Statistica Inferenziale

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1 Statistica Ifereziale L'ifereza statistica (o statistica ifereziale) è il procedimeto per cui si iducoo le caratteristiche di ua popolazioe dall osservazioe di ua parte di essa (detta «campioe"), selezioata solitamete mediate u esperimeto casuale (aleatorio). Nel caso fiito dimesioale, ad esempio, da ua popolazioe di N idividui, se e estrae allora u sottoisieme (campioe) di idividui (<N) da aalizzare (campioameto). Def. Si defiisce Spazio dei Campioi l isieme di tutti i possibili campioi di dimesioe data () che possoo essere estratti da ua popolazioe. Nel caso descritto sopra la spazio campioario sarebbe costituito da tutte le possibili estrazioi co ripetizioe di elemeti dagli N elemeti della popolazioe. Lo spazio dei campioi avrebbe cardialità perciò N. La statistica ifereziale ha il compito di fare ifereza sul campioe cioè dall aalisi del campioe deve dare dei criteri per «stimare» le caratteristiche che descrivoo l itera popolazioe determiadoe evidetemete la «botà» e cioè, diciamo, il grado di coereza. I questo passaggio, poiché il campioameto è stato effettuato co criteri casuali, le stime che si ottegoo sul campioe, rispetto alla popolazioe di parteza, soo per loro stessa atura affette da u errore, che si chiama errore di Campioameto. Ad esempio, se io calcolo la media delle altezze di u campioe di persoe, per le quali so che la popolazioe di parteza ha media 75 cm, o otterrò mai esattamete ua media pari a 75 cm. Piuttosto, ripetedo ifiite volte la stima su ifiiti campioi, otterrò certamete ua DISTRIBUZIONE DI MEDIE, che sarà dispersa attoro al vero valore della media, cioè 75 cm.

2 Stime e Stimatori / Nella statistica ifereziale si distiguoo i valori caratteristici che descrivoo la distribuzioe della popolazioe (i parametri) ad esempio media e variaza. Le formule che permettoo di otteere le stime soo dette stimatori. La realizzazioe cocreta (determiazioe empirica) attraverso u campioe dello stimatore è chiamata stima dello stesso. Esempio Parametro Media Variaza Popolazio e Media Stimatori campioari a x Variaza campioari a s Ricordiamo x xi x i x i i s Variaza campioaria corretta

3 Stime e Stimatori / Tutti i possibili campioi, virtualmete, soo estraibili, e soo pertato possibili diverse stime del parametro, i umero corrispodete a quello dei possibili campioi. Si possoo costruire pertato le distribuzioi delle medie campioarie che, i termii probabilistici, costituiscoo ach esse delle variabile aleatorie, descrivibili da modelli discreti o cotiui. Prima di raccogliere i dati, i valori di el campioe soo umeri aleatori,..., idipedeti e ideticamete distribuiti (i.i.d.) co E( i ) Var ( ) i i,..., dopo avere raccolto i dati, i valori di el campioe soo quatità ote le modalità osservate x,..., x (distribuzioe uivariata) I geerale, o si dispoe di u criterio per determiare quale stimatore per ua data quatità sia il migliore. Nell'ambito della statistica classica, ad ogi modo, è stata proposta ua serie di proprietà cosiderate desiderabili per uo stimatore. I primo luogo, u buoo stimatore dovrebbe forire stime che si avviciao al valore del parametro da stimare, ossia l'errore che commettiamo assumedo che il valore del parametro sia eguale alla stima deve essere piccolo. No cooscedo il valore del parametro o siamo i grado di quatificare l'errore commesso per ua particolare stima, possiamo però quatificare lo scostameto medio tra la variabile casuale stimatore e il parametro. La botà di uo stimatore è ifatti valutata sulla base di proprietà quali la correttezza, la correttezza asitotica, la cosisteza e l'efficieza che soo legate a tale scostameto medio. 3

4 Stime e Stimatori / Ioltre la stima del parametro può essere espressa mediate u uico valore (stima putuale) desuto dal campioe cosiderato oppure da u itervallo di valori (stima itervallare) etro cui, co u dato livello di fiducia, si ritiee cada il valore vero del parametro della popolazioe. 4

5 Stime e Stimatori 3/ 5

6 Stime Putuali Proprietà Stimatori / a) Correttezza Distorsioe (iglese Bias ) 6

7 7 Stime Putuali Proprietà Stimatori / Es. i i ^ μ E E μ E i i ^ ) ( Es. Var Var Var i i i i ) ( Stimatore di μ Stimatore corretto Variaza Poiché le i soo idipedeti

8 8 Stime Putuali Proprietà Stimatori 3/ Es. Stimatore di σ Sia ) ( ) ( i i i E Var E ) ( ) ( E Var E E E E E R E i i ^ ) ( E E E Var R i i ^ Stimatore distorto di σ (sottostima la variaza) Si cosideri allora ^ i i ^ ^ R S R E E S ^ ^ Stimatore NON distorto di σ detta variaza campioaria corretta

9 Stime Putuali Proprietà Stimatori 4/ b) Efficieza relativa 9

10 Stime Putuali Proprietà Stimatori 5/

11 Stime Putuali Proprietà Stimatori 6/

12 Stime Putuali Proprietà Stimatori 7/ c) Cosisteza

13 Stime per Itervalli / 3

14 Stime per Itervalli μ co σ ota / STIMA INTERVALLARE di μ co σ ota 4

15 Stime per Itervalli 3/ 5

16 Stime per Itervalli 4/ z C z 6

17 Stime per Itervalli 5/ NOTA Nella costruzioe degli itervalli di cofideza per la media soo preseti le segueti variabili umerosità campioaria; E ampiezza dell itervallo di cofideza; -α livello di cofideza; σ deviazioe stadard Soo spesso da esamiare le segueti relazioi fissado sia il valore del livello di cofideza -α che di σ la dimesioe dell itervallo dimiuisce all aumetare di ; quado il valore del livello di cofideza -α è fissato,all aumetare di σ si deve aumetare il valore della umerosità campioaria per avere ua ampiezza fissata dell itervallo. se il valore di σ è fissato e il livello di cofideza -α aumeta, si deve aumetare il valore di per avere ua ampiezza desiderata. I geerale l ampiezza dell itervallo di cofideza vale quidi il valore dipede sia dal livello che dal umero di elemeti del campioe. Più precisamete AUMENTA all aumetare del livello e DIMINUISCE all aumetare del umero di elemeti del campioe. 7

18 Stime per Itervalli 6/ 8

19 9 Stime per Itervalli Stima di µ co σ ota 6a/ N(,) Z x x i i Stimatore valore atteso (media) ), ( N ), ( N i Poedo errore d' livello value p cofideza di livello ) ( a x a P a x a a x a a x a x ) ( a x a x P

20 Stime per Itervalli Stima di µ co σ ota 6b/ Portiamo ora la stima dell itervallo i z i modo da poter utilizzare la N(,) ) ( a x a x P a x a P a x a x a x a a x a z x a z a z a F z z x z x P a z

21 Stime per Itervalli Stima di µ co σ ota 6b/ Valori Tabulati α -α -α/ z_-α/ Arr. 5,% 85,% 9,5%,439535,44,% 9,% 95,%, ,64 5,% 95,% 97,5%,959964,96,% 99,% 99,5%,575893,58,5% 99,5% 99,75%,87338,8,% 99,9% 99,95% 3,9567 3,9,% 99,99% 99,995% 3, ,89 z F Fuzioe Excel INV.NORM.S()

22 Stime per Itervalli 7/

23 Stime per Itervalli 8/ 3

24 Esempio Stime per Itervalli 9/ 4

25 Stime per Itervalli Stima di µ co σ NON ota 9a/ Stimatore valore atteso (media) x i x Stimatore Variaza i s i x i x i N(, ) N, Z s t Studet gradi di libertà - Di cosegueza seguedo il precedete ragioameto (el caso di σ ota) 5

26 6 Stime per Itervalli Stima di µ co σ NON ota 9b/ s t a, ) ( a x a x P a x a P,, s t x s t x P, T t

27 Stime per Itervalli μ co σ o ota 9/ Stima Itervallare di µ NON cooscedo σ 7

28 8 Stime per Itervalli / N(,) Z STIMA di μ per campioi Normali σ ota z z P z z C z x z x ; σ o ota T S Z,, t t P t t C s t x s t x,, ; OSSERVAZIONE IMPORTANTE le formule appea viste per gli itervalli di cofideza per la media co variaza icogita, vegoo usate ache per campioi o ormali, purché la umerosità del campioe sia sufficietemete elevata ( > 3). Esse foriscoo u itervallo di livello di cofideza approssimativamete uguale ad α. Questo è basato sul fatto che, per campioi ache o ormali ma sufficietemete umerosi, la distribuzioe della statistica T (geerica) si discosta poco da quella di ua t-di-studet. s t, s t,

29 Stime per Itervalli / I alcui casi può essere sufficiete forire u itervallo di cofideza che abbia solo u limite superiore o u limite iferiore. A questo scopo osserviamo che, posto acora (μ co σ ota ) si ha Pertato l itervallo è detto itervallo di cofideza uilatero destro per μ di livello di cofideza α. I modo del tutto aalogo, si mostra che è detto itervallo di cofideza uilatero siistro per μ di livello di cofideza α. 9

30 Stime per Itervalli stima di σ 3/ STIMA di σ per campioi ormali ( ) S I modo del tutto aalogo si determiao gli itervalli di cofideza uilateri. 3

31 Stime per Itervalli stima di σ 4/ Esempio I ua città è di grade rilevaza avere iformazioi sulla distribuzioe del cosumo di eergia elettrica per uità abitativa. Nel caso di uità abitative di metratura cofrotabile, la variaza idica la variabilità ei livelli di efficieza eergetica, u dato di iteresse tato per l impresa erogatrice quato per l ammiistrazioe locale. I u campioe di uità abitative omogeee si è osservata ua variaza campioaria s =. migliaia di kwh I questo caso può essere ragioevole essere iteressati solo ad u limite superiore per la variaza, e quidi cosiderare l itervallo uilatero Usado i dati e le tavole, scelto α =.5 Possiamo perciò affermare, co ua cofideza del 95%, che la variaza della distribuzioe è iferiore a

32 Test di Ipotesi / Nell ambito dell ifereza statistica capita spesso di trovare problemi di verifica delle ipotesi. U ipotesi statistica è ua cogettura sulla forma della distribuzioe di probabilità di ua variabile casuale ovvero sul valore del parametro icogito. Nel primo caso si parla di ipotesi fuzioale, metre el secodo si parla di ipotesi parametrica. Aalizziamo ora le ipotesi parametriche el caso di u campioe. L ipotesi che si vuole sottoporre a verifica, deotata co, è detta ipotesi ulla o di base, metre l ipotesi alterativa è idicata co ( e solitamete è la egazioe di ). Le ipotesi vegoo solitamete formulate i base ad iformazioi che si possiedoo del feomeo i esame. Esse possoo essere semplici o composte, a secoda che si riferiscao ad u uico valore del parametro o ad u isieme di valori. Per effettuare la verifica delle ipotesi si utilizza il test statistico T, cioè ua regola mediate la quale si decide i termii probabilistici, sulla base delle iformazioi campioarie, se respigere o meo l ipotesi. Poedo l ipotesi ulla il test si dice uilaterale se risulta Uilaterale siistro oppure Uilaterale destro 3

33 Test di Ipotesi / Metre è bilaterale quado si ha Per la statistica parametrica, si potrebbero effettuare delle affermazioi riferedosi ai parametri icogiti della distribuzioe, media e variaza. Esempi di ipotesi statistiche potrebbero essere allora, ad esempio «La media della distribuzioe è uguale a» (ipotesi ulla ) E l ipotesi alterativa bilaterale «La media della distribuzioe o è uguale a»(ipotesi alterativa ) Lo scopo di ua verifica di ipotesi è quello di determiare ua regola che coseta, sulla base u campioe di dati x, x,..., x, di propedere per l ipotesi ulla o quella alterativa. U test di verifica di ipotesi cosiste el determiare ua regioe C di valori del campioe x, x,..., x, detta regioe critica, tale che se (x, x,..., x ) appartiee a C si rifiuta, e quidi si accetta. Se (x, x,..., x ) o appartiee alla regioe critica C o si rifiuta (i geerale si dice che o si rifiuta, piuttosto che dire che si accetta). Soo allora possibili due tipi di errori Def. Errore di prima specie rifiutare quado è vera. Def. Errore di secoda specie o rifiutare quado è falsa 33

34 Test di Ipotesi 3/ Ua regioe critica ideale dovrebbe redere piccole tato la probabilità di commettere u errore di prima specie, quato la probabilità di commettere u errore di secoda specie. Questo spesso o è possibile restrigedo la regioe critica la probabilità di commettere u errore di prima specie dimiuisce, ma può aumetare quella di commettere u errore di secoda specie. Il cotrario accade allargado la regioe critica. La scelta usuale ella teoria della verifica di ipotesi è di teere sotto cotrollo la probabilità di errore di prima specie, a scapito, evetualmete, della probabilità di errore di secoda specie. Def. Probabilità di commettere u Errore di prima specie Prob(rifiutare vera) Def. Probabilità di commettere u Errore di secoda specie Prob(o rifiutare vera) Ecco allora le possibile opzioi 34

35 Test di Ipotesi 4/ Def. Livello di sigificatività del Test E costituito dalla probabilità α. La probabilità α deve essere u valore fissato a priori. I geere si fa riferimeto a valori «molto piccoli» pari al 5% (,5), all % (,) e all (,). Ad esempio u livello di sigificatività del 5% sigifica che sul campioe estratto la probabilità di «rifiutare» quado è vera (quado il campioe è fluttuate) è di 5 casi su ceto. Abbassado il valore di α si abbassa la probabilità di commettere u errore di prima specie. Def. Poteza del Test E costituito dalla probabilità -β. Come abbiamo visto corrispode alla probabilità di rifiutare quado è vera, i pratica di rifiutare correttamete l ipotesi ulla. Nella figura seguete viee idicata co «S» la statistica test, per esempio la media campioaria. La statistica S ha ua determiata distribuzioe campioaria sia che sia vera l ipotesi ulla, sia che sia vera l ipotesi alterativa (i questo caso per semplificare il grafico abbiamo posto come ipotesi alterativa che <>= μ μ ). Le due distribuzioe soo rappresetate dalle curve era e rossa rispettivamete. Stabilita la probabilità α, la curva era viee divisa i due regioi. La regioe di accettazioe di area - α, cetrale, e la regioe critica (o di rifiuto) di area complessiva pari ad α, costituita dalle due code ciascua di area α/. (l esempio è riferito ad u test bilaterale). Le due code soo idividuate dai valori critici della statica test s ed s. Nel ostro caso se S=<> è il valor medio, l ipotesi ulla <>=μ è rifiutata se il valor medio del campioe x_medio risulta apparteere alla regioe critica cioè se x_medio risulta essere miore di s o maggiore di s. I caso cotrario (x_medio compreso tra s ed s ) l ipotesi ulla è «o rifiutata». 35

36 Test di Ipotesi 5/ Regioe di accettazioe / / s s Regioe «critica» (di rifiuto) 36

37 Test di Ipotesi 6/ La probabilità β di «o rifiutare» co vera è rappresetata dall area sottesa dalla curva rossa e delimitata dal valore critico s. Aumetare la poteza del test sigifica dimiuire il più possibile questa area ( e quidi β). Tuttavia questo (come si evice dalla figura) adrebbe ad aumetare il valore di α ( e quidi l area delle due code). Se sostituissimo all ipotesi bilaterale delle ipotesi alterative uilaterali avremmo i segueti grafici per le ipotesi uilatera siistra (µ< μ ) ed uilatera destra (µ> μ ) rispettivamete Dove il valore critico s c è determiato rispettivamete dalle relazioi Prob(S s c vera ) Prob(S s c vera ) 37

38 Test di Ipotesi 7/ Riassumedo, ecco le fasi da seguire per il test di ipotesi ) Determiare l ipotesi ulla e l ipotesi alterativa ) Stabilire la statistica test (ad es. valor medio, variaza) 3) Determiare la distribuzioe campioaria della statistica test (ad es. distribuzioe ormale, t-di Studet) 4) Fissare il livello di sigificatività (α), determiare le zoe di accettazioe di rifiuto. 5) Estrazioe di u campioe casuale 6) Determiazioe del valore della statistica test e si cofrota co il valore critico della distribuzioe campioaria 7) Si decidere di respigere se il valore della statistica test cade ella zoa di rifiuto i questo caso si dice che il test è sigificativo al livello α, altrimeti si decide di «o rifiutare» l ipotesi ulla Note Il test ideale è quello i cui si rifiuta quado è falsa Se il valore della statistica test cade ella zoa di rifiuto possiamo soltato cocludere che i dati sperimetali o soo i cotraddizioe sigificativa co l ipotesi questo o sigifica affatto che essi siao i cotraddizioe co, ma soltato che essi o escludoo i modo sigificativo che sia vera, da cui da dizioe di «o rifiuto» per l ipotesi ulla. 38

39 Test di Ipotesi 8/ Note Questa asimmetria ha ua rilevate implicazioe uo sperimetatore che desideri dimostrare co dati sperimetali ua certa ipotesi sulla distribuzioe di ua variabile, adotterà l ipotesi da dimostrare come ipotesi alterativa 39

40 Esempi (z-)test bilaterale su ua media di u campioe ormale co variaza ota / Esempio Si cosideri u campioe di umerosità =5 estratto da ua popolazioe di legge N(μ,). Si vuole effettuare u test bilaterale sulla media a livello di sigificatività α=5% rispetto ad u valore dato di μ =. Il valore della media del campioe vale x 5,5 Risoluzioe I questo caso le ipotesi soo La statistica test è i i S N, Se l ipotesi 5 5 è vera si ha che S Z S N,4, 4 N Dalle tavole della distribuzioe N(,) si ottiee che i due valori critici soo pari a -,96 e +,96 z z,975 z 97,5%,96 Regioe di rifiuto Regioe di accettazioe z z z 5 z z z z 4

41 Esempi (z-)test bilaterale su ua media di u campioe ormale co variaza ota / Regioe di rifiuto x x Regioe di accettazioe x x I valori critici vao ora riportati ell ambito della variabile di test x z x z x z.96 3,9 x z x z.96 6,8 Siccome per il ostro campioe x, 5 5 Ricade ella regioe di accettazioe L ipotesi ulla è «o rifiutata» 4

42 Esempi (z-)test bilaterale su ua media di u campioe ormale co variaza ota 3/ N(,) 4

43 43 Esempi (z-)test bilaterale su ua media di u campioe ormale co variaza ota 4/ I geerale Ipotesi Statistica Test, N S i i Se è vera, N Z Si idividua z Allora Regioe di rifiuto Regioe di accettazioe z z z z z z z Valori critici per la statistica di test z x z x Regioe di rifiuto Regioe di accettazioe x x x x Dal valore del valor medio del campioe di determia la zoa di apparteeza ed il rifiuto o o rifiuto dell ipotesi ulla

44 Esempi (z-)test uilaterale siistro su ua media di u campioe ormale co variaza ota / Esempio Si cosideri u campioe di umerosità =5 estratto da ua popolazioe di legge N(μ,). Si vuole effettuare u test uilaterale siistro sulla media a livello di sigificatività α=5% rispetto ad u valore dato di μ =. Il valore della media del campioe vale x 5,5 Risoluzioe I questo caso le ipotesi soo Se l ipotesi è vera si ha che N, 4 La statistica test è S S 5 i i, 5 N S Z N, 5 44

45 Esempi (z-)test uilaterale siistro su ua media di u campioe ormale co variaza ota / z Z z Regioe di rifiuto z z,5 z5%,65 Z x c x z Regioe di accettazioe,65 6,7 Regioe di rifiuto z Regioe di accettazioe x c x c Siccome per il ostro campioe x 5,5 Ricade ella regioe di accettazioe L ipotesi ulla è «o rifiutata» 45

46 Esempi (z-)test uilaterale siistro su ua media di u campioe ormale co variaza ota 3/ I geerale Ipotesi Se Z N, è vera Si idividua Regioe di rifiuto z z Statistica Test S z Allora i i, N Regioe di accettazioe z z Valore critico per la statistica di test Regioe di rifiuto Regioe di accettazioe xc x c x c z Dal valore del valor medio del campioe di determia la zoa di apparteeza ed il rifiuto o o rifiuto dell ipotesi ulla 46

47 Esempi (z-)test uilaterale destro su ua media di u campioe ormale co variaza ota / Esempio Si cosideri u campioe di umerosità =5 estratto da ua popolazioe di legge N(μ,). Si vuole effettuare u test uilaterale destro sulla media a livello di sigificatività α=5% rispetto ad u valore dato di μ =. Il valore della media del campioe vale x 5,5 Risoluzioe I questo caso le ipotesi soo Se l ipotesi è vera si ha che N, 4 La statistica test è S S 5 i i, 5 N S Z N, 5 47

48 Esempi (z-)test uilaterale destro su ua media di u campioe ormale co variaza ota / Z z Regioe di rifiuto z z,95 z95%,65 Z z z xc x z,65 Regioe di accettazioe 3,3 Regioe di rifiuto Regioe di accettazioe x c x c Siccome per il ostro campioe x 5,5 Ricade ella regioe di accettazioe L ipotesi ulla è «o rifiutata» 48

49 Esempi (z-)test uilaterale destro su ua media di u campioe ormale co variaza ota 3/ I geerale Se è vera Z N, Regioe di rifiuto Ipotesi Statistica Test i i S N, Z z Si idividua z Allora N Regioe di accettazioe Z z Valore critico per la statistica di test Regioe di rifiuto Regioe di accettazioe xc x c x c z Dal valore del valor medio del campioe di determia la zoa di apparteeza ed il rifiuto o o rifiuto dell ipotesi ulla 49

50 Esempi (t-)test su ua media di u campioe ormale co variaza NON ota / Se la variaza o é ota, al cotrario degli esempi precedeti, si deve cambiare la statistica di test, evidetemete. Basterà allora usare ua statistica test idetica alla precedete salvo il fatto di mettere al posto di σ (che ora o è ota) la deviazioe stadard campioaria corretta (ricordiamo che i etrambi i casi diamo per scotata la distribuzioe ormale dei dati rilevati) otteiamo allora la seguete statistica di test per la variabile T che adrà a sostituire la Z precedete T S T la variabile T si distribuisce secodo ua distribuzioe t-di Studet a N- gradi di libertà, co N, ovviamete, dimesioe del campioe. Le regole di ifereza degli esempi precedeti rimarrao ivariate salvo che ai valori z adrao sostituiti i valori della variabile t-di Studet e adrao letti ella tabella relativa. Per cui z t, z t co, z S t i i, 5

51 Esempi (t-)test su ua media di u campioe ormale co variaza NON ota / Esempio Dalle Tabelle t,4 t99%, 4,49 Valore critico t campioe x s / 7 79 / 5 3,79 t campioe 3,79,49 t,4 5 Poiché t campioe cade ella regioe critica si decide di Rifiutare l ipotesi ulla

52 Esempi (t-)test su ua media di u campioe ormale co variaza NON ota 3/ Esempio Dalle Tabelle t,4 t99%, 4,49 Valore critico t campioe x s / 7 79 / 5 3,79 t campioe 3,79,49 t,4 5 Poiché t campioe cade ella regioe critica si decide di Rifiutare l ipotesi ulla

53 Variabilità Itervalli/ Variaza Nota (lughezze uguali, ma posizioe e puto medio variabili) #campioe Variaza NON Nota (lughezze o uguali, posizioe e puto medio variabili) #campioe 53

54 Note per Gradi Campioi / Ricordiamo il teorema del Limite Cetrale Teo. (del Limite Cetrale) Siao i i=,.., variabili aleatorie idipedeti, ideticamete distribuite (i.i.d.) (medesima fuzioe di desità, di qualsiasi tipo) tali che Sia E( i ) i ( ) i Y i i i Allora lim Y Y N(, ) Questo risultato afferma sostazialmete che la somma di variabili aleatorie i.i.d. segue approssimativamete ua distribuzioe ormale. I molti casi questa approssimazioe è sufficietemete buoa ache per molto piccolo, come <, metre i altri casi di richiede molto grade ( >, per alcui basta >3). Le precedeti cosiderazioi che riguardao le regole di ifereza per campioi estratti da popolazioi di cui si assume la distribuzioe ormale, potrao quidi,i geerale, essere riteute valide per gradi campioi (>) per popolazioi di dati comuque distribuiti, ed i alcui specifici casi ache per piccoli campioi (purché vega validata opportuamete l ipotesi di ormalità, vedi test di ormalità). 54

55 Note per Gradi Campioi / I Particolare Test per µ=µ co variaza ota Test i pop. ormale co variaza ota N, Z N, Test i pop. o ormale co variaza ota e gradi campioi?(, ) Z N, Come cosegueza del T.L.C. 55

56 Note per Gradi Campioi 3/ I Particolare Test per µ=µ co variaza NON ota Test i pop. ormale co variaza NON ota S N,? T T Test per per µ=µ di pop. o ormale co variaza NON ota e gradi campioi?(,?) Z S T N (,) Come cosegueza del T.L.C. 56

57 Note per Piccoli Campioi Nel caso di piccoli campioi co distribuzioe ormale (<3) e variaza icogita, si assumerà come distribuzioe della statistica di test quella della t-di Studet. T S T 57

58 58 Riassuto Test Media, Variaza Nota, p di ormalità Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto z z z z z z, N Z

59 59 Riassuto Test Media, Variaza NON Nota, p di ormalità Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto t t t t, t t T S T N(,) T Gradi Campioi

60 Il P-value / Def. Il p-value è più piccolo il livello di sigificatività (probabilità) che codurrebbe al rifiuto dell ipotesi ulla. Il p-value può essere valutato quidi come la probabilità che la statistica test assuma valori più estremi di quelli osservati. U basso p-value sigifica che è molto bassa la probabilità di otteere dati più estremi di quelli osservati e quidi alta la probabilità di rifiuto dell ipotesi ulla e di accettazioe dell ipotesi alterativa. 6

61 Il P-value / Il p-value cosete di avere più iformazioe rispetto alla decisioe di rifiuto dell ipotesi ulla rispetto alla semplice decisioe di rifiuto. La decisioe dell esempio (t-)test su ua media di u campioe ormale co variaza NON ota di rifiuto dell ipotesi ulla potrebbe risultare iadeguata poiché o da alcua idea, a chi deve predere le decisioi, se il valore calcolato del test statistico rietra appea ella regioe di rifiuto, o se ivece è molto all itero di essa. Ioltre questo modo di riportare i risultati impoe livelli di sigificatività predefiiti (el ostro caso α=%, i geerale α=5%) che potrebbero o essere codivisi da tutti gli iteressati al test. La difficoltà el calcolo del p-value cosiste ell iversioe della statistica di test dovedo risalire dal valore otteuto dal campioameto alla corrispodete probabilità. I fogli di calcolo hao fuzioi che permettoo questi coti, co miore precisioe ci si può accotetare della lettura delle tabelle. Nell esempio citato t campioe 3, 79 p value Prob( t tcampioe 3,79) Dalla tabella della t-di Studeti co 4 df possiamo desumere p-value <,5=,5% U calcolo più preciso (foglio di calcolo) codurrebbe al seguete valore p value,447,447% 6

62 Il P-value 3/ Sulla base del p-value si decide la sigificatività del test. I geerale p-value 5% p value % Decisioe Debole evideza sperimetale cotro, a favore di % p value 5% Test Abbastaza Sigificativo cotro, a favore di,% p value % p value,% Test Sigificativo cotro, a favore di Test Molto Sigificativo cotro, a favore di 6

63 Il P-value 4/ Esempio Si cosideri il precedete esempio (z-)test bilaterale su ua media di u campioe ormale co variaza ota. Abbiamo x,5,5 5 Z z, 5 Dalla tabella della ormale stadardizzata possiamo desumere p-value *(-,59876) ~,86=8,6% campioe Il foglio di calcolo coduce ad aaloghi risultati p value,86 8,6% Tale p-value coduce ad ua debolissima evideza sperimetale cotro e quidi a favore di, da qui ua decisioe plausibile e codivisibile di o rifiuto dell ipotesi ulla. Nota la z campioe vale meo di σ. 63

64 64 Cofroto tra due medie, variaze uguali e ote/ Occupiamoci ora, suppoedo di avere a disposizioe due campioi di dati proveieti da due diverse distribuzioi co umerosità ed rispettivamete, co idetiche variaze, su cui facciamo le segueti ipotesi Distribuzioe Normali e Idipedeti co variaza uguale e ota Y Y Z Si dimostra che ; ) Z N(, Test Statistico

65 65 Cofroto tra due medie, variaze uguali ma o ote / Distribuzioe Normali e Idipedeti co variaza uguale ma NON ota S Y Y T p Si dimostra che ; T T Test Statistico Co (S p ) stima della variaza comue ) ( ) ( S S S p Co (S ) ed (S ) stima delle due sigole variaze campioarie.

66 Esempio Cofroto tra due medie, variaze uguali ma o ote / Cosideriamo le segueti campioi di dati riguardati ua proprietà meccaica (resisteza) di u certo materiale (calcestruzzo) otteuto co procedure diverse per i due campioi j y_j y_j 6,85 7,5 6,4 7,63 3 7, 8,5 4 6,35 8, 5 6,5 7,86 6 7,4 7,75 7 6,96 8, 8 7,5 7,9 9 6,59 7,96 6,57 8,5 Calcoliamo dalla tabella precedete i dati ecessari per il test statistico Vogliamo effettuare u test come idicato el titolo, potedo cosiderare le variaze uguali ma o ote y 6,76 y 7, 9 s, s, 6 s,36 47 s, 66

67 Esempio Cofroto tra due medie, variaze uguali ma o ote / Stimiamo la variaza comue ( ) S ( ) S 9, 9,6 s.8 s p, 84 p 8 Calcoliamo il test statistico y y 6,76 7,9 t 9, 3 s p,84 Ipotizzado, come al solito, u livello di sigificatività α=5%, ed essedo il test bilaterale t, essedo t 9.3 t, t,8,8,8 t appartiee alla regioe di rifiuto e quidi l ipotesi ulla va rifiutata. Itervallo di cofideza (95%), t t t,,8,8 y y y t,43, 89,8 y t s p s p,8 67

68 Esempio Cofroto tra due medie, variaze uguali ma o ote Itervallo di cofideza 3/ Per calcolare l itervallo di cofideza al 95% si deve cosiderare la variabile statistica T Y Y S p ( ) Che è distribuita secodo ua t-di Studet co + - gradi di libertà Itervallo di cofideza (95%), t,8 t t,8, y y t s p y y t s p,8,8,43,89 68

69 69 Cofroto tra due medie, variaze NON uguali ma ote Distribuzioe Normali e Idipedeti co variaza NON ota Y Y Z Si dimostra che ; ) Z N(, Test Statistico

70 7 Cofroto tra due medie, variaze NON uguali ma NON ote Distribuzioe Normali e Idipedeti co variaza NON ota S S Y Y T Si dimostra che ; Test Statistico Co (S ) ed (S ) stima delle due sigole variaze campioarie. T T Tutte le regole di ifereza restao ivariate

71 7 Medesime regole di Ifereza / Tutte le regole di ifereza restao ivariate Per variabili distribuite ormalmete Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto z z z z z z, Z N

72 7 Medesime regole di Ifereza / Tutte le regole di ifereza restao ivariate Per variabili distribuite secodo la t-di Studet Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto t t t t, t t T T

73 Esempi Cofroto tra due medie 73

74 Test sulla variaza / I molti esperimeti siamo iteressati a possibili differeze ella risposta media di due trattameti, talvolta ivece il cofroto tra le variabilità dei dati assume maggiore importaza. Esamiiamo ora brevemete le verifiche di ipotesi e gli itervalli di cofideza per le variaze di distribuzioi ormali. SS Statistica Test co ( ) S SS ( Y i Y i ) Si dimostra La distribuzioe chi- o è simmetrica per cui i criteri per la determiazioe dell itervallo di cofideza soo così modificati 74

75 75 Test sulla variaza / La distribuzioe chi- o è simmetrica per cui i criteri per la determiazioe dell itervallo di cofideza soo così modificati,, Regioe di accettazioe,, Regioe di rifiuto Voledo estedere alle ipotesi uilaterali si procederà come segue

76 76 Riassuto Test Variaza Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto ) ( S,,,,

77 Esempi Test sulla Variaza 77

78 Cofroto Variaze / Suppoedo sempre di avere a disposizioe due campioi di dati proveieti da due diverse distribuzioi co umerosità ed rispettivamete, occupiamoci del seguete test riguardate sole le variaze F S S Statistica Test Co (S ) ed (S ) stima delle due sigole variaze campioarie. Si dimostra F F, co F distr.di, Fisher -Sedecor Fissato il livello α di sigificatività abbiamo F,, F,, 78

79 79 Cofroto VariazeRiassuto / Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto, F S S F,,,, F F F F,, F F,, F F

80 Esempi Cofroto delle Variaze 8

81 Proprietà Distribuzioi / Y distribuzi oe Discreta p ( y j ) P( Y y j) p( y j) p( y j ) Y distribuzi oe Cotiua f ( y) b j P ( a Y b ) f ( y) dy f ( y) dy j a E( Y ) j Media y f ( y) dy y p( j y j ) Variaza Y Y Cotiua Discreta V ( Y ) j y y E( Y ) f ( y) dy j E( Y ) p( y j ) Y Cotiua Y Discreta 8

82 Proprietà Distribuzioi / Y distribuzi oe Discreta p ( y j ) P( Y y j) p( y j) p( y j ) Y distribuzi oe Cotiua f ( y) b j P ( a Y b ) f ( y) dy f ( y) dy j a E( Y ) j Media y f ( y) dy y p( j y j ) Variaza Y Y Cotiua Discreta V ( Y ) j y y E( Y ) f ( y) dy j E( Y ) p( y j ) Y Cotiua Y Discreta 8

83 Proprietà E(Y) e V(Y) / E( c) c E(Y) E( cy) ce( Y) c Co due variabili casuali Y e Y tali che V( c) V ( Y ) V ( cy) c V ( Y ) c E( Y ) E( Y ) V ( Y ) V ( Y ) E( Y Y ) E( Y ) E( Y ) V ( Y Y ) V ( Y ) V ( Y ) Cov( Y, Y ) Se Y e Y soo idipedeti Cov Y, Y ) V ( Y Y ) V ( Y ) V ( Y ) Cov( Y, Y ) ( 83

84 84 Proprietà E(Y) e V(Y) / ) ( ) ( ) ( Y V Y V Y Y V Se Y e Y soo idipedeti ) ( ) ( ) ( Y E Y E Y Y E

85 85 Riassuto Test Media, Variaza Nota, p di ormalità Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto z z z z z z, Z N

86 86 Riassuto Test Media, Variaza NON Nota, p di ormalità Ipotesi Statistica Test Criteri per il Rifiuto t t t t, t t T T N(,) T Gradi Campioi