Capitolo 2 - Serie di Fourier

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1 Apputi di eoria dei Segali Capitolo - Serie di Fourier Defiizioe di serie di Fourier di u segale periodico... Esempio: sviluppo di Fourier della fuzioe coseo... Proprietà dello sviluppo i serie di Fourier...3 Proprietà geerali...3 Sviluppo i serie di Fourier di u segale reale...6 Dimostrazioe della formula dei coefficieti dello sviluppo di Fourier per (t reale 7 Esempio: oda quadra... 3 Esempio: oda triagolare... 4 Cosiderazioi eergetiche... 6 Osservazioe... 7 Proprietà di liearità... 8 Proprietà di traslazioe temporale... 9 Esempio... Proprietà di iversioe dell asse... Proprietà di covoluzioe... Esempio... 3 Approssimazioe forita dallo sviluppo i serie di Fourier... 4 DEFINIZIONE DI SERIE DI FOURIER DI UN SEGNALE PERIODICO Cosideriamo u geerico segale (t cotiuo: esso si dice periodico quado si ripete uguale ogi itervallo di tempo di ampiezza fissa, ossia quado ( t ( t co N e > Si dimostra che questo segale, oltre che co la sua ormale rappresetazioe aalitica, è esprimibile ache come somma di ua particolare serie, detta apputo serie di Fourier : i particolare si ha che ( t e j ft dove la quatità f/ è la cosiddetta frequeza e dove i coefficieti dello sviluppo soo jf t ( t e Naturalmete, trattadosi di ua serie, essa può covergere o meo.

2 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo ESEMPIO: SVILUPPO DI FOURIER DELLA FUNZIONE COSENO Cosideriamo uo dei segali tradizioali co cui abbiamo a che fare, ossia la fuzioe coseo: suppoiamo i particolare che il segale sia ( ( t A cos ft Si tratta evidetemete di ua siusoide di ampiezza A: f.5 f f Vogliamo lo sviluppo i serie di Fourier di questo segale. Potremmo procedere applicado la defiizioe, ossia calcolado il valore dei coefficieti dello sviluppo mediate la formula jf t ( t e uttavia, i questo caso risulta più coveiete seguire u altra strada: ifatti, applicado la secoda formula di Eulero abbiamo evidetemete che e cos j e A A t A ( ft e ( cos e j j ft jft e quella a secodo membro è già ua serie di Fourier. Essa gode ovviamete di alcue caratteristiche particolari: i primo luogo, soo ulli tutti i coefficieti trae quelli per e per -, che valgoo etrambi A/; i secodo luogo, la frequeza di tali termii è la stessa ed è ache uguale a quella del segale iiziale. Autore: Sadro Petrizzelli

3 Serie di Fourier Proprietà dello sviluppo i serie di Fourier PROPRIEÀ GENERALI Cosideriamo la defiizioe di serie di Fourier per u segale periodico (t: ( t co e jft ( t e jft Sul segale (t le uiche ipotesi da fare soo che sia periodico e che goda delle tre proprietà ecessarie per la covergeza di quella sommatoria. Per il resto, (t può essere sia u segale reale sia ache u segale complesso. Per quato riguarda ivece i coefficieti dello sviluppo, geeralmete soo complessi e possiamo subito vedere perché: se applichiamo le formule di Eulero e cos e si j j e e j j j abbiamo che ( jft e cos( ft jsi ft per cui, adado a sostituire ell espressioe di otteiamo ( ( t f t j / ( cos t si ft ( 444 / Re( Im( e questo ci coferma che, i geerale, gli soo dei umeri complessi. Ua proprietà che si osserva da questa relazioe è la seguete: essedo f f è evidete che i coefficieti e - hao la stessa parte reale (i quato il coseo è ua fuzioe pari, metre la parte immagiaria differisce del sego (i quato la fuzioe seo è ua fuzioe dispari: 3 Autore: Sadro Petrizzelli

4 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo t ( f t j / t si( f t ( cos ( t t j t si t ( cos ( Re( Im( Quidi R Re( Re( R I Im( Im( I Questa proprietà si può sitetizzare dicedo che i coefficieti e - dello sviluppo i serie di Fourier di u geerico segale (t (periodico soo l uo il complesso coiugato dell altro, ossia ( Sempre dalla relazioe ricavata prima possiamo idividuare ua codizioe sufficiete perché il geerico sia reale: perché questo accada deve essere ovviamete Im(, ossia deve essere ( Im( ( t si f t Dato che i due estremi di itegrazioe soo simmetrici, deduciamo che questa relazioe è sez altro verificata quado la fuzioe itegrada è ua fuzioe dispari. Ora, dato che la fuzioe Seo è già dispari, perché quel prodotto sia ach esso ua fuzioe dispari è ecessario che (t sia reale e pari. I coclusioe, abbiamo trovato che i coefficieti dello sviluppo i serie di Fourier del geerico segale periodico (t soo tutti reali quado (t è REALE e PARI. I particolare, l espressioe di questi coefficieti i queste codizioi è *. ( t cos ( f t Cosiderado, poi, che la fuzioe itegrada, per (t reale e pari, è essa stessa reale e pari, possiamo riscrivere questi coefficieti ella forma coclusiva ( t f t ( cos per (t reale e pari U esempio classico è proprio il segale ( t A cos( ft che è reale e pari (dato che ovviamete A è reale. Possiamo ulteriormete perfezioare questa proprietà, cosiderado direttamete la defiizioe di serie di Fourier: ifatti, data la relazioe Autore: Sadro Petrizzelli 4

5 Serie di Fourier ( t e j ft e cosiderado che, i base alle formule di Eulero, risulta ( jft e cos( ft jsi ft abbiamo che ( t cos( f t j si( ft Ioltre, se tiriamo fuori dalle due sommatorie il termie che si ottiee per otteiamo [ ] ( t cos( f t si( f t cos( f t j si( ft Ma, ricordado che f /, è evidete che f, per cui ( t cos( f t j si( ft Questa è u altra espressioe, detta trigoometrica, dello sviluppo i serie di Fourier di u segale periodico. Da questa espressioe possiamo perfezioare la proprietà euciata prima: ifatti, è evidete che, se il segale (t è complesso, ache lo sviluppo i serie di Fourier comprederà termii complessi, metre, se il segale è reale, lo sviluppo i serie dovrà ecessariamete coteere solo termii reali; el caso particolare i cui (t è reale e pari, abbiamo detto che i coefficieti soo tutti reali, per cui gli uici evetuali termii complessi vegoo dalla secoda sommatoria, ossia j si( ft Ma, essedo (t reale, ache lo sviluppo deve essere reale, per cui la secoda sommatoria deve essere ecessariamete ulla. Possiamo duque cocludere che lo sviluppo i serie di Fourier di u segale (t periodico, REALE e PARI, è ua serie di soli cosei e precisamete: ( t cos( f t 5 Autore: Sadro Petrizzelli

6 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo Facciamo ioltre osservare che, i base a come soo stati defiiti i coefficiete dello sviluppo i serie di Fourier, si ha che t ( ossia è u umero reale coicidete, a meo del termie /, co l area che il segale (t sottede ell itervallo [,]. No è acora fiita: ifatti, abbiamo prima dimostrato la proprietà per cui ( *. Ma, per (t reale e pari, sappiamo che gli soo reali, per cui l operatore complesso coiugato o ha alcu effetto e quidi. Di cosegueza, lo sviluppo i serie può essere scritto ella forma coclusiva ( t cos( ft ( t reale e pari SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI UN SEGNALE REALE Metre abbiamo appea visto quale sia lo sviluppo i serie di u segale reale e pari, vediamo adesso se è possibile semplificare i qualche modo il suo sviluppo i serie di Fourier quado è solo reale. Suppoiamo perciò che (t sia u segale reale (seza preoccuparci di vedere se è pari, dispari o essua delle due cose. La formula di parteza è ovviamete quella geerale, ossia ( t e j ft Separiamo dalla sommatoria il termie che si ottiee per : t e j f ( t e jf t Possiamo subito osservare che, essedo f / f, per cui ( t e jf t A questo puto ci possiamo ricordare di quato abbiamo trovato poco fa, ossia R Re( Re( R I Im( Im( I Autore: Sadro Petrizzelli 6

7 Serie di Fourier I base a queste relazioi, lo sviluppo si può scrivere ella forma j ft jft ( ( t e e Adesso, esprimedo i coefficieti come differeza tra ua parte reale ed ua parte immagiaria, abbiamo che jft jft (( ( ( t Re( j Im( e Re( j Im( e I base alle relazioi tra e - possiamo ulteriormete perfezioare questa scrittura e scrivere che jft jft (( ( ( t Re( j Im( e Re( j Im( e jft jft jft jft ( Re( ( Im( ( e e j e e Applicado uovamete le formule di Eulero, abbiamo che ( ( t Re( cos( f t Im( si( f t Nella sommatoria compaioo solo umeri reali: di cosegueza, essedo (t reale, o potrà che essere reale ache, per cui possiamo cocludere che lo sviluppo i serie di Fourier di u segale periodico (t REALE è dato da ( ( t R Re( cos( f t Im( si( f t N.B. E evidete che da questa relazioe discede i modo immediato quella ricavata per (t reale e PARI: ifatti, i questo caso abbiamo detto che i coefficieti soo reali, per cui Re( e Im( e lo sviluppo si riduce ai soli cosei. DIMOSRAZIONE DELLA FORMULA DEI COEFFICIENI DELLO SVILUPPO DI FOURIER PER X( REALE La defiizioe geerale di sviluppo i serie di Fourier di u segale (t è ( t dove f / e dove i coefficieti soo e j ft 7 Autore: Sadro Petrizzelli

8 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo j ft t e t ( f t j / t si( f t ( ( cos ( Re( Im( Vogliamo adesso dimostrare quest ultima relazioe el caso i cui il segale (t sia reale. Abbiamo appea detto che lo sviluppo i serie di (t assume, se (t è reale, l espressioe ( ( t Re( cos( f t Im( si( f t Posto a a b ( t Re( t ( cos Im( t si ( ( f t ( f t questa espressioe diveta ( t a a cos( f t b si( f t (* Vediamo allora di dimostrare le espressioi di a, a e b. Moltiplichiamo ambo i membri della (* per la quatità cos( f m t (dove, ovviamete, f m m/ co m umero reale per il mometo geerico: otteiamo ( m ( m ( m ( m ( tcos f t a cos f t a cos( f tcos f t b si( f tcos f t Adesso itegriamo ambo i membri, rispetto alla variabile t, ell itervallo [-,]: ( cos( m cos( m cos( cos( m t f t a f t a f t f t ( b si( f t cos f t m Le due sommatorie possoo essere portate fuori dal sego di itegrale, come ache i coefficieti a : Autore: Sadro Petrizzelli 8

9 Serie di Fourier ( cos( m cos( m cos( cos( m t f t a f t a f t f t ( b si( f t cos f t m Vediamo adesso cosa succede al variare del valore di m; il primo valore che diamo è ovviamete m : cosideriamo che cos( otteiamo ( t a a cos( f t b si( f t Il primo itegrale a secodo membro vale evidetemete : ( t a a cos( f t b si( f t Gli itegrali coteuti ella secoda sommatoria soo ivece tutti ulli: ifatti, la fuzioe Seo è dispari e sappiamo che l itegrale di ua fuzioe dispari, esteso ad u itervallo simmetrico, è. Quidi ( t a a cos( f t Resta dal calcolare sempre ua somma di itegrali. Per prima cosa risolviamo l itegrale che si trova detro la sommatoria per geerico: ricordado che il Coseo è ua fuzioe pari, abbiamo che cos( f t cos( f t ( f cos( f t ( ( D si f t f f f f f [ si( f t ] si f si( si( f Ricordado adesso che f /, abbiamo che cos( f t f ( si Dato che è u umero aturale, abbiamo u Seo calcolato i multipli di e quidi esso vale. Possiamo duque cocludere, ritorado alla relazioe di prima, che ( t a 9 Autore: Sadro Petrizzelli

10 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo da cui si deduce che a ( t e questo è il primo risultato che volevamo dimostrare. Adesso toriamo alla relazioe trovata prima per m geerico: era ( cos( m cos( m cos( cos( m t f t a f t a f t f t ( b si( f t cos f t m Vogliamo vedere cosa succede quado m o è ullo. Per farlo, possiamo subito fare delle cosiderazioi geerali su quest ultima relazioe, prima di adare ad esamiare cosa accade per ciascu valore di m: ifatti, facciamo per prima cosa vedere che, per m, il primo itegrale a secodo membro vale sempre : m cos cos cos t m t m m m t f m D si m t f m si m ( ( t f m si m si f m si m Quidi, per m o ullo, la relazioe da cosiderare è ( m ( m ( m ( t cos f t a cos( f t cos f t b si( f t cos f t Facciamo adesso vedere che ache la secoda sommatoria risulta uguale a : la fuzioe che compare all itero dell itegrale è il prodotto di ua fuzioe dispari (il Seo per ua fuzioe pari (il Coseo, per cui è a sua volta ua fuzioe dispari; allora, dato che l itegrazioe è estesa ad u itervallo simmetrico, sappiamo che essa dà valore, per cui cocludiamo che la relazioe da cosiderare diveta ( m ( m ( t cos f t a cos( f t cos f t Sempre per m geerico (ma o ullo, ci iteressa sapere quato vale l itegrale a secodo membro: dimostreremo tra u attimo che esso vale quado m e vale altrimeti. Di cosegueza, quella relazioe può ache essere scritta ella forma ( t cos( f t a Autore: Sadro Petrizzelli

11 Serie di Fourier da cui a ( ( t cos f t e questo era il secodo risultato che volevamo dimostrare. Adesso, l ultima cosa che dobbiamo dimostrare è l espressioe dei coefficieti b. Il puto di parteza è sempre lo sviluppo i serie di Fourier di (t reale, ossia ( t a a cos( f t b si( f t (* Moltiplichiamo ambo i membri per la quatità si( f t umero reale: otteiamo m (dove, ovviamete, f m m/ co m ( m ( m ( m ( m ( t si f t a si f t a cos( f t si f t b si( f t si f t Adesso itegriamo ambo i membri, rispetto alla variabile t, ell itervallo [-,]: ( ( m ( m cos( ( m t si f t a si f t a f t si f t ( b si( f t si f t m Ifie, portiamo fuori dagli itegrali ciò che si può: ( ( m ( m cos( ( m t si f t a si f t a f t si f t ( b si( f t si f t m I questo caso, la preseza della quatità si( f t m i tutti i termii di etrambi i membri fa sì che, per m, quella relazioe diveti ua idetità. Cosideriamo perciò m. I modo aalogo a prima, è evidete che l itegrale itero alla prima sommatoria è ullo (la fuzioe itegrada è dispari e l itervallo di itegrazioe è simmetrico, per cui possiamo subito semplificare: ( ( m ( m ( ( m t si f t a si f t b si f t si f t E ullo ache il primo itegrale a secodo membro, per lo stesso motivo di prima: quidi Autore: Sadro Petrizzelli

12 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo ( m ( m ( t si f t b si( f t si f t (* * * Ifie, sempre i modo aalogo a prima, possiamo far vedere facilmete che l itegrale presete a secodo membro vale - quado m e vale altrimeti. La dimostrazioe si ricoduce a quella fatta el caso precedete: le formule di duplicazioe del coseo dicoo che cos( α β cosα cosβ siαsiβ Da qui si ricava che siαsiβ cosα cosβ cos( α β Poedo α f β f m t, abbiamo che t [ ] ( ( cos( cos( cos ( si f t si f t f t f t f f t Itegrado tra - e otteiamo che m m m [ ] ( ( m cos( cos( m cos ( m si f t si f t f t f t f f t L itegrale a primo membro è quello che a oi iteressa, per cui, per cooscere il valore, dobbiamo calcolare i due itegrali a secodo membro. Itato, co calcoli perfettamete aaloghi a quelli fatti i precedeza, è facile verificare che il secodo itegrale a secodo membro vale, per cui ( ( m cos( cos( m si f t si f t f t f t A questo puto, abbiamo prima dimostrato che l itegrale a secodo membro vale per m e altrimeti, per cui quello al primo membro, data la preseza del sego -, vale - per m e altrimeti. Dimostrato questo, dalla (*** ricaviamo evidetemete che da cui otteiamo ciò che cercavamo, ossia ( t si ( f t b b ( ( t si f t Autore: Sadro Petrizzelli

13 Serie di Fourier Esempio: oda quadra A titolo di esempio per le formule appea dimostrate, vediamo quato vale lo sviluppo i serie di Fourier del segale che coosciamo col ome di oda quadra, il cui adameto el tempo è il seguete: A (t t E evidete che si tratta di u segale periodico reale. Facciamo ioltre osservare che la scelta per il riferimeto t è tutt altro che casuale: ifatti, essa è tale che il segale risulti ache pari, il che è di grosso vataggio per la determiazioe dello sviluppo i serie di Fourier, che avrà l espressioe ( t cos( f t co a t ( a Re( t ( cos ( f t E subito evidete che, detto il periodo del segale, si ha che a t ( A Vediamo quato valgoo ivece gli altri coefficieti: applicado la defiizioe e cosiderado che il Coseo è ua fuzioe pari, abbiamo itato che a 4 t ( f t ( ( cos t f t ( cos Nell itervallo [,], il ostro segale vale A i [,4] e -A i [4,], per cui possiamo spezzare l itegrazioe e scrivere che a 4 4 ( ( A f t 4 cos A f t cos 4 Etrambi questi itegrali soo immediati: 3 Autore: Sadro Petrizzelli

14 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo a 4A 4 4A [ si( f t ] [ si( f t ] 4 f f 4A f si f si f si f 4 4 4A 4A si si( si si si f f 4A f 4A si si A si Asic Possiamo duque cocludere che lo sviluppo i serie di Fourier dell oda quadra è il seguete: A t Asic ( cos( ft Esempio: oda triagolare Aalogo al caso precedete è quello della cosiddetta oda triagolare (che, tra l altro, è l itegrale dell oda quadra: B (t t -B Ache i questo caso, abbiamo u segale periodico, reale e pari, per cui l espressioe geerale del suo sviluppo i serie di Fourier sarà acora ua volta ( t cos( f t co a t ( a Re( t ( cos ( f t Autore: Sadro Petrizzelli 4

15 Serie di Fourier Il coefficiete a è, a meo del termie /, l area sottesa dal segale ell itervallo [-,]: el ostro caso essa vale B/. Per gli altri coefficieti, abbiamo ivece quato segue: itato, applicado la defiizioe, abbiamo che a ( t cos ( f t Nell itervallo [-,] il ostro segale (t è pari, per cui possiamo aggiugere u fattore moltiplicativo e restrigere l itervallo di itegrazioe: a 4 ( ( t cos f t Ci serve adesso ua rappresetazioe aalitica di (t ell itervallo [,]: (t B t -B Si ha quidi che B ( t B t t / [, / ] Adado a sostituire ella relazioe di prima, abbiamo che a 4 B / 4B B t cos( f t cos( f t t cos( 6B f t Comiciamo dal primo itegrale, che è immediato: a 4B 6B B [ si( f t ] t ( f t [ ( ] ( f si f t 6B cos t ft cos B ( [ ( ] ( si f B B si t f t si B t ft 6 6 ( cos cos 6B t cos ( f t Vediamo adesso quato vale l itegrale rimasto. Esso può essere risolto per parti, cosiderado il Coseo come ua derivata del Seo: 5 Autore: Sadro Petrizzelli

16 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo a 6B 6B t( f ( ft td[ si( ft ] f cos f 6B 6B 8B [ tsi( f t ] si( f t ( f f tsi f t 8B [ ] ( si f t Si verifica facilmete che il primo termie è : ifatti si f si [ tsi( f t ] ( Quidi rimae e ache questo è u itegrale immediato: a 8B si( f t 8B 4B 4B a [ cos( f t ] [ cos( f t ] f f cos 4B 4B [ cos( ] [ cos( ] Quidi, lo sviluppo i serie dell oda triagolare è ( B 4B cos ( t cos( f t CONSIDERAZIONI ENERGEICHE Sia sempre (t il ostro segale periodico, reale o complesso. Sappiamo che la defiizioe geerale di poteza associata ad u segale periodico è P X t t ( t dove t è u istate scelto a ostro piacimeto. Allora, essuo ci vieta di predere t -, per cui abbiamo che P X ( t Autore: Sadro Petrizzelli 6

17 Serie di Fourier Dimostriamo allora che P X Itato, dalla teoria sui umeri complessi sappiamo che il modulo di ua quatità complessa è pari al prodotto della quatità stessa per il suo complesso coiugato: possiamo allora scrivere che P X ( ( t ( t * Se lo sviluppo i serie di Fourier del segale (t è ( t e j ft Ricordado che la serie di Fourier è u operatore lieare, possiamo scrivere che * * j f t j f t * * j f t * * ( t e ( e ( ( e ( e jf t Adado a sostituire questa espressioe i quella della poteza, abbiamo che P X * * j f t * t ( t t ( e ( t e ( ( ( ( jf t L itegrale che rimae all itero della sommatoria o è altro che, per cui e questo è ciò che volevamo dimostrare. * X P Osservazioe Sulla base del risultato appea dimostrato e possiamo far vedere u altro: la defiizioe di sviluppo i serie di Fourier del segale (t è ( t e j ft e dice i pratica che (t è esprimibile come somma di u umero ifiito (ma umerabile di segali, il geerico dei quali è ( t e jf t 7 Autore: Sadro Petrizzelli

18 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo L eergia associata a questo segale si può calcolare mediate la defiizioe: P jft jf t t t ( t e ( e ( ( ( * Allora, avedo trovato prima che P X possiamo cocludere che la poteza associata al segale (t è pari alla somma delle poteze associate ai segali che costituiscoo lo sviluppo i serie di Fourier di (t. PROPRIEÀ DI LINEARIÀ Siao (t e y(t due geerici segali periodici co lo stesso periodo. Di etrambi i segali suppoiamo di cooscere lo sviluppo i serie di Fourier: siao e y i coefficieti dei rispettivi sviluppi. Cosideriamo adesso u uovo segale che sia ua combiazioe lieare di (t e y(t: i particolare sia z( t a( t by(t Allora, si dimostra itato che z(t è ach esso u segale periodico di periodo e quidi, come tale, esso ammette lo sviluppo i serie di Fourier: dimostriamo che i coefficieti di questo sviluppo soo z a by ossia soo ua combiazioe lieare, sempre mediate i coefficieti a e b, dei coefficieti degli sviluppi di (t e y(t. La dimostrazioe è immediata i quato basta applicare la defiizioe i base alla quale si calcolao i coefficieti dello sviluppo di Fourier: z jf t jf t jft z t e a t e by t e ( ( ( jf t jft a ( t e b y( t e a by I base a questa proprietà, quidi, se dobbiamo calcolare lo sviluppo i serie di Fourier di u segale z(t periodico e co rappresetazioe più o meo complessa, possiamo provare ad esprimerlo come combiazioe lieare di altri segali (sempre periodici co lo stesso periodo di z(t dei quali coosciamo già o possiamo calcolare facilmete lo sviluppo: i tal modo, lo sviluppo di z(t sarà ua combiazioe lieare di tali sviluppi. Autore: Sadro Petrizzelli 8

19 Serie di Fourier PROPRIEÀ DI RASLAZIONE EMPORALE Sia dato u segale (t periodico di periodo e siao i coefficieti del suo sviluppo i serie di Fourier. Cosideriamo quidi il segale z(t che si ottiee traslado (t di ua certa quatità costate α: quidi z( t ( t α Ache z(t è ovviamete periodico di periodo : come tale esso ammette sviluppo i serie di Fourier e oi vogliamo far vedere come i coefficieti di tale sviluppo siao z e j f α ossia siao il prodotto dei coefficieti dello sviluppo di (t per u fattore espoeziale costate. Ache i questo caso la dimostrazioe si effettua sfruttado semplicemete la defiizioe di coefficieti dello sviluppo i serie di Fourier: tale defiizioe dice itato che z jf t jft z t e t e ( ( α Effettuado adesso il cambio di variabile t-α i quell itegrale, oi otteiamo z α jf ( α e d e e ( ( α α jfα jf α d I coefficieti dello sviluppo i serie del segale (t soo dati da jft ( t e Quest itegrale e quello che compare ella espressioe degli z differiscoo soltato (oltre che per il ome dato alla variabile di itegrazioe, per gli estremi di itegrazioe: tuttavia, i etrambi i casi tale itervallo ha ampiezza, per cui i due itegrali coicidoo e oi possiamo duque cocludere che z e L utilità di questa proprietà è evidete: se abbiamo u certo segale, di cui coosciamo lo sviluppo i serie di Fourier, e lo trasliamo di ua quatità geerica el tempo, siamo subito i grado di determiare il uovo sviluppo i serie seza fare ulteriori calcoli, ma semplicemete applicado la relazioe appea dimostrata. j f α 9 Autore: Sadro Petrizzelli

20 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo Esempio Vediamo subito ua applicazioe pratica di questa proprietà. Suppoiamo di voler calcolare lo sviluppo i serie di Fourier del seguete segale: A s(t t Si tratta, evidetemete, di u segale periodico e reale: sappiamo allora che lo sviluppo i serie di Fourier di u segale reale ha l espressioe geerale ( t a f t si( f co / ( Re( ( cos ( Im( ( ( Quidi, u primo modo di calcolare lo sviluppo i serie di s(t è quello di applicare queste ultime tre formule. uttavia, possiamo sfruttare la proprietà di traslazioe temporale per risparmiare qualche calcolo, i particolare, come vedremo, quello dei coefficieti b. Ifatti, se poi trasliamo il ostro segale verso siistra di u tratto pari a 4 (cioè lo trasliamo di -4, otteiamo il seguete uovo segale: A (t t Questo uovo segale (t ha la particolarità di essere pari, per cui il suo sviluppo di Fourier è ua serie di soli cosei e precisamete ( t cos( f t Autore: Sadro Petrizzelli

21 Serie di Fourier co ( t ( t cos ( f t Allora, possiamo trovarci questi coefficieti (cioè dobbiamo risolvere due itegrali e poi possiamo applicare la proprietà di traslazioe el tempo, secodo la quale lo sviluppo di s(t sarà s( t s s cos( f t co s e jf 4 Facciamo allora i calcoli: lo sviluppo i serie di Fourier del segale (t (che è l oda quadra è stato già trovato i precedeza ed era A ( t Asic cos( f t dove cioè A Asic Possiamo allora affermare che i coefficieti dello sviluppo i serie di Fourier del segale s(t soo s A s e Asic jfα e jf 4 per cui il suddetto sviluppo è A s t Asic j f ( e cos( f t 4 PROPRIEÀ DI INVERSIONE DELL ASSE Cosideriamo sempre il segale geerico (t periodico di periodo, del quale suppoiamo di cooscere lo sviluppo i serie di Fourier (rappresetato dai coefficieti. Se ribaltiamo il segale rispetto all asse delle ordiate, otteiamo il uovo segale z( t ( t Autore: Sadro Petrizzelli

22 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo sempre ovviamete periodico di periodo. Allora, si dimostra (i modo del tutto aalogo ai casi precedeti, ossia tramite l applicazioe della semplice defiizioe che lo sviluppo i serie di Fourier di z(t ha come coefficieti le quatità z PROPRIEÀ DI CONVOLUZIONE Siao (t e y(t due geerici segali periodici co lo stesso periodo. Di etrambi i segali suppoiamo di cooscere lo sviluppo i serie di Fourier: siao e y i coefficieti dei rispettivi sviluppi. Cosideriamo adesso u uovo segale che si ottega effettuado il prodotto di covoluzioe tra (t e y(t: quidi, per defiizioe di prodotto di covoluzioe tra due segali periodici, si ha che z( t ( t * y( t ( y( t d τ τ τ Si dimostra acora ua volta che ache z(t è u segale periodico di periodo : oi vogliamo adesso dimostrare che il suo sviluppo i serie di Fourier preseta come coefficieti il prodotto dei rispettivi coefficieti degli sviluppi di (t e y(t, ossia z y Applichiamo sempre la defiizioe di coefficiete dello sviluppo i serie di Fourier di u segale z(t: z j ft j ft / z t e y t d e / / ( ( τ ( τ τ Nelle ipotesi sotto le quali oi stiamo operado si da quado abbiamo itrodotto lo sviluppo i serie di Fourier, è lecito ivertire l ordie di itegrazioe, per cui possiamo scrivere che z j ft / y t e d / ( τ ( τ τ Nell itegrale più itero, quello cioè i, la fuzioe (τ o dipede da t, per cui la possiamo portar fuori dell itegrale e scrivere che z j ft / y t e d / ( τ ( τ τ Adesso, operado, sempre ell itegrale più itero, il cambio di variabile t-τs, otteiamo z j f s j f j fs y s e ds d e y s e ds d / τ / / τ ( τ τ ( τ ( τ ( τ ( τ τ τ Autore: Sadro Petrizzelli

23 Serie di Fourier Così facedo, l itegrale più itero risulta essere y per defiizioe, per cui j fτ z y ( τ e dτ L itegrale che rimae è ivece proprio, per cui la tesi è dimostrata. ESEMPIO Cosideriamo il segale rappresetato i figura: s(t A - t D Si tratta evidetemete di u segale periodico il cui periodo geerico è stato idicato i figura. Vogliamo calcolare lo sviluppo i serie di Fourier. ale sviluppo ha l espressioe geerale j ft s( t e per cui determiarlo sigifica determiare i coefficieti. La formula geerale per il calcolo di questi coefficieti è la seguete: jft s( t e Applichiamo allora tale formula: il fatto che l itegrazioe sia ristretta all itervallo [-,] ci è subito di aiuto i quato ci accorgiamo che, i tale itervallo, il segale vale se t ]-,-D/[ ]D/,[ metre vale semplicemete A quado t [-D/,D/] dove D è l area di ogi impulso che costituisce il segale. Di cosegueza, abbiamo che j Df j Df [ e e ] jf t A jft s t e Ae ( jf A f si( f D D/ D/ Ricordadoci adesso di come abbiamo defiito la fuzioe seo cardiale di, ossia 3 Autore: Sadro Petrizzelli

24 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo sic( si( possiamo cocludere che A AD si f D f f D si f D AD ( sic f ( ( I coclusioe, quidi, lo sviluppo i serie di Fourier del ostro segale è il seguete: AD s( t ( sic( f e jf t Facciamo osservare che la quatità AD/ o è altro che l area racchiusa da ciascu impulso divisa per il valore del periodo. APPROSSIMAZIONE FORNIA DALLO SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cosideriamo uovamete la forma espoeziale dello sviluppo i serie di Fourier di u geerico segale s(t periodico: ( t dove i coefficieti dello sviluppo hao espressioe e j ft jft ( t e Nell itrodurre tale sviluppo i serie, abbiamo detto che esso costituisce ua rappresetazioe alterativa del segale (t. Ora, suppoiamo di o cooscere quale sia l espressioe dei coefficieti, per cui sappiamo solo che sussiste la relazioe ( t e jf t Lo sviluppo a secodo membro costa di ifiiti termii e solo icludedoli tutti otteiamo ua rappresetazioe esatta di (t. Al cotrario, se oi cosideriamo solo u umero fiito di termii, dobbiamo ecessariamete otteere ua approssimazioe del segale (t. I particolare, suppoiamo di limitarci a N coefficieti, ossia suppoiamo di predere ( t N e jft dove N è u umero arbitrario da oi fissato. Vogliamo allora vedere come dobbiamo scegliere i coefficieti i modo da otteere la migliore approssimazioe possibile. Autore: Sadro Petrizzelli 4

25 Serie di Fourier Dato che abbiamo parlato di approssimazioe, è ovvio che dobbiamo ache parlare di errore : ifatti, per u dato istate t, l errore che oi commettiamo approssimado il valore di (t mediate il valore dello sviluppo di Fourier limitato a N coefficieti è pari a e( t ( t e N j ft Allora, dato che e(t è a sua volta u segale, la migliore approssimazioe di (t si ottiee per quei coefficieti i corrispodeza dei quali la poteza associata ad e(t risulta la miima possibile. Il ostro obbiettivo diveta duque quello di determiare tale che la poteza di e(t sia miima. Per defiizioe, tale poteza vale P e lim ( e t e t e t ( lim ( ( * Rimadado alla fie il calcolo del limite, vediamo quato vale l itegrale: sostituedo l espressioe di e(t e quella del suo complesso coiugato, otteiamo jf t e t e t t e t e N N * j ft ( ( ( ( ( Il complesso coiugato è u operatore lieare, per cui possiamo portarlo detro le paretesi quadre e successivamete detro la sommatoria: e t e t * t e t * j ft * e N N j ft ( ( ( ( ( ( Eseguedo adesso il prodotto all itero dell itegrale, otteiamo 4 diversi itegrali: N * * N * * N N j ft ( ( ( jft e( t e( t ( t ( t ( t e ( t e N jft * jft e e N Cocetriamoci sul secodo membro: la fuzioe itegrada del primo termie è il modulo quadro di (t, per cui * N * * N N j ft ( ( j ft e( t e( t ( t ( t e ( t e N jft * jft e e N * 5 Autore: Sadro Petrizzelli

26 Apputi di eoria dei Segali - Capitolo Nel secodo e terzo termie, possiamo scambiare sommatoria e itegrale: * * * * N N N N j f t ( ( j ft j f t j ft e( t e( t ( t ( t e ( t e e e Per comodità, ella doppia sommatoria fiale, cambiamo il secodo idice i k: j f t ( ( * j ft j ft j fkt e( t e( t ( t * ( t e * * ( t e e ke N N N Cocetriamoci proprio su tale doppia sommatoria: itato, abbiamo che jft * jfkt * jfkt jft e Ke Ke e N K N N K N Sviluppado qualche termie della sommatoria itera abbiamo quato segue: K N K N N k N j f t j f t j f t j ft j f t [......] jft * jfkt * * * e e e e e e e * No è difficile osservare che quei prodotti valgoo quado K metre valgoo altrimeti: di cosegueza, possiamo cocludere che jft * jf t K e Ke N K N N e quidi, torado alla relazioe di prima, abbiamo che N N * * * N N N j ft ( ( j ft e( t e( t ( t ( t e ( t e Ora, el secodo termie a secodo membro possiamo portare fuori dal sego di itegrale il coefficiete * e lo stesso posiamo fare el terzo termie co : otteiamo * N * * N N N j ft ( ( j ft e( t e( t ( t ( t e ( t e Adesso, se oi poiamo jf t a ( t e * * ( ( jf t a t e Autore: Sadro Petrizzelli 6

27 Serie di Fourier è ovvio che questi due valori soo semplicemete delle costati (ovviamete al variare di, per cui abbiamo che * * * ( ( ( ( e t e t t a a N N N Adado adesso ella defiizioe di poteza assegata al segale e(t, possiamo duque dire che P e N N * * lim t a a ( N N N Abbiamo detto che il ostro scopo è quello di determiare i modo tale che P e risulti miima. Allora ciò che dovremmo fare è calcolare la derivata di P e rispetto ad, porla uguale a e ricavare il valore di. Azi, ricordado che gli soo i geerale complessi, dobbiamo calcolare due derivate parziali di P e, ua rispetto a Re( e ua rispetto a Im( : impoedo che etrambe queste derivate sia ulle, troviamo i valori di Re( e Im( i corrispodeza dei quali P e è la miima possibile. Facedo i calcoli, si ottiee che i valori di quei due coefficieti soo proprio quelli dati dalla defiizioe di sviluppo i serie di Fourier, ossia Re( ( t cos Im( ( t si ( f t ( f t Questo sta a sigificare che voledo limitare lo sviluppo i serie ( t e j ft ad u umero fiito (pari a N di termii, la migliore approssimazioe è quella che si ottiee prededo come coefficieti proprio quelli dello sviluppo i serie di Fourier. Autore: SANDRO PERIZZELLI sadry@iol.it sito persoale: succursale: 7 Autore: Sadro Petrizzelli