Sono esposti i metodi che consentono di rappresentare un segnale per mezzo dei suoi

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1 Capitolo 4 Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica Soo esposti i metodi che cosetoo di rappresetare u segale per mezzo dei suoi campioi temporali, permettedoe la rappresetazioe i orma umerica: iatti i campioi soo ua sequeza di umeri 2 e quidi (dopo la quatizzazioe) bit. Le operazioi descritte ai precedeti capitoli e che operao sul segale x(t), possoo quidi essere eseguite direttamete sulla sua rappresetazioe umerica, dado luogo alle teciche idicate come elaborazioe umerica dei segali, di cui ache si orisce qualche acceo, relativo alle rappresetazioe requeziale di sequeze, ed al suo impiego elle operazioi di iltraggio. 4. Teorema del campioameto Esprime la possibilità di ricostruire u segale limitato i bada a partire dai suoi campioi: U segale co spettro ullo a requeze maggiori di W è completamete descritto dai suoi valori osservati ad itervalli temporali regolari t = T c, co itero e periodo di campioameto T c ; da questi è quidi possibile risalire ai suoi 2W valori per qualuque altro istate. La requeza cmi = T cmax = 2W, chiamata velocità di Nyquist 3, corrispode alla miima velocità co cui occorre campioare u segale x(t) limitato i bada, ed è pari al doppio della massima requeza W presete el segale. Se questa codizioe è rispettata, il segale origiario può essere ricostruito (ad esempio 4 ) ricorredo ad ua ormula di iterpolazioe 5 (dettacardiale) cheutilizzaicampioidi segalex(t c) ell espressioe Il termie campioe rappreseta il valore di u segale ad u determiato istate, e può essere cosiderato come sioimo di esemplare, o esempio, ovvero sample i iglese; da o coodere co champio, o primatista! 2 Digits i iglese, che a sua volta deriva dal latio digitus, da cui il termie digitale come sioimo di umerico. I eetti il dito era ua uità di misura utilizzata prima che ell impero Romao, i Grecia, Egitto e Mesopotamia. 3 Questo teorema è stato derivato idipedetemete e i tempi diversi da Borel, Whittaker, Kotelikov e Shao. Il cotributodinyquistèirealtàrelativoalproblemadidetermiarelamassimavelocitàdisegalazioe s sudiucaale limitato i bada, vedi Al 4..2troveremochei realtà laormula(4.)o èl uicapossibile. 5 L iterpolazioe idividua u isieme di metodi per otteere u segale che passi per N puti (istate, valore) preissati, vedi Qualora i puti siao prelevati a requeza c cmi da u segale limitato i bada, la (4.) orisce i suoi valori esatti ache per istati t T c, vedi

2 78 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica sic( ct) sic( c(t-3t c)) a) b) x(t) t t -6T c -4T c -2T c -T c T c 2T c 3T c 4T c 5T c 6T c T c 2T c 3T c Figura 4.: a) - Fuzioe sic( ct) cetrata i t = e traslata i t = 3T c; b) - ricostruzioe del segale limitato i bada mediate la ormula (4.) x(t) = = x(t c) sic( c(t T c)) (4.) che si basa sulla ripetizioe ritmica del segale sic( ct) = siπct π ct, detto per questo motivo seocardiale(pag..5.3). Comerichiamatoiig.4.-a),sic( ct)passadazeropergliistati t = / c = T c, e duque sommado i termii sic( c(t T c)) cetrati a multipli di T c e co ampiezza x(t c) si ottiee il risultato di 4.-b), ovvero u segale che per t = T c vale esattamete x(t c), metre egli istati itermedi il valore si orma come somma di tutte le code dei sic adiaceti. Osserviamo ora che la (4.) può essere realizzata mediate lo schema simbolico mostrato x(t) x (t) a lato, ovvero moltiplicado il segale x(t) per u treo di impulsi π Tc (t) co periodo T c /2W, ed il risultato x (t) atto π (t) T c passare attraverso uiltroco risposta impulsivah(t) = sic( ct). Ilsegalex (t) = x(t) π Tc (t)èduquecostituito(eq.(3.3)) daimpulsi co area pari ai campioidi segale,ossia x (t) = = x(tc)δ(t Tc) comemostratoalato,eperogiimpulsox(t c)δ(t T c)presete i igresso al iltro, i uscita si otterrà ua replica della risposta impulsiva cetrata sulla posizioe dell impulso, ovvero 2T c 3T c x(t c) sic( c(t T c)),ecioè [x(t) ] y(t) = δ(t T c) h(t) = x(t c)δ(t T c) sic( ct) = = x(t c)sic( c(t T c)) x(t) x (t) h(t) T c t y(t) t t che corrispode alla (4.). Per dimostrare che il segale y(t) così otteuto eguaglia il segale origiario x(t), deriviamo ora l espressioe di X () = F {x (t)}. Ricordado il risultato otteuto a pag. 7 per la trasormata di u treo di impulsi, possiamo scrivere X () = F {x(t) π Tc (t)} = X () T c Π Tc () = X () T c = c = X () δ( c) = c = = ) δ ( Tc = X ( c) (4.2) dove il peultimo passaggio scambia l itegrale(di covoluzioe) di ua somma co ua somma di itegrali, e l ultimo passaggio tiee coto della proprietà di covoluzioe co u impulso.

3 Sezioe 4.. Teorema del campioameto 79 Lo spettro di x (t) è duque u segale periodico i requeza costituito da iiite repliche di X (), cetrate a multipli della requeza di campioameto c, e che el caso i cui si sia scelto c = 2W ovvero pari al suo valore miimo, appare come mostrato a lato 6. A questo puto osserviamo che al iltrocoh(t) = sic( ct)corrispodeuarispostai requeza H () = / crect c () ovvero quella di u passa basso ideale, che permette l attraversameto delle sole requeze ell itervallo ( c /2, c /2), e duque dell uica replica spettrale di X () cetrata i =. I uscita è quidi presete usegaley(t) co spettrodi ampiezza -W X() W -4W -2W 2W 4W X () c -2 c Y () = H ()X () = / c cx () = X () c / c H() - c/2 c/2 c Y()=X ()H()=X() 2 c -W W che è perettamete equivalete al segale origiario, ricostruito sulla base dei suoi soli campioix(t c). Per questo motivoil iltroh() è ache oto comeiltro direstituzioe. Abbiamo così veriicato la correttezza della(4.) che esprime il teorema del campioameto ella sua orma cardiale, ossia quado c è esattamete pari a 2W, cioè pari al suo valore miimo. Aalizziamo oracosa accadese lacodizioe c 2W oèrispettata. 4.. Aliasig Questotermiehaorigiedallaparolaiglese 7 alias(copia,cloe)estaadidicareileomeo che si produce ell applicare il teorema del campioameto quado i requisiti o soo soddisatti, e cioè quado la requeza di campioameto è ieriore alla velocità di Nyquist, ossia c = T c < 2W (ovverot c > 2W compogoo X () siao più ravviciate, e si sovrappogao, come rappresetato dalla igura a lato: l aliasig è iatti idicato ache come old-over, o ripiegameto. Quado questo avviee, il iltro passabasso di restituzioe o è più i grado di estrarre la replica cetrata i =, e duque alla sua uscita è presete u segale y(t) che si dierezia da x(t) i particolar modo per i coteuti eergetici ella regioe delle requezepiù elevate 8. ). Iquestocasola(4.2)idicacomelereplichespettraliche segale da campioare 2 c c X () -4W -2W -W W 2W 4W iltro ati aliasig H() - c/2 c/2 Y() - c/2 c/2 segale limitato i bada c campioameto e restituzioe 2 c segale ricostruito Il eomeo dell aliasig può isorgere,oltrecheelcasoicuisicommettailbaaleerrorediadottare c < 2W, ache a causa di ua imperetta limitazioe i bada del segale da campioare, che iatti viee sempre prevetivamete iltrato, i modo di assicurarsi che o cotega compoeti a requeze maggiori della metà di quella di campioameto. 6 Ilrisultatootteutoreplicairequezaquellodellatrasormatadisegaliperiodicieltempo: adusegaleperiodico i requeza co periodo c corrispode ua atitrasormata di Fourier costituita da impulsi el tempo distaziati dall iversot c = /c delperiodo c. 7 I realtàalias èdi origie latia!!! 8 I u segale audio, ad esempio, ci si accorge che c è aliasig quado è udibile ua distorsioe (rumore) cogiutamete ai passaggi co maggior coteuto di alte requeze.

4 8 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica 4..2 Geeralizzazioe del iltro di restituzioe regioe di trasizioe c -W'-W H() ltro di restituzioe LarealizzazioediuiltrodirestituzioecoH()esattamete rettagolare è pressoché impossibile 9, metre ciò chesipuòrealizzareèuiltrochepresetauaregioedi trasizioe tra bada passate e bada soppressa, di estesioe o ulla. I questo caso occorre sovracampioare ad ua requeza c = 2W > 2W, i modo che le repliche spettrali siao più distaziate tra loro, e quidi il iltro possaacoraisolarel uicareplicadix ()ibadabase,comesiosservaiigura. Notiamoora chelarispostaimpulsivadiquestouovoiltrooèpiùusic( ct)! Iquestocasoduque la ormula di iterpolazioe o ha più l espressioe cardiale orita ella 4.: ciò sigiica che l operazioe di campioameto e restituzioe può essere realizzata i orme ache molto diverse tra loro Ortogoalità delle uzioi sic Sipuòdimostrare cheleuzioisiccostituiscoouabasedirappresetazioeortogoale, i quato { se h k sic( c(t kt c))sic( c(t ht c))dt = (4.3) se h = k Pertato, il valore dell eergia di u segale limitato i bada è calcolabile a partire dai suoi campioi, e vale: E x = x(t)x (t)dt = x k x h sic( c(t kt c))sic( c(t ht c))dt k h = x k x h Tcδ(h,k) = Tc x k 2 k h k 4..4 Approssimazioe degli impulsi Metre lo schema discusso al 4. illustra gli aspetti teorico-matematici del teorema del campioameto, iiziamo ora ad esamiare come questo sia realmete implemetato. Prima di discutere gli aspetti legati alla quatizzazioe (vedi successivo), osserviamo che il segale x (t)oviee geerato aatto,acausadell impossibilitàdirealizzaregliimpulsiδ(t);alsuo posto viee prodotto u segale x (t) mediate l uso di u circuito Sample ad Hold (s&h, ovverocampioaematiei)ilcuischemadipricipioèmostratoiig.4.2-a). Quados si chiude,ilvaloreditesioediigressovieetraseritoaicapidelcodesatore,dopodichés 9 Sarebbeecessaria uah(t) di durataiiita... Applicadoil teoremadi Parseval( 3.2)elaproprietà di traslazioe temporale, la(4.3)può essereriscritta come c/2 T crect c ()e j2πktc T crect c ()e +j2πhtc d = (T c) 2 j2π k h e c d c/2 i cui l espoeziale complesso sotto itegrale compie u umero itero di oscillazioi a media ulla per ǫ [ c/2, c/2] se k h, e duque i tal caso l itegrale è ullo; al cotrario, l espoeziale vale se k = h, ed il suo itegralevale c, determiado così il risultatomostrato. Noetriamoeidettaglideluzioametodelbuer(vediades. qui esempliicato dall ampliicatore operazioale a cotroreazioe uitaria: è suiciete dire che agisce come u adattatore di impedeza, cosetedo al codesatore di caricarsi i modo pressoché istataeo, e di o scaricarsi prima che s 2 sia chiuso, i quato il secodo ampliicatorepreseta uaimpedeza di igresso pressochéiiita. T c X () W W' c

5 Sezioe 4.. Teorema del campioameto 8 a) b) c) h(t) x (t) x(t) x (t) - s - + t x(t) + s 2 τ π (t) circuito Tc sample & hold Sample & Hold x (t) τ T c t Figura 4.2: a) - realizzazioe elettroica di u sample & hold; b) - schema simbolico relativo; c) - segale di uscita si apre e lo stesso valore viee mateuto costate per u tempo τ T c e reso dispoibile i uscita; trascorso il tempoτ sichiudes 2,il codesatore siscarica,el uscita siaulla. Il uzioameto del s&h può essere idealizzato come illustrato ella igura 4.2-b), ed il corrispodete segale di uscita descritto ella orma x (t) = x(tc) rectτ (t Tc) i cui cioè al posto degli impulsi matematici viee adottato u treo di impulsi rettagolari modulati i ampiezza (vedi ig. 4.2-c)). Il iltro passa basso di restituzioe H () viee ora alimetatodax (t)azichédax (t),eperdetermiarequalesiaiquestocasolasuauscita, riscriviamox (t) ella orma x (t) = x(t c) rect τ (t) δ(t T c) = = rect τ (t) x(t c) δ(t T c) = rect τ (t) x (t) il cui spettrorisulta pari a X () = τ sic(τ) X () (4.4) X () -/τ - c c /τ Osserviamo quidi che usare rettagoli di base τ < T c al posto degli impulsi, equivale a moltiplicare X () per u iviluppo τ sic(τ) che, seppure co τ T c o causa grossi icoveieti (gli zeri posti ad si allotaao dall origie, e sic(τ) ei pressi di = è τ praticametecostate),perτ prossimoat cproduceuaalterazioedell ampiezzadellareplica i bada base. I tal caso (τ è oto) il iltro di ricostruzioe H() può essere realizzato i modo da avere u adameto iverso a quello del sic(τ), e tale che sic( τ) sic( τ) H () τsic(τ) =costate. Iatti,questoaccorgimeto prede il ome di sic correctio 2. -/τ - c/2 c/2 /τ Al è illustrato u metodo di multiplazioe di più segali campioati i ua uica trasmissioe Coversioe A/D e D/A Arotiamo ora l aspetto strettamete collegato a quello del campioameto, e relativo alla ecessità di rappresetare i valori dei campioi x(t c), che soo gradezze a precisioe iiita, mediate u umero iito M di bit per campioe, i modo da poter memorizzare o 2 Vedi ad es.

6 82 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica x(t) iltro ati sample x (T c ) aliasig & hold Clock Tc Coversioe A/D quatizzazioe e codiica c(x q ) M bit Clock Tc geeratore di livelli (DAC) sample & hold H() x q(t c ) / y(t) c - /2 c /2 c Figura 4.3: Campioameto, quatizzazioe e restituzioe el modo reale trasmettere i orma di sequeza umerica tale rappresetazioe digitale. L isieme delle operazioi da svolgere è illustrato i ig. 4.3 dove oltre ai dispositivi che svolgoo uzioi già discusse, è presete ache u blocco di quatizzazioe e codiica dal lato della coversioe aalogico/digitale(a/d), metre dal lato della restituzioe è presete u geeratore di livelli(o dac) che ricostruisce il valore aalogico (sia pur quatizzato) a partire dalla sua codiica biaria. Sezaalcuapretesadicompletezza 3,discutiamobrevemeteuapossibileimplemetazioe dei due dispositivi ora citati. Quatizzatore A/D a rampa lieare Per issare le idee, descriviamo il uzioameto di uo schema semplice, co l ausilio della ig Il valore x (T c) viee corotato co il segale s(t) prodotto dal geeratore di rampa, e iché il secodo o supera il valore del primo, il comparatore emette u livello logico vero (il gate), e quidi il segale di clock i igresso all ad si ripreseta i uscita, acedo avazare il cotatore biario ad M bit. Quado s(t) supera x (T c) il gate si aulla e l ad viee iterdetto, i modo che il coteggio si arresti. Prima di iiziare u uovo periodo della rampa, il valore presete el cotatore (pari a dieci ell esempio i igura) viee letto ed adottato come codiica biaria c(x q) del valore x (T c) iigresso,edil processopuò ripartire per il campioesuccessivo. Covertitore D/A a resisteze pesate Il geeratore di livelli presete i ig. 4.3 cosiste i u circuito elettroico i grado di produrre ua tesioe di ampiezza V u corrispodete a quella rappresetata dalla parola biaria ad M bit V r registro dati b b 2 M R 2 M- R M bit R b M 2 M + +b b b 2+b i igresso. Ua soluzioe semplice a uso di u ampliicatore operazioale sommatore come i igura, co ciascua delle resisteze di igresso R i di valore 2 i R (i da a M) collegataomeoallatesioedirierimetov r asecoda se il bit b M i sia uo o zero. I uscita sarà presete ua tesioe 4 M Vu = Vr i= b M i2 i V r b M-2 b M- V u 2 2 R 2R - + b 2 b b V u 3 Perapproodimetisullacoversioea/ded/avediades. 4 Per eetto della massa virtuale dell ampliicatore operazioale, i ciascuo dei resistori per cui b M i = scorre uacorretei i = Vr 2 i, lacuisomma I T scorreacheella R di cotroreazioe, per cui R V u = R I T = R M i= b M i Vr 2 i R = Vr M i b M i 2 i e moltiplicado e dividedo per 2 M si ha V r = Vr M 2 M i= b M i2 M i 2, ossia compresa tra e V M r 2 M. A parte il sego meo, ad esempio co M = 3 bit e V r = si ha u quato di /8 =.25, e valori.,.25, 2.5,..., 8.75, vedi ache

7 Sezioe 4.2. Quatizzazioe e codiica biaria 83 comparatore x (T c ) + gate cotatore - clock biario dati ad M bit a) b) geeratore di rampa s(t) clock reset x (T c ) clock del cotatore s(t) gate t t Figura 4.4: Quatizzatore a rampa lieare: a) - schema circuitale; b) - orme d oda icuicioèilbitpiùsigiicativob M pesaper /2,quellosuccessivoper /4,ecosìvia,dado luogo allauzioeadl = 2 M livellimostrata iigura. 4.2 Quatizzazioe e codiica biaria Al di là degli aspetti tecologici, dal puto di vista dei segali il processo di quatizzazioe e coversioe d/a va studiato i relazioe all eetto che la scelta del umero M di bit/campioe produce sulla qualità del segale ricostruito. Maggiore è M, e più elevata risulta la velocità biaria b = c M bit/sec, a cui corrispode u maggior impego di risorse trasmissive o di memoria. MariducedoilvalorediM aumetal etitàdell errorediquatizzazioeε q = x x q,dicuiaumetalapoteza,eduquepeggiorailrapportosegalerumore,comeoraadiamo a studiare. Notiamo ioltre che essedo la quatizzazioe u processo o lieare ( 7.3) la desitàspettralediε q presetaacherequezeassetielsegaleorigiario,rededobiaco il processodi errore 5 ( 6.2.4). Ai ii della discussioe che segue separiamo la uzioe svolta da u dispositivo come il quatizzatore a rampa ei due blocchi cocettuali disegatiaiaco,icuiivalorideicampioiprima x quatizzatore ad L livelli x q =Q(x) x q codiicatore ad M bit d=c(x q ) vegoo quatizzati dal dispositivo x q = Q(x), e successivamete espressi (o codiicati) mediate ua sequeza di M bit d = c(x q). Il tipo di codiica c(x q) realizzato dal quatizzatore arampapredeil omedi... d M bit 4.2. Quatizzazioe uiorme I questo caso l itervallo dei valori che l igresso x può assumere, idicato come diamica x = x max x mi,vieesuddivisoil = 2 M itervallii k diegualeampiezza 6 q = x, L separati dal sogliedidecisioe,come riportato iiguraperm = 3 bit. DatocheLèpari 7,lacurvadiquatizzazioex q = Q(x)cheassociailvalorex q (k)atutti glixchericadooiuostessoitervalloi k risultaascalettacomeiigura,eoriscevalori 5 IrealtàpervaloriparticolarmetebassidiM ilsegaledierroreε q tedeadiveireortemetecorrelato ( 6..4)a quello del segale origiale. 6 Seivece gliitervallihaoampiezzedieretiil quatizzatoreèdetto ouiorme, vedi ad es. il Il caso di L pari, diretta cosegueza dell essere L = 2 M ua poteza di due, è detto mid-rise i quato il graico x = Q(x) sale per x =, metre ad L dispari (caso mid-tread) corrispode ua regola di quatizzazioe basata sull arrotodameto di x, ed esiste u valore quatizzato che esprime u valore ullo. Per approodimeti, vedi ad es.

8 84 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica quatizzati 8 ( xq = q x q + 2 che rispetto alla liea rossa (che esprime la retta x q = x),sooesattisoloametàdell itervallo,metre all itero dello stesso l errore ε q = x x q si matiee compreso tra q. Dato poi che e q 2 2 ) soglie di decisioe q x x q =Q(x) q I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 co M bit si possoo descrivere le L = 2 M coigurazioibiariechecorrispodooaiumerichevaodaa2 M,sulladestraèriportata lacorrispodezadeicodicid = c(x q) cheèpossibileassegare ai livelliquatizzati. Per proseguire co l aalisi della distorsioe, aggiugiamo ora l ipotesi che il campioe x da quatizzare sia stato prelevato da u membro di processo stazioario ergodico 9 co d.d.p. uiormeamedia ulla, ovveropari ap X (x) = x rect x (x) SNR di quatizzazioe La distorsioe i cui si icorre a seguito del processo di quatizzazioe è tato miore quato maggiore risulta il valore del rapporto segale-rumore SNR q = Px /P ǫ, ovvero il rapporto tra lapoteza delsegaledaquatizzarep x,equella P ε dell erroreε q = x x q. La ig. 4.5, mostra u possibile adameto temporale per x(t), assieme alla sua versioequatizzatax q (t),edalcorrispodete errore ε q (t), per il quale si a l ulteriore ipotesi che ach esso sia u processo ergodico a media ulla, ach esso descritto da ua d.d.p. uiorme p(ε) = q rect q (ε) ma co diamica q = x /L, e che sia ache statisticamete idipedete 2 dax(t). Iquesteipotesi,lapotezaP xèparialla variazadellav.a.x,erisulta 2 P x = σ 2 x = 2 x 2 p (x) X p ( ε ε q ) q x desità di probabilità q ε q x x(t) x (t) q ε q (t) x Segale origiario Segale quatizzato t t c(x q ) Errore di quatizzazioe Figura 4.5: Processo di quatizzazioe per segali a distribuzioe di ampiezza uiorme metre per quato riguarda la poteza del segale di errore ε q (t) il risultato è lo stesso, ma espresso ei termiidi q,ovvero P ǫ = σǫ 2 = 2 q 2 = ( ) 2 x 2 L Siamo duque i grado di valutare l SNR di quatizzazioe come ( ) 2 SNR q = Px = 2 x L P ǫ 2 2 = L 2 x 8 x La otazioe q idividua u trocameto, ovvero il umero itero subito ieriore ad x. Ad esempio, se q 4 < x < 4, alloraavremo x q = 3.5, 2.5,.5,.5,.5,.5,2.5, Nel seguitodellasezioesoo usatiicocetti deiiti alcapitolo5,acuisirimada per le deiizioimacati. 2 Questa ipotesi, come ache quella delle v.a. uiormi, soo maiestamete o vere i geerale, ma permettoo di giugere ad u risultato abbastaza semplice, e che può essere molto utile ei progetti di dimesioameto. 2 Assumedo che il processo sia ergodico, la poteza (media temporale) eguaglia (eq. (5.)) la corrispodete media di isieme, ovvero il mometo di secodo ordie m (2) x, che a sua volta è pari alla variaza σ2 x, essedo mx =. Vedi 5.2.3per il calcolodiσ 2 x = 2 x/2. t

9 Sezioe 4.2. Quatizzazioe e codiica biaria 85 eduquesnr q cresceimodoquadratico col aumetaredeilivelli,ovveroselraddoppia SNR q quadruplica. Ricorredo alla otazioe i decibel 22 per l SNR, otteiamo il risultato SNR q (L) db = log L 2 = 2log L e,ricordado che L = 2 M,siottiee SNR q (M) db = M 2log 2 6 M db (4.5) datochelog 2.3. Pertato è possibilecocludere che Laqualitàdelquatizzatoreuiorme,espressadaSNR q [ db ],aumetaliearmetecoilumerom dibit/campioe,couicremetodi6dbperogibitutilizzato i più. Cosideriamo ora cosa accade qualora il segale i igresso x abbia ua diamica miore di ( quatoprevisto: italcasoσx 2 siriduce,metreσǫ 2 = x ) 2 ocambia,eduquesnrq 2 L peggiora, come se avessimo ridotto il umero di livelli. Viceversa, la tecica illustrata di seguito è igrado di mateere usnr q accettabile ache co bassilivellidi segale Quatizzazioe o uiorme La tecica di cui al titolo asce sia come risposta al problema appea evideziato, ossia il peggiorameto di SNR q i preseza di bassi segali, sia i cosiderazioe del atto che i realtà il processo x o ha distribuzioe di ampiezza uiorme come io ad ora ipotizzato, rededo il risultato (4.5) di ridotta utilità pratica. Ma svolgiamo prima ua breve digressioe su come, cooscedo co esattezza la p X (x) del processo da quatizzare, si possa giugere al miglior risultato. Miimizzazioe dell errore di quatizzazioe Si può mostrare 23 che per ua p X (x) geerica, il quatizzatore ottimo (che rede massimo SNR q) o suddivide la diamica x i L itervalli di uguale estesioe q = x, ma l estesioe q (k) varia ed è diversa per L ogi itervallo I k co k =,2, L, adottado i particolare itervalli di estesioe ridotta elle regioi i cui i valori x soo più probabili, ovvero più requeti, e duque per il quali la p X (x)èpiùgrade. Italmodoaivalorixpiùprobabilicorrispodeuerrorediquatizzazioeσq 2 (k) = 2 q (k) /2ridotto;viceversa,leregioicorrispodetiavaloridixpiùrariadottao itervalli di estesioe q (k) più grade, e coseguetemete u σq 2 (k) maggiore. Il risultato è quello variare il cotributo alla P ǫ complessiva, riducedolo per i valori più requeti, ed aumetadolo per quelli meo: iatti, P ǫ può essere valutata ache come u valore atteso, pesado icotributiσq 2 (k) co le rispettive probabilità P ǫ = E k { σ 2 q (k) } = L p k σq 2 (k) i cui p k = I k p X (x)dx è la probabilità che x I k. Il modo ottimo di disporre le soglie (θ k,θ k )chedelimitaoi k imododarederemiimap ǫ,èotocomealgoritmodilloyd- Max Uadiscussioerelativaallamisuradellegradezzeidecibel,èoritaal 7.. QuicilimitiamoadusareidBcome misura relativa di u rapporto, ossia SNR q (db) = log P x P ǫ = log P x log P ǫ = P x [ dbv 2 ] P ǫ [ dbv 2 ] i cuile gradezzeespressei dbv 2 rappresetaopotezedi segaledi tesioe, i uità logaritmiche. 23 Vedi ad es Il metodo èiterativo, ed iiziasuddividedo l itervallo x i modo uiorme. Perogi iterazioe: k=

10 86 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica Out I codiica lieare swxyz swxyz swxyza swxyzab swxyzabc swxyzabcd swxyzabcde swxyzabcde PCM legge A swxyz swxyz swxyz swxyz swxyz swxyz swxyz swxyz Figura 4.6: Caratteristica i/o di u quatizzatore logaritmico e relativa tabella di codiica Codiica PCM Nella quatizzazioe del segale vocale, ache se è arbitrario idetiicare co esattezza ua p X (x), si veriica strumetalmete che quest ultima è addesata elle regioi co valori più piccoli. Per questo motivo la legge di quatizzazioe che si è adottata per otteere gli8bitacampioeutilizzatielpcm 25 segueuadametologaritmico 26,edimezzaprogressivamete la pedeza della caratteristica di igresso-uscita del quatizzatore all aumetare dei valori i igresso. La ig. 4.6 mostra u esempio di tale realizzazioe (per i soli valori positivi), i cui l adameto logaritmico viee approssimato idividuado (a partire dall origie) regioi di valori della x la cui ampiezza di volta i volta raddoppia, e suddividedo ogi regioe i u uguale umero di itervalli equispaziati. La caratteristica o lieare è realizzabile per via completamete umerica: per prima cosa si realizza u campioameto uiorme co M = 2 bit a campioe,acuicorrispodool = 2 2 = 496livelli. Perogicampioe,ilumerodibitpari a zero ella parte più sigiicativa degli M idividua la regioe dei valori di igresso, metre i bit rimaeti soo shitati a destra, per mateere costate il umero di itervalli per regioe, otteedo i deiitiva ua rappresetazioe i virgola mobile del valore del campioe. Esempio La tabella a destra di ig. 4.6 esempliica il processo di coversioe pcm legge A, i cui a partire dalla quatizzazioe uiorme a 2 bit si ottegoo gli 8 bit della codiica pcm, ripartiti i u bit di sego (s), tre bit di espoete, e quattro di matissa (wxyz). Il bit più sigiicativo dei 2 rappreseta il sego, e resta ialterato. Il umero di zeri più sigiicativi dei 2 idividua i quale delle 8 regioi 27 cade il valore di igresso, e tale regioe è codiicata mediate i 3 bit del codice pcm che seguoo quello del sego. Delle restati cire della codiica uiorme, se e coservao solo le 4 più sigiicative. Ad esempio, il valore diviee -- (come risulta dalla prima riga della tabella), metre diveta --, come riporta la sesta riga. si determiao i valori quatizzati x k (detti cetroidi) come x k = E {x I k } = x p I X (x/k)dx = k I xp k X (x)dx p, i cui p k = p k I X (x)dx. I tal modo, i valori x k si spostao (iteramete a I k ) verso la k regioe i cui p X (x) ha uvalorepiù elevato, ovverodovelav.a. siaddesa; siri-calcolaoicoii di decisioeθ k come θ k = x k +x k+ 2, seguedo lospostameto degli x k. Le iterazioi si arrestao quado o si riscotrao cambiameti apprezzabili. 25 LasiglapcmstaperPulseCodeModulatio,etraeorigiedallatecicadiquatizzazioediusegalevocalediqualità teleoica ( 9..2), ache se è stato poi adottato per idicare l itera gerarchia di multiplazioe plesiocroa ( 9.3.). Etimologicamete il termie deriva dall oda pam ( 6.9.3) i cui degli impulsi soo Modulati i Ampiezza, metre i questo caso le ampiezze degli impulsi soo Codiicate. 26 L adametoesattodellacurvasegueuodiduestadard,deomiatileggeµ(perusaegiappoe)eleggea(per gli altri), lievemete diverse ella deiizioe, ma sostazialmete equivaleti. 27 Permotivi graici,i igurasoo mostrate solo 5 regioi,divise i 4 itervalli.

11 Sezioe 4.3. Trasormata di Fourier di sequeze 87 I risultati del mappig illustrato possoo essere iseriti i ua rom come coppie di igressouscita, utilizzado duque 496 posizioi di memoria da 8 bit ciascua; al cotrario presso il dac di restituzioe, soo suicieti 256 posizioi, di 2 bit ciascua. Nella igura a iaco viee mostrato l adameto di SNR q alvariaredellapotezadisegalerispettoalmassimo possibile, ei due casi del quatizzatore uiorme, oppure co compressioe logaritmica. Come si può otare, l eetto della quatizzazioe logaritmica pealizza l SNR perisegaliapieadiamica,mapeggioramoltopiùletamete al dimiuire della stessa. Al cap. 2 l argometo della codiica di sorgete audio viee ripreso, e debitamete approodito SNR q [db] logaritmico uiorme P x P max [db] Le prossime sezioi o tegoo più coto delle questioi relative alla quatizzazioe dei campioi, ache se ella realizzazioe di dispositivi reali può rivestire iteresse di progetto. 4.3 Trasormata di Fourier di sequeze Avedoillustratocomesiasuicietelacooscezadeisolicampioitemporalix = x(t c) per descrivere completamete u segale tempo cotiuo e limitato i bada x(t), e come alla sequeza tempo-discreta dei suoi campioi x corrispoda ua periodizzazioe i requeza X (),otiamocomeciòsiaiqualchemodospeculare allaproprietàdeisegaliperiodiciel tempo, di godere di ua rappresetazioe equivalete el domiio della requeza, costituita dalla sequeza dei coeicieti X oti come serie di Fourier. L aalogia è più strigete di quatoopossaapparire,datocheèassolutametelecitoedesatto 28 usarel espressioedella serie di Fourier(2.7) ella direzioe opposta, ossia per otteere lo spettro periodico di ampiezza X () apartire dalla sequeza deicampioitemporali x : X () = = x e j2πtc (4.6) deiedo così ua trasormata di Fourier a tempo discreto 29 o DTFT, che produce ua X () periodica i requeza di periodo c = 3 T c, i cui T c è il periodo di campioameto co cui sooprelevatiivalorix 3. Alla(4.6)èassociatauaatitrasormazioe,igradodivalutarei campioitemporalix apartire dalla coosceza di uperiodo dix (),deiita come x = c c 2 c 2 X () e j2πtc d (4.7) echeèdeltuttoaaloga(aparteilsego)alla(2.6)checalcolaicoeicietidellaseriedifourier. 28 A prima vista può sembrare ardito accettare che i coeicieti di Fourier ( (4.7) siao pari ai campioi di sega- ) = xδ(t Tc) e j2πt dt = le x, ma se proviamo a calcolare X () = F {x (t)} = = x e j2πt δ(t T c)dt = = xe j2πtc, otteiamoesattamete la(4.6). 29 Codizioesuicieteperlacovergezadellaserie(4.6)ècherisulti = x <,iquato X () = = x e j2πtc = x. 3 Iatti se applichiamo la (4.6) per calcolare X ( + c) si ottiee = x e j2π(+c)tc = = x e j2πtc e j2πctc = X () dato che, essedo c = Tc, risulta e j2πctc = e j2π = per qualsiasi. 3 Proprio come ai coeicieti della serie di Fourier per segali periodici, itervallati di F Hz, corrispode u segale periodico el tempo, di periodot = F.

12 88 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica Molte delle proprietà già ote per la serie e la trasormata di Fourier soo valide ache i questo caso, come ad esempio simmetria coiugataperx () el caso di x reale; liearità: ax +by ax ()+by (); ritardo: x k X ()e j2πktc ; modulazioe: x e j2π T c X ( ); covoluzioe: z = x y = k= x ky k Z () = X () Y (); prodotto: z = x y Z () = c c/2 c/2 X (σ)y ( σ)dσ. Tutto ciò permette di eettuare operazioi sui segali come aalisi spettrale e iltraggio, seza dover svolgere calcoli aalitici come itegrali e trasormate, besì operado direttamete sui campioi di segale mediate appositi programmi di calcolo umerico, eseguiti su dispositivi ottimizzati a tale scopo 32, e quidi eettuare il processo di coversioe d/a per riotteere u risultato tempo-cotiuo. segale aalogico campioameto sequeza di campioi elaborazioe umerica sequeza di campioi restituzioe DAC segale aalogico Resta comuque il atto che elle (4.6) e (4.7) tuttora compaioo ua somma di iiiti termii ed u itegrale di uzioe cotiua, metre per eettuare le operazioi di elaborazioe umerica possoo essere usate solo sequeze di durata iita e somme. Per questo motivo arotiamo la sezioe successiva, che illustra come ciò possa essere risolto eseguedo il campioameto ache i requeza, e limitado i segali ad ua durata limitata. 4.4 Trasormata discreta di Fourier DispoedodiuasequezadilughezzaiitacompostadaN valorix, =,,...,N, corrispodeti a campioi di u segale x(t) prelevati co ritmo c = T c, si idica come Discrete FourierTrasorm(DFT) lauova sequeza 33 X m = N = x e j2π m N (4.8) uivocamete deiita per m =,,...,N, e che costituisce ua approssimazioe 34 del campioameto i requeza della trasormata X () = F {x(t)}, calcolata per = m N c, e 32 Ichipprogettatiappositametepersvolgerecalcolidielaborazioeumericadelsegalesoodettidsp(DigitalSigal Processor). 33 La(4.8)puòessereattadiscederedalla(4.6)vicolado adassumereisolivaloridiscreti = m N Tc,elimitado l idice della sommatoria ad u isieme iito di campioi. 34 Ua prima ote di approssimazioe deriva dall operazioe di iestratura legata all uso di u umero iito di campioi, operado quidi su x w (t) = x(t)w(t c) aziché su x(t). Per aalizzare le altre oti di approssimazioe, iiziamoascriverel espressioedi X w () = F {x w (t)} per = m N c: ( X w = m ) (N )Tc N c = x(t)e j2π m N ct dt N (N )Tc x sic( c (t T c))e j2π N ct dt = i cui la secoda eguagliaza utilizza l iterpolazioe cardiale x(t) = = x sic(c (t Tc)) orita dalla (4.), ed itroduce ua secoda ote di approssimazioe legata all itervallo iito di variazioe per : iatti,

13 Sezioe 4.4. Trasormata discreta di Fourier 89 moltiplicata per c: X m cx ( = m ) N c (4.9) Notiamo subito che la (4.8) è valida per qualsiasi m, ed ha u adameto periodico co periodo N, a cui corrispode la requeza c = T c, i accordo co la periodicità i requeza evideziataperx ()(vedi(4.6)e(4.2));perquestomotivo,qualorailsegaleorigiariox(t) cotega compoeti a requeze maggiori di c, gli 2 Xm co idici prossimi ad N preseterao errore di aliasig 35. Notiamo ioltre come i valori X m siao tutti relativi a requeze 2, ma el caso di ua sequeza x reale la proprietà di simmetria coiugata, associata alla periodicità i requeza, rede il risultato iteressate solo per idici m N, dato che successivamete si trovao valori coiugati a quelli della prima metà. Notiamo iie che la (4.8) 2 può essere espressa iorma matriciale: adesempio,pern = 4 siottiee X X X 2 X 3 = e jπ 2 e jπ e j 3π 2 e jπ e j2π e j3π e j 3π 2 e j3π e j 9π 2 da cui otiamo la proprietà di simmetria per la matrice dei coeicieti. x x x 2 x 3 (4.) Esempio Allo scopo di cocretizzare le diereze tra la trasormata di Fourier ed i valori oriti dalla dt, i ig. 4.7-a soo riportati i valori X m, ormalizzati i ampiezza, per la dt di ua siusoide a Hz, adottado due diverse iestre di aalisi (vedi 3.8.3), prelevado alla medesima requeza di campioameto ( Hz) u umero variabile di campioi (mostrato i igura), e poedo i rimaeti a zero, per calcolare i tutti i casi la medesima DFT a 256 puti 36. Il risultato è quidi corotato (ig. 4.7-b) co quello otteibile per via aalitica calcolado la F-trasormata dello stesso segale, adottado le medesime iestre temporali, di durata uguale al primo caso. Le curve otteute el caso di 8 msec (e 8 campioi!) dipedoo da meo di u periodo di segale, e perciò presetao ua compoete cotiua apprezzabile. Aumetado la durata della iestra, l approssimazioe di calcolare ua F {} mediate la dt migliora, ache se persiste u ridotto potere di risoluzioe spettrale. Osservazioe Probabilmete a questo puto qualche lettore può trovarsi stupito di o avere icotrato due liee spettrali, come sarebbe stato lecito aspettarsi per ua siusoide. I realtà ciò può accadere, a patto che il umero di campioi N su cui si eettua la dt sia u multiplo itero k del umero di campioi M = T/T c che ricadoo etro uo stesso beché l itegrale abbia estesioe limitata, i valori di x(t) che cadoo etro tale estesioe, dovrebbero dipedere da tutti i suoi campioi. L ultimo itegrale è a sua volta ua approssimazioe (a causa degli estremi di itegrazioe limitati, e peggiore per i sic cetrati i prossimità dei coii della iestra) della trasormata (calcolata i = m N c) di sic( c (t T c)), pari quest ultima a T crect c ()e j2πtc, che quado valutata per = m N c, orisce il risultato X w ( = m N c ) N T c = x e j2π m N per valori m N 2, a causa della estesioe limitata (i requeza) di rect c (). E però acile veriicare che ( X m ) w N c è periodica i m co periodo N, cosicché i valori assuti per m = N 2 +, N 2 + 2,... soo uguali a quelli perm = N 2 +, N 2 + 2, Come osservato al 4.., lo spettro X () di u segale campioato a requeza c è costituito dalle repliche del segale origiario, distaziate di multipli di c: X () = = X ( c), e coicide co X () per c/2 < < c/2,sex ()èlimitataibadatra±w ed c 2W. Alcotrario,se c < 2W,alloralerepliche X ( c) sisovrappogoo, ela(4.9)siriscrivecome X m cx ( = m ) N c. 36 Il metodo esposto di porre a zero i campioi io al raggiugimeto di ua poteza di due è detto zero paddig. Il calcolo della DFT su di u umero di puti pari ai campioi di segale dispoibili, o avrebbe dato luogo all eetto iestra, ma avrebbe orito i tutti i casi adameti simili a quello osservabile per 256 puti. Iie, otiamo che elle igure soo mostrati solo i primi 28 valori, essedo i rimaeti speculari.

14 9 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica a - modulo della DFT di ua siusoide a Hz, c = Hz, co iestre di diversa lughezza iestra rettagolare iestra triagolare b - modulo della trasormata di Fourier di ua siusoide a Hz, co iestre di diversa lughezza sec 64 msec 6 msec 8 msec iestra rettagolare sec 64 msec 6 msec 8 msec iestra triagolare Figura 4.7: Coroto tra DFT ed F-trasormata co uguale estesioe temporale periodo T della siusoide 37, ovvero k esprime quati periodi etrao i N campioi, ed M quati campioi/periodo: iatti i questo caso, l applicazioe della idt (4.) produce ua sequeza acora periodica. Nel ostro esempio, essedo T = / = msec e scegliedo N = 64 puti e k = 6 periodi, il vicolo N = km = kt c permette di otteere c = N kt = 64 6 = 6,6 Hz, ovvero M = T c = 6,6 =, 6 campioi/periodo. La ig. 4.8 mostra questo risultato, evideziado come la riga spettrale si maiesti per m = 6, ossia alla requeza = m N c = = Hz, metre la riga 64 presete i m = 58 è i realtà il ripiegameto periodico di quella a Hz. Ilpassaggiodaicampioieltempox aquelliirequezax m èivertibile 38,ricorredoalla Iverse Discrete Fourier Trasorm(IDFT) x = N N m= X me j2π m N (4.) che per estero a [,N ] cotiua a valere, ed assume valori periodici, coeretemete a quato accade per lo sviluppo i serie di Fourier. Iatti il legame tra dt e serie di Fourier è molto stretto, i quato i valori X m rappresetao ua approssimazioe 39 dei rispettivi 37 Colaovviacodizioechesia M > 2 per rispettareil vicolo c > 2 /T 38 Sostituedo iattila(4.8)ella (4.), otteiamo x = ( N N ) x k e j2π m N k e j2π m N = N N N m= k= k= { N se k = altrimeti ma,datoche N m= ej2π m N ( k) = N x k m= e j2π m N ( k), allora ella sommatoria estera sopravvive solo il termie x, dimostrado l uguagliaza. 39 La relazioe (4.2) si dimostra combiado le relazioi (3.3) e (4.9): X cx ( cx ( T ) = cx (F) = ctx SF = Tc TXSF = NXSF ) ( N c = cx NTc ) =

15 Sezioe 4.4. Trasormata discreta di Fourier 9.5 Siusoide a Hz campioata a 6.66 Hz DFT di siusoide su 6 periodi esatti m Figura 4.8: Siusoide campioata su di u umero itero di periodi e relativo modulo di dt coeicieti della serie di Fourier Xm SF = T 2 x T T T (t)e j2π m T t dt, calcolati a partire da u 2 segmetox T (t) estrattodax(t),emoltiplicati pern: X m N X SF m (4.2) Per approodire i risvolti di questo risultato, arotiamo la sezioe successiva Relazioe tra DTFT, DFT e trasormata zeta Così come per i segali aalogici sussiste ua relazioe (vedi pag. 6) tra la trasormata di Fourier e quella di Laplace, così el cotesto delle sequeze, esistoo legami tra dtt e trasormatazeta,deiitaquest ultimacomex(z) = Z {x },uzioecomplessadellavariabile complessa zeta dal valore X (z) = x z (4.3) = che, el caso i cui coverga per z =, può essere atta corrispodere alla dtt (4.6) della stessa sequeza x semplicemete poedo z = e jω, ovvero calcolado X (z) sul cerchio uitario: X(e jω ) = = x e jω = X (z) z=e jω = X () = ω 2πTc (4.4) Iatti, elle cosuete codizioi i cui gli x soo i campioi di u segale x(t) limitato i bada tra ±W e prelevati co ritmo c 2W, la (4.4) eettivamete coicide (per π ω < π) co la X () (eq. (4.6), per c c ω ) i cui si poga = 2 2 2πT c, mettedo cioè icorrispodezalerequeze± c 2 dix ()colepulsazioi±π dix ( e jω). Aldiuoridi tale itervallo, X ( e jω) è periodica i ω co periodo 2π, aalogamete a ciò che risulta (co periodo c) per la trasormata di Fourier X () di sequeze; se ivece x è sottocampioata, ossia c < 2W,acheX ( e jω) è aetta daaliasig,cosìcome avvieeperx (). Esempio Cosideriamo la sequeza x = { a se altrim. il cui adameto per a =.7 è mostrato az, i ig.4.9, la cui trasormata zeta X (z) = = a z risulta pari a 4 X (z) = ed il cui modulo, dopo aver scritto la variabile complessa z come z = x + jy, è espresso ( ) come X (z) = x / 2 ax+y 2 2 ) 2. +( x 2 +y 2 ay x 2 +y 2 4 Il risultatosiottieericordadoche = α = α qualora α <.

16 92 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica x = a X(e j ) Figura 4.9: Sequeza x = a e modulo della relativa trasormata di Fourier a tempo discreto Facedo ora variare z ell itervallo [ 2 j2,2+j2] si ottiee per il modulo di X (z) l adameto mostrato ella igura a lato, i cui è ache raigurato u cilidro di raggio uitario, la cui itersezioe co X (z) idividua ( l adameto di X e jω ) = / +a 2 2acosω, ossia la dtt della sequeza a, che a sua volta è mostrata i ig. 4.9 per π < ω < π X(z) cerchio uitario Imm Re Se la X ( e jω) otteuta per ua sequeza x aperiodica el tempo è campioata i N puti equispaziatiedispostisulcerchiouitario,ossiapoedoω = 2π m com =,,...,N, N siottiee allora uasequeza periodicairequeza 4 X m = = x e j2π m N = X(e jω ) = X () ω=2π m =c m (4.5) N N che può coicidere co la sequeza X m otteuta calcolado la dt (4.8) di ua sequeza x, qualora questa abbia ua durata limitata N. D altro cato, è possibile applicare la idt(4.) aduperiododellasequeza X m,edotteerequidiuauovasequezadivalorieltempo, ach essa periodica di periodo N, espressa come x = N N m= X me j2π m N (4.6) Iatti, i valori x dipedoo da quelli x = x(t) t=tc del segale origiario x(t), campioato agli istatit = T c,mediate larelazioe 42 4 j2π m+n Iatti, e N = e j2π m N e j2π, ed il secodo termie vale per qualsiasi. Idichiamo qui ed al prossimo, ua sequeza periodica mediate la tilde.. 42 Iatti, sostituedo la (4.5) i (4.6), otteiamo x = N N k= h= x he j2π N k h e j2π N k. Scambiado ora l ordie delle sommatorie risulta Datoche N ( ) N x = x h e j2π N k (h ) N h= k= { N k k= e j2π N (h ) se h = + rn = altrimeti, cor itero, siottieeil risultato(4.7).

17 Sezioe 4.4. Trasormata discreta di Fourier X m X(e jω ) co 6 campioi/periodo 3 periodi visualizzati X m X(e jω ) co 8 campioi/periodo 3 periodi visualizzati.5 m X m X(e jω ) co 4 campioi/periodo 3 periodi visualizzati.5 m m x Seq. temporale co 6 campioi/periodo 3 periodi visualizzati x Seq. temporale co 8 campioi/periodo 3 periodi visualizzati x Seq. temporale co 4 campioi/periodo 3 periodi visualizzati Figura 4.: Aliasig temporale al dimiuire della risoluzioe del campioameto i requeza x = r= x +rn (4.7) equidiiprimin valoridi x coicidoocoicampioidix(t)solosequest ultimohadurata limitata,coestesioemioredint c,ossiasen èsuicietemeteelevatoimodochent c copratuttaladuratadix(t),ela(4.3)siricoducaallasommadiuumeroiitoditermii. D altra parte, se x(t) ha durata maggiore di NT c, ovvero X (z) è stata campioata su di u umero di campioi troppo ristretto, allora l applicazioe della IDFT (4.6) ad X (k) provoca il eomeo di aliasig temporale. Esempio Nella parte siistra di ig. 4. viee mostrato il modulo della sequeza X m otteuta campioado la X(e jω ) dell esempio precedete, utilizzado 6, 8 o 4 campioi/periodo. Nella parte destra della stessa igura soo quidi rappresetate le corrispodeti sequeze x otteute mediate idt. Si può otare che, metre co 6 campioi/periodo la ricostruzioe della sequeza x = a è piuttosto edele, co 8 campioi si iizia a veriicare il eomeo di aliasig temporale, che diviee acor più evidete per 4 campioi/periodo. Riepilogo La igura che segue teta di riassumere le relazioi che legao la trasormata di Fourier per segali limitati i bada ai sui campioi ed alla relativa dtt, così come la relazioe di questa co ladt e latrasormatazeta. trasormata Fourier x(t) X() Fast Fourier Trasorm La sigla t descrive ua classe di algoritmi dicalcolodelladtedellasuaiversa,caratterizzati dall uso di u umero molto ridotto di operazioi, rededo così computazioalmete praticabile l elaborazioe umerica dei segali. Aalizziamo iazitutto come il calcolo di oguo degli N termii X m della (4.8), cosiderado i valori e j2π m N aalogico bada (-W,W) sequeza iiita tras. zeta campioameto t = Tc Tc</2W periodo N x iestra di N campioi [x ] [X m ] X(z) atitras. Fourier DTFT serie Fourier passa basso X () campioameto = mc/n m =,..,N- X(ω) periodo = c = /Tc DFT periodo N IDFT ω = 2πTc campioameto ω = 2mπ/N m =,..,N- z = e iω periodo ω = 2π

18 94 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica precalcolati(vedi(4.)), richieda N moltiplicazioi complesse(equivaleti ogua ad 4 moltiplicazioie2sommereali)edn sommecomplesse(oguaparia2sommereali): pertato ua dtrichieden (N (4+2)+2(N )) = N (8N 2) 8N 2 operazioi. Alcotrario,glialgoritmitpiùeicietiriducooilumerodioperazioiad8N log 2 N: ad esempio, poedo N = 24, si ottiee u migliorameto di 23 (2 ) 2 /2 3 2 = 2 / volte! Queste prestazioi soo legate all adozioe di u valore di N che sia ua poteza di due (ossia N = 2 M co M itero), ma successivamete soo stati idividuati metodi 43 che permettoo ua eicieza di calcolo comparabile ache per iestre di aalisi di lughezza qualsiasi Relazioetra DFT e DCT Ache per la dt risulta valida la proprietà di simmetria coiugata ( 3.3) e quidi, se i valori dellasequezax dilughezzan checompareella(4.8)soorealiazichécomplessi,allorai coeicietididtx mpresetaoparterealeparieparteimmagiariadispari. Iparticolare,se immagiiamo di estedere la lughezza della sequeza a 2N puti, otteuti ribaltado sugli idici egativi la sequeza di parteza comex = x (vediprimarigadiig.4.), allora siamo elle codizioi di sequeza reale pari, che determia ua trasormata solo reale (e pari), co parte immagiaria ulla. Per arrivare a deiire la Discrete Cosie Trasorm (dct) si calcola ua dt bilatera sulla sequeza luga 2N otteuta traslado quella descritta i modo da rederla m m'=m+.5 Figura 4.: Estesioe pari di sequeza reale eettivamete pari (secoda riga di ig. 4.). Cosiderado che per segali reali pari le compoeti siusoidali della base della dt o dao cotributi al risultato 44, e adottado u 43 Vedi ad es Scriviamo la(4.8)come X m = = N /2 = N+/2 N /2 = N+/2 N /2 = 2 =/2 j2π x /2 e 2N m = ) x /2 cos (2π 2N m j ) x /2 cos (2π N 2N m = 2 = N [ ( π = 2 x cos + ) ] m N 2 = N /2 m = N+/2 ) x /2 si (2π 2N m = ( x cos 2π + ) /2 2N m = i cui x è quella disegata per secoda i ig. 4.. La quarta eguagliaza tiee coto del atto che il termie immagiario si aulla, i quato sommatoria bilatera di ua uzioe dispari (otteuta come prodotto di x /2 pari e ( ) si 2π 2N m dispari), e del atto che essedo i termii coseo pari, la sommatoria può essere ristretta ai soli idici positivi,raddoppiati. Lapeultimaeguagliazarappresetailsemplicecambiodivariabile = /2,metrel ultima è(a parte il attore2)ladeiizioedelladctdata i (4.8).

19 Sezioe 4.5. Filtraggio umerico via DFT 95 uovo cambio di variabile, si ottiee i deiitiva la ormula di calcolo della dct come X m = N = a cui è associata la trasormazioe iversa idct x = N 2 X + [ ( π x cos + ) ] m N 2 m= X mcos [ ( π m+ ) ] N 2 (4.8) (4.9) La dct verrà usata i questo testo ell ambito della compressioe di immagii( 2.2.4): iatti ivalori di lumiaza deipixel icui siscompoe uaimmagie,sootutti valori reali. 4.5 Filtraggio umerico via DFT La deiizioe di DFT illustrata al 4.4 be si presta a calcolare il risultato relativo ad u itegrale di covoluzioe, a patto di seguire alcue accortezze Covoluzioe discreta Datiduesegalix(t)eh(t)limitatiibadatra W ew,acheilrisultatodellacovoluzioe y(t) = x(t) h(t) è limitato i bada, ed i suoi campioi y = y(t c) (co T c < ) 2W possooessere calcolati 45 apartire daquelli dix(t) e h(t),come y = T c k= x k h k (4.2) Nel caso i cui le sequeze x e h abbiao durata iita e pari rispettivamete a N ed M campioi,siotterràuasequezay di duratapari an +M campioi. Esempio: il lato siistro di ig. (4.2) mostra ua sequeza triagolare ed ua rettagolare co u umero di elemeti o ulli rispettivamete pari a 5 e 4, la cui covoluzioe si estede su 8 valori. 45 Iatti, esprimedo l itegrale di covoluzioe x(t) h(t) ei termii dei campioi di x(t) e h(t) (eq. 4.), e sruttado la proprietà di ortogoalità dei segali sic( c (t kt c)) (vedi 4..3), per i campioi dell uscita possiamo scrivere y(t c) = = = = x(τ)h(t c τ)dτ = x(kt c) sic( c (τ kt c)) h(jt c) sic( c (T c τ jt c)) dτ = k= j= x(kt c)h(jt c) sic( c (τ kt c))sic( c (τ ( j)t c))dτ = k= j= x(kt c)h(( k)t c) = x k h k c k= c k= i cui alla secoda uguagliaza si è applicata la ormula di ricostruzioe cardiale x(t) = k= x(ktc) sic( c (t kt c)) e duque h(t τ) = j= h(jtc) sic(c (t τ jtc)), quest ultima valutata per t = T c; alla terza uguagliaza si è cosiderato che sic(x) è ua uzioe pari, permettedo di scrivere sic( c (( j)t c τ)) = sic( c (τ ( j)t c)), ed alla quarta si è applicata la proprietà di ortogoalità trasic( ct)traslatidimultiplidit c = /c (vedi 4..3),percuil itegralevalet c = /c soloquadok = j, ovveroj = k.

20 96 Capitolo 4. Campioameto, quatizzazioe ed elaborazioe umerica x x x h h h y y y Figura 4.2: Coroto tra covoluzioe discreta, circolare, e via dt Covoluzioe circolare Date due sequeze x ed h di durata iita N, il prodotto Y m = X mh m delle rispettive DFTX m = N m = xe j2π N edh m = N m = he j2π N possiedeatitrasormataỹ = IDFT{Y m} periodica i di periodo N,epari a ỹ = N p= x p h p (4.2) i cui x e h soo le sequeze periodiche di periodo N otteute replicado iiitamete le sequeze origiali x ed h ( 46 ). La covoluzioe (4.2) è detta circolare perché è possibile immagiare le sequeze x ed h icollate su due cilidri cocetrici, e la somma svolta sui prodotti degli elemeti coicideti. Ogi valore di p corrispode ad ua diversa rotazioe relativa (co agolo multiplo di 2π/N) dei cilidri, ed il campioe di h che era allieato ad x N rietra dall altrolato,per corrispodere adx. La parte cetrale di ig.(4.2) mostra il risultato della periodizzazioe delle stesse sequeze dell esempio precedete, assieme al risultato della covoluzioe circolare tra esse, cosiderado u periodo N = 6 per etrambe: come evidete, il risultato è abbastaza dierete da quello otteuto el caso della covoluzioe discreta Covoluzioe tra sequeze di durata iita via DFT Sappiamo che la covoluzioe produce u risultato di durata pari alla somma delle durate degli operadi; come aticipato, el caso di due sequeze x ed h di durata N ed M, il risultato della covoluzioe discreta y = N k= x kh k produce valori o ulli per idici =,,...,N +M. Pertato, per are i modo che la (4.2) produca lo stesso eetto di ua covoluzioe discreta, occorre costruire delle sequeze x e h di lughezza almeo pari ad 46 Iatti, ad x ed h corrispodoo le DFT periodiche X m ed H m, che hao per atitrasormata x ed h. Il prodotto X m Hm, espresso i termii di x ed h, risulta pari a Ỹm = X m Hm = N N p= q= xp h qe j2π m N (p+q), ed applicadoaquestolaidft(4.),otteiamo: ỹ = N Ỹ me j2π m N = ( N N N ) x p hq e j2π m N ( p q) N N m= Dato che N m m= ej2π N ( p q) = N p= xp h p, comeespresso dalla (4.2). p= q= { N se q = ( p) + ln altrimeti m=, co l itero, risulta allora ỹ =