Richiami di statistica 222

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1 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe La statistica modera può essere distita i tre parti: La statistica descrittiva spiega come i dati raccolti devoo essere riportati i tabella, rappresetati i grafici e sitetizzati i idici matematici, allo scopo di idividuare le caratteristiche fodametali del campioe. La statistica ifereziale permette di trarre coclusioi su tutti i dati di ua popolazioe, quado se e cooscoo solamete pochi, raggruppati i uo o più campioi. La statistica matematica preseta le distribuzioi teoriche sia per misure discrete sia per misure cotiue, allo scopo di illustrare le caratteristiche fodametali, le relazioi che esistoo tra esse, gli usi possibili. Richiami di statistica

2 tatistica descrittiva Programmazioe e Cotrollo della Produzioe La statistica descrittiva si occupa della raccolta, classificazioe, aalisi dei dati che esprimoo aspetti di feomei collettivi scelti come oggetto di studio e che si maifestao egli elemeti di u determiato isieme. copo della statistica descrittiva è quello di descrivere questi feomei o di idividuare regolarità di comportameto i essi. Idagie statistica Raccolta dati poglio dei dati Elaborazioe dei dati Natura dei dati: qualitativa, quatitativa Metodo di raccolta: cesimeto, campioameto Tecica di raccolta: itervista, compilazioe di questioario, ecc. Eumerazioe dei dati Classificazioe i gruppi Trascrizioe i tabelle Rappresetazioe dei dati mediate grafici per iformazioi facilmete, rapidamete compresibili. Quali grafici? Istogrammi, diagrammi a torta, grafici cartesiai, box plot, cartogrammi, ecc. Richiami di statistica 3

3 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Tipi di variabili Esempi Dicotomiche 0 / Qualitative categoriche alfaumeriche Nomiali Politomiche Colore dei capelli Variabili Ordiali Giudizio persoale Quatitative umeriche Discrete Numero di difetti Cotiue Misura di pressioe Temperatura, forza Richiami di statistica 4

4 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,0 0,0 Richiami di statistica 5

5 Media e Variaza Campioaria Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Per ua sitesi umerica dei dati, è utile disporre ache di idicatori umerici della tedeza cetrale e della dispersioe. Per u campioe x,,x quatitativo: x i x i, ( x i x) i e suddividiamo il campioe elle modalità m,,m K risulta: x K k p k m k, K k p k ( m k x) carto quadratico o deviazioe stadard campioaria: ( x i x) i si esprime ella stessa uità di misura dei dati osservati Richiami di statistica 6

6 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Altri tipi di medie Media geometrica Media armoica Media quadratica Caso geerale Risulta: x A x G x x Q Richiami di statistica 7

7 Mediaa, quatili e quartili È detto mediaa il valore cetrale delle osservazioi: Programmazioe e Cotrollo della Produzioe È detto rage l itervallo: Dato (0,), si dice quatile (o percetile) di ordie α: Box plot: Richiami di statistica 8

8 tatistica matematica Leggi di distribuzioe Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Ua distribuzioe di probabilità è u modello matematico che collega il valore di ua variabile casuale alla probabilità che tale valore si trovi all itero della popolazioe (di umerosità N). Variabile discreta Variabile cotiua Media e variaza di ua distribuzioe di probabilità: N x i N i N ( N i x i ) Variabile casuale discreta: Variabile casuale cotiua: Coefficiete di variazioe: i x p( ) ( x ) p( x ) CV i x i xf ( x) dx i i ( x ) f ( x) dx Proprietà di ivariaza: i Richiami di statistica 9

9 tatistica matematica Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 30

10 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 3

11 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe i dice che è distribuita come ua chi quadrato se ha la seguete fuzioe di desità: Proprietà Richiami di statistica 3

12 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe i dice che è distribuita come ua T di tudet a m gradi di libertà se ha la seguete fuzioe di desità: i dice che è distribuita come ua F di Fisher a m e ad gradi di libertà se ha la seguete fuzioe di desità: Richiami di statistica 33

13 Variabili aleatorie cotiue Programmazioe e Cotrollo della Produzioe ia B = {x є : x x x }, se f(x) fuzioe o egativa x B, itegrabile i B tale che: x x F(x) = F(x ) + f(x)dx; x: x x x. La fuzioe di ripartizioe, detta ache fuzioe di distribuzioe cumulata, F(x) è assolutamete cotiua ell itervallo B = {x: x x x }. f(x) è la fuz. di desità di probabilità della variabile aleatoria ell itervallo B = {x: x x x }. La variabile aleatoria, i questo caso, viee detta cotiua ell itervallo B = {x: x x x }. () F(x) = f(x)dx ; x ; () P{(x x ]} = F(x ) - F(x ) = f(x)dx ; x x ; x (3) f(x)dx =. x x Richiami di statistica 34

14 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Normale stadard Trasformazioe: Tale distribuzioe riveste particolare importaza perché i valori della Φ soo tabulati per z > 0. Quelli per z < 0 si ottegoo per simmetria: Mediate la stadardizzazioe è quidi possibile calcolare approssimativamete la probabilità di u certo eveto casuale: E quidi i defiitiva: Richiami di statistica 35

15 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Esempio: ia: Calcolare: Dalla tabella si ha che Richiami di statistica 36

16 Il Teorema del Limite Cetrale Programmazioe e Cotrollo della Produzioe ia ua successioe di variabili aleatorie idipedeti e ideticamete distribuite, proveiete da ua popolazioe dotata di media e di variaza: E[] = µ Var [] = σ Qualsiasi sia la distribuzioe della, si ha che per la distribuzioe della media campioaria coverge ad ua distribuzioe gaussiaa, avete per media e per variaza proprio la media e la variaza della media campioaria:... N(, ) N(0,) Richiami di statistica 37

17 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Approssimazioi cosegueti al Teorema del Limite Cetrale Queste approssimazioi o provegoo dal teorema Richiami di statistica 38

18 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Per u campioe casuale costituito da i idipedeti e ideticamete distribuiti si ha: Media Campioaria Variaza Campioaria i i i ( i, ) = umerosità del campioe Richiami di statistica 39

19 Itervalli di cofideza Programmazioe e Cotrollo della Produzioe i defiisce u itervallo di fiducia per il parametro θ u itervallo etro il quale il parametro assume valori co ua prefissata probabilità chiamata livello di fiducia. i associa u certo grado di probabilità all eveto che il valore stimato si discosti dal valore vero di ua certa quatità I α. P L i L s Limite iferiore di fiducia: Limite superiore di fiducia: L i = θ -I α L s = θ + I α L itervallo di cofideza può essere uilaterale, bilaterale simmetrico o asimmetrico. Richiami di statistica 40

20 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe tima per itervalli della media di ua popolazioe, co variaza ota ia ua variabile casuale distribuita secodo ua legge ormale N(μ,σ ) dove il valore μ è icogito, e {,,, } u campioe di umerosità estratto da tale variabile. Lo stimatore più efficiete per la media è: i è visto che: E var Ioltre: N, / ˆ / i i -α / Allora: Z N0, Pertato: P z Z z α/ α/ z z Richiami di statistica 4

21 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 4 ostituedo Z: / z z P Poiché il problema è quello di stimare la media μ co u livello di fiducia α co brevi passaggi si ottiee: z z P Quidi l itervallo di fiducia è: z z L L s i, ), ( Tale itervallo tra le due statistiche iclude il valore vero del parametro µ co u livello di probabilità pari ad -α.

22 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe tima per itervalli della media di ua popolazioe, co variaza o ota ia ua variabile casuale distribuita secodo ua legge ormale N(μ,σ ) co media μ e variaza σ icogite, e {,,, } u campioe di umerosità estratto da tale variabile. Lo stimatore più efficiete per la variaza è: ˆ i i i può operare come fatto i precedeza a patto di sostituire la variabile casuale Z co la variabile T di tudet: T / Nel caso di popolazioe di dimesioe N: T N N Richiami di statistica 43

23 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 44 -α α/ α/ La probabilità che cerchiamo vale:, t T P O i modo equivalete:,, t T t P, t, t,, N N t N N t P imilmete a prima:,, t t P s i t t L L,,, ), ( L itervallo di fiducia risulta:

24 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 45 Determiazioe della umerosità campioaria i suppoga di avere il problema: quati campioi devo estrarre affiché si possa affermare u determiato itervallo di fiducia sulla media co ua cofideza prestabilita? Dalle equazioi relative all ampiezza degli itervalli di fiducia: Esplicitado la : z z L L s i, ), ( s i t t L L,,, ), ( * I z, * I t

25 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe ATTENZIONE: i gradi di libertà della T di tudet soo quelli co cui è stata calcolata la stima di σ. Esempio: Idustria coserviera co cotrolli sui pesi: quale umerosità del campioe da prelevare per affermare co ua cofideza del 99% che il peso medio è compreso ell itervallo 995±5g? Caso : σ ota pari a 7.5g * =.9 ovvero Caso : σ icogita timo lo scarto tipo co 8 scatole: gdl=7 * = 66.4 ovvero 67 Caso : σ icogita timo lo scarto tipo co 8 scatole: gdl=7 * = 3. ovvero 4 Richiami di statistica 46

26 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe tima per itervalli della differeza tra due medie i suppoga di avere il problema di dover cofrotare le medie di due popolazioi facedo delle affermazioi co u certo grado di fiducia sulla loro differeza. È sovete procedere alla modifica di u processo e voler valutare l effetto. Per la media il miglior stimatore è: i i i i i) σ e σ ote Per la variaza bisoga aalizzare tre casi: ii) σ e σ o ote ma uguali iii) σ e σ o ote e o uguali Richiami di statistica 47

27 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 48 i) σ e σ ote Z ia: Poedo: E sviluppado come fatto i precedeza:, ), ( z z L L s i ii) σ e σ o ote ma uguali p T ia: Poedo: E sviluppado come fatto i precedeza:,,, ), ( s i t t L L p

28 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 49 iii) σ e σ o ote e o uguali T Poiché o possoo essere assuti uguali gli scarti tipo si può approssimativamete usare la T di tudet: Gli u gradi di libertà si trovao mediate la: u

29 tima per itervalli di ua variaza Programmazioe e Cotrollo della Produzioe i è visto prima come el caso di variaza icogita si sia sostituita a quest ultima ua stima. Ma quato è ragioevole fare questa sostituzioe? ia ua variabile casuale distribuita ormalmete co media μ e variaza σ icogite, e{,,, } u campioe di umerosità estratto da tale variabile. i i La variabile casuale: V α/, -α, α/ P,, ( Li, Ls),,, Richiami di statistica 50

30 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 5 tima per itervalli del rapporto di due variaze,,,, F F F P iao e due variabili casuali distribuite ormalmete, ~ N(μ,σ ) e ~ N(μ,σ ), di cui i parametri o soo oti; siao le due distribuzioi campioate co dei campioi casuali costituiti rispettivamete da e osservazioi. Per cofrotare le due variaze si utilizza la F di Fisher: -α α/ α/,,,,, ), ( s i F F L L,, F,, F, i i i i i i i i F F

31 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Test di ipotesi L ifereza sulla popolazioe mediate campioe implica il test delle ipotesi statistiche, vale a dire u cofroto tra la misura di u parametro co u valore prefissato per dedurre se la discrepaza possa cosiderarsi accidetale o debba essere riteuta sistematica. otto il piao logico si tratta di formulare u alterativa tra due proposizioi: ad esempio per verificare la somigliaza di due popolazioi si formula l ipotesi o ci soo sigificative differeze e quidi si effettua u test avedo prefissato ua soglia corrispodete ad u certo livello di cofideza. Esempio I ua ditta produttrice di astri, dei tecici hao messo apputo u uovo trattameto per aumetare la resisteza a trazioe del prodotto da 78.5N a 80N. Per valutare questa affermazioe bisogerebbe provare l itera produzioe. Il guaio è che il cotrollo è distruttivo. Richiami di statistica 5

32 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe i può allora estrarre solo u campioe di elemeti ed effettuare la prova su di essi. I etrambi i casi estremi i cui tutti o essuo degli elemeti del campioe passi il test può sussistere il dubbio che il resto della popolazioe si comporti i modo cotrastate co il campioe. I geerale si possoo verificare quattro casi: Prove su u campioe di 49 astri: media del carico μ μ > 78.5N μ > 78.5N μ < 78.5N μ < 78.5N Il trattameto è realmete efficace Il trattameto o è realmete efficace Il trattameto è realmete efficace Il trattameto o è realmete efficace i accetta il cambiameto i accetta il cambiameto No si accetta il cambiameto No si accetta il cambiameto CORRETTO NON CORRETTO NON CORRETTO CORRETTO Richiami di statistica 53

33 Probabilità degli errori di I e II specie Programmazioe e Cotrollo della Produzioe uppoiamo che la distribuzioe dei carichi di rottura dei astri sia di tipo ormale e che il uovo trattameto o modifichi la variaza pari a.4n. e l affermazioe dei tecici corrispode a verità la popolazioe ha ua media pari a 80N. Il rischio di errore di I specie è rappresetato dall area sottesa dalla curva ormale a siistra del valore 78.5N. P PZ PZ Richiami di statistica 54

34 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe e l affermazioe dei tecici corrispode al falso perché per esempio la popolazioe ha ua media pari a 79.5 (<80N), il rischio di errore di II specie è rappresetato dall area sottesa dalla curva ormale a destra del valore 78.5N. P PZ PZ Nella pratica si preferisce fissare il rischio di I specie ed i base a questo stabilire il valore limite di accettazioe per le medie campioarie. Richiami di statistica 55

35 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe ituazioe vera (icogita) ACCETTARE H 0 REPINGERE H 0 H 0 è vera H 0 è falsa H A è vera Decisioe corretta Probabilità -α Rischio di II specie Probabilità β Rischio di I specie Probabilità α Decisioe corretta Probabilità -β Limite di accettazioe e H 0 è falsa α β e H 0 è vera Rifiuto Rifiuto H 0 - Accetto H A Accettazioe Accetto H 0 - Rifiuto H A Richiami di statistica 56

36 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Test riguardati la media co variaza della popolazioe ota ia ua variabile casuale distribuita secodo ua legge ormale N(μ,σ ) co σ ota, e {,,, } u campioe di umerosità estratto da tale variabile. Per testare l ipotesi di proveieza da ua popolazioe co media μ = μ 0 si usa la statistica test: Z 0 / 0 0 Il problema è quello di testare l ipotesi ulla H 0 : μ = μ 0 cotro l ipotesi alterativa H A : μ μ 0 test bilaterale. Il rischio di errore di I specie è: P 0 0 z z Pertato la regioe di rifiuto del test bilaterale è data da tutti gli tali che: 0 0 z z Richiami di statistica 57

37 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Quato detto è equivalete ad affermare che l ipotesi H 0 : μ = μ 0 o è da rifiutare se la media del campioe è coteuta ell itervallo di fiducia per la media al livello di fiducia ( α) cetrato sul valore μ 0 e di semi-ampiezza: z RIFIUTO RIFIUTO α/ α/ ACCETTAZIONE z z Oltre al test bilaterale è possibile eseguire ache test uilaterali (superiore o iferiore). Richiami di statistica 58

38 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe tatistica Test: Z 0 0 Ipotesi ulla Ipotesi alterativa Regioe di rifiuto di H 0 chema grafico H 0 : μ = μ 0 H A : μ μ 0 Oppure Z 0 > z -α/ Z 0 < -z -α/ RIFIUTO RIFIUTO α/ ACCETTO α/ z z H 0 : μ = μ 0 H A : μ > μ 0 Z 0 > z -α ACCETTO RIFIUTO α z H 0 : μ = μ 0 H A : μ < μ 0 Z 0 < -z -α RIFIUTO α ACCETTO z Richiami di statistica 59

39 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Test riguardati la media co variaza della popolazioe igota ia ua variabile casuale distribuita secodo ua legge ormale N(μ,σ ) co σ o ota, e{,,, } u campioe di umerosità estratto da tale variabile. Per testare l ipotesi di proveieza da ua popolazioe co media μ = μ 0 si usa la statistica test: 0 0 T0 / La T segue ua distribuzioe T di tudet co - gradi di libertà. Effettuiamo u test bilatero co ipotesi ulla H 0 : μ = μ 0 e ipotesi alterativa H A : μ μ 0. Il rischio di errore di I specie è: P Pertato la regioe di rifiuto del test bilaterale è data da tutti gli tali che: 0 t, 0 0 t 0 t,, t, Richiami di statistica 60

40 Ipotesi ulla Programmazioe e Cotrollo della Produzioe 0 tatistica Test: T0 co - gradi di libertà Ipotesi alterativa Regioe di rifiuto di H 0 chema grafico H 0 : μ = μ 0 H A : μ μ 0 Oppure T 0 > t -,-α/ T 0 < -t -,-α/ RIFIUTO α/ α/ ACCETTO t, t, RIFIUTO H 0 : μ = μ 0 H A : μ > μ 0 T 0 > t -,-α ACCETTO RIFIUTO α t, H 0 : μ = μ 0 H A : μ < μ 0 T 0 < -t -,-α RIFIUTO α ACCETTO t, Richiami di statistica 6

41 Curva operativa caratteristica Esempio Programmazioe e Cotrollo della Produzioe i suppoga di avere u campioe di 00 cambi per autovetture proveieti da ua distribuzioe ~ N(μ,σ) co σ = 350 km di durata. Possiamo assumere co u rischio di prima specie pari al 5% che la durata media della popolazioe sia km se la durata media del campioe è stata aalizzata essere pari a km? km 00 L ipotesi ulla H 0 : μ = km e ipotesi alterativa H A : μ km. La statistica da testare è: Z / 00 La regioe di rifiuto per α=5% è: Z z Il valore della statistica da testare è:. 305 Z calc Richiami di statistica 6

42 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Dal mometo che Z calc = =.305 <.96 allora o si può rifiutare l ipotesi ulla H 0 : μ = km o i modo equivalete che la media del campioe di 00 cambi (44500 km) cade ell itervallo di fiducia: z 0 x x mi max 44350km 4550km Tali valori soo i limiti al di là dei quali l ipotesi và rifiutata. Il rischio di secoda specie β è quidi dato dalla probabilità di osservare, per i campioi di dimesioe = 00, medie che siao comprese tra x mi e x max quado sia vera l ipotesi alterativa H A : μ = km. P x mi x max tadardizzado i valori di x mi e x max si ottiee: H A zmi.39 zmax P z Z z P.39 Z mi max Richiami di statistica 63

43 Ipotizziamo ora che sia vera u altra ipotesi alterativa H A : μ = km. P P x mi x max H A Programmazioe e Cotrollo della Produzioe zmi.89 zmax z Z z P.89 Z mi max Ripetedo la procedura vista per diversi valori dell ipotesi alterativa per α=5% si ottiee: μ A z mi z max β -β = - α 0.05 = α Richiami di statistica 64

44 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe β O.C. per test bilaterale O.C. per test uilaterale La poteza di u test bilaterale, a parità di umerosità campioaria e di livello di fiducia, è miore rispetto a quella del corrispodete test uilaterale. La scelta i alterativa tra u test bilaterale e uo uilaterale dipede dal quesito specifico posto e dalle caratteristiche del problema esamiato. Per i pricipali test statistici esistoo delle curve operative caratteristiche tabulate i fuzioe della differeza stadardizzata tra il valore dell ipotesi ulla e quello dell ipotesi alterativa. Richiami di statistica 65

45 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Curve operative caratteristiche per test bilaterali per la media della popolazioe co variaza ota per campioi di diversa dimesioe β 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 α = ,5,5 d = μ 0 -μ A /σ = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 0 = 5 = 0 = 30 = 40 = 50 = 75 = 00 Richiami di statistica 66

46 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Curve operative caratteristiche per test bilaterali per la media della popolazioe co variaza ota per campioi di diversa dimesioe β 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 α = ,5,5 d = μ 0 -μ A /σ = = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 0 = 5 = 0 = 30 = 40 = 50 = 75 = 00 Richiami di statistica 67

47 Test riguardati la differeza di due medie Programmazioe e Cotrollo della Produzioe iao e due variabili casuali distribuite ormalmete, ~ N(μ,σ ) e ~ N(μ,σ ), co medie igote, da cui si ottegoo i campioi di umerosità e. Ci propoiamo di testare l ipotesi ulla H 0 : μ μ = d cotro l ipotesi alterativa H A : μ μ d el caso di test bilaterale, o delle ipotesi alterative H A : μ μ > d e H A : μ μ < d el caso di test uilaterale rispettivamete superiore e iferiore. i procede similmete a quato visto per gli itervalli di cofideza. I casi soo due: i) σ e σ ote i poe: La statistica test da usare è: Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : μ μ d Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : μ μ > d Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : μ μ < d Z 0 d Z z Z z 0 0 Z 0 z Z 0 z Richiami di statistica 68

48 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Richiami di statistica 69 ii) σ e σ o ote ma uguali Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : μ μ d Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : μ μ > d Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : μ μ < d, 0, 0 t T t T, 0 t T, 0 t T p d T 0 La statistica test da esamiare è: p

49 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Test riguardati la variaza di distribuzioi ormali ia ua variabile casuale distribuita ormalmete co media μ e variaza σ icogite, e {,,, } u campioe di umerosità estratto da tale variabile. Ci propoiamo di testare l ipotesi ulla H 0 : σ = σ 0 cotro l ipotesi alterativa H A : σ σ 0 el caso di test bilaterale o delle ipotesi alterative H A : σ > σ 0 e H A : σ < σ 0 el caso di test uilaterale rispettivamete superiore e iferiore. i i V La statistica test è: 0 0 Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : σ σ 0 Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : σ > σ 0 Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : σ < σ 0 0 0,, 0, 0, Richiami di statistica 70

50 Programmazioe e Cotrollo della Produzioe Test riguardati l uguagliaza tra due variaze iao e due variabili casuali distribuite ormalmete, ~ N(μ,σ ) e ~ N(μ,σ ), di cui i parametri o soo oti; dalle popolazioi e soo otteuti i campioi di umerosità e. Per cofrotare le due variaze si utilizza la F di Fisher: F i i i i otto l ipotesi ulla H 0 : σ = σ la statistica test diveta: F 0 Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : σ σ Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : σ > σ F 0 F, F, F F,, 0 0 F,, Zoa di rifiuto dell ipotesi ulla a favore dell ipotesi alterativa H A : σ < σ F 0 F,, Richiami di statistica 7