Formulario (versione del 3/10/2015)

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1 Uiversità degli Studi della Basilicata C.d.L. Ecoomia Aziedale Statistica a.a. 04/05 Docete: E. Di Nardo Frequeze Formulario versioe del 3/0/05 taglia campioe casuale x,..., x campioe casuale ordiato x... x frequeze assolute i frequeze relative f i = i frequeze assolute cumulate i = o. di elemeti del campioe casuale x i frequeze assolute relative F [x i ] = i Medie media campioaria x = x i media armoica x a = x i media geometrica x g = x i media pesata x p = k xiwi k, co pesi w i wi media per tabelle di frequeze co modalità x i usare x p co w i = i media per tabelle di frequeze co classi di modalità c i ; c i+ usare x p co w i = i e x i = ci+ci+ cetri delle classi Percetili p: Altri idici di posizioe a determiare il rago r = + p; sia q la parte decimale di r b determiare l itervallo x i, x i+ tale che i r i + c calcolare p = x i + q [x i+ x i ] Percetili p per classi di modalità: a determiare l itervallo x i, x i+ tale che F [x i ] p e F [x i+ ] > p

2 b p = x i + a [x i+ x i ] dove a = p F [x i ] F [x i+ ] F [x i ] Idici di dispersioe rage C = x max x mi itervallo iterquartile IQR = Q 3 Q, dove Q, Q 3 soo rispettivamete il primo e il terzo quartile variaza S = V arx = x i x variaza pesata S w = k xi x w i k, co pesi w i wi variaza per tabelle di frequeze co modalità x i usare S w co w i = i variaza per tabelle di frequeze co classi di modalità c i ; c i+ usare S w co w i = i e x i = ci+ci+ cetri delle classi scarto quadratico medio/deviazioe stadard S = S coefficiete di variazioe CV = S x 00 precisioe della media campioaria S/ rapporto di cocetrazioe di Gii G = P i Q i co P i = i, Q i = x + x + + x i x + x + + x rapporto di cocetrazioe di Gii per modalità co P i = i, Q i = x + x + + x i i x + x + + x k k R = [P i Q i + P i Q i ] i idice di eterogeeità di Gii e = k f i Idici di forma Asimmetria: = x max Q Q x mi rapporto di composizioe Rapporti statistici a i k ai 00

3 rapporto di coesisteza P /P, se P e P rappresetao il umero di elemeti di due isiemi, rispettivamete rapporto di derivazioe b i /a i 00, se A è u feomeo di stato e B é u feomeo di movimeto umeri idici semplici a base fissa b I t = xt x b 00 variazioe percetuale media v = b I t b I t bs I t /s crescita percetuale media c = xf x i /s 00 umeri idici semplici a base mobile t I t = xt x t 00 cambiameto di base c I t = b I t bi c 00 s idice di Laspeyres I L = pitq ib s p ibq ib, co p it prezzo tempo correte, q it quatità tempo correte, p ib prezzo tempo di base, q ib quatità tempo base. idice di Paasche I P = idice di Fisher I F = I L I P Distribuzioi doppie: s pitqit s p ibq it Idici di dipedeza T i0 = ih, h= S 0j = hj, h= per ogi i =,..., S margiali sulle righe per ogi j =,..., T margiali sulle coloe Covariaza: = S i0 = T 0j totali j= N S XY = X i µ X Y i µ Y = N N N X i Y i µ X µ Y Idice di coessioe di Cramer e statistica test chi-quadrato per tavole di cotigeza C r : C r = s j= t c ij ˆ ij, c ij = ij ˆ ij, ˆ ij = i0 0j N Cr C r = mi{s, t } 3

4 Coefficiete di correlazioe lieare: r X,Y = S XY S X S Y Coefficiete di determiazioe: R = r X,Y Coefficiete di Spearma: ρ X = 6 R X i R Yi Regressioe retta dei miimi quadrati: se X rappreseta la variabile idipedete e Y la variabile dipedete, Y = a X + b co Probabilità dell uioe: Probabilità a = r X,Y S Y S X e b = ȳ a x P A B = P A + P B P A B Probabilità codizioata: P A B = P A B P B Legge del prodotto: P A B = P A BP B = P B AP A P A A... A = P A P A A P A 3 A A P A A A Eveti idipedeti: P A B = P AP B Probabilità composte: Teorema di Bayes: P B = P A i B = P A i P B A i P A i P B A i P A ip B A i Distribuzioi di probabilità 4

5 Media di ua v.a. { EX = k I x k P X = x k, se X è discreta R xf Xxdx, se X è assolutamete cotiua Proprietà: se Y = ax + b allora EY = aex + b Variaza di ua v.a. Sia m = EX il valore atteso di X { V arx = k I x k m P X = x k, se X è discreta R x m f X xdx, se X è assolutamete cotiua Proprietà: se Y = ax + b allora V ary = a EX Formula operativa: V arx = EX [EX] Fuzioe di ripartizioe: F X x = P X x = { xk x P X = x k, se X è discreta x f Xxdx, se X è assolutamete cotiua Si ha: P a X b = P X b P X a Distribuzioe biomiale estrazioi co reimmissioe: X Bi, p EX = p V arx = p p Se = allora X beroulliaa co P X = 0 = q e P X = = p Distribuzioe ipergeometrica estrazioi seza reimmissioe: X HpN, K, Distribuzioe di Poisso: X P oλ EX = K N V arx = K N Distribuzioe gaussiaa: X N µ, σ K N N N EX = λ V arx = λ EX = µ V arx = σ 5

6 se µ = 0, σ =, allora Z N 0, F Z z = F Zz P Z z = F z P Z z = F z z P Z z = F Z z se X N µ, σ allora Y = ax + b N aµ + b, a σ se X, X idipedeti, allora X ± X N µ ± µ, σ + σ Distribuzioe chi-quadrato: X χ EX = V arx = Distribuzioe T-Studet: X t Distribuzioe uiforme: X Ua, b EX = 0 V arx = f X x = b a, a x b EX = a + b b a V arx = Distribuzioi campioarie media campioaria X = k= X k campioameto co ripetizioe su pop. ifiita oppure pop. ormale E X = EX i e V ar X = V arx i campioameto seza ripetizioe su pop. fiita per > 5, X E X D X per popolazioi gaussiae, E X = EX i e V ar X = V arx i N N Z N 0, X E X S/ T 6

7 variaza campioaria per popolazioi gaussiae: frequeza campioaria ˆp = Correttezza ET = θ Efficieza σ T σ T Itervalli di cofideza per la media: variaza ota, pop. gaussiaa σ S χ k= X k, Eˆp = p, V arˆp = p p Proprietà degli stimatori Itervalli di cofideza [ X z α/ σ ; X + z α/ σ ] variaza igota, pop. gaussiaa [ X t ; α/ S ; X + t ; α/ S ] pop. o gaussiaa > 5 [ X z α/ S ; X + z α/ S ] Itervalli di cofideza per la variaza: Itervalli di cofideza per percetuali: [ [ S ; χ α/ ˆp z α/ ˆp ˆp ] S χ α/ ˆp ˆp ] ; ˆp + z α/ 0.5 z α/ 0 = pop.ifiita = 0 pop.fiita taglia N E + Itervalli di cofideza per la differeza tra medie: variaze ote, pop. gaussiaa o o gaussiaa > 5 X X z α/ σ + σ ; X X + z α/ 0 N σ + σ 7

8 variaze igote ma uguali, pop. gaussiaa S p = S + S +, m = + X X t α/;m S p + ; X X + t α/;m S p + pop. o gaussiaa > 5 X X z α/ S + S ; X X + z α/ S + S Itervalli di cofideza per la differeza tra percetuali: ˆp, ˆp frequeze relative stimate ˆp ˆp ˆp ˆp z α/ + ˆp ˆp ˆp ˆp ; ˆp ˆp + z α/ + ˆp ˆp Test di ipotesi poteza del test: β = P rigettare H 0 H 0 è vera { P Stat.Test > valore osservato H0 è vera se valore osservato > θ p-value test a due code: 0 P Stat.Test < valore osservato H 0 è vera se valore osservato < θ 0 verifica di ipotesi sulla media variaza ota H 0 H regioe accettazioe µ = µ 0 µ µ 0 µ 0 z α/ σ ; µ 0 + z α/ σ µ < µ 0 µ µ 0 ; µ 0 + z α σ σ µ > µ 0 µ µ 0 µ 0 z α ; variaza icogita 8

9 H 0 H regioe accettazioe µ = µ 0 µ µ 0 µ 0 t α/; S ; µ 0 + t α/; S µ < µ 0 µ µ 0 ; µ 0 + t α; S S µ > µ 0 µ µ 0 µ 0 t α; ; variaza icogita > 5 H 0 H regioe accettazioe µ = µ 0 µ µ 0 µ 0 z α/ S ; µ 0 + z α/ S µ < µ 0 µ µ 0 ; µ 0 + z α S S µ > µ 0 µ µ 0 µ 0 z α ; verifica di ipotesi per ua popolazioe beroulliaa H 0 H regioe accettazioe p0 p 0 p0 p 0 p = p 0 p p 0 p 0 z α/ ; p 0 + z α/ p0 p 0 p < p 0 p p 0 ; p 0 + z α p0 p 0 p > p 0 p p 0 p 0 z α ; verifica di ipotesi per la variaza 9

10 H 0 H regioe accettazioe σ = σ 0 σ σ 0 χ α/; ; χ α/; σ < σ 0 σ σ 0 0; χ α; σ > σ 0 σ σ 0 χ σ 0 α; ; σ 0 verifica di ipotesi sulla differeza tra le medie di popolazioi gaussiae variaze ote σ 0 H 0 H regioe accettazioe µ µ = 0 µ µ 0 µ µ < 0 µ µ 0 µ µ > 0 µ µ 0 σ 0 σ 0 z α/ + σ ; 0 + z α/ + σ σ ; 0 + z α + σ σ 0 z α + σ ; σ variaze icogite ma uguali: statistica test X X ; variaza pesata S p = S + S + ; gradi di libertà m = + H 0 H regioe accettazioe µ µ = 0 µ µ 0 0 t α/;m S p + ; 0 + t α/;m S p + µ µ < 0 µ µ 0 ; 0 + t α;m S p + µ µ > 0 µ µ 0 0 t α;m S p + ; variaze icogite, dati accoppiati: T-test per u campioe otteuto effettuado le differeze tra i dati. verifica di ipotesi sulla differeza tra due probabilità: statistica test m + m, dove m è il umero di successi el primo campioe di taglia e m è il umero di successi el secodo campioe di taglia ; percetuale pesata ˆp = m+m + 0

11 H 0 H regioe accettazioe p = p p p z α/ ˆp ˆp + ; z α/ ˆp ˆp + p < p p p ; z α ˆp ˆp + p > p p p z α ˆp ˆp + ; verifica di ipotesi sul rapporto tra variaze: statistica test S /S H 0 H regioe accettazioe σ = σ σ σ f ; f α/;; α/;; σ < σ σ σ 0; f α;; σ > σ σ σ f α;; ; Aalisi di dati di frequeza Test chi-quadrato per distribuzioi: Test di Kolmogorov-Smirov: statistica test k O i E i χ = k O i E i umero delle classi frequeze osservate E i, frequeze attese regioe di accettazioe 0, χ α,k p p umero dei parametri stimati statistica test D = max i ˆF x i F x i x i i-esimo dato osservato el campioe casuale F x fuzioe di ripartizioe teorica ˆF x fuzioe di ripartizioe empirica ˆF x = umero di dati x. regioe di accettazioe 0, D,α