Capitolo 4 - Parte I Sistemi regolari a dimensioni finite lineari tempo-continui

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1 Apputi di Teoria dei sistemi apitolo 4 - Parte I Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui Itroduzioe... Sistemi (diamici) a dimesioi fiite... Esempio: sistema idraulico... 3 Esempio: Ritardo puro... 5 ambiameto di riferimeto per lo stato: coordiatizzazioe di u sistema... 6 Esempio: rete elettrica RL... 7 Sistemi regolari... 8 Sistemi regolari a dimesioi fiite... 0 Sistemi lieari... Sistemi (diamici) regolari a dimesioi fiite lieari... 4 La formula di Lagrage... 5 Problema del calcolo della matrice di trasizioe di stato ϕ(t,τ)... Proprietà: o-sigolarità della matrice di trasizioe di stato... INTRODUZIONE Sappiamo ormai bee che, per caratterizzare i modo completo e uivoco u sistema, è ecessario specificare quali soo le caratteristiche dei segueti 8 oggetti: T, U, Ω, X, Y, Γ, ϕ, η Riepiloghiamo velocemete a cosa corrispodoo questi oggetti: l isieme T è il cosiddetto isieme dei tempi e serve a idicare come è defiito il cocetto apputo di tempo per il sistema i esame; questo isieme può essere fatto di umeri reali (quado il tempo è ua gradezza cotiua) oppure di umeri iteri positivi (quado il tempo è ua gradezza quatizzata) e su di esso è ioltre defiita ua relazioe d ordie che coseta sempre di stabilire, dati due istati, quale vega prima e quale dopo; l isieme U è l isieme dei valori ammissibili per l igresso, ossia l isieme dei valori che l igresso può assumere; l isieme Ω è l isieme delle fuzioi ammissibili per l igresso: esso serve a specificare come può evolvere el tempo la forma d oda dell igresso; stesso discorso per l uscita: abbiamo l isieme Y dei valori possibili per l uscita e l isieme Γ delle fuzioi ammissibili per l uscita; poi abbiamo l isieme X degli stati ammissibili del sistema: esso racchiude tutti i possibili valori assumibili da parte delle variabili che foriscoo lo stato del sistema i ogi istate;

2 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I ifie, abbiamo le due fuzioi che foriscoo il legame tra l igresso, lo stato e l uscita: la fuzioe di trasizioe di stato ϕ forisce l evolversi dello stato del sistema, oti che siao lo stato iiziale e l adameto temporale dell igresso; la fuzioe di uscita η forisce ivece il valore dell uscita del sistema i u istate prefissato t a partire dallo stato del sistema i tale istate, dal valore dell igresso i tale istate e, evetualmete, dall istate stesso tempo. Fatto questo riepilogo, vogliamo adesso caratterizzare i sistemi di cui itediamo occuparci i questo capitolo: vogliamo cioè specificare come soo fatti gli 8 oggetti appea richiamati. I precedeza, abbiamo esamiato, come primo tipo di sistemi, i cosiddetti automi : tra le caratteristiche di questi sistemi, spicca sez altro quella per cui gli isiemi U, Y e X soo fiiti, ossia cotegoo u umero fiito di valori. Molto spesso, questa particolare caratteristica viee meo, el seso che questi tre isiemi soo solitamete formati da u umero ifiito di elemeti. Di particolare iteresse soo quei casi i cui, sugli elemeti di questi tre isiemi, soo defiite delle semplici operazioi quali la somma di elemeti ed il prodotto per uo scalare. Tra le molte strutture algebriche di cui è possibile dotare gli isiemi U,Y e X, è di particolare importaza quella che corrispode ad affermare che tali isiemi soo spazi vettoriali o opportui sottoisiemi di spazi vettoriali. Questo per dire, duque, che ci occuperemo di sistemi per i quali gli isiemi U (isieme dei valori di igresso), Y (isieme dei valori di uscita) e X (isieme di stato) soo degli spazi vettoriali o, comuque, opportui sottoisiemi di spazi vettoriali. Dato u geerico spazio vettoriale, sappiamo ache che esso è caratterizzato, tra le altre cose, da ua propria dimesioe, la quale rappreseta il umero massimo di vettori liearmete idipedeti che possiamo trovare i tale spazio. Questa dimesioe può essere fiita (= umero itero positivo) oppure ache ifiita: el primo caso, si parla di spazio vettoriale a dimesioe fiita, metre el secodo si parla di spazio vettoriale a dimesioe ifiita. Nella Teoria dei sistemi, soo di particolare iteresse quei sistemi i cui gli isiemi U,Y e X soo degli spazi vettoriali a dimesioe fiita ed è per questo che ci occuperemo el seguito di questa classe di sistemi. SISTEMI (DINAMII) A DIMENSIONI FINITE L oggetto dei prossimi paragrafi soo duque dei sistemi, detti sistemi (diamici) a dimesioi fiite, aveti la seguete caratteristica fodametale: gli isiemi U, Y ed X soo spazi vettoriali a dimesioe fiita o sottoisiemi di spazi vettoriali a dimesioe fiita. Sulla base di ciò, chiameremo U col ome di spazio di igresso, Y col ome di spazio di uscita e X col ome di spazio di stato. No abbiamo ivece, per il mometo, altri vicoli sugli altri oggetti che caratterizzao il sistema, ossia sugli isiemi Ω e Γ e sulle fuzioi ϕ e η. Tato per avere u esempio cocreto di sistema a dimesioi fiite, cosideriamo la solita rete elettrica esamiata i precedeza: R + R + v IN - y -

3 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui L igresso al sistema è rappresetato dalla tesioe di alimetazioe V IN (t): questa tesioe può assumere u qualsiasi valore reale, dal che deduciamo che l isieme di igresso U coicide co l isieme dei umeri reali R. L uscita del sistema è rappresetata dalla tesioe y(t) ai capi della serie tra R e : ache qui, trattadosi di ua tesioe, essa può variare ell isieme dei umeri reali, per cui Y coicide co R. Ifie, come variabile di stato si cosidera evidetemete la tesioe ai capi del codesatore, il che sigifica, acora ua volta, che X coicide co R. Quidi, gli isiemi U,Y ed X soo degli spazi vettoriali di dimesioe fiita (i questo caso pari ad ), per cui questo sistema rietra ella classe che stiamo esamiado. Ovviamete, o è detto che U,Y ed X debbao essere costituiti dallo stesso spazio vettoriale: ad esempio, el caso del sistema meccaico esamiato i precedeza (el quale l igresso è la forza, l uscita è la velocità e lo stato è la coppia posizioe-velocità), metre gli isiemi U ed Y coicidoo acora ua volta co R, l isieme di stato X coicide co R. Esempio: sistema idraulico Suppoiamo di avere serbatoi, aveti sezioe uguale e costate pari ad A, alimetati da ua portata di liquido Q (itesa come quatità di liquido che fluisce ell uità di tempo) che si divide esattamete a metà tra di essi: Q Q/ Q/ Facciamo l ipotesi che questa portata Q possa essere sia positiva (il che sigifica che il liquido viee immesso ei serbatoi) sia egativa (el qual caso il liquido viee aspirato, sempre i parti uguali, dai due serbatoi). Il ostro scopo è trovare u modello di questo sistema, prededo come igresso la portate Q, come uscita il volume complessivo V di liquido coteuto ei due serbatoi e come stato il livello di liquido i ciascuo dei due serbatoi. Avedo già effettuato l orietazioe del sistema (ossia avedo già idividuato igresso, uscita e stato), tutto sta ad idividuare il modello matematico, ossia ua relazioe che leghi igresso, uscita e stato. Per fare questo, possiamo servirci dell equazioe di cotiuità del liquido: cosiderato il serbatoio, per defiizioe di portata possiamo affermare che il liquido che etra (o esce) el serbatoio, i u tempo, è pari a Q ; ioltre, idicata co dz la variazioe (positiva o egativa) di livello del liquido che si ha el tempo, è chiaro che la variazioe di volume di liquido, sempre el serbatoio, è data da dv = Adz. Possiamo duque scrivere che Q = Adz 3

4 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I da cui dz Q = A. Ragioado i modo aalogo per il serbatoio, abbiamo l altra equazioe dz = Q A Queste due equazioi regolao evidetemete l adameto dello stato del sistema all igresso del sistema stesso. è però da osservare che esse o soo del tutto geerali, i quato ciascua di esse NON vale i due casi particolari: co riferimeto, ad esempio, al serbatoio, il primo caso è quello i cui la portata Q è positiva e, allo stesso tempo, il livello di liquido z è esattamete pari all altezza h del serbatoio stesso: si tratta cioè del caso i cui si cerca di immettere altro liquido quado il serbatoio è già pieo, per cui o ci soo ulteriori variazioi di z, ossia risulta dz il secodo caso è quello iverso, ossia quello i cui la portata Q è egativa e, allo stesso tempo, il livello di liquido z è pari a 0: i questo caso, si cerca di aspirare del liquido quado il serbatoio è vuoto, per cui acora ua volta risulta dz = 0. = 0 ; I coclusioe, il modello matematico di questo sistema può essere espresso el modo seguete: serbatoio serbatoio dz = 0 dz = 0 dz Q = A dz = 0 dz = 0 dz Q = A se z = 0 e Q < 0 se z = h e Q > 0 altrimeti se z = 0 e Q < 0 se z = h e Q > 0 altrimeti A questo puto, vediamo come soo fatti gli isiemi U,Y ed X al fie di verificare se questo sistema è o meo a dimesioi fiite. omiciamo dall isieme di igresso U: come igresso è stata scelta la portata Q, la quale può assumere u qualsiasi valore reale, positivo o egativo; deduciamo che U=R, per cui si tratta di uo spazio vettoriale di dimesioe. ome uscita abbiamo ivece preso il volume complessivo V di liquido: tale volume può assumere,, A h + h, dato che il valore miimo è [ 0 ] evidetemete tutti i valori reali compresi ell itervallo ( ) quello corrispodete a etrambi i serbatoi vuoti, metre il valore massimo è quello corrispodete a 4

5 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui etrambi i serbatoi piei. L isieme rappresetato dai valori reali compresi ell itervallo, A h + h è u sottoisieme di R. [ 0 ( )] Ifie, come stato del sistema abbiamo preso la coppia ( z z ) due serbatoi: i questo caso, cosiderado che z [ 0, h] e z [ 0 h ] R : R, che forisce il livello di liquido ei,, abbiamo u sottoisieme di h spazio di stato h R Possiamo duque cocludere che il sistema cosiderato è a dimesioi fiite, visto che U è uo spazio vettoriale di dimesioe, Y è u sottoisieme di uo spazio vettoriale di dimesioe ed X è u sottoisieme di uo spazio vettoriale di dimesioe. Esempio: Ritardo puro osideriamo u sistema fatto el modo seguete: u(t) y(t)=u(t-) y(t) ome si ota dalla figura, la relazioe tra l igresso e l uscita è y( t) = u( t ), ossia l igresso viee semplicemete ritardato dal sistema di uità di tempo. Itato, si tratta chiaramete di u sistema diamico: se oi fissiamo u istate qualsiasi τ e coosciamo solo il valore u(τ) dell igresso i tale istate, o siamo i grado di cooscere il valore y(τ) dell uscita ello stesso istate; al cotrario, per cooscere y(τ), ci serve cooscere il valore y(τ-) dell uscita relativo a istati precedeti. u Vediamo di defiire le altre caratteristiche di questo sistema. Se suppoiamo che l igresso ( ) può assumere u qualsiasi valore reale, è chiaro che risulta U=R ed ache Y=R, per cui, per il mometo, rietriamo elle ipotesi di sistema a dimesioi fiite. Ioltre, se o poiamo vicoli sull isieme Ω delle fuzioi di igresso ammissibili, o ci sarao vicoli ache sull isieme Γ delle fuzioi ammissibili per l uscita. Resta ora da defiire lo stato del sistema: è chiaro, dalla relazioe y( t) = u( t ), che lo stato del sistema, i u geerico istate t, è rappresetato da tutti i valori che l igresso assume a partire dall istate t- per fiire all istate t. 5

6 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I I questo seso, lo stato del sistema è rappresetato da ua fuzioe del tempo defiita su u itervallo di ampiezza (fuzioe che corrispode alla restrizioe dell igresso al suddetto itervallo); di cosegueza, l isieme di stato X corrispode all isieme di tutte le fuzioi, reali di variabile reale, defiite su u itervallo di ampiezza. E chiaro che questo isieme X è uo spazio vettoriale di dimesioe, dal che deduciamo che il sistema NON è a dimesioi fiite. AMBIAMENTO DI RIFERIMENTO PER LO STATO: OORDINATIZZAZIONE DI UN SISTEMA Tra le varie proprietà degli spazi vettoriali, abbiamo i precedeza esamiato la seguete: dato uo spazio vettoriale V qualsiasi, di dimesioe (fiita), è possibile esprimere u qualsiasi vettore v V mediate ua opportua (e uica) combiazioe lieare dei vettori che costituiscoo ua qualsiasi B x, x,..., x di V, esiste ed è uica la -pla base di V. Per esempio, fissata se la geerica base X = { } (,,..., ) di coefficieti reali che soddisfao la relazioe k k k I coefficieti ( ) v = k x + k x + + k x... k, k,..., k, i base a questa proprietà, predoo il ome di coordiate del vettore v rispetto alla base B X. Il fatto che, fissata la base, la corrispodete -pla di coefficieti sia uica, cosete di affermare che esiste ua corrispodeza biuivoca tra il vettore v e la -pla stessa, ua volta fissata la base. Oltre a questo, abbiamo visto che è possibile passare dalla rappresetazioe di v rispetto alla base B X alla rappresetazioe di v rispetto ad ua qualsiasi altra base B Y : il passaggio di effettua risolvedo il sistema [ v] = T [ v] dove [ v] BX corrispode al vettore coloa ( k, k,..., k ), dove [ ] ( ) B Y B X v BY corrispode al vettore coloa c, c,..., c dei coefficieti che esprimoo v i fuzioe di B Y e dove, ifie, la matrice dei coefficieti T (di dimesioe, ovviamete, *) preseta, come coloe, le -ple dei coefficieti che defiiscoo i vettori di B Y rispetto alla base B X. Questa proprietà è molto importate per i sistemi a dimesioi fiite, per il motivo seguete: suppoiamo di cooscere u geerico stato x X del sistema e di cooscere ache ua base B X di X; k, k,..., k che defiisce x rispetto a tale base; può capitare che questa -pla di coefficieti forisca ua rappresetazioe di x che o è comoda per i ostri scopi: allora, i base alla proprietà richiamata prima, oi siamo liberi di scegliere, a ostro piacimeto, u altra base B Y rispetto alla quale esprimere x; potremo trovare la rappresetazioe di x, rispetto a questa uova base B Y per oi più comoda, semplicemete risolvedo il sistema i queste codizioi, esisterà u uica -pla di coefficieti ( ) [ x] = T [ x] B Y I altre parole, ell aalizzare u sistema a dimesioi fiite, abbiamo la possibilità, ogi volta, di scegliere la base che più si addice ai ostri scopi, ossia la base che forisce la migliore rappresetazioe possibile, i vista degli obbiettivi che ci siamo posti, degli stati del sistema. I ogi B X 6

7 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui mometo, siamo liberi di cambiare base a ostro piacimeto. Queste cosiderazioi costituiscoo il cosiddetto problema della coordiatizzazioe di u sistema. Esempio: rete elettrica RL osideriamo la seguete rete elettrica: + u(t) R R L + y - - ome igresso al sistema cosideriamo la tesioe di igresso u(t); come uscita del sistema, cosideriamo la tesioe y(t) ai capi della resisteza R ; come stato del sistema, ifie, cosideriamo la coppia ( v ( t), i L ( t) ). Per prima cosa, ci chiediamo se il sistema i questioe è a dimesioi fiite: cosiderado che U=R, Y=R e X=R, è chiaro che la risposta è affermativa. Soffermiamoci i particolare sullo spazio di stato X: il geerico vettore apparteete ad X è ella forma v i ; questo vettore, fissati i valori delle due sue compoeti, avrà ua corrispodete L rappresetazioe rispetto a ciascua delle basi che possiamo predere i X. Ad esempio, u esempio di base di X è il seguete: 0 0, Si tratta, evidetemete, della base caoica di R. Suppoiamo allora di fissare u certo stato del v sistema e precisamete x = : è evidete che la rappresetazioe di questo stato, rispetto alla base i L caoica, è v x = v i L = i L il che sigifica che la coppia di coefficieti che defiiscoo questo stato x rispetto alla base caoica v, i. Nessuo ci impedisce, però, di cambiare la base scelta per X: rispetto alla uova base, è ( L ) questo stesso stato x avrà u altra rappresetazioe, ossia u altra coppia di coefficieti che lo idividua i modo uivoco, ma si tratterà sempre e comuque dello stesso stato. 7

8 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I Adesso, suppoiamo di cosiderare, come stato del sistema, o più la coppia ( v t i t ) coppia x = v + i x = v i L L ( ), ( ), ma la ( ), L ( ), ma la loro somma e la loro differeza. Quidi, le variabili di stato divetao adesso x ed x, ossia il x geerico vettore di stato è ella forma x. Allora, fissati acora ua volta i valori ( v, i L ), lo stato del sistema sarà x = v + i L x = v i L Stiamo cioè cosiderado, come stato del sistema, o più la coppia di valori ( v t i t ) L e, cioè, i forma matriciale x v x = x = i L I altre parole, possiamo descrivere lo stato del sistema sia rispetto alla coppia ( v i L ) alla coppia ( x x ), sia rispetto, : ciò che cambia è il riferimeto che oi scegliamo, ma lo stato (cioè le proprietà del sistema) soo comuque le stesse. SISTEMI REGOLARI Quado abbiamo parlato di spazi vettoriali, abbiamo detto che, sul geerico spazio vettoriale, è possibile defiire ua o più orme, ossia ua o più fuzioi che godoo di ua serie di importati caratteristiche. Vediamo allora come si applica il cocetto di orma, defiita su uo spazio vettoriale, ai sistemi. Si defiisce sistema regolare u sistema avete le segueti fodametali caratteristiche: ) i primo luogo, si tratta di u sistema tempo-cotiuo, il che sigifica che l isieme dei tempi T coicide co l isieme dei umeri reali R ed è perciò uo spazio vettoriale di dimesioe fiita (=) ) i secodo luogo, gli isiemi U,Y ed X soo degli spazi vettoriali; 3) ache gli isiemi Ω (fuzioi ammissibili di igresso) e Γ (fuzioi ammissibili di uscita) soo degli spazi vettoriali, co Ω, i particolare, che è a dimesioe ifiita; 4) su ciascuo degli spazi vettoriali U, Ω, Y, Γ e X è defiita almeo ua orma; 5) acora, la fuzioe di trasizioe di stato ϕ (che, ricordiamo, è defiita i T T X Ω ed ha valori i X) è ua fuzioe cotiua i tutti i suoi argometi; 6) ifie, ua volta fissati l istate iiziale τ, lo stato iiziale x(τ) e l adameto dell igresso u ( ), la fuzioe ϕ t è cotiua i tutti gli istati i cui ache la fuzioe u ( ) è cotiua. 8

9 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui Ua prima osservazioe importate, riguardo questa defiizioe, è la seguete: si è detto che la fuzioe di trasizioe di stato ϕ è cotiua i tutti i suoi argometi; questa fuzioe è defiita ell isieme T T X Ω, che è il prodotto cartesiao, i base alle altre ipotesi, di 4 spazi vettoriali, ed ha valori i X, che è uo spazio vettoriale; si tratta, cioè, di ua fuzioe che trasforma vettori di uo spazio vettoriale i vettori di u altro spazio vettoriale; se poiamo V = T T X Ω, la defiizioe di cotiuità, per ua fuzioe fatta i questo modo, è la seguete: Def. Dato v V 0, si dice che ϕ è cotiua i v 0 se e solo se è verificata la codizioe lim ϕ( v) ϕ( v ) = v v 0 V 0 0 X E chiaro che, i questa defiizioe, subetrao le orme defiite sugli spazi vettoriali V ed X. U risultato importate, a questo proposito, è quello secodo cui quella defiizioe o dipede dal tipo di orme che vegoo scelte solo el caso i cui sia V sia W soo spazi vettoriali a dimesioi fiite; al cotrario, se almeo uo dei due è a dimesioi ifiite, è idispesabile specificare a quali orme si fa riferimeto, visto che la defiizioe potrebbe valere per alcue orme e per altre o. Vediamo allora cosa comporta questo risultato el caso dei sistemi regolari. Le ipotesi euciate prima dicoo che, metre T è uo spazio vettoriale a dimesioe certamete fiita, gli spazi X e Ω soo, i geerale, spazi vettoriali di dimesioe igota: questo comporta, duque, che le ipotesi di cotiuità sulle fuzioi ϕ e ϕ siao idipedeti dal tipo di orma scelto t per T, metre possao dipedere dal tipo di orma scelto per X e Ω (el caso siao spazi vettoriali di dimesioe ifiita). Detto i altri termii, quado si dice che è stata defiita ua orma su X e ua su Ω e si dice ache che ϕ e ϕ soo cotiue, l ipotesi implicita è che la scelta delle orme sia stata t fatta i modo da soddisfare le codizioi di cotiuità. Fatta questa importate premessa, vediamo u esempio di sistema regolare ed u esempio di sistema o regolare. osideriamo acora ua volta la rete elettrica: + v IN - R R + y - Abbiamo fatto vedere i precedeza che questo è u sistema a dimesioi fiite, per cui è soddisfatta la secoda ipotesi di regolarità ; ioltre, l isieme dei tempi coicide co R, per cui ache la prima ipotesi è verificata. Deduciamo, quidi, che la rete elettrica è u esempio di sistema regolare. Vediamo se lo stesso si può dire del sistema, esamiato prima, costituito dai due serbatoi alimetati da ua portata Q: 9

10 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I Q Q/ Q/ Possiamo subito affermare che o si tratta di u sistema regolare, per il semplice fatto che o è certamete verificata la secoda ipotesi: ifatti, l isieme di stato X e l isieme di uscita Y soo sottoisiemi, rispettivamete, di R ed R, per cui NON soo spazi vettoriali. SISTEMI REGOLARI A DIMENSIONI FINITE Le caratteristiche dei sistemi regolari e di quelli a dimesioi fiite possoo essere messe isieme per formare ua ulteriore importate classe di sistemi, detti sistemi regolari a dimesioi fiite ; le caratteristiche di u sistema apparteete a questa classe soo le segueti: il sistema è a dimesioi fiite, co X spazio vettoriale di dimesioe, U spazio vettoriale di dimesioe m e Y spazio vettoriale di dimesioe p; il sistema è regolare; la fuzioe di uscita η (che, ricordiamo, è ua fuzioe defiita i X U T ed ha valori i Y) è cotiua i tutti i suoi argometi. Ua cosegueza fodametale di queste caratteristiche è la seguete: fissato u istate iiziale τ, uo stato iiziale x(τ) e l adameto u ( ) dell igresso, il movimeto del sistema (cioè l evoluzioe temporale dello stato del sistema) risulta essere soluzioe di ua equazioe differeziale del tipo dx( t) [ ( ), ( ), ] = f x t u t t Questa equazioe prede il ome di equazioe (differeziale) di stato e va ovviamete risolta co l aggiuta della codizioe iiziale x=x(τ). La soluzioe x(t) di questa equazioe è duque quella che già i precedeza abbiamo chiamato equazioe di movimeto del sistema. E opportuo sottolieare fi da ora che o sempre questa soluzioe è otteibile per via aalitica, per cui, quado sia ecessario, è ecessario adoperare metodi di tipo umerico. osegueza di ciò è che lo studio dei sistemi va sempre impostato sulla base dell equazioe (differeziale) di stato, dato che essa può essere sempre ricavata per via aalitica. Ove sia possibile risolvere questa equazioe differeziale per via aalitica, è possibile otteere ulteriori iformazioi sul sistema. Sempre riguardo l equazioe differeziale, cosiderado che il sistema è a dimesioi fiite, per cui lo stato avrà u umero di compoeti (pari all ordie dello spazio di stato X), è chiaro che si 0

11 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui tratta di ua equazioe differeziale vettoriale, ossia rappresetativa di equazioi differeziali scalari: scritte ella forma più estesa possibile, tali equazioi soo dx ( t) = f x t x t x t u t u t u t t dx ( t) = f x t x t x t u t u t u t t... dx ( t) = f x t x t x t u t u t u m t t [ ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., m ( ), ] [ ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., m ( ), ] [ ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), ] Ua cosa evidete che emerge dall espressioe dell equazioe differeziale di stato è che il valore di dx ( t ) dipede, tra le altre cose, dal valore istataeo u(t) dell igresso. Al fie di rederci coto meglio di questo fatto, proviamo a calcolarci proprio dx ( t ) come limite del rapporto icremetale di x(t). Per defiizioe, questo rapporto icremetale è x( t + ) x( t) D altra parte, fissato l istate t e lo stato del sistema x(t) i tale istate, lo stato del sistema all istate successivo t+ si può calcolare, per defiizioe, mediate la fuzioe di trasizioe di stato: quel rapporto icremetale è duque uguale a ( ( )) ϕ t +, t, x( t), u x( t) Ioltre, il valore della quatità ϕ t + t x t u( ) ( ),, ( ),, i base alla proprietà di causalità di cui gode qualsiasi fuzioe di trasizioe di stato, o dipede dall adameto temporale completo u. Di cosegueza, il dell igresso, ma solo dall adameto ell itervallo i esame, ossia ( ) [ t, t+ ] rapporto icremetale diveta ( ( ) [ t, t+ ] ) ϕ t +, t, x ( t ), u x ( t ) A questo puto, se facciamo il limite per 0, al fie di otteere apputo dx ( t ), è chiaro che questa quatità viee a dipedere, tra le altre cose, solo da u(t). U altra osservazioe riguarda la dipedeza dal tempo della quatità dx ( t ), ossia, i defiitiva, la preseza della gradezza tempo el sistema scritto prima i forma estesa: è chiaro che questa dipedeza compare el caso di sistema tempo-variate, metre scompare el caso di sistema tempoivariate. iò sigifica che, per u sistema tempo-ivariate, il sistema di stato è del tipo seguete:

12 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I dx ( t) = f x t x t x t u t u t u t dx ( t) = f x t x t x t u t u t u t... dx ( t) = f x t x t x t u t u t u m t [ ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., m ( )] [ ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., m ( )] [ ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( )] SISTEMI LINEARI Sia dato u sistema co spazio di stato X e co isieme delle fuzioi di igresso ammissibili Ω; si dice che questo sistema preseta u movimeto lieare i X Ω se gode delle segueti 3 proprietà fodametali: ( ) i primo luogo, la fuzioe di trasizioe di stato ϕ t τ x u( ) ( t,, x, ( )) = l ( t,, x) + f,, u( ) ϕ τ ϕ τ ϕ τ,,, è fatta el modo seguete: ( ) I base a questa relazioe, la fuzioe ϕ è cioè otteibile come somma di due diversi cotributi: il primo cotributo, detto cotributo libero e idicato co ϕ l, idipedete dall igresso, ed u secodo cotributo, detto cotributo forzato e idicato co ϕ f, idipedete dallo stato iiziale x; i secodo luogo, il cotributo libero ϕ l rappreseta ua fuzioe che è lieare rispetto allo stato, ossia gode delle ote proprietà di additività e omogeeità: i formule, se x A e x B soo due diversi stati apparteeti all isieme di stato X del sistema e c A e c B soo due geerici scalari, dire che ϕ l è lieare rispetto allo stato sigifica dire che sussiste la relazioe ( t,, x + c ) = c ( t, ) + c ( t, ) ϕ ϕ τ τ l A A B B A l A B l B i terzo luogo, il cotributo forzato f rappreseta ua fuzioe che è additività e omogeeità: i formule, se u e u B il sistema (apparteeti cioè all isieme Ω A e c soo due geerici scalari, dire che ϕ è lieare rispetto all igresso sigifica dire che sussiste la relazioe ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( )) ϕ t, τ, c u + c u = c ϕ t, τ, u + c ϕ t, τ, u f A A B B A f A B f B U sistema che gode di queste tre proprietà è duque u sistema che preseta u movimeto lieare ell isieme X*Ω. E opportuo osservare che le proprietà di liearità, rispettivamete ello stato e

13 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui ell igresso, del cotributo libero e di quello forzato possoo essere espresse, i maiera sempre formale, el modo seguete: per dire che il cotributo libero ϕ l è lieare ello stato, ossia è lieare rispetto all isieme di stato X, si può scrivere che (,, ) = Φ (, ) ϕ t τ x t τ x l dove il simbolo Φ l ( t,τ ) idica ua trasformazioe lieare operate su x : chiaramete, questa trasformazioe rappreseta ua matrice el caso i cui x sia u vettore di u umero fiito di compoeti (ossia el caso i cui il sistema sia a dimesioi fiite), metre, per gli altri casi, si tratta di u qualche oggetto matematico comuque complesso; i modo del tutto aalogo, per dire che il cotributo forzato ϕ f è lieare ello stato, ossia è lieare rispetto all isieme Ω, si può scrivere che ( t,, u( )) = Φ f ( t, ) u( ) ϕ τ τ f dove il simbolo Φ f ( t, τ ) idica ua trasformazioe lieare operate su u : chiaramete, essedo u ( ) ua fuzioe (apparteete perciò ad uo spazio vettoriale di dimesioe ), questa trasformazioe o rappreseta mai ua matrice. A questo puto, possiamo dare ua ulteriore importate defiizioe, i quato possiamo defiire cosa si itede per sistema lieare. U sistema si dice lieare se preseta le segueti caratteristiche: i primo luogo, gli isiemi U (valori ammissibili di igresso), Ω (fuzioi ammissibili di igresso), X (isieme di stato), Y (valori ammissibili di uscita) e Γ (fuzioi ammissibili di uscita) soo tutti degli spazi vettoriali; ( ) la fuzioe di trasizioe di stato ϕ t τ x u( ) l,,, è lieare i X Ω ; la fuzioe di uscita η( x( t), u( t), t) è lieare i X U. I sistemi lieari soo particolarmete importati per ua serie di motivi: soo piei di proprietà, soo particolarmete facili da realizzare ella pratica e, cosa o trascurabile, soo semplici da studiare. Per questo motivo, ogi volta che sia possibile, si cerca di avere a che fare solo co sistemi di tipo lieare. E bee soffermarsi u mometo sulla secoda e terza proprietà tra quelle appea elecate: i base a quato detto i precedeza a proposito dei sistemi dotati di movimeto libero, dire che la fuzioe di trasizioe di stato è lieare i X Ω e che la fuzioe di uscita è lieare i X U sigifica dire che valgoo le relazioi ϕ t, τ, x, u = Φ t, τ x + Φ t, τ u ( ( )) l ( ) f ( ) ( ) ( x( t), u( t), t) = x( t) + u( t) η η η l f 3

14 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I SISTEMI (DINAMII) REGOLARI A DIMENSIONI FINITE LINEARI Abbiamo i precedeza visto che, dato u sistema (diamico) regolare a dimesioi fiite, fissato u istate iiziale τ, uo stato iiziale x(τ) e l adameto u ( ) dell igresso, il movimeto del sistema (cioè l evoluzioe temporale dello stato del sistema) è soluzioe di ua equazioe differeziale del tipo dx( t) = f[ x( t), u( t), t] Se il sistema è ache lieare, è ovvio che questa equazioe risulta essere lieare rispetto allo stato x(t) ed all igresso u(t); di cosegueza, potremo sez altro scriverla ella forma seguete: dx( t) = x( t) u( t) trasformazioe lieare operate su x(t) trasformazioe lieare operate su u(t) Abbiamo cioè che il termie dx ( t ) (che, per comodità, idicheremo el seguito co il simbolo x& ( t ) ) è dato dalla somma di u termie dipedete solo da x(t) e di u termie dipedete solo da u(t). Si tratta, ovviamete, di capire come soo fatte le due trasformazioi lieari operati, rispettivamete, su x(t) e u(t). Tra le varie ipotesi sotto cui stiamo lavorado, c è quella per cui il sistema è a dimesioi fiite, il che sigifica che l isieme di stato X e l isieme di igresso U soo spazi vettoriali di dimesioe fiita: idicate, allora, co e co m le rispettive dimesioi, è chiaro che x(t) e x& ( t ) soo etrambi vettori ad compoeti, metre u(t) è u vettore ad m compoeti; di cosegueza, perché sia verificata quella relazioe, le due trasformazioi lieari dovrao ecessariamete essere due matrici (i cui elemeti soo, i geerale, delle fuzioi) di dimesioi, rispettivamete, * ed *m: x& ( t) = { F( t) x( t) + { G( t) u( t) * La matrice F(t), che pesa il cotributo dello stato del sistema, prede il ome di matrice di stato, metre la matrice G(t), che pesa il cotributo dell igresso, prede il ome di matrice di igresso. Queste due matrici devoo godere di ua importate ulteriore proprietà: ifatti, stiamo suppoedo che il sistema sia, tra le altre cose, ache regolare, il che sigifica che la quatità x& ( t) deve essere cotiua i tutti gli istati i cui è cotiua la fuzioe di igresso; allora, perché questo accada è ecessario che le matrici F(t) e G(t) cotegao fuzioi cotiue del tempo. Tutto questo discorso o vale solo per l equazioe di stato, ma vale ache per l equazioe di uscita del sistema: ifatti, l ipotesi che il sistema sia lieare prevede che o solo la fuzioe di trasizioe di stato ϕ sia cotiua, ma che lo sia ache la fuzioe di uscita η; questo sigifica che l equazioe di uscita dovrà ecessariamete essere ella forma *m y( t) = x( t) u( t) trasformazioe lieare operate su x(t) trasformazioe lieare operate su u(t) E facile acora ua volta ricavare come devoo essere fatte queste due uove trasformazioi lieari operati su x(t) e u(t): ifatti, essedo il sistema a dimesioi fiite, l isieme di uscita Y è 4

15 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui uo spazio vettoriale di dimesioe fiita; idicata co p questa dimesioe, deduciamo che y(t) è u vettore a p compoeti, per cui le due trasformazioi sarao due matrici, di dimesioi, rispettivamete, p* e p*m: y( t) = { H( t) x( t) + { L( t) u( t) p* Da questa descrizioe si deduce ovviamete che per defiire u sistema regolare, a dimesioi fiite, lieare, i termii di equazioe differeziale di stato e di equazioe di uscita, è ecessario e sufficiete cooscere come soo fatte le 4 matrici F(t), G(t), H(t) e L(t). U caso particolare è quello che si verifica quado il sistema è ache proprio : sappiamo, ifatti, che u sistema geerico si dice proprio quado il valore istataeo dell uscita NON dipede dal valore istataeo dell igresso; è chiaro, allora, che, perché u sistema regolare, a dimesioi fiite, lieare, sia ache proprio, è ecessario che la matrice L(t) sia ad elemeti ulli e si possa perciò elimiare. Possiamo duque riepilogare quato segue: u sistema regolare, a dimesioi fiite, lieare, improprio è descrivibile mediate le equazioi p*m x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) y( t) = H( t) x( t) + L( t) u( t) u sistema regolare, a dimesioi fiite, lieare, proprio è descrivibile mediate le equazioi x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) y( t) = H( t) x( t) La formula di Lagrage A questo puto possiamo porci il seguete problema: suppoiamo di avere a disposizioe l equazioe (differeziale vettoriale) di stato del tipo x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) e l equazioe di uscita del tipo y( t) = H( t) x( t) + L( t) u( t) ; ci chiediamo se, a partire da queste equazioi, possiamo idividuare, i modo uivoco, il corrispodete sistema (diamico) regolare, a dimesioi fiite, lieare. Per rispodere a questa domada dobbiamo semplicemete far vedere che, ua volta fissata ua τ, x ( τ), la soluzioe dell equazioe differeziale di stato rappreseta ua codizioe iiziale ( ) fuzioe di trasizioe di stato, ossia ua fuzioe ϕ t τ x u( ) ( ),,, che goda delle ote proprietà di cosisteza, irreversibilità, composizioe e causalità. Per prima cosa, data l equazioe differeziale x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) e data la codizioe iiziale ( τ, x ( τ) ) fissata, siamo certi che l equazioe ammette ed sola soluzioe che idichiamo evidetemete co x(t). Dobbiamo verificare che questa soluzioe soddisfa le 4 proprietà citate prima. A questo scopo, abbiamo ecessità di trovare per x(t) ua espressioe quato più comoda è possibile. La prima cosa che facciamo è trovare diverse soluzioi dell equazioe omogeea associata all equazioe differeziale di stato, ossia diversi itegrali geerali dell equazioe x& ( t) = F( t) x( t) 5

16 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I Per otteere queste soluzioi distite o possiamo far altro che fissare diverse codizioi iiziali e ricavare le corrispodeti soluzioi: fissata la codizioe iiziale x( τ ) = e = [ 0 0] co ϕ ( t, τ ) ; fissata la codizioe iiziale x( τ ) = e = [ 0 0 0] idichiamo co ϕ ( t, τ ) ; fissata l ultima codizioe iiziale ( τ ) = = [ ] idichiamo co ϕ ( t, τ) ; T..., otteiamo ua soluzioe che idichiamo T..., otteiamo ua secoda soluzioe che T x e..., otteiamo l ultima soluzioe che Le fuzioi che abbiamo così ricavato soddisfao duque le segueti relazioi: dϕ ( t, τ) = F( t) ϕ ( t, τ) x( τ) = e dϕ ( t, τ) = F( t) ϕ ( t, τ) x( τ) = e... dϕ ( t, τ) = F( t) ϕ ( t, τ) τ x( ) = e A questo puto, costruiamo ua matrice, che idichiamo co ϕ( t, τ), usado come coloe proprio le soluzioi appea descritte: [ ] ϕ( t, τ) ϕ ( t, τ) ϕ ( t, τ)... ϕ ( t, τ) = Questa matrice (che è evidetemete quadrata di ordie ), per come è stata costruita, preseta alcue caratteristiche particolari. Ad esempio, se oi, aziché lasciare t geerico, prediamo t=τ, è chiaro che otteiamo la matrice idetità, i base alle codizioi iiziali usate prima: [ ] [ ] ϕ( τ, τ) = ϕ ( τ, τ) ϕ ( τ, τ)... ϕ ( τ, τ) = e e... e = I I secodo luogo, lasciado t geerico, se deriviamo rispetto al tempo, otteiamo quato segue: dϕ( t, τ) dϕ ( t, τ) dϕ ( t, τ) dϕ ( t, τ) =... [ F( t) ϕ ( t, τ) F( t) ϕ ( t, τ)... F( t) ϕ ( t, τ) ] = = = F( t) ϕ ( t, τ) ϕ ( t, τ)... ϕ ( t, τ) = F( t) ϕ( t, τ) [ ] Dire che vale la relazioe ϕ& ( t, τ) = F( t) ϕ( t, τ) sigifica dire che la matrice ϕ(t,τ) soddisfa l equazioe differeziale omogeea x& ( t) = F( t) x( t) co codizioe iiziale ϕ(τ,τ)=i. Ifie, l ultima proprietà che ci iteressa è che la matrice ϕ(t,τ) è defiita i qualsiasi istate di tempo t, i quato comprede, come elemeti, delle fuzioi che soo a loro volta defiite i t. 6

17 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui Allora, l isieme di queste 3 proprietà appea descritte ci cosete di affermare che sussiste la seguete relazioe, che prede il ome di formula di Lagrage : t x( t) = ϕ( t, τ) x( τ) + ϕ( t, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ τ I pratica, quidi questa formula ci cosete di idividuare l equazioe del movimeto (di stato) del sistema, a partire dalla coosceza dell equazioe differeziale di stato, della codizioe iiziale x(τ) e della matrice ϕ(t,τ). Adiamo allora a verificare che, effettivamete, la fuzioe x(t) avete quella espressioe rappreseta l uica soluzioe dell equazioe differeziale x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) i corrispodeza della fissata codizioe iiziale x(τ). Per prima cosa, verifichiamo che essa soddisfi la codizioe iiziale: poedo t=τ i etrambi i membri, abbiamo che x( τ) = ϕ( τ, τ) x( τ) + ϕ( τ, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ Al secodo membro, l itegrale vale 0 i quato gli estremi di itegrazioe soo uguali e, ioltre, abbiamo appurato prima che ϕ(τ,τ)=i, per cui troviamo effettivamete l idetità x(τ)=x(τ). Più complicato è ivece far vedere che quella espressioe di x(t) soddisfa l equazioe differeziale di stato. Adado, itato, a derivare rispetto al tempo, abbiamo che τ τ t dϕ( t, τ) d x&( t) = x( τ) + ( t, ) G( ) u( ) d ϕ ξ ξ ξ ξ Sappiamo che la matrice ϕ(t,τ) gode della proprietà per cui ϕ& ( t, τ) = F( t) ϕ( t, τ) e possiamo perciò scrivere che t d x&( t) = x( τ) F( t) ϕ( t, τ) + ( t, ) G( ) u( ) d ϕ ξ ξ ξ ξ Usado ioltre il teorema di derivazioe sotto il sego di itegrale, abbiamo che x&( t) = x( τ) F( t) ϕ( t, τ) + ϕ( t, t) G( t) u( t) + τ τ dϕ( t, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ = t = x( τ) F( t) ϕ( t, τ) + G( t) u( t) + F( t) ϕ( t, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ = τ = x( τ) F( t) ϕ( t, τ) + G( t) u( t) + F( t) ϕ( t, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ t τ t τ 7

18 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I Mettedo i evideza a siistra, tra il primo ed il terzo termie, la matrice F(t), abbiamo duque che t x&( t) = F( t) x( τ) ϕ( t, τ) + ϕ( t, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ + G( t) u( t) τ Tra paretesi quadre compare proprio l espressioe di x(t) forita dalla formula di Lagrage, per cui possiamo cocludere che x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) ossia che l espressioe di x(t) forita dalla formula di Lagrage costituisce l uica soluzioe dell equazioe differeziale di stato per la assegata codizioe iiziale. L ultima cosa che dobbiamo verificare, come aticipato i precedeza, è che quella espressioe di x(t) soddisfi le 4 proprietà di cui deve ecessariamete gode la fuzioe di trasizioe di stato di u sistema. La prima proprietà da verificare è quella di cosisteza : fissato l istate iiziale τ, fissato lo stato iiziale x(τ)e oto l adameto temporale dell igresso u ( ) applicato al sistema, la proprietà di cosisteza afferma che ( x, u( )) x( ) T x( ) X ( ) fissato t = τ : ϕ t, τ, = τ τ τ u Ω ossia che, se l istate fiale coicide co quello iiziale (quale che esso sia), la fuzioe di trasizioe di stato forisce uo stato fiale coicidete co quello iiziale, a prescidere da quale sia questo stato iiziale e a prescidere ache dall adameto dell igresso. E chiaro che questa proprietà è verificata dall espressioe di x(t) forita dalla formula di Lagrage: ifatti, abbiamo già visto prima che, se calcoliamo x(t) i t=τ, troviamo proprio x(τ). La secoda proprietà è quella di irreversibilità : oti sempre l istate τ, lo stato iiziale x(τ) e l adameto temporale dell igresso applicato al sistema, la proprietà di irreversibilità dice che, se fissiamo u qualsiasi istate fiale t>τ, la fuzioe di trasizioe di stato deve ecessariamete essere i grado di forirci lo stato x(t) del sistema i tale istate. I termii formali, questa proprietà dice che ( x u( )) t x X ( ) la fuzioe ϕ t, τ,, è defiita τ u Ω Ache i questo caso, è evidete che la proprietà è verificata: ifatti, la formula di Lagrage forisce il valore di x(t) quale che sia l istate t τ fissato. Tra l altro, è facile capire che è verificata ache la proprietà di reversibilità (o irreversibilità all idietro ), visto che la formula di Lagrage è defiita ache per t τ (dato che la matrice ϕ(t,τ) è defiita per t τ). La terza proprietà è la proprietà di composizioe : dati 3 istati diversi e successivi t <t <t 3, dato lo stato x = x( t ) del sistema all istate t e dato l adameto temporale dell igresso u ( ), la proprietà di composizioe dice che ( x, u( )) = ϕ x( t ), u( ) x(t ) = ϕ t,t, x(t )+ t, t, ( ) ossia, i altre parole, che lo stato del sistema ell istate fiale t 3 può essere calcolato direttamete come passaggio dall istate iiziale t oppure passado per l istate itermedio t, cioè sommado il passaggio da t a t e quello da t a t 3. Vediamo cosa accade co la formula di Lagrage: per verificare che la x(t) forita dalla formula di Lagrage soddisfi la proprietà di 8

19 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui composizioe, abbiamo prima bisogo di itrodurre ua particolare proprietà della matrice ϕ(t,τ), che prede il ome di proprietà di composizioe o, meglio, di proprietà di semigruppo di ϕ(t,τ). Vediamo perciò di che si tratta. osideriamo l equazioe differeziale di stato del sistema, ossia x& ( t) = F( t) x( t) + G( t) u( t) Nell ipotesi che l igresso al sistema sia ideticamete pari a 0, questa equazioe si riduce semplicemete a x& ( t) = F( t) x( t). La soluzioe x(t) di questa equazioe, i base alla formula di Lagrage, è x( t) = ϕ( t, τ) x( τ) e corrispode a quello che, per i sistemi lieari, abbiamo chiamato movimeto libero del sistema : si tratta, cioè, del cotributo all evoluzioe temporale dello stato del sistema, dovuto solo allo stato iiziale. Fissiamo allora 3 istati diversi t <t <t 3 e idichiamo co x(t ), x(t ) e x(t 3 ) gli stati che il sistema assume i tali istati: i asseza di igresso, possiamo applicare la relazioe x( t) = ϕ( t, τ) x( τ ) per scrivere che x( t ) = ϕ( t, t ) x( t ) x( t ) = ϕ( t, t ) x( t ) 3 3 La prima relazioe è relativa al passaggio dallo stato x(t ) allo stato x(t ), metre la secoda è relativa al passaggio da x(t ) a x(t 3 ): sostituedo allora la prima ella secoda, otteiamo x( t ) = ϕ( t, t ) ϕ( t, t ) x( t ) 3 3 D altra parte, vale ache la relazioe x( t 3 ) = ϕ ( t 3, t ) x( t ) relativa al passaggio diretto da x(t ) a x(t 3 ): uguagliado allora queste due espressioi di x(t 3 ), che deve ovviamete essere lo stesso ei due casi, possiamo cocludere che ϕ( t, t ) = ϕ( t, t ) ϕ( t, t ) 3 3 Sulla base di questa proprietà possiamo far vedere che la formula di Lagrage soddisfa la proprietà di composizioe. Per prima cosa, usado la suddetta formula, calcoliamo lo stato x(t 3 ) prededo come stato iiziale lo stato x(t ): abbiamo che x( t 3 ) = ϕ( t 3, t ) x( t ) + ϕ( t 3, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ I modo aalogo, calcoliamo lo stato x(t 3 ) prededo come stato iiziale lo stato x(t ): x( t 3 ) = ϕ( t 3, t ) x( t ) + ϕ( t 3, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ Ifie, calcoliamo lo stato x(t ) prededo come stato iiziale lo stato x(t ): x( t ) = ϕ( t, t ) x( t ) + ϕ( t, ξ) G( ξ) u( ξ) dξ t 3 t t 3 t t t 9

20 Apputi di TEORIA DEI SISTEMI - apitolo 4 - Parte I Sostituedo quest ultima espressioe i quella precedete, abbiamo che xt ( ) = ϕ ( t, t ) ϕ ( t, t ) xt ( ) + ϕ ( t, t ) ϕ ( t, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ ) d ξ + ϕ ( t, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ ) d ξ t t I base alla proprietà di semigruppo dimostrata prima, questa equivale ache a t t xt ( ) = ϕ ( t, t ) xt ( ) + ϕ ( t, t ) ϕ ( t, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ ) d ξ + ϕ ( t, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ ) d ξ t t Ioltre, se portiamo, detro il primo itegrale, il termie ϕ(t 3,t ) e applichiamo uovamete la proprietà di semigruppo, troviamo che t xt ( ) = ϕ ( t, t ) xt ( ) + ϕ ( t, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ ) d ξ + ϕ ( t, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ ) d ξ t t A questo puto, i due itegrali hao la stessa fuzioe itegrada e gli itervalli di itegrazioe adiaceti, per cui possiamo applicare la proprietà di additività: xt ( 3 ) = ϕ ( t3, t ) xt ( ) + ϕ ( t 3, ξ ) G ( ξ ) u ( ξ) dξ Questa è esattamete l espressioe di x(t 3 ) otteuta prededo come stato iiziale x(t ), per cui possiamo cocludere che ache la proprietà di composizioe è verificata. Ifie, l ultima proprietà da verificare è quella di causalità : questa proprietà afferma che, oto l igresso al sistema, ai fii della valutazioe dello stato fiale del sistema, iteressa solo la restrizioe di tale igresso all itervallo [ τ,t [ di osservazioe, metre o iteressa affatto l adameto della fuzioe al di fuori di questo itervallo. Ache questa proprietà è evidetemete verificata dalla formula di Lagrage: ifatti, l adameto dell igresso compare solo all itero di u itegrale defiito tra t e τ, per cui gli uici valori importati dell igresso soo effettivamete quelli compresi i tale itervallo. La coclusioe che possiamo trarre è duque che l espressioe della x(t) forita dalla formula di Lagrage rappreseta effettivamete ua fuzioe di trasizioe di stato. Tra l altro, si osserva facilmete che questa fuzioe gode ache della proprietà di essere lieare, ossia è esprimibile come somma di u cotributo libero (idipedete dall igresso e dipedete solo dallo stato iiziale) e di u cotributo libero (idipedete dallo stato iiziale e dipedete solo dall igresso). L ulteriore coclusioe da sottolieare è che, date equazioi ella forma t3 t xt &() = Ftxt () () + Gtut () () yt () = Htxt () () + Ltut () () co le matrici F(t), G(t), H(t) e L(t) ote, siamo i grado di iterpretare queste equazioi come, rispettivamete, l equazioe differeziale di stato e l equazioe di uscita di u preciso sistema regolare, a dimesioi fiite, lieare. I altre parole, esiste ua corrispodeza t3 t 3 t 3 0

21 Sistemi regolari a dimesioi fiite lieari tempo-cotiui biuivoca tra il sistema e le due equazioi che e descrivoo le caratteristiche. Problema del calcolo della matrice di trasizioe di stato ϕ(t,τ) I base a quato appea detto, è immediato capire che, dato u sistema regolare, a dimesioi fiite, lieare, è possibile trovare l equazioe del movimeto (cioè la soluzioe dell equazioe differeziale di stato), tramite l applicazioe della formula di Lagrage, solo ell ipotesi di cooscere la matrice ϕ(t,τ), la quale prede il ome di matrice di trasizioe di stato. Viee duque da chiedersi come si fa a calcolare questa matrice e qui subetra u primo grade problema: o sempre è possibile ricavare la matrice di trasizioe di stato per via aalitica. Quado la matrice ϕ(t,τ) o può essere ricavata per via aalitica, è ecessario ricorrere a metodi umerici appropriati. Noi siamo perciò iteressati a capire quali soo i casi i cui la matrice ϕ(t,τ) può essere calcolata co metodi aalitici e, ovviamete, quali soo questi metodi. Proprietà: o-sigolarità della matrice di trasizioe di stato Prima di proseguire co i ostri discorsi, vogliamo dimostrare velocemete ua importate proprietà della matrice di trasizioe di stato ϕ(t,τ) e, precisamete, il fatto che essa sia sempre ua matrice o-sigolare. Data acora ua volta la formula di Lagrage, se suppoiamo che l igresso sia ideticamete ullo, essa forisce, per x(t), l espressioe x( t) = ϕ( t, τ) x( τ) Se cosideriamo τ co istate fiale e t come istate iiziale, è ovvio che questa diveta x( τ) = ϕ( τ, t) x( t) Allora, mettedo isieme queste due, troviamo che x( t) = ϕ( t, τ) ϕ( τ, t) x( t) Perché questa relazioe sia verificata, deve ecessariamete essere ϕ( t, τ) ϕ( τ, t) = I da cui deduciamo che la matrice ϕ(t,τ) ammette ua iversa e questa iversa è la matrice ϕ(τ,t). Autore: SANDRO PETRIZZELLI sadry@iol.it sito persoale: succursale: