Introduzione. Stati di equilibrio e stabilità. Cicli limite... 5 Metodo della funzione descrittiva... 5

Transcript

1 Apputi di Cotrolli Automatici Capitolo 9 Sistemi i retroazioe o lieari Itroduzioe... Stati di equilibrio e stabilità... Cicli limite... 5 Metodo della fuzioe descrittiva... 5 Itroduzioe Ci occupiamo, i questo capitolo, della presetazioe di alcui dei pricipali metodi di studio dei sistemi i retroazioe i preseza di o-liearità: i particolare, esporremo il metodo della cosiddetta fuzioe descrittiva, molto utile per aalizzare la possibilità di iesco, ella catea di cotrollo, di oscillazioi autososteute. Osserviamo subito che o sempre la o-liearità dei sistemi va vista come u feomeo daoso, ecessariamete da evitare: spesso si costruiscoo ifatti sistemi o-lieari i cui l amplificazioe, per motivi di vario tipo, viee eseguita co apparati che i uscita dao u segale la cui ampiezza o è variabile co cotiuità (come avviee, ad esempio, ei segali siusoidali), ma per icremeti fiiti. Stati di equilibrio e stabilità Cosideriamo, per semplicità, sistemi aveti la struttura rappresetata dallo schema a blocchi della figura seguete:

2 Apputi di Cotrolli Automatici Capitolo 9 Si tratta di u sistema i retroazioe (o uitaria, data la preseza di u trasduttore H(s)) i cui, i u puto geerico della catea di amplificazioe diretta, è presete u blocco o lieare. I particolare, suppoiamo che tale blocco o lieare sia di tipo algebrico, il che sigifica che esso è rappresetabile mediate ua precisa fuzioe igresso-uscita. Il resto del sistema è ivece composto da blocchi lieari, ciascuo rappresetabile mediate ua fuzioe di trasferimeto. Facciamo acora u altra ipotesi semplificativa: suppoiamo che l igresso r(t) al sistema sia costate su u valore che idichiamo co r. Ci iteressa studiare il comportameto del sistema i preseza di perturbazioi. A tal fie, è itato ecessario cooscere il puto di equilibrio del blocco o lieare corrispodete all assegato valore r dell igresso. La determiazioe del suddetto puto di equilibrio è abbastaza agevole el caso i cui la caratteristica igresso-uscita dell elemeto o-lieare sia forita i forma grafica. I questo caso, ifatti, il puto di equilibrio (x,y ) corrispodete al valore r dell igresso si può idividuare mediate la costruzioe grafica illustrata ella figura seguete: Si tratta cioè di itersecare la caratteristica y=f(x) dell elemeto o lieare co ua retta avete la seguete equazioe: x = Kr K K K 3 y dove K =G (0), K =G (0) e K 3=H(0) soo i guadagi statici dei tre blocchi lieari preseti ella catea. L equazioe della retta appea euciata deriva semplicemete dall imporre la codizioe di equilibrio alla giuzioe sommate dello schema: ifatti, si osserva immediatamete che l errore e(s) risulta essere e(s) = r(s) H(s)c(s) = r(s) H(s)G (s)y(s) Autore: Sadro Petrizzelli

3 Sistemi i retroazioe o lieari D altra parte, il segale x(s) i igresso al blocco o-lieare vale x(s) = G(s)e(s), per cui, sostituedo, otteiamo x(s) = r(s) H(s)G G (s) (s)y(s) x(s) = G (s)r(s) H(s)G (s)g (s)y(s) Quado l igresso ha il valore costate r(s)=r, vao cosiderati i valori statici (cioè per ω=0, ossia per s=0) delle fuzioi coivolte i questa equazioe, per cui otteiamo proprio (0) = G (0)r H(0)G (0)G (0)y(0) x I defiitiva, quidi, la costruzioe grafica appea illustrata cosete di stabilire come il puto di equilibrio si sposti, lugo la caratteristica dell elemeto olieare, al variare dell igresso: tale puto di equilibrio si può duque pesare idividuato dall itersezioe della caratteristica stessa co ua famiglia di rette parallele, ciascua corrispodete ad u diverso valore dell igresso. C è ache da fare u altra osservazioe: il procedimeto appea descritto vale solo el caso i cui i guadagi statici K, K e K 3 dei tre blocchi lieari siao fiiti. Questo o accade se il sistema i retroazioe preseta uo o più poli ell origie, il che sigifica che G (s) e/o G (s) presetao uo o più poli ell origie. Suppoiamo, ad esempio, che il sistema i retroazioe possieda u polo ell origie: questo comporta che o G (s) o G (s) presetao u polo ell origie e quidi che il corrispodete guadago statico sia ifiito. La soluzioe al problema è semplice: ifatti, se è G (s) ad avere u polo ell origie, all equilibrio risulta x(0) x(0) e(0) = = = 0, da cui cosegue che G (0) e (s) = 0 = r = H(0)c(0) = r H(0)G (0)y(0) y(0) = r r H(0)G (0) K 3K Si deduce, duque, che la costruzioe grafica illustrata prima si modifica el modo seguete: 3 Autore: Sadro Petrizzelli

4 Apputi di Cotrolli Automatici Capitolo 9 Il valore statico dell uscita y del blocco o-lieare è uivocamete fissato dall itersezioe della caratteristica o-lieare co ua retta orizzotale di valore r : al variare dell igresso r, abbiamo duque ua famiglia di rette orizzotali K 3K e o più oblique come el caso precedete. La situazioe è acora più semplice se il polo ell origie è el blocco G (s): ifatti, i questo caso risulta y=0 all equilibrio, il che sigifica ache x=0 dato che la caratteristica o-lieare passa per l origie. Si ha cioè il puto di equilibrio (0,0) per qualsiasi valore dell igresso. A questo puto, ua volta idividuata la codizioe di equilibrio del sistema, si tratta di studiare il comportameto locale dello stesso sistema, ossia il comportameto per piccole perturbazioi rispetto alla codizioe di equilibrio. E abbastaza evidete come tale comportameto locale dipeda, i geerale, dal particolare puto di equilibrio cosiderato e quidi dal valore r dell igresso: ifatti, qualora si operi ua liearizzazioe locale della caratteristica dell elemeto o lieare (cioè si approssimi la curva co la tagete i x,y ), si ottiee u sistema liearizzato il cui comportameto, i cui poli, la cui stabilità dipedoo evidetemete dal particolare stato di equilibrio cosiderato e quidi dal valore r che ha fissato tale stato di equilibrio. Queste cosiderazioi giustificao, sia pure i modo ituitivo, il fatto per cui, el caso dei sistemi o lieari, o ha seso parlare di stabilità di u sistema el suo complesso, metre è ecessario parlare di stabilità del particolare puto di equilibrio cosiderato. Nel caso dei sistemi lieari, ivece, sappiamo bee che il comportameto è idetico i qualuque puto di equilibrio. Ioltre, è ache ituitivo aspettarsi che la stabilità di u sistema o lieare, i preseza di perturbazioi di u particolare puto di equilibrio, possa dipedere dall etità delle perturbazioi stesse. Nel caso dei dispositivi di cotrollo si richiede, i geerale, che risulti asitoticamete stabile, per perturbazioi di qualuque etità, qualuque puto di equilibrio i cui il sistema si possa portare al variare dell igresso. Se la stabilità asitotica, per perturbazioi di qualuque tipo, avviee i corrispodeza solo di u certo umero d stati di equilibrio, si dice che tali stati soo globalmete asitoticamete stabili; se, ivece, essa si verifica per tutti gli stati di equilibrio, si dice che il sistema risulta globalmete asitoticamete stabile. Detto questo, vediamo come si effettua lo studio della stabilità di u puto di equilibrio corrispodete ad u dato valore costate r dell igresso. I primo luogo, si poe x=x-x e y=y-y : le quatità x e y rappresetao duque gli scostameti di x ed y rispetto al valore el puto di equilibrio. Il legame tra x e y è quello forito dalla caratteristica dell elemeto o-lieare ell itoro del puto di equilibrio. Si ha duque u legame acora ua volta grafico di x e y. E opportuo, allora, spostare l origie della caratteristica o-lieare proprio el puto di equilibrio (x,y ): ifatti, operado el sistema di parteza questo cambiameto di origie e poedo ioltre r=r-r, la codizioe di equilibrio i esame corrispode a r=0, il che sigifica che l igresso, ello schema a blocchi, può essere elimiato. Possiamo duque rifarci allo schema a blocchi semplificato della figura seguete: Autore: Sadro Petrizzelli 4

5 Sistemi i retroazioe o lieari Abbiamo ovviamete posto G(s)=G (s)g (s)h(s), i quato i tre blocchi lieari risultao essere i cascata. Il sistema otteuto è duque u sistema autoomo (privo cioè di igresso): lo studio della stabilità del sistema i retroazioe o lieare di parteza, quado r sia costate o letamete variabile, si può ricodurre a quello di ua famiglia di sistemi autoomi di quel tipo; tali sistemi differiscoo uo dall altro per il semplice fatto che l origie delle coordiate x e y è situata, per ciascuo di essi, i u puto diverso della caratteristica y=f(x) del blocco o lieare, i quato diverso è lo stato di equilibrio cosiderato. Cicli limite U altra otevole differeza tra il comportameto dei sistemi lieari e quello dei sistemi o lieari è che questi ultimi possoo presetare ache codizioi di moto periodico autososteuto asitoticamete stabili: ciò sigifica che, dopo ua perturbazioe, il sistema si riporta i tali codizioi. U esempio tipico di sistemi che presetao u comportameto del geere è quello degli oscillatori elettroici, metre ivece tale comportameto o si verifica mai ei sistemi lieari. Quidi, el caso dei sistemi o lieari, o va studiata solo la stabilità degli stati di equilibrio, ma va ache studiata la stabilità delle evetuali soluzioi periodiche, altrimeti dette cicli limite. Lo studio dei cicli limite è importate ache i relazioe ai sistemi di cotrollo: ifatti, quado questi sistemi vegoo portati, ad esempio tramite aumeti del guadago d aello, i codizioi di istabilità, spesso assumoo u moto periodico stabile, dovuto al fatto che le ievitabili saturazioi limitao le escursioi delle diverse variabili e impediscoo quidi l esaltazioe idefiita delle oscillazioi autososteute. Metodo della fuzioe descrittiva Nei capitoli precedeti abbiamo sviluppato metodi di aalisi e sitesi basati sulle ipotesi di liearità e di stazioarietà dei sistemi cosiderati. Queste due ipotesi fao sì che i suddetti metodi risultio determiati per la coduzioe del progetto dei sistemi i retroazioe mediate procedimeti efficieti e relativamete semplici. Tuttavia, è bee ricordare che l ipotesi di liearità è giustificata solo quado tutte le variabili del sistema subiscoo variazioi 5 Autore: Sadro Petrizzelli

6 Apputi di Cotrolli Automatici Capitolo 9 sufficietemete piccole: ifatti, tutti i sistemi fisici soo i realtà o lieari e si comportao approssimativamete come lieari solo per piccoli segali. Nei sistemi i retroazioe, caratterizzati da u elevato guadago d aello, si possoo avere, ivece, delle variazioi otevolissime oché delle saturazioi dei vari segali, che possoo portare, data apputo la preseza della retroazioe, a comportameti istabili, che si maifestao, i geere, co l iesco di oscillazioi persisteti. Questo può accadere ache i sistemi che risulterebbero stabili per piccole variazioi dei segali. Ovviamete, u comportameto di questo geere è da evitare. Il metodo della fuzioe descrittiva costituisce u utile strumeto per verificare se sia possibile l iesco di oscillazioi autososteute i u sistema di cotrollo progettato sotto l ipotesi della liearità. Si tratta di u metodo o rigoroso, ma comuque semplice, ituitivo e soddisfacete ella maggior parte dei casi di iteresse pratico. Nella sua forma più semplice, il metodo della fuzioe descrittiva si applica a sistemi del tipo cosiderato el paragrafo precedete e del quale ripropoiamo lo schema a blocchi: Come ampiamete già detto, il sistema è composto da elemeti diamici lieari, il cui comportameto è descritto da fuzioi di trasferimeto, e da u elemeto o lieare puramete algebrico, caratterizzato da ua relazioe igresso-uscita idipedete sia dal tempo sia dalla frequeza ( ), completamete idividuato dalla caratteristica statica. Al fie di studiare la possibilità di iesco di oscillazioi el sistema, facciamo due ipotesi semplificative: i primo luogo, suppoiamo che l igresso r sia ideticamete ullo; i secodo luogo, suppoiamo che la caratteristica dell elemeto o lieare sia simmetrica rispetto all origie. Avedo supposto ullo l igresso, il sistema i esame può essere rappresetato co il semplice aello idicato ella figura seguete: Il metodo della fuzioe descrittiva si può ache estedere al caso i cui la risposta del blocco o lieare dipeda dalla frequeza, ma i questo caso esso perde la semplicità che e distigue e e giustifica l applicazioe. Autore: Sadro Petrizzelli 6

7 Sistemi i retroazioe o lieari Abbiamo acora ua volta posto G(s)=G (s)g (s)h(s), i modo da scomporre l aello i ua parte o lieare puramete algebrica, che descriveremo mediate la cosiddetta fuzioe descrittiva, ed i ua parte lieare diamica, che sappiamo di poter descrivere mediate la fuzioe di risposta armoica G(jω). Suppoiamo, a questo puto, che il sistema dell ultima figura sia sede di ua oscillazioe persistete; suppoiamo ache che l oscillazioe sia tale che all igresso del blocco lieare l oscillazioe sia siusoidale: proprio i questa ipotesi, che più avati verrà giustificata, cosiste l approssimazioe che si itroduce applicado il metodo della fuzioe descrittiva. Cosideriamo duque il segale x(t) = Xsi( ωt) i igresso al blocco o lieare: l uscita y(t) di tale blocco sarà u segale periodico che possiamo sviluppare i serie di Fourier (per segali reali): y (t) = Y ( a cos( ωt) b si( ω )) 0 t = I particolare, data la simmetria della caratteristica dell elemeto o lieare, lo sviluppo appea citato macherà sicuramete del termie costate (si tratta perciò di u segale a valor medio ullo): y (t) = = ( a cos( ωt) b si( ωt) ) Le espressioi dei coefficieti che compaioo i questo sviluppo soo otoriamete le segueti: π π π a = y(t) cos( ωt) dωt y(t)si( ωt) b π π = dωt π E ache possibile esprimere lo sviluppo i serie i altro modo: y (t) = = ( ωt ϕ ) dove i valori di Y e ϕ soo legati a quelli di a e b dalle segueti relazioi: Y si 7 Autore: Sadro Petrizzelli

8 Apputi di Cotrolli Automatici Capitolo 9 Y = a b ϕ a = arc ta b I geerale, i valori di a e b (e quidi ache i valori di Y e ϕ ) soo fuzioi dell ampiezza X del segale x(t) i igresso al blocco o-lieare. L ultima espressioe riportata di y(t) mette i evideza come tale segale sia somma di ifiite armoiche, ciascua ad ua pulsazioe multipla della fodametale, che coicide co quella dell igresso x(t): ( ωt ϕ ) Y si( ωt ϕ ) Y si( ωt ϕ )... y(t) = Y si 3 3 Possiamo a questo puto defiire la fuzioe descrittiva: si tratta di u umero complesso, fuzioe dell ampiezza X del segale siusoidale applicato i igresso, il cui modulo è pari al rapporto tra l ampiezza Y dell armoica fodametale di uscita e quella X del segale di igresso ed il cui argometo è uguale allo sfasameto ϕ dell armoica fodametale di uscita rispetto al segale di igresso. Aaliticamete, possiamo duque esprimere la fuzioe descrittiva, idicata co F(X), el modo seguete: F(X) = Y (X) e X jϕ (X) dove abbiamo evideziato la dipedeza da X sia di Y sia di ϕ. Il sigificato cocreto della fuzioe descrittiva è abbastaza evidete: oti l ampiezza X e lo sfasameto (supposto ullo, cioè preso a riferimeto) dell igresso x(t) al blocco o lieare, l uscita y(t), ell ipotesi di cosiderare solo l armoica fodametale e di trascurare le altre armoiche, è data da y(t) = Y si ( ωt ϕ ) = F(X) Xsi( ωt phf(x) ) L uscita del blocco o-lieare ha duque le segueti caratteristiche: è isofrequeziale co l igresso (avedo cosiderato solo l armoica fodametale); la sua ampiezza è pari al prodotto dell ampiezza X dell igresso per il modulo della fuzioe descrittiva; la sua fase (espressa ovviamee i radiati) è pari alla fase della fuzioe descrittiva. I base a questo, etro i limiti corrispodeti a tale approssimazioe, la fuzioe descrittiva risulta del tutto aaloga alla fuzioe di risposta armoica, salvo che essa dipede dall ampiezza X aziché dalla pulsazioe ω del segale i igresso. Per quato riguarda l ipotesi di trascurare le armoiche di ordie superiore al primo, ci soo almeo due cosiderazioi che la redoo lecita: la loro ampiezza è di solito molto miore di quella della fodametale; la parte lieare del sistema, comportadosi i geere come u filtro passabasso (soo tali tutti i sistemi aveti fuzioe di trasferimeto razioale Autore: Sadro Petrizzelli 8

9 Sistemi i retroazioe o lieari strettamete propria), tede comuque a ridure l ampiezza rispetto alla fodametale. Ad ogi modo, caso per caso si può comuque verificare a posteriori se tale ipotesi è effettivamete giustificata. Adesso, suppoedo che le armoiche di ordie superiore al primo vegao perfettamete filtrate, ci chiediamo quale sia la codizioe affiché il sistema sia sede di ua oscillazioe permaete che all igresso del blocco o lieare si x(t) = Xsi ωt : tale codizioe è otoriamete data da preseti ella forma ( ) F(X)G( jω ) = Essedo coivolte delle quatità complesse, questa uguagliaza corrispode a due uguagliaze, ua sui moduli e ua sugli argometi: F(X)G(jω) = ( ν ) π itero ϕ(x) phg(jω) = ν Queste due equazioi presetao due icogite, ossia l ampiezza X e la pulsazioe ω dell oscillazioe i igresso al blocco o lieare: tutte e sole le soluzioi (X,ω) di tali equazioi corrispodoo alle ampiezze ed alle pulsazioi delle possibili oscillazioi autososteute. Il modo più comodo di idividuare tali soluzioi è quello grafico, riportato ella figura seguete: Si tracciao, riferedoli allo stesso sistema di assi cartesiai, i diagrammi polari delle fuzioi G(jω) ed F(X), il primo graduato i ω ed il secodo i X. Gli evetuali puti di itersezioe (che ella figura soo A e B) corrispodoo a valori delle coppie (X,ω) per i quali è soddisfatta la codizioe F(X)G(jω ) =, per cui caratterizzao possibili oscillazioi autososteute. Autore: Sadro Petrizzelli (sadry@iol.it) sito persoale: 9 Autore: Sadro Petrizzelli