7. RELAZIONE TRA CARATTERI

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PERUGIA DIPARTIMENTO DI FILOSOFIA SCIENZE SOCIALI UMANE E DELLA FORMAZIONE Corso di Laurea i Scieze per l'ivestigazioe e la Sicurezza 7. RELAZIONE TRA CARATTERI CONNESSIONE Prof. Maurizio Pertichetti Statistica sociale

2 7. RELAZION TRA CARATTERI 1 Come già aticipato, ell'aalisi dei dati si è sempre più spesso iteressati a compredere se tra due o più caratteri, che si presetao cogiutamete sulle uità statistiche di ua popolazioe, vi possa essere u qualche legame e, el caso, quale sia il grado di tale relazioe. I questa sede limiteremo l'aalisi alle relazioi tra due caratteri. I termii tecici si parla di dipedeza logica tra due caratteri quado tra questi vi è coosceza a priori dell'esisteza di ua relazioe di causa ed effetto. Se due variabili soo logicamete dipedeti, si può pesare che esse siao ache statisticamete dipedeti, così che dalla coosceza delle modalità di ua di esse si possoo costruire ipotesi sulle modalità dell'altra. Diversamete, si può affermare che vi è idipedeza logica quado tra i due caratteri o risulta essua relazioe di causa ed effetto, fatto questo che di cosegueza iduce a riteere che esse siao ache statisticamete idipedeti. La dipedeza logica implica che vi sia ua direzioe el legame tra i due caratteri, el seso che se itervegoo mutameti i uo di essi, di cosegueza mutameti si devoo avere ell'altro. Come dire che ella relazioe che presumibilmete li lega uo deve essere iterpretato come l'atecedete logico e l'altro come il coseguete logico. Il legame i sostaza deve itedersi come uidirezioale e asimmetrico. Ciò premesso: - quado l'idipedeza è studiata attraverso l'aalisi delle sole frequeze di ua distribuzioe doppia si parla di coessioe tra i due caratteri. E il grado di relazioe fra le due variabili, i asseza di idipedeza, viee misurato co diversi idici statistici che, el cocreto, rappresetao la distaza tra la situazioe effettivamete osservata e quella teorica riferita all'ipotesi di idipedeza. Gli idici i tal modo otteuti per misurare tale legame associativo soo detti idici di coessioe. E poiché soo otteuti utilizzado la distribuzioe delle frequeze e o le modalità, si deve sottolieare che essi soo gli uici idici calcolabili per misurare l'associazioe tra caratteri qualitativi o ordiati; - quado l'idipedeza è studiata attraverso l'aalisi delle modalità assute dai due caratteri si parla di dipedeza fuzioale tra i due caratteri. E il grado di relazioe fra le due variabili viee misurato mediate l'idividuazioe di ua fuzioe aalitica. Co il termie regressioe si itede il modello atto a descrivere la relazioe. Oltre alla dipedeza tra caratteri, la teoria delle relazioi statistiche studia l'iterdipedeza, ossia il legame reciproco tra due variabili, e il termie che sprime tale particolare relazioe è quello di correlazioe. Idipedeza, dipedeza e iterdipedeza i distribuzioe Riprediamo la distribuzioe doppia di frequeze e la corrispodete tabella a doppia etrata ella sua formulazioe geerale: y y j y c j 1c 1. 1 j c x i i1 i ij ic i. x r r1 r rj rc r j. c.

3 E riprediamo quella riferita ad u caso cocreto: Carattere X y x riga madre di Y totale riga. riga distribuzioe margiale di Y coloa madre di X freq assoluta cogiuta totale coloa y coloa distribuzioe margiale di X Occupati secodo i settori e la posizioe professioale Settori X Posizioe professioale Y Dipedeti Y 1 Autoomi Y Agricoltura X Idustria X Altre attività X Agricoltura X 1 Idustria X Altre attività X 3 Dipedeti Y Agricoltura X 1 Dipedeti Y 1 Autoomi Y 10 0 distribuzioe di X codizioata a distribuzioe di Y codizioata a Si sa dalla teoria che ua variabile Y si dice idipedete da ua variabile X se la prima rimae costate al variare dei valori assuti dalla secoda. I caso cotrario si dice che Y è fuzioe di X. L'asseza di ua qualsiasi relazioe tra due caratteri X e Y desumibili da ua distribuzioe doppia di frequeza è detta idipedeza assoluta, e si evice esamiado le distribuzioi codizioate. Più precisamete, riprededo la tabella precedete, riferita come esempio a due caratteri qualitativi: Idipedeza di Y da X Carattere X x 3 y Carattere X y 0,333 0,667 1,000 0,333 0,667 1,000 x 3 0,333 0,667 1,000 0,333 0,667 1,000 il carattere Y si dirà idipedete dal carattere X se le frequeze relative delle distribuzioi codizioate di Y risultao uguali tra loro e uguali alle frequeze margiali relative, per cui al variare della modalità X la distribuzioe relativa di Y è la medesima.

4 Idipedeza di X da Y Carattere Carattere X y X y ,167 0,167 0 x ovvero le frequeze che si dovrebbero avere el caso di idipedeza assoluta tra i caratteri X e Y. Carattere X ,333 0,333 0, x 3 0,500 0,500 0,500 y ,167 1,000 1,000 1,000 aalogamete il carattere X si dirà idipedete dal carattere Y, se le frequeze relative delle distribuzioi codizioate di X risultao uguali tra loro e uguali alle frequeze margiali relative, per cui al variare della modalità Y la distribuzioe relativa di X è la medesima. Il cocetto di idipedeza è simmetrico per cui, se il carattere Y è idipedete dal carattere X, allora vale ache la relazioe cotraria, ovvero ache il carattere X è idipedete dal carattere Y. Pertato due caratteri X e Y si dirao statisticamete idipedeti se è verificata l'uguagliaza:.j da cui si ottegoo le frequeze teoriche di idipedeza ij i. 11 ' 3 ' 1. x.1 3. x. ij ' i. x.j Come si può evicere la tabella utilizzata si riferisce a due caratteri tra loro idipedeti, i quato per ogua delle frequeze assolute cogiute vale la suddetta uguagliaza: x x Per cotro la macata validità per le frequeze assolute cogiute dell'uguagliaza di cui sopra, implica l'esisteza di ua situazioe di dipedeza. La dipedeza perfetta è aturalmete l'atitesi della idipedeza. I particolare: - Il carattere Y dipede perfettamete dal carattere X se ad ogi modalità del carattere X è associata ua ed ua sola modalità del carattere Y, ovvero quado per ogi riga si ha u solo valore 0 : Carattere X y x tale relazioe di dipedeza o è biuivoca.

5 - Il carattere X dipede perfettamete dal carattere Y se ad ogi modalità del carattere Y è associata ua ed ua sola modalità del carattere X, ovvero quado per ogi coloa si ha u solo valore 0 : Carattere X y y 3 y x La perfetta iterdipedeza, o se vogliamo la iterdipedeza reciproca, può essere raggiuta solo el caso di tabella quadrata, cioè co stesso umero di righe e coloe: Carattere X y y x e si ha quado: ad ogi modalità del carattere X corrispode ua e ua sola modalità di Y e, cocomitatemete, ad ogi modalità del carattere Y corrispode ua ed ua sola modalità di X, ovvero quado per ogi riga e coloa si ha u solo valore 0. Misure del legame associativo i distribuzioe doppie di frequeza per caratteri qualitativi I ua distribuzioe doppia di frequeza, ua volta accertata l'asseza di idipedeza o di dipedeza perfetta tra i caratteri, l'ipotesi evidetemete o può che essere quella della preseza di u qualche livello di coessioe tra i due suddetti estremi, che adrà ecessariamete misurato. Come già aticipato, gli idici statistici i grado di evideziare l'idipedeza di u carattere statistico da u altro soo basati sul cofroto (sulla distaza) tra le frequeze osservate e quelle teoriche, sotto l'ipotesi di idipedeza, e soo deomiati idici di coessioe. Tali idici assumoo valori tato più piccoli, quato più esiste idipedeza tra i caratteri studiati. U idicatore i grado di misurare l'associazioe tra due caratteri è dato dall'idice chi-quadrato, χ, la cui espressioe aalitica è: r c ( χ Σ Σ ij - ij ' ) i1 j1 ij ' La differeza ( ij - ij ') tra la frequeza osservata e la frequeza teorica è deomiata cotigeza. Si tratta di u idice assoluto che ammette valore miimo 0 se ij ij ', ossia se esiste idipedeza tra i caratteri, ma o ammette valore massimo i caso di dipedeza, quado ij ij '. Per cui, ella misura del legame associativo si fa riferimeto all'idice ormalizzato V di Cramer dato da: V χ x mi[(r-1);(c-1)] Dove x mi[(r-1);(c-1)] sta a sigificare che il totale delle osservazioi va moltiplicato per il valore più piccolo tra r, umero delle righe, e c, umero delle coloe detratto 1. Tale idice varia tra 0, el caso di idipedeza, e 1, el caso di massima dipedeza.

6 Esempio di calcolo dell'idice chi-quadrato e dell'idice ormalizzato di Cramer. Data la tabella di frequeze osservate Caratt X y y x Sulla base dell'uguagliaza ij ' i. X.j si procede alla costruzioe di ua uova tabella dove, fermi restado i valori delle righe e coloe margiali, al posto delle frequeze cogiute osservate si sostituiscoo le frequeze cogiute teoriche ell'ipotesi di idipedeza dei due caratteri. Caratt X x 3 *13/ 8*13/ 5*13/ 13 y *5/ 8*5/ 5*5/ y 3 *37/ 8*37/ 5*37/ Caratt X y y 3 3,813 7,333 10,853 4,853 9,333 13,813 8 x 3 4,333 8,333 1, Si prosegue poi co l'elaborazioe della tabella delle cotigeze ( ij - ij '). Carattere X y y 3-1,813 -,333 4, ,853 4,667-3,813 0 x 3,667 -,333-0, Ed ifie teuto coto dell'espressioe ( ij - ij ' ) ij ' si perviee al calcolo del chi-quadrato Carattere X y y 3 0,86 0,74 1,584 3,189 0,150,333 1,053 3,536 x 3 1,641 0,653 0,009,303,653 3,79,646 9,08 χ 9,08 e quidi della V di Cramer: χ V x mi[(r-1);(c-1)] 9,08 0,060 0,45 Dal risultato di V si evice che tra i due caratteri vi è ua bassa coessioe.

7 Nel caso di ua tabella quadrata co caratteri che presetao solo due modalità totale y totale a b a+b c d c+d a+c b+d a+b+c+d l'idice chi-quadrato e l'idice ormalizzato di Cramer possoo essere calcolati ricorredo ache alle segueti espressioi: χ (axd - bxc) x (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) V (axd - bxc) (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) Esempio dei diversi modi di calcolare l'idice Chi-quadro e l'idice ormalizzato di Cramer. Data la tabella di frequeze osservate TOT y TOT ij ' i. x.j 14,000 14,000 8,000 y 1,000 1,000 4,000 TOT 6,000 6,000 5,000 ( ij - ij ' ij ' ) 0,649 0,649 1,857 y 0,00 0,00 1,5000 TOT 1,399 1,399,7857 χ (Oss-Teo) /Teo,786 x mi tra (r-1);(c-1) 5 x (-1) 5 χ V 5,786 5,000 0,0536 0,31 a b a+b a x d 55 c d c+d b x c 99 a+c b+d a+b+c+d χ (axd-bxc) x ( ) x 5 (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) x , V (axd-bxc) ( ) 156 (a+b)x(c+d)x(a+c)x(b+d) ,31