Inferenza statistica. Come descrivo una generica popolazione? Che tipo di di informazioni posso ottenere?

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1 Iereza I Fodameti della teoria della stima Campioameto beroulliao ed i blocco Problema della stima: stima e stimatore Proprietà di uo stimatore Stima putuale e per itervallo: valore atteso e variaza Iereza statistica Iereza statistica: braca della statistica che cerca di ricavare iormazioi relative ad ua itera popolazioe partedo dall'aalisi di u campioe. Domade aperte: Come accio il campioe? Come descrivo ua geerica popolazioe? Che tipo di di iormazioi posso otteere? Scelta del campioe Campioameto: processo di ormazioe del campioe. Esiste ua letteratura iiita sulla scelta del campioe. Due diverse ilosoie di campioameto Estrazioe beroulliaa: le uita statistiche vegoo estratte ua alla volta e dopo l'estrazioe soo uovamete estraibili. Estrazioe i blocco: le uita statistiche vegoo estratte i blocco (o è possibile per ua sigola uità comparire più volte). Tratteremo solo casi di estrazioi beroulliae. 1 3 Popolazioe Ruolo: essa orisce le osservazioi. modella uo o più caratteri di u gruppo di uità statistiche. Osservazioe: il campioameto beroulliao garatisce che i ogi estrazioe u'osservazioe ha la stessa probabilità di veriicarsi Solitamete si descrivere la popolazioe come ua v.c. P avete d.d.p. (uzioe di probabilità) icogita. 4 Modellazioe Popolazioe: v.c. P co d.d.p. (p). Osservazioe della i-sima uità statistica: v.c. X i X 1 ~ P (la prima estrazioe la accio da P). Nessua garazia che la d.d.p. delle estrazioi successive: resti costate ((x i ) = (x j )). sia uguale a quella di P (X i ~ P). Se si campioa co estrazioe beroulliaa si ha che X i soo i.i.d. X i ~ P da cui ottego che E[X i ] =E[P],Var[X i ] =Var[P]. 5 Iormazioi otteibili Le iormazioi si dividoo i due diverse tipologie 1.Cerco di otteere ua stima umerica di ua caratteristica (spesso u idice) della popolazioe. Esempi: Stimare il valore atteso della popolazioe. Stimare la variaza della popolazioe. Strumeto teorico: Teoria della stima..cerco di rispodere ad ua domada dall'esito biario Esempio: La variabile X è ormale? (se P è multi-variata) P 1 e P soo idipedeti? Strumeto teorico: Test o parametrici. 6

2 Teoria della stima Problema della stima Stimatore: cosiderazioi. Esempi: Stimare il valore atteso della popolazioe. Stimare la variaza della popolazioe. Igredieti comui ai vari problemi di stima: Dati di parteza: osservazioi O = {o i } Obiettivo: stima di u parametro θ della della popolazioe. Mezzo: Ua uzioe g(.) dei dati chiamata stimatore Risultato Ua stima del parametro =go 7 Problema: dato u campioe O di dimesioe estratto da ua popolazioe P, avete u parametro icogito θ, determiare ua uzioe g(.) chiamata stimatore che orisca ua stima =go di θ. Esempio Stimare il valore atteso della popolazioe. Parametro θ 1 = E[P]. Stimatore g 1 (.) Stima 1 =g 1 O Esempio: Stimare la variaza della popolazioe. Parametro θ = Var[P]. Stimatore g (.) Stima =g O 8 Esempio: Uso gioraliero dei mezzi pubblici Popolazioe: cittadii di Vr Campioe di = 100 persoe v.c. X i risposta del i-simo itervistato. Esempio di stimatore. (Media campioaria) Osservazioe: Il valore dello stimatore (stima) dipede da eveti casuali (l'estrazioe delle uità statistiche). Quidi si ha che: Lo stimatore è ua v.c. g.= X 1 X X 3... X Ha ua d.d.p. da cui u valore atteso e ua variaza La stima è ua realizzazioe dello stimatore 9 Stimatore: proprietà - I Quali caratteristiche vorrei avesse uo stimatore? Correttezza: il valore atteso dello stimatore è il parametro da stimare Esempio: Popolazioe P uiorme Var[P] = 144/1 = 1 E[]= Stimatore di Var[P] corretto E []=1 (p) 0.1 Possibili d.d.p. di uo stimatore corretto 10 P Stimatore: proprietà - II Quali caratteristiche vorrei avesse uo stimatore? Cosisteza: al crescere della dimesioe del campioe le stime so sempre più vicie al parametro Esempio lim P =0 Popolazioe P~N(10;) Stimatore della Variaza corretto 0 N 1 ; N 1 ; = 50 = Stimatore: proprietà - III Quali caratteristiche vorrei avesse uo stimatore? Eicieza: lo stimatore possiede la variaza miima. (utile per il coroto ra più stimatori: scelgo quello co la variaza miore) Esempio Popolazioe P~N(10 ; ) Stimatori della Variaza corretti E[]=E[ ] = = Migliore perché ha variaza miore = 50 1

3 Media campioaria Si idica sovra segado la gradezza mediata Deiizioe: Osservazioe: la media campioaria è ua combiazioe lieare di valori su cui è calcolata Diverse iterpretazioi x= x 1x...x x = i i=1 Idice di posizioe (statistica descrittiva) Variabile casuale (teoria delle probabilità) Stimatore (iereza statistica) 13 Media campioaria: variabile casuale Ipotesi v.c. X i risposta del i-simo itervistato. Estrazioe Beroulliaa soo X i i.i.d. La media campioaria come v.c. E[X i ]=E[ P];Var[ X i ]= E[ X ]= E[X 1]...E[ X ] E[ P] = =E[ P] Var[ X ]= i=1 lim X= X 1 X... X i=0,1,..., Var[ X i ] = = ~N E[ P]; 14 Media campioaria: stimatore. La media campioaria è uo stimatore del valore atteso Lo stimatore è corretto: iatti si ha che Lo stimatore è cosistete. E [ X ]= Dimostrazioe (ituitiva) Poiché Var[P] lim Var[ X ]=lim =0 Al crescere di la media campioaria tede ad essere ua costate (ha variaza ulla). Quidi lim P = Variaza campioaria Deiisco variaza campioaria: s i o i O = = 1 S come v.c. v.c. X i risposta del i-simo itervistato. Estrazioe Beroulliaa X i soo i.i.d. S = i X i X 1 Si dimostra che: E[S ] = Var[P]. 1 = i = i oi O 1 P E[P] 1 Variaza campioaria: stimatore. S è uo stimatore della variaza. Lo stimatore è corretto: iatti si ha che Lo stimatore è cosistete. E[S ]= Dimostrazioe (solo per P ormali) P~N, S ~ 1 1 Var[S ]= 4 1 Var[ 1]= 4 4 1= 1 1 lim Var[S 4 ]=lim 1 =0 La variaza dello stimatore tede a zero al crescere P~N, S ~ del campioe quidi la stima diviee costate. Esempio - I Esempio: Data ua v.c. X ~ N(µ ; σ ) si soo otteute le segueti realizzazioi Svolgimeto: Determiare ua stima di µ e σ. Si stima E[X] = µ: x= = Si stima Var[P] = σ : s = =13.35 Osservazioe: dati estratti da X ~ N(100 ; 5). 18

4 Esempio - II Si vuole stimare la capacità riproduttiva di ua tipologia di batteri. Pertato si soo iettati topi. Dopo 15 gg. si è rilevata la popolazioe batterica elle uità Determiare ua stima del valor atteso e della variaza. Svolgimeto Si ipotizza P:popolazioe batterica dopo 15 gg. i u topo sao campioameto sia di tipo beroulliao Si stima E[P]: p= = 183 Si stima Var[P]: s = Stime: cosiderazioi Diverse stime di uo stimatore cosistete Caso 1) = 10 Stima 1 Caso ) = 1000 Stima Quale stima è più aidabile? Diverse stime di uo stimatore cosistete Caso 1) = 100, Var[O 1 ] Stima 1 Caso ) = 100, Var[O ] > Var[O 1 ] Stima Quale stima è più aidabile? Osservazioe: poiché le stime oriscoo u solo Stime putuali e per itervallo Per aalisi accurate coviee poter essere sicuri della stima atta. Si itroducoo due tipi di stime Stima putuale: si stima u solo valore per il parametro igoto. Stima per itervallo: si stima u itervallo i cui si è iduciosi ricada il parametro igoto. valore o è acile discerere. 0 1 Stime per itervallo: pricipio base I Stime per itervallo: pricipio base II Stime per itervallo:valore atteso - I Problema: Come ricavo u itervallo I i cui ci si aspetta ricada il parametro θ che debbo stimare? Osservazioe: Nota () posso trovare u itervallo I che Abbia ua (alta) probabilità 1-α di coteere la stima Bipartisca la probabilità α elle code. Esempio per () gaussiaa e stimatore corretto Osservazioe: la d.d.p. di descrive la probabilità che la mia stima assuma u determiato valore ed è legata a θ. Metodo: Dati: la probabilità 1-α, stimatore g(.) e la sua d.d.p. Cerco 1) di otteere u itervallo I : P I = ) esplicito il legame ra il θ e i modo da otteere I, g. Deiizioi: I: Itervallo di coideza. 1-α: livello di coideza. 3 La media campioaria x = stima putuale di E[P]. Var[P] Per grade ho che X~NE[ P] ; 1) Ricavo l'itervallo co probabilità P I i X I sup = Stadardizzo P z X E[P] Var[P] X E[ P] P z Var[P] z = z = 4

5 Stime per itervallo:valore atteso - II X E[ P] P z Var[P] z = ) Ricavo u itervallo per il parametro (E[P]) P z Var[P] X E[ P] z = P X z E[P] Xz Var[P] = P X z E[ P] Xz Var[P] = Ottego l'itervallo I=[ x z ; xz Var[P] Stime per itervallo:valore atteso - III Stima el caso di variaza ota I=[ x z Var[P] ; xz Var[P] ] Problema: Var[P] è spesso igota. Soluzioe: la stimo usado s. I=[ x z ; xz s Stima el caso di variaza igota I=[ x z s ; xz s 5 6 ] ] s ] Esempio - III Esempio: Data ua v.c. X ~ N(µ ; σ ) si soo otteute le segueti realizzazioi Determiare ua stima per itervallo al 95% di µ. Svolgimeto: Idici campioari Valori stadardizzata x=98.83 z 0.05 =1.96 s =13.35 s=3.653 Stima richiesta I=[ x z s ; xz s =[95.5 ; 10.41] ] Osservazioe: l'approssimazioe vale per molto grade pertato il risultato o è molto attedibile! 7 Stime per itervallo:cosiderazioi Stime per itervallo: variaza - I Stime per itervallo: variaza - II Cosa vuol dire are la stima per itervallo ad u livello di coideza (es. 95%)? Perché o si usa il termie probabilità? Osservazioe: il parametro è costate. Osservazioe: la stima è ua v.c. Pertato è Errato: il parametro è coteuto ella stima co ua probabilità pari al 95%. Corretto: estratti tati campioi ad elemeti, la probabilità che ua cotega la stima è del 95% 8 La variaza campioaria s = stima putuale di Var[P]. Per grade e P gaussiaa ho che S ~ 1 1 1) Ricavo l'itervallo co probabilità P I i S I sup = ricoduco ad ua distribuzioe ota S 1 ~ 1 da cui ottego P 1 1 S 1 = 9 P 1 1 S 1 = P ) Ricavo u itervallo per il parametro (Var[P]) S 1 S P = 1S 1 S 1 1 = Ottego la stima 1 s s I=[ ; 1 1] 30

6 Esempio - IV Ricapitolado - I Ricapitolado - II Esempio: Data ua v.c. X ~ N(µ ; σ ) si soo otteute le segueti realizzazioi Determiare ua stima per itervallo al 95% di σ. Svolgimeto: Idici campioari Valori chi quadrato Stima 1 s I=[ Osservazioe: l'approssimazioe vale per grade x= ; 1s s =13.35 s= = =9.35 1] [ = ; ] =[4.8;185.4] per popolazioi gaussiae (evitabile se è veramete grade) 31 Parametro θ: idice di ua popolazioe (o v.c.) igoto.. Stimatore : uzioe g(.) di osservazioi campioarie. Stima θ: valore assuto da g(.) ua volta estratto il campioe. Proprietà di uo stimatore Correttezza: E[]== Cosisteza: lim P =0 Eicieza: Var[] piccola Stime: Putuali: si stima u solo valore per il parametro igoto Per itervallo: si stima u itervallo i cui coido possa essere icluso il parametro igoto. Regolato dal livello di coideza. 0 3 Media campioaria Stimatore del valore atteso Stima corretta, cosistete e eiciete. Per grade Variaza campioaria: X~NE[P] ; s = i oi O 1 Stimatore della variaza Stima corretta, cosistete Per grade e P gaussiao S ~ 1 1 = O oi i Ricapitolado - III Stima del valore atteso di ua popolazioe putuale E[P] = x itervallo E[ P] [ x z Stima della variaza di ua popolazioe ; xz ] putuale Var[P] =s itervallo 1 s ; Var[P] [ 1] 1s 34