie di valori f j e 0j assume la forma seguete j 0 j k f j π0 j χk π La statistica test risulta pari a zero se e solo se le frequeze relative campioarie soo tutte uguali alle corrispodeti probabilità sotto ipotesi ulla, metre assume valori via via cresceti al crescere delle differeze fra i valori di queste coppie. Sotto ipotesi ulla e per ua umerosità campioaria sufficietemete elevata, la distribuzioe della statistica test tede ad ua distribuzioe chi-quadrato co u umero di gradi di libertà pari a k e cioè al umero di determiazioi della v.c. X dimiuito di. Ache i questo caso l ipotesi ulla viee rifiutata per valori alti della statistica test per cui, fissato il livello di sigificatività, la regioe di rifiuto è posizioata alla destra del quatile k,. La distribuzioe asitotica chi-quadrato è valida purché siao verificate codizioi aaloghe a quelle descritte el precedete paragrafo. I particolare: - la umerosità campioaria deve essere sufficietemete elevata - i prodotti 0 j devoo essere almeo pari a 5 per ogi j =,,, k. Esempio 4.7. Si vuole verificare l ipotesi che u dado sia bilaciato al livello di sigificatività del 5% sapedo che i 800 laci soo stati otteuti i risultati riportati ella tabella successiva 9

24 Distribuzioe dei risultati otteuti laciado u dado X Frequeze assolute Frequeze relative L ipotesi ulla assume la forma H 0 : j 6 j,,...,6 800 e quidi i prodotti 0 j 300 soo tutti maggiori di 5. 6 La statistica assume il valore /6 0.9-/6 0.6-/ /6 /6 /6 metre il quatile di ordie 0.95 della chi-quadrato co 5 gradi di libertà risulta pari a.07, per cui l ipotesi ulla va rifiutata. Se si fosse scelto u livello di sigificatività =0.0, il quatile della chi-quadrato sarebbe stato uguale a 5.09 e l ipotesi ulla sarebbe risultata compatibile co il risultato campioario osservato. 4.4 La statistica può essere utilizzata ache per variabili casuali cotiue. I questo caso, però, è ecessaria la creazioe di u certo umero di classi di valori e il calcolo delle probabilità teoriche e delle frequeze campioarie corrispodeti per ciascua di queste classi. Se l ipotesi ulla si riferisce alla forma della distribuzioe della variabile (discreta o cotiua) specificado ache il valore dei parametri che la caratterizzao, il test viee effettuato sostituedo al valore di questi parametri le corrispodeti stime otteute sul campioe osservato. I questa situazioe il umero dei gradi di libertà della distribuzioe chi-quadrato risete del umero di parametri stimati. Idicato co q il umero di questi parametri stimati, i g.d.l. della chi-quadrato divetao kq. 9