Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 5

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2 (,,, ) vettore di v.a. la cui legge è assegata mediate: Fuzioe di ripartizioe cogiuta: F(,,, )=P[,,, ] Oppure Caso discreto Fuzioe di massa di probabilità cogiuta: (,,, )=P[ =, =,, = ] Caso cotiuo (variabili cogiutamete cotiue) Fuzioe di desità di probabilità cogiuta: CR P,,, C,,, dd d C

3 Vettori bidimesioali (,Y) vettore aleatorio co desità (,) e uzioe di ripartizioe cogiuta F(,): Fuzioi di ripartizioe margiali: F lim F, F lim F, Y Caso discreto Fuzioi di massa di probabilità margiali: Y,, Caso cotiuo Fuzioi di desità di probabilità margiali:, d, d Y

4 Esempio Fuzioe di massa di probabilità cogiuta (,) () Y ().4.6 Fuzioi di massa di probabilità margiali

5 Esempio,, altrove e Fuzioe di desità di probabilità cogiuta e, d e d altrove Fuzioi di desità di probabilità margiali Y, d d e altrove

6 Fuzioe di ripartizioe cogiuta: F, u,v du dv < < < <e <e < e e, F F, u du dv v F, dv v F, udu F, F, u,v du dv l l e e e e

7 e e l, lim F F, lim F F e e e l e l du dv u,v, F Y

8 ,,,,,, stocasticamete idipedeti F,,, F F F Isiemi iiiti di v.a. si dicoo idipedeti se ogi loro sottoisieme iito è ormato da v.a. tutte idipedeti tra loro.

9 Esempio () Y ().4.6 Y,. 4 e Y dipedeti Y. 6

10 altrove e,, Esempio altrove e altrove Y, Y Y R, e Y idipedeti

11 Cov(,Y) = covariaza di, Y E EY EY Formula operativa: Cov,Y E Y EEY Cov(,Y)>, Y positivamete correlate Cov(,Y)<, Y egativamete correlate Cov(,Y)=, Y icorrelate

12 Proprietà della covariaza. Cov, Var. cr Cov,c Cov,Y CovY, Cov Y,Z Cov,Z CovY,Z Cova,Y acov,y 5. Vara by a Var b VarY abcov,y 6. Disuguagliaza di Cauch-Schwartz: Cov,Y Var VarY

13 Teorema e Y idipedeti E(Y)=E() E(Y) Var(+Y)=Var()+Var(Y) Corollario Due v.a. idipedeti soo icorrelate. Le v.a. icorrelate o soo ecessariamete idipedeti.

14 r Y = coeiciete di correlazioe lieare Cov,Y Y Osservazioe Per la disuguagliaza di Cauch-Schwartz: - r Y r Y rappreseta u idice ormalizzato del grado di dipedeza lieare tra e Y.

15 Esempio () Y ().4.6 E EY E Y Cov,Y. 6 e Y icorrelate ρ Y

16 Si cosidera u sistema ormato da vari compoeti idipedeti tra di loro, che o uzioao o soo guasti. Questi compoeti possoo essere collegati i serie o i parallelo. Aidabilità di u compoete (o del sistema) è la probabilità che il compoete (o il sistema) o si guasti durate u periodo di tempo prestabilito. r i = aidabilità dell i-esimo compoete g i C i ={il compoete g i uzioa} r i =P(C i ) r= aidabilità del sistema S={il sistema uzioa} r=p(s) g i compoeti idipedeti C i eveti idipedeti

17 Compoeti i serie g g g r r r r Compoeti i parallelo g g r r r r g

18 Esempio g g 3 g r = r 3 =.9 r = r 4 =.8 g 4 r 3 =.8.9 =.7 r 34 = -(-.7) (-.8) =.944 r = =.8496

19 (c, c,, c ) R (,,, ) vettore aleatorio Y c + + c combiazioe lieare di,,, a coeicieti c, c,, c Per le proprietà di valor medio e variaza: EY c E i i i Var Y c Var c c Cov, i i i i j ji i j i j

20 Teorema,,, idipedeti, i Po(l i ) i Po( l i ) Teorema,,, idipedeti, i N(m i ; i ) (c, c,, c ) R c i i N( c i m i ; c i i )

21 Esempio Supposto che il peso di u idividuo segua ua legge ormale di media 7 Kg e deviazioe stadard Kg, quale deve essere il carico massimo sopportato dalla cabia di u ascesore se si vuole che, co probabilità del 99,9% la cabia resista al peso di 3 persoe scelte a caso. i = peso i-esimo idividuo i N(7; ) i idipedeti C = carico massimo sopportato Y 3 i i ~ N3 7, 3 C C PY C C Kg