4.2 Trasformata discreta di Fourier

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1 I tal caso τ è oto il filtro di ricostruzioe Hf può essere realizzato i modo da avere u adameto iverso a quello del six sicf τ x sic f τ, e tale che H f τsicfτ = costate. Ifatti,questoaccorgimeto f prede il ome di six W W x correctio. τ τ All appedice?? è illustrato u metodo di MUL- TIPLAZIOE di più segali campioati i ua uica trasmissioe. La sezioe seguete, pur esibedo alcui aspetti aalitici legati a quelli itrodotti per il campioameto, e è del tutto idipedete. 4.2 Trasformata discreta di Fourier L aalisi i frequeza di u segale, discussa al??, può essere codotta mediate programmi di elaborazioe su computer 4, utilizzado i campioi x m = xmt c estratti dallo stesso, prelevati ad itervalli fissi T c. Dispoedo di ua sequeza di valori x m, m =,,...,, si defiisce DISCRETE FOURIER TRASFORM DFT la uova sequeza X = m= x m e j2π m 4.2 uivocametedefiitaper =,,...,,echecostituisceuaapprossimazioe 5 della sequezadi campioi della trasformata X f = F {xt}, calcolataper f =, e divisa per T c : X X f = 4.3 T c 4 I chip progettati appositamete per svolgere calcoli di elaborazioe umerica del segale soo detti DSP Digital Sigal Processor. 5 Ua prima fote di approssimazioe deriva dall operazioe di fiestratura legata all uso di u umero fiito di campioi, operado quidi su x w t = xtw t c aziché su x t. Per aalizzare le altre foti di approssimazioe, iiziamoascrivere l espressioe di X w f = F {x w t} per f = : X w f = Tc Tc = x t e j2π Tc t t mtc dt x m sic e j2π Tc t dt T m= c i cui la secoda eguagliaza utilizza l iterpolazioe xt = m= xm sic t mt c T c forita dal teorema del campioameto, ed itroduce ua secoda fote di approssimazioe legata all itervallo fiito di variazioe per mifatti, bechè l itegrale abbia estesioe limitata, i valori di xt che cadoo etro tale estesioe, dovrebbero dipedere da tutti i suoi campioi. L ultimo itegrale è a sua volta ua approssimazioe a causa degli estremi di itegrazioe limitati, e peggiore per i sic cetrati i prossimità dei cofii della fiestra della trasformata calcolata i f = di sic t mt c T c, pari quest ultima a T crect f e j2πfmtc, che quadovalutata per f = Tc, forisce il risultato X w f = = T c x me j2π m per valori, a causadellaestesioelimitatai frequezadi rect f. E però facile verificare 2 Tc che X w è periodica i co periodo, cosicché i valori assuti per = +, + 2,... soo 2 2 uguali a quelli per = +, + 2, m= 25

2 4 Campioameto ed elaborazioe umerica a - modulo della DFT di ua siusoide a Hz, f c = Hz, co fiestre di diversa lughezza b - modulo della F-trasformata di ua siusoide a Hz, co fiestre di diversa lughezza fiestra rettagolare sec 64 msec 6 msec 8 msec fiestra rettagolare f fiestra triagolare sec 64 msec 6 msec 8 msec fiestra triagolare f Figura 4.3: Cofroto tra DFT ed F-trasformata co uguale estesioe temporale otiamo subito che la 4.2 è valida per qualsiasi, ed ha u adameto periodico co periodo, a cui corrispode ua frequeza f = T c, i accordo co la separazioe tra le repliche spettrali prevista dal teorema del campioameto; per questo motivo, qualora il segale origiario xt cotega compoeti a frequeze maggiori di, gli X co idici prossimi ad 2 presetao errore di aliasig6. Allo scopo di cocretizzare le differeze tra la trasformata di Fourier ed i valori foriti dalladft,i fig. 4.3-asoo riportati i valori X per la DFT di uasiusoide, adottado due diverse fiestre di aalisi, prelevado alla medesima frequeza di campioameto Hz u umero variabile di campioi mostrato i figura, e poedo i rimaeti a zero, per calcolare i tutti i casi la medesima DFT a 256 puti 7. Il risultato è quidi cofrotato 4.3-b co quello otteibile per via aalitica calcolado la F-trasformata dello stesso segale, adottado le medesime fiestre temporali, di durata ugualeal primo caso. Le curve relative al caso di 8 campioi ed 8 msec si ottegoo a partire da meo di u periodo di segale, e mostrao lapreseza di u forte compoete cotiua. Aumetado la durata della fiestra, l approssimazioe di calcolare ua F {} mediate la DFT migliora, ache se persiste u ridotto potere di risoluzioe spettrale. 6 Come osservato al 4.., lo spettro X f di u segale campioato a frequeza f c è costituito dalle replichedelsegaleorigiario,distaziatedimultiplidi f c: X f = X f fc,ecoicideco = X f per f c/2 < f < f c/2, se X f è limitata i bada tra ±W ed f c 2W. Al cotrario, se f c < 2W, allora le repliche X f f c si sovrappogoo, e la 4.3 si riscrive come X T c X f =. 7 Il metodo esposto di porre a zero i campioi fio al raggiugimeto di ua poteza di due, i modo da utilizzare per il calcolo ua FFT, è detto ZERO PADDIG. Il calcolo della DFT su di u umero di puti pari ai campioi di segale dispoibili, o avrebbe dato luogo all effetto fiestra, ma avrebbe forito i tutti i casi adameti simili a quello osservabile per 256 puti. Ifie, otiamo che elle figure soo mostrati solo i primi 28 valori, essedo i rimaeti speculari. 26

3 Il passaggiodai campioi x m allasequeza X è ivertibile 8, ricorredo alla IVERSE DISCRETE FOURIER TRASFORM IDFT x m = = X e j2π m 4.4 cheper mesteroa[, ]cotiuaavalere,edassumevaloriperiodici,coeretemete a quato accade per lo sviluppo i serie di Fourier. Ifatti il legame tra DFT e serie di Fourier è molto stretto, i quato i valori X rappresetao ua approssimazioe 9 dei rispettivi coefficieti della serie di Fourier X SF = T x T T t e j2π T t dt, calcolati a 2 partire dal segmeto x T t estratto da xt, e moltiplicati per : T 2 X X SF 4.5 Per approfodire i risvolti di questo risultato, affrotiamo la sezioe successiva Relazioe tra DFT e trasformata z Così come per i segali aalogici sussiste ua relazioe vedi pag.?? tra la trasformata di FOURIER e quella di LAPLACE, così el cotesto delle sequeze, esistoo legami tra DFT e trasformata zeta, defiita come X z = = xz 4.6 che, el caso i cui la serie coverga per z =, permette di defiire la trasformata di Fourier per sequeze X e jω, otteuta calcolado X z sul cerchio uitario z = e jω X e jω = = xe jω = X z z=e jω che, se la sequeza x è otteuta per campioameto, co periodo T 2W, di u segale xt limitato i bada tra ±W, coicide per π ω < π co la trasformata X f = xt e j2πft dt calcolata i 2T f < 2T. Aldifuoriditaleitervallo, X e jω èperiodicai ω coperiodo 2π,aalogameteaciò cherisultaper latrasformata di Fourier X fdi usegalecampioato; iparticolare, se xm è otteuta campioado co periodo T > 2W, allora X e jω corrispode proprio ad X f f=ω π, affetta da aliasig. W 8 Sostituedo la 4.2 ella 4.4, otteiamo x k e j2π k e j2π m = = x k e = m k j2π ma, dato che { m k ej2π se k = m + l = co l itero, allora ella sommatoria estera = altrimeti sopravvive solo il termie x m, essedo x costituito solo da valori. 9 La relazioe 4.5 si dimostra combiado le relazioi?? e 4.3: X T c X = T c X T = T c TX SF = X SF 27

4 4 Campioameto ed elaborazioe umerica Se la X z, otteuta per uasequeza xaperiodica, ècampioatai puti equispaziati e disposti sul cerchio uitario, ossia per z = e j2π k, co k =,,...,, si ottiee ua sequeza periodica X k = = xe j2π k = X z z=e j2π k = X e jω ω=2π k 4.7 a cui è possibile applicare la 4.4 per otteere ua uova sequeza di valori el tempo, periodica di periodo, espressa come x = X ke j2π k 4.8 I valori x dipedoo da quelli x = xt t=t del segale origiario xt, campioato agli istati t = T, mediate la relazioe x = r= x + r e quidi i primi valori di x coicidoo co i campioi di xt solo se quest ultimo ha durata limitata, co estesioe miore di T, ossia se è sufficietemete elevato i modo che opra tutta la durata di xt, e la 4.6 si ricoduca alla somma di u umero fiito di termii. D altra parte, se xt ha durata maggiore di T, ovvero X z è stata campioata su di u umero di campioi troppo ristretto, allora l applicazioe della IDFT 4.8 ad X k provoca il feomeo di aliasig temporale Filtraggio umerico via DFT La defiizioe di DFT illustrata al 4.2 be si presta a calcolare il risultato relativo ad u itegrale di covoluzioe, a patto di seguire alcue accortezze. Covoluzioe discreta Dati due segali xt e ht limitati i bada tra W e W, ache il risultato della covoluzioe y t = xt ht è limitata i bada, ed i suoi campioi h = ht c co T c > 2W possoo essere calcolati2 a partire da quelli di xt e ht come y = m= xmh m Idichiamo qui ed al prossimo, ua sequeza periodica mediate la tilde. Ifatti, sostituedo la 4.7 i 4.8, otteiamo x = m= xme j2π k m e j2π k che, scambiado l ordie delle sommatorie, riscriviamo come x = xm { km m e j2π. Dato che m e j2π se m = + r k =, m= altrimeti co r itero, si ottiee il risultato mostrato. 2 Il risultato può essere otteuto esprimedo l itegrale x t ht ei termii dei campioi di x t e ht, e sfruttado la proprietà di ortogoalità vedi 4..2 di sic.. 28

5 Covoluzioe circolare Date due sequeze x ed h di durata fiita, il prodotto Y k = X k H k delle rispettive DFT X k = = xe j2π k ed H k = = he j2π k possiede atitrasformata ỹ = DFT {Y k} periodica i di periodo, e pari a ỹ = m= xm h m 4.9 i cui x e h soo le sequeze periodiche di periodo otteute replicado ifiitamete le sequeze origiali x ed h 3. La covoluzioe 4.9 è detta circolare perché è possibile immagiare le sequeze x ed h icollate su due cilidri cocetrici, e la somma svolta sui prodotti degli elemeti coicideti. Ad ogi valore di, corrispode ua diversa rotazioe relativa co agolo multiplo di 2π/ dei cilidri, ed ilcampioedi h.cheeraallieatoad x rietra dall altrolato,percorrispodere co x. Covoluzioe tra sequeze limitate Sappiamo che la covoluzioe produce u risultato di durata pari alla somma delle durate degli operadi; per l esattezza, el caso di due sequeze x ed h di durata ed M, il risultato della covoluzioe discreta y = m= xmh mhaestesioe +M. Pertato, perché la 4.9produca lo stesso effetto di ua covoluzioe discreta, occorre costruire delle sequeze x e h di lughezza almeo pari ad + M, otteute a partire dai valori di x ed h, a cui si aggiugoo M ed valori ulli, rispettivamete. I tal modo, il prodotto X kh k tra le DFT ad + M puti di queste due uove sequeze, può essere atitrasformato, per forire il risultato corretto. CovoluzioedisegaliviaDFT Duesegali xtehtlimitatiibadaopossoo, a rigore, essere limitati el tempo; viceversa, ua fiestra di segale o può, a rigore, essere rappresetata dai suoi campioi. Ifatti, l effetto della covoluzioe i frequeza tra la trasformata della fiestra omialmete illimitata i bada e lo spettro del segale, produce ua dispersioe frequeziale di quest ultimo. Ciooostate, dispoedo di u umero di campioi sufficietemete elevato, si può assumere che la trasformata della fiestra si atteui, fio a redersi trascurabile, oltre ad ua certa frequeza. Ioltre, l adozioe di ua frequeza di campioameto più elevata, provoca u allotaameto delle repliche spettrali del segale campioato. I queste due ipotesi, è lecito riteere l elaborazioe codotta sui campioi di segale equivalete a quella da svolgere sul segale origiario. 3 Ifatti, ad x ed h corrispodoo le DFT periodiche X k ed H k, che hao per atitrasformata x ed h. Il prodotto X k H k, espresso i termii di x ed h, risulta pari a Ỹ k = X k H k = x m hre j2π m+r k, ed applicadoaquesto la 4.4, otteiamo: m= r= ỹ = Ỹ ke j2π k = m r j2π k xm hr e m= r= Dato che m r k ej2π m= xm h m, come aticipato. = { se r = m + l altrimeti, co l itero, risulta allora ỹ = 29

6 4 Campioameto ed elaborazioe umerica Cosideriamo ora il caso di operare su campioi prelevati alla frequeza opportua, e di voler determiare la risposta di u filtro caratterizzato dalla propria h di durata fiita M, ad u igresso x di durata idefiita. Per applicare i risultati fi qui descritti, occorre suddividere la sequeza x i segmeti x q di lughezza L x q = { x per ql q + L altrove i modo che x = q= x q, ed operare ua successioe di covoluzioi discrete y q = x q h, i modo da otteere y = x h = q= x q h per la liearità della covoluzioe. Osserviamooracheoguodeitermii y q risultadiestesioe = M+L puti, e può essere calcolato mediate ua DFT iversa ad puti del prodotto X q k H k tra le DFTad putidelleversioi allugateco zero ZERO PADDED di x q ed h. Ifie, otiamo che l estesioe = M + L dei termii y q è maggiore di quella dei segmeti origiali x q, di lughezza L: pertato la sequeza y si ottiee sommadoaiprimi M valoridioguadelle y q,gliultimi M valoririsultatidalle operazioi precedeti. Per questo motivo, il metodo prede il ome di OVERLAP AD ADD Riassumedo la DFT 4.2 e la IDFT 4.4 costituiscoo ua coppia di relazioi ivertibili che permettoo di passare da ua sequeza complessa di lughezza ad u altra di pari lughezza. Ma: calcolado la DFT su di ua fiestra di campioi x m di u segale xt limitato i ua bada W < /, si ottegoo delle stime X dei campioi della sua trasformata di Fourier X f per f =, ossia X T c X co =,,..., calcolado la IDFT degli X si ri-ottegoo i campioi di xtdi parteza sia gli X che gli x m soo i realtà sequeze periodiche di periodo i calcoli idicati dalle 4.2 e 4.4 soo effettuati mediate u diverso algoritmo, chiamato Fast Fourier Trasform o FFT, che ha il vataggio di richiedere ua complessità O log 2 ridotta rispetto a quella della DFT, che è O 2 lafftdeveesserecalcolatasudiuumerodicampioi FFT chesiauapoteza didue,ossiadeveessere FFT = 2 M >. Lafiestradiaalisivieequidiestesa poedo a zero gli FFT valori fiali Selasommatoria 4.2veisseapplicata,azichèad uumerofiito dicampioi x m, ad u loro umero ifiito, allora si otterrebbe ua sequezaperiodica X k di periodo, corrispodete al campioameto dello spettro periodico X f 3

7 l applicazioe della IDFT a X k produrrebbe ua sequeza periodica xm di valori uguali agli x m solo se questi ultimi erao i umero limitato, iferiore ad segmetado u segale xt i sotto-itervalli disgiuti, si può eseguire la covoluzioe tra xt ed ua ht di durata fiita, operado esclusivamete el domiio digitale, e sommado tra loro le IDFT dei prodotti tra la DFT dei campioi di ht e le DFT dei segmeti di xt L iterpretazioe dei valori che risultao dalla applicazioe della DFT su dei campioi di segale, come stima della trasformata di Fourier del segale, deve teere coto oltre che delle foti di approssimazioi evideziate ella ota 5, ache dei corretti valori da assegare alla scala delle frequeze e delle ampiezze, ossia: Le frequeze della DFT Occore teer presete il valore della frequeza di campioameto, e se il segale di parteza xt è reale, della periodicità degli X. Ifatti i valori X per =,,... corrispodoo ai campioi di X f per f =, ma se xt è reale, X f oltre ad essere periodico preseta simmetria coiugata, e duque per valori f > W =, X f assume valori speculari a quelli risultati per f < W =. Per fissare le idee, procediamo co u esempio: se = 52 come el caso di ua FFT, i primi 256 valori da a255,ossia per =,,2,..., /2 soo damettere icorrispodeza co quelli 2 di X f co f =,,,... /2 ; metre i restati 256 valori da 256 a 5, ossia per = /2, /2 +,...,, e corrispodeti a f =, /2+,..., esibiscoo u comportameto speculare a quello dei precedeti, essedo relativi a frequeze maggiori di quella di yquist Le ampiezze della DFT Comeespresso dalla4.5,ivalori X rappresetaouaapprossimazioedei coefficieti della serie di Fourier calcolati sulla fiestra temporale da cui provegoo i campioi di segale, e moltiplicati per il umero di campioi utilizzati el calcolo: X X SF. Pertato, i valori otteuti dalla DFT devoo essere ormalizzati, dividedoli per. 3