Un modello di Vasicek multistato con correlazione tra tassi di default e perdita

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1 U modello di Vasicek multistato co correlazioe tra tassi di default e perdita La correlazioe fra default e recovery ha u impatto sigificativo sui requisiti di capitale per il rischio di credito. I questo articolo, Rahul Se mostra che tale effetto può essere modellato i modo efficiete prevededo stati di perdita multipli all itero del quadro di riferimeto di Vasicek. Nel modello qui proposto l uso di dati arbitrari sulle perdite produce distribuzioi heavy tail e formule o parametriche si applicao a portafogli di grosse dimesioi e graulari La compoete creditizia dello schema di Basilea sul capitale si basa sul modello di distribuzioe delle perdite di Vasicek (cfr. Vasicek (00) e Schöbucher (000)), u modello a due stati i cui alla fie di u dato periodo ua posizioe creditizia potrà trovarsi solo i uo di due stati possibili: default (co gravità della perdita fissa) o o-default. Vasicek utilizza ua copula gaussiaa i cui la correlazioe tra posizioi è espressa da u solo fattore comue, lo stato dell ecoomia: al variare delle codizioi ecoomiche, varia ache il tasso di default del portafoglio, ma la loss give default (LGD) viee teuta costate a u valore L avg tipicamete pari alla LGD attesa (expected LGD o ELGD), ua media o codizioata di tutti gli stati ecoomici. Tale impostazioe è tuttavia i cotrasto co forti evideze empiriche secodo cui i tassi di default e recovery variao etrambi al variare dell ecoomia. Frye e altri (cfr. Frye (005) e relativa bibliografia) ritegoo che l ipotesi di costaza della LGD rappreseti ua grave debolezza poteziale dell assetto di Basilea. Frye dimostra ioltre che il collegameto tra tassi di default e LGD è sigificativo i tutti i settori e le tipologie di debito e suggerisce di sostituire la ELGD co ua sua fuzioe semiempirica, al fie di cogliere l aumeto dei tassi di perdita che accompagao codizioi ecoomiche avverse. U altro suggerimeto empirico riguarda l uso della dowtur LGD corrispodete a codizioi di ralletameto ecoomico. Tale proposta è stata tuttavia criticata i quato tipologie di portafoglio diversi rispodoo co ritardi diversi al ralletameto dell attività ecoomica (RMA Capital Workig Group (005)). Questo articolo preseta u estesioe del modello di Vasicek i cui la frazioe di perdita (loss fractio) può aumetare all aumetare della gravità del default. Gli stati di perdita co LGD progressivamete cresceti soo associati a soglie di valore degli asset (asset threshold) progressivamete iferiori 1 che si collocao sotto la soglia di default. Poiché i livelli di attività del debitore dipedoo dall ecoomia, la LGD varia iversamete co il variare delle codizioi ecoomiche. Ciò sposta la probabilità elle code della distribuzioe delle perdite di portafoglio, producedo u capitale ecoomico tipicamete superiore rispetto a quello calcolato co il modello di Vasicek. Ache Frye (000), Pykhti (003), Hillebrad (006), Barco (007) e altri hao proposto modelli co ua LGD dipedete dall ecoomia. U importate caratteristica distitiva del modello qui presetato è che le formule per la distribuzioe delle perdite e del capitale ecoomico soo trattabili e facilmete implemetabili. Tali uove formule rappresetao u estesioe aturale della formula di Vasicek, e offroo u modo semplice e diretto di icorporare la variazioe della LGD evidete egli istogrammi sulla perdita a livello dei sigoli prestiti o tasso di recovery. Sostazialmete l attuale formula di Basilea o tiee coto di tale variazioe e utilizza solo due medie complessive, la probabilità di isolveza (PD) e la ELGD. Avvaledoci di u esempio basato su dati di Moody s sulle emissioi societarie, dimostriamo di poter trasformare il profilo della LGD a livello di sigolo prestito i ua distribuzioe delle perdite di portafoglio, co la stessa facilità cosetita dal modello di Vasicek. Ioltre, il modello multistato si basa su ua descrizioe geerale e o parametrica del profilo della LGD. Ciò lo distigue dai modelli precedeti, i cui si ipotizzao specifiche forme fuzioali. Il solo vicolo è che i tassi di perdita o devoo dimiuire a frote di u peggiorameto dell ecoomia, codizioe soddisfatta i modo automatico mappado lo spazio campioario dell istogramma delle perdite per sigola posizioe ello spazio di probabilità dei valori delle attività. La trasformazioe ella distribuzioe delle perdite è pertato semplice e diretta, e o 1 Si tratta di u assetto simile a quello di CreditMetrics, basato su stati di perdita poteziale defiiti al di sopra della soglia di default. riskitalia.com 41

2 richiede alcu fittig parametrico (Hillebrad (006) e Barco (007)) dei dati empirici sulle perdite (spesso isufficieti). Oltre a offrire u risultato per u portafoglio di gradi dimesioi, il modello si applica ache ai portafogli fiiti, grazie a ua correzioe per la graularità o fiitezza, aaloga a quella prevista per il modello di Vasicek. Gli altri cotributi di questo articolo soo di atura più teorica. Si dimostra che, a prescidere dai dati sulle perdite sottostati, ua desità delle perdite multistato avrà sempre code superiori e iferiori più spesse rispetto all equivalete desità di Vasicek. Ciò perché, per ua data correlazioe fra debitori, vi soo sempre due regimi ecoomici cotigui: uo i cui la LGD di portafoglio variabile è superiore alla ELGD, e ua complemetare i cui è più o meo uguale. Il modello multistato o cosete ioltre stati di perdita o recovery default-free, teoricamete ammissibili i alcui approcci precedeti. Il modello utilizza ua sola variabile casuale, o driver, per le trasizioi a stati di perdita o default. Per defiizioe, tutti gli stati di perdita esistoo allora solo come sottoisiemi degli stati di default. Ciò è i cotrasto co diversi modelli precedeti che utilizzavao driver distiti per tassi di perdita e default. Si dimostra che i regimi di perdita seza default soo ievitabili i tali casi, a meo che o si coseta l aggregazioe dei driver i u uico elemeto. Ifie, si dimostra che la formula multistato può essere replicata usado diverse trache di Vasicek a due stati co probabilità di default decresceti. Pertato, ache se il modello di Vasicek rappreseta ua versioe a due stati del modello a stati multipli, o è meo corretto cosiderare il risultato a stati multipli come u applicazioe iterativa dell elemeto cetrale del modello di Vasicek. Formulazioe Si cosideri u portafoglio di crediti, e sia K 0 > K 1 >... > K N > uguale a (N + 1) soglie successive associate alla variabile causale: A i = Y ρ + X i 1 ρ (1) i cui ogi A i rappreseta il redimeto logaritmico dell attività di u debitore, o salute fiaziaria, per u dato orizzote temporale. X i e Y soo variabili ormali stadardizzate: X i è ua compoete specifica al debitore o idiosicratica, metre Y è ua variabile comue, quale l ecoomia, che impatta su tutti i debitori. Tutti i processi idiosicratici X i soo reciprocamete idipedeti, e idipedeti dal processo dell ecoomia. La correlazioe fra le attività di due debitori è quidi r, e ogi A i è ormale stadardizzata. Si associo gli importi delle perdite frazioali 3 L 1 <... < L N < L = 1 co le asset threshold i modo che le perdite sosteute dalla baca siao: Stato 0 : frazioedelle perdite = 0 quado A i > K 0 Stato 1 : frazioedelle perdite = L 1 quado K 1 < A i K 0... Stato N : frazioedelle perdite = L N quado K N < A i K N 1 () Stato N + 1 : frazioedelle perdite = L = 1 quado A i K N K 0 è allora la soglia di default. Dato uo stato Y = y dell ecoomia, la probabilità codizioata p _ (y) di trovare u debitore i uo stato, = 0, 1,..., (N + 1) è data da: p 0 ( y) = Pr A i > K 0 Y = y = Pr X i > K 0 y ρ 1 ρ = 1 Φ K 0 y ρ 1 ρ p K ( y) = Pr 1 y ρ X i > K y ρ 1 ρ 1 ρ = Φ K 1 y ρ 1 ρ Φ K y ρ 1 ρ... p N +1 ( y) = Pr X i K N y ρ 1 ρ = Φ K N y ρ 1 ρ Qui Φ è la fuzioe di probabilità cumulata ormale stadardizzata. Le probabilità di stato codizioate possoo essere scritte come: dove: p 0 ( y) = h 0 ( y), p ( y) = h ( y) h 1 ( y),..., p N +1 y h La PD codizioata è: ( y) = Φ y ρ K p D = 1 h N ( y) / 1 ρ ( y) = 1 p 0 y (3) = 1 h 0 ( y) (4) Ciascua h _ (y) rappreseta la probabilità codizioata che il valore dell attivo di u debitore supererà la soglia K. Le probabilità o codizioate corrispodeti, i tutti i possibili stati dell ecoomia, soo date da: p 0 = h 0 ( y)φ( y)dy = h 0 p = h y... h 1 ( y) p N +1 = 1 h N y φ( y)dy = h h 1 φ( y)dy = 1 h N dove φ deota la desità stadardizzata ormale. La PD o codizioata è: (5) p D = 1 p 0 = 1 h 0 (6) Ciascua probabilità o codizioata h può ache essere espressa i modo diretto come: [ ] = 1 Φ( K ) = Φ( K ) h = Pr A i > K Distribuzioe delle perdite e capitale ecoomico Per u dato stato dell ecoomia Y = y, i redimeti delle attività emesse dai debitori soo reciprocamete idipedeti. Pertato, seguedo Vasicek è possibile ivocare la legge dei gradi umeri per affermare che, per u portafoglio di prestiti di gradi dimesioi, la frazioe di prestiti ello stato (per u dato y) è asitoticamete uguale a p _ (y) co probabilità uo. L autore è di recete veuto a coosceza di u maoscritto iedito di Dirk Tasche i cui soo trattati aspetti aaloghi dell approccio a driver uico. Tale lavoro sembra essere il primo esempio di u modello a LGD variabile e u driver. Cfr www-m4.ma.tum.de/pers/tasche/lgd_charges.pdf 3 La frazioe di perdita maggiore, L, può essere i geere uguale a qualsiasi umero positivo iferiore o uguale a uo. 4 Risk Italia Autuo 008

3 Proseguedo co l ipotesi di omogeeità del portafoglio, la frazioe di perdita codizioata per il portafoglio può essere scritta come: = L 1 h 1 ( y) h 0 ( y) λ y + L h N 1 ( y) +L N h N y + 1 h N y Ciò rappreseta la frazioe di perdita del portafoglio per u dato y, co probabilità asitotica uo. La frazioe di perdita attesa (EL) o codizioata è quidi: ˆλ = L 1 h 1 h 0 (8) [ ] + L + L N [ h N h N 1 ] + [ 1 h N ] È ora possibile dimostrare che l _ (y) è ua fuzioe mootoa decrescete di y. Scrivedo: h / 1 ρ ( y) = 1 Φ K y ρ la (7) può essere riorgaizzata come: = 1 Φ y λ( y) = L 1 ( y) + ( L L 1 )Φ 1 ( y)l + ( 1 L N )Φ N ( y) Poiché ciascua Φ _ (y) è ua fuzioe decrescete di y, e gli icremeti del tasso di perdita (L L 1 ) soo tutti positivi per defiizioe, e segue che l _ (y) è mootoa decrescete. Di cosegueza, la fuzioe l _ (y) determia implicitamete la distribuzioe delle perdite del portafoglio crediti: dato che y è ormale e stadardizzata, la probabilità che la perdita frazioale sia iferiore o eguale a ua L * è data da 1 Φ(y * ) = Φ( y * ) = Φ( l _ 1 (L * )), la probabilità che y sia maggiore o uguale a y * = l _ 1 (L * ). Di coverso, il quatile aesimo della frazioe di perdita corrispode all 1 aesimo quatile dell ecoomia. Deotiamo co q a la frazioe di perdita del portafoglio al quatile aesimo; tipicamete, il capitale ecoomico è calcolato i base a u valore come a = 99,9%. Quidi: dove: q α = λ y α = λ Φ 1 ( 1 α) = L 1 ( ψ 1 ψ 0 ) + L + L N ( ψ N ψ N 1 ) + 1 ψ N ψ = h Φ 1 1 α = Φ Φ 1 1 α ρ K / 1 ρ ρ + Φ 1 ( h ) = Φ ( Φ 1 1 α ) / 1 ρ L espressioe di u profilo di perdita a variazioe leta e graduale può essere dedotta procededo per passi ifiitesimali. Rappresetiamo co il umero reale v il livello delle attività, sostituedo le soglie discrete {K }, e sostituiamo {L } co ua fuzioe del tasso di perdita graduale L(v), co 1 L(v) > 0 per alcue v < v 0, e L (v) < 0 i modo che la frazioe di perdita aumeti al dimiuire dei redimeti delle attività. La (9) può allora essere formalmete trasformata i: q α = v 0 ρ v 1 L ( v)ϕ Φ 1 1 α 1 ρ 1 ρ dv (7) (9) (10) (11) Il modello di Vasicek è u caso speciale della (9) i cui N = 1, K 1 =, e viee omesso lo stato di zero-recovery. Quidi ψ 1 = 1, e la formula per il quatile aesimo della frazioe di perdita si riduce a: q α = L 1 ( 1 ψ 0 ) = L avg Φ Φ 1 α ρ + Φ 1 ( p D ) / 1 ρ (1) Questa è la formula di Vasicek. Il simbolo L avg idica che la frazioe di perdita utilizzata è tipicamete la media o codizioata o a lugo termie. La formula multistato può ache essere cosiderata come u applicazioe iterativa della formula di Vasicek a due stati. Questo perché u profilo di perdita di N stati può essere cosiderato come la sovrapposizioe di N profili a due stati. Si riscriva il percetile di perdita (9) come: + δl 1 ( 1 ψ 1 ) + L + δl N ( 1 ψ N ) q α = L 1 1 ψ 0 + δl 3 1 ψ (13) Qui dl,+1 = L +1 L rappreseta u salto della frazioe di perdita al passaggio dallo stato di perdita esimo a quello (+1)esimo. Ciascu termie i (13) è u termie di perdita di Vasicek a due stati co probabilità di default fissata alla corrispodete probabilità di trasizioe. Si deoti co q V (p, L ) il quatile di a D j Vasicek per la probabilità di default p D e la frazioe di perdita (fissa) L j. Le probabilità di trasizioe di stato si deota allora co π 0 = 1 h 0 = p D, π 1 = 1 h 1 e così via. Il quatile multistato è allora: + q V α ( π 1,δL 1 ) +q V α ( π,δl 3 ) + L + q V α ( π N,δL N ) q α = q α V p D, L 1 (14) Questa espressioe descrive il portafoglio del modello multistato come ua raccolta di (N + 1) trache alla Vasicek: a misura che i prestiti superao la soglia di default, le perdite soo i primo luogo sosteute da ua ipotetica trache first loss co frazioe di perdita L 1 ; co il superameto delle soglie iferiori, le perdite iteressao trache co probabilità di default sempre più basse, e frazioi di perdita icremetali dl,+1. Il capitale ecoomico è dato da: EC = q α ˆλ (15) Le (8) (10) mostrao che il capitale ecoomico è ua fuzioe semplice della correlazioe fra il valore delle attività r, il livello percetile a, frazioi di perdita L e probabilità icodizioate h. Come el caso di Vasicek, la correlazioe fra le attività r deve essere specificata i modo idipedete dal modello. I parametri L e h potrao essere estratti direttamete da u istogramma dei tassi di recovery dei sigoli prestiti, come dimostrato sotto. Esempio applicativo L implemetazioe delle formule a stati discreti (9) (10) viee qui illustrata usado dati sulle perdite delle obbligazioi societarie pubblicati dal Moody s Ivestors Service (00), relativi all ampia varietà di codizioi ecoomiche osservate su due decei. La figura 1 mostra i dati sui tassi di recupero di Moody s (exhibit 16 ell origiale) trasformati i u istogramma delle frazioi di perdita. L asse delle ordiate rappreseta le frequeze relative o codizioate, otteute moltiplicado le frequeze origiali codizioata al default per il tasso di iadempieza medio dell 1,4%. L asse delle ascisse mostra i valori itermedi delle classi riskitalia.com 43

4 1 Istogramma delle perdite sulle obbligazioi societarie (dati Moody s) Frequeza relativa (%) 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,5 1,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 Classi dei tassi di perdita (%) 8,5 9,5 99,5 A. Trasformazioe dell istogramma i parametri degli stati delle perdite Stato () L Frequeza relativa K K 1 1,5% 0,07%,18,197 7,5% 0,0%,4,18 3 1,5% 0,04%,37,4 4 17,5% 0,07%,59,37 5,5% 0,04%,71,59 6 7,5% 0,03%,80,71 7 3,5% 0,04%,94, ,5% 0,06%,315,94 9 4,5% 0,05%,333, ,5% 0,06%,356, ,5% 0,07%,384, ,5% 0,08%,418, ,5% 0,09%,46,418 delle frazioi di perdita. Le frazioi di perdita di stato L del modello soo fissate a tali valori itermedi. Le probabilità di trasizioe di stato, o K, soo stimate poedo ciascu Φ(K ) uguale alla frequeza totale relativa delle classi i cui la perdita supera la corrispodete L. La tabella A mostra questi parametri per l isieme dei dati di Moody s. Co l eccezioe degli ultimi due, posti a [95 99%] e [99 100%], ogi classe di perdite copre u itervallo del 5%. Si oti ioltre che ua classe coteuta di perdite egative ei dati origiali è stata iclusa ella classe [0 5%], e che K 1 è posto a a fii di semplicità, riflettedo il fatto che la frequeza relativa dei tassi di recovery iferiore allo 0,5% è descritta come uguale a zero ei dati origiali. Partedo dalla tabella A, il calcolo del quatile (9) è semplice i umeri e figure che seguoo soo stati calcolati co u foglio di calcolo Excel. Per ua correlazioe del 15%, la perdita al 99,9esimo percetile el modello multistato è pari al 9,3%, e il capitale ecoomico all 8,5%. Tali dati rappresetao la perdita per u portafoglio che comprede l itero uiverso di obbligazioi cosiderato da Moody s. Nel modello di Vasicek, la perdita e capitale ecoomico per tale portafoglio si collocao rispettivamete all 8,% e 7,5%. La ELGD, o L avg, è pari al 59%, e la frazioe dei default codizioata (il fattore Φ ella 1) è al 13,9%. Si oti che la formula di Vasicek utilizza solo due caratteristiche macro dell istogramma: la media complessiva della perdita delle classi, che è ua stima della EL, e la somma di tutte le frequeze delle classi, stima della PD. Il fatto di o cosiderare la risoluzioe dell istogramma a livello di classe equivale a combiare tutte le classi i u uica più grade. I pratica si sostituisce la LGD di portafoglio dipedete dall ecoomia co il rapporto fisso EL/PD, provocado ua sottostima del rischio di coda. Il quatile multistato i questo esempio è approssimativamete del 13% maggiore di quello di Vasicek. Tale icremeto è di circa la metà di quello trovato da Barco (007) usado modelli co driver della perdita e default distiti. Come aalizzeremo i seguito, tali modelli prevedoo regimi di perdita seza default (o-defaulted loss), e soo quidi fodametalmete diversi. Tale diversità rede più complicato l esame delle differeze umeriche. Questo puto è aalizzato più i dettaglio ella sezioe sui driver di perdita alterativi ,5% 0,08%,507, ,5% 0,11%,575, ,5% 0,11%,655, ,5% 0,08%,79, ,5% 0,11%,859, ,5% 0,11% 3,076, ,0% 0,08% 3,450 3, ,5% 0,03% 3,450 Variazioe della LGD di portafoglio Il modello a stati multipli esprime essezialmete la LGD di portafoglio come ua poderazioe basata sull ecoomia delle frazioi di perdita di stato L. Al pari della porzioe dei default, ache la proporzioe di isolveze ad elevata itesità di perdita cresce co il peggiorameto delle codizioi ecoomiche. La poderazioe allora si sposta verso le bade a perdita più elevata, producedo ua LGD di portafoglio maggiore. Per questo il rischio di coda è superiore di quello idicato dal modello Vasicek a LGD fissa. Per verifica, si oti che tato la formula di Vasicek che quella multistato possao essere espresse come il prodotto della frazioe dei default codizioata e ua LGD di portafoglio effettiva. Nel modello di Vasicek, la LGD di portafoglio è fissata pari a ELGD = EL/PD. Poiché la EL è data da l^ ella (8), la ELGD è l^ /p D = l^ /(1 h 0 ), e la perdita di Vasicek è: q α V = ˆλ ( 1 ψ 0 ) 1 h 0 L 1 h 1 h 0 = 1 ψ 0 h + L + L N h N 1 N + 1 h N (16) 1 h 0 1 h 0 1 h 0 La quatità i paretesi quadre è la ELGD. La perdita ell approccio multistato può essere espressa i forma simile: L 1 ψ 1 ψ 0 q α = 1 ψ 0 ψ + L + L N ψ N 1 N + 1 ψ N (17) 1 ψ 0 1 ψ 0 1 ψ 0 Il fattore (1 ψ 0 ) è la frazioe dei default codizioata per u ecoomia del percetile (1 a)esimo. Co y 1 a = Φ 1 (1 a) = Φ 1 (a), può essere riscritto come: 44 Risk Italia Autuo 008

5 / 1 ρ Φ K 0 ρ La quatità i paretesi quadre ella (17) è la LGD di portafoglio el modello multistato. Barco (007) la defiisce dowtur LGD. Il raffroto fra le due distribuzioi delle perdite si riduce a u raffroto tra la LGD di portafoglio secodo Vasicek, (ovvero la ELGD), e quella el modello multistato. Si oti che i etrambi i casi, la LGD di portafoglio è la media poderata dei livelli di perdita dei sigoli stati L : la somma dei fattori di poderazioe i paretesi quadra elle (16) e (17) è uo. Nella ELGD, i tassi di perdita di stato soo poderati dalle relative probabilità o codizioate h h 1 = Φ(K 1 ) Φ(K ). Ciò riflette la porzioe relativa di prestiti ello stato di perdita esimo, calcolato i media su tutti gli stati dell ecoomia. La poderazioe è statica e la perdita di portafoglio di Vasicek rispode al variare dell ecoomia solo co la variazioe della frazioe dei default. Nel modello multistato, il peso esimo è proporzioale a: ψ ψ 1 = Φ K 1 ρ / 1 ρ / 1 ρ Φ K ρ Questa è la probabilità codizioata di u debitore che passi all isolveza alla esima loss bad per u ecoomia y 1 a, così che il tasso di perdita per ciascuo stato è poderato i base alla proporzioe di prestiti che occupao tale stato elle codizioi ecoomiche y 1 a. I cotrasto co quato accade co Vasicek, la LGD di portafoglio multistato varia co il ciclo ecoomico. A bassi percetili delle codizioi ecoomiche (elevati percetili delle perdite), aumeta la proporzioe di prestiti che sostegoo perdite più elevate, e la LGD di portafoglio supera la ELGD, producedo ua perdita di portafoglio maggiore. La figura illustra la variazioe della LGD di portafoglio isieme a quella della frazioe dei default codizioata. Tale dipedeza cogiuta dall ecoomia è ua caratteristica empirica fodametale delle serie di dati sulle perdite (Frye (005)). Per gli elevati percetili usati ei calcoli dei requisiti di capitale, la LGD di portafoglio ell approccio multistato supera la ELGD di Vasicek (cfr. figura 3). Per livelli di probabilità più bassi, le distribuzioi delle perdite si itersecao e diveta vero il cotrario (cfr. figura 4). Questa è ua caratteristica uiversale che resta valida per qualsiasi istogramma dei tassi di perdita sottostati. Per ua data serie di dati, ogi correlazioe r è associata a u uica probabilità di itersezioe: al di sopra di questa, la LGD di portafoglio multistato è maggiore, al di sotto lo è la ELGD di Vasicek. Ciò implica che la desità delle perdite ell approccio multistato avrà sempre code superiori e iferiori più spesse rispetto alla equivalete desità di Vasicek (cfr. figura 5). Il cotoro dell itersezioe è il locus (r, a) che risolve l equazioe q a = q V. Nel caso speciale di u modello a tre stati a (due loss bad), la soluzioe è idipedete dai tassi di perdita sottostati, ed è data da (h 1 /h 0 ) = (ψ 1 /ψ 0 ). Nel caso geerale, si può dimostrare che per ciascu r, esiste u uica possibilità di itersezioe a = a^, così che q > q V per a > a^ e q < q V per a < a^. Si scriva ora la LGD di portafoglio multistato ella (17) come: dove: q α = L 1 + δl 1 1 ψ 0 Φ 1 + δl 3 Φ + L + δl N, Φ N (18) LGD di portafoglio a cofroto co la PD per i dati di Moody s, i cui gli stati dell ecoomia soo idicati da uità di s LGD (%) σ ELGD σ σ Ecoomia media 0 0,1 1,0 10,0 100,0 PD codizioata (%) σ σ 3σ 3 Perdita al 99,9 percetile quale fuzioe della correlazioe tra i valori delle attività (dati Moody s) Perdite del portafoglio (%) Multistato Vasicek Correlazioe (%) 4 Porzioe superiore delle distribuzioi delle perdite (dati Moody s, correlazioe = 15%) Probabilità cumulata (%) Multi-state Vasicek 1 Perdite del portafoglio (%) riskitalia.com 45

6 5 Desità delle perdite (dati Moody s, correlazioe = 15%) Desità di probabilità / 1 ρ Φ = Φ K ρ e sia dl,+1 = L +1 L. Ciascu rapporto Φ / è dimostrabilmete ua fuzioe strettamete decrescete di y 1 a. La derivata rispetto a y 1 a è: dove: , 0,4 0, % % Coda iferiore d [ Φ / ] = d ρ 1 ρ φ = φ K ρ Φ φ / 1 ρ Φ φ 0 Dato che K < K 0 per > 0, e r(x) = φ(x)/φ(x) è ua fuzioe mootoa decrescete 4 di x, la derivata è egativa per tutte le y 1 a. Ogi dl,+1 è positiva per defiizioe, e quidi la LGD multistato è ua fuzioe strettamete crescete del livello di percetile. Dato che la ELGD di Vasicek è costate, ciò implica la possibilità di ua sola itersezioe. Ioltre, ciascu rapporto Φ / ha zero e uo come valori limite, dato che y 1 a e y 1 a, rispettivamete. Ciò corrispode ai valori limite di L 1 e L per la LGD multistato. Essedo la ELGD u valore fisso che si colloca proprio tra questi limiti, e cosegue che per ua data correlazioe r, esiste sempre ua uica probabilità di itersezioe a^. Ciò implica che la desità delle perdite multistato porta sempre ua probabilità elle code superiore al suo equivalete di Vasicek (cfr. figura 5). 3 1 Coda superiore Multistato Vasicek 0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 Perdite del portafoglio (%) Driver di perdita alterativi A differeza dei modelli che usao driver casuali distiti per la perdita e il default, questo modello usa u uico driver, A i (equazioi (1) e ()). Pertato, le stesse poderazioi, r = r 1/ per l ecoomia e (1 r ) 1/ per le fortue idividuali dei debitori, si applicao alle trasizioi allo stato di perdita e di default. Tuttavia, poderazioi idetiche o sigificao ecessariamete effetti idetici. La trasizioe di default è cotrollata direttamete da A i, e le velocità relative a cui Y e X i iducoo il default soo di fatto i pesi fattoriali. La velocità di cambiameto della frazioe di perdita, ivece, è diversa i quato mediata dal profilo di perdita L(). 5 Poiché L() è geerale, il modello pur riuciado a u driver aggiutivo e alla possibilità di poderazioi distite accoglie istogrammi dei tassi di perdita arbitrari, come dimostrato dall esempio di Moody s. L uico vicolo teorico, la semimootoia, è soddisfatto automaticamete co ua mappatura delle probabilità cumulate dell istogramma i probabilità cumulate a livello dei sigoli attivi. Oltre ai pesi diversi, i modelli a driver distiti cosetoo ioltre u ulteriore iflueza idiosicratica o sistematica sul tasso di perdita (cfr., per esempio, Pykhti (003) e Barco (007)) ua caratteristica chiaramete o dispoibile el caso del driver uico. Tuttavia, tale flessibilità porta co sé il problematico effetto secodario di cosetire l esisteza di stati di perdita o di recovery idipedetemete dal default, problema che l approccio a driver uico evita per defiizioe, essedo tutti gli stati di perdita sottocategorie degli stati di default. Quado ivece il driver di perdita è distito e quidi almeo parzialmete scollegato dal driver di default, uo stato di perdita può teoricamete verificarsi a prescidere dallo stato di default. Più avati dimostriamo che l uico modo per evitare stati irrealistici di perdita seza default cosiste el ritorare all approccio a driver uico cosetedo la fusioe di fattori diversi i u uico driver. Modelli a driver distiti soo usati da Frye (000), Pykhti e Dev (00), Pykhti (003), Hillebrad (006) e Barco (007), isieme a ipotesi di forme ormali o logormali per il profilo di perdita L(). I driver di default e perdita A i, D i erao defiiti come: A i = Yr + X i 1 r D i = Ys + X i t + ξ i u, u = 1 s t (19) Qui x i è ua variabile ormale stadardizzata, idipedete da X i e Y. Il fatto di porre u 0 cosete di cogliere u ulteriore fattore di perdita idiosicratico x i, o, sopprimedo la otazioe, u ulteriore fattore di perdita sistematico x. I driver icorporao pesi diversi sull ecoomia (r, s) e specifici ai debitori: ( 1 r,t ) I forma matriciale: A i D i = r 1 r Y Y 0 X i = B X i = Bz (0) s t u ξ i ξ i 4 r( x) è l iverso del rapporto di Mill o hazard fuctio, e il risultato è be oto. 5 L() è qui utilizzata come ua otazioe geerale per i profili di perdita cotiui e discreti. 46 Risk Italia Autuo 008

7 Poiché x i, X i e Y soo idipedeti, la desità cogiuta di A i e D i potrà essere scritta come (Aderso (1984)): φ( a i,d i ) = dove O = BB T è la matrice di correlazioe. Semplificado: φ( a i,d i ) = 1 π O exp 1 zt O 1 z (1) 1 exp a i + d i βa i d i π 1 β ( 1 β ), () β = rs + t 1 r Si deoti il profilo di perdita come L(d i ), ua fuzioe del driver di perdita, e si rappreseti co D _ la soglia di perdita, così che L(d i ) = 0 per d i > D _. Si rappreseti co A _ la soglia di default, così che il debitore etra i stato di isolveza per a i < A _. Dato che i driver soo distiti, u prestito potrà raggiugere uo stato di perdita d i D _ a prescidere dalla sua codizioe i termii di default. Pertato L(d i ) può essere cosiderata come ua fuzioe di perdita poteziale (Pykhti (003)) sigificativa solo el caso di default. Tuttavia, se le perdite soo possibili solo come cosegueza del default, la probabilità totale o codizioata di perdita seza default dovrebbe essere pari a zero: Pr A i > A, D i < D = da i dd i φ a i,d i (3) A D = 0 È impossibile soddisfare la (3) seza ridurre il domiio di itegrazioe a zero. Le sole soluzioi soo quidi di degeerare: A _ (probabilità di default del 100%), o D _ (probabilità di perdita zero), oppure porre come idetici i driver di perdita e di default co D _ = A _. Nell ultimo caso, il doppio itegrale si riduce a u itegrale sigolo, e l itegrale sigolo scompare i quato o esiste sovrapposizioe fra la regioe priva di default e quella geeratrice di perdite. Ciò ci riporta quidi a u approccio co driver uico. L esisteza di stati di perdita o di recovery seza default appare pertato come ua caratteristica ieludibile dei modelli a driver distiti e ciò produce dei corollari pericolosi quali ua frazioe di perdita attesa seza default diversa da zero, E[L(d i ) A i > A _ ]. Il modello a stati multipli evita tale difficoltà defiedo gli stati di perdita come sottoisiemi dello stato di default. Correzioe per la graularità Si deoti co M il umero di crediti i portafoglio. La formula per il quatile di perdita (9) rappreseta il limite M del modello. Per M, fiito, è possibile sviluppare ua correzioe per la fiitezza o graularità come el caso di Vasicek (cfr., per esempio, Marti & Wilde (00)). 6 I pesi di portafoglio e i soo ipotizzati essere abbastaza omogeei ( o-lumpy ), i modo da soddisfare la codizioe tecica: 3 [ ρ L / σ L ] Σe i 1/3 / Σei 1/ 0 Qui r 3 L è il terzo mometo cetrale di L(). Cfr. Cramér (1999). 7 I seso stretto, la (6) dovrà compredere ua derivata prima risultate da ua correzioe O(e ) alla (5). Si deoti co e i l esposizioe i caso di perdita dell iesimo prestito (a fii di semplicità, la formula M è stata sviluppata per u portafoglio omogeeo). Per ua data ecoomia Y = y, la fuzioe di perdita dell iesimo prestito è: l i = e i L ( X i 1 ρ + y ρ) ua variabile casuale 5 che dipede solo dalla variabile idiosicratica X i. La media codizioata di l i è allora e i l _ (y), dove l _ (y) è la media codizioata di L(), idicata esplicitamete ella (7) per il caso discreto. Si deoti co s L (y) la deviazioe stadard codizioata di L() per ua data y. Dato che le fuzioi di perdita l i, i = 1,,..., M soo reciprocamete idipedeti per ua data y, dal teorema del limite cetrale ella forma di Lyapuov 6 cosegue che la frazioe di perdita totale: M M λ = l i / e i è asitoticamete ormale co media l _ (y) e variaza: σ i=1 ( y) = σ L i=1 M ( y) e i / i=1 M e i i=1 (cfr., per esempio, Cramér (1999)). Per M, recuperiamo il limite della legge dei gradi umeri poedo s _ 0, caso i cui la frazioe di perdita codizioata totale diveta quasi certamete l _ (y) portado alle formule asitotiche (9) e (11), come idicato sopra. La frazioe di perdita corretta per la graularità si ottiee scrivedo il risultato del limite cetrale come segue: λ λ( y) + Zσ ( y) (4) dove Z è ormale stadardizzata. La (4) resta valida per qualsiasi Y = y, ed è quidi u espressioe geerale della frazioe di perdita i termii di Y e Z. Per u portafoglio omogeeo, s _ (y) si semplifica i s (y)/m, e la frazioe di perdita è L approssimativamete: λ = λ y + σ ( L y) M Z (5) Ciò corrispode alla formula otteuta el caso origiale di Vasicek (Marti & Wilde (00)). Le (4) e (5) esprimoo la frazioe di perdita come ua lieve perturbazioe itoro a ua variabile di base l _ (y). Aalogamete il quatile aesimo è ua lieve correzioe rispetto al quatile secodo la legge dei gradi umeri l _ (Φ 1 (1 a)). Poiché la perturbazioe elle (4) o (5) ha ua media codizioata zero, la correzioe per il quatile di ordie superiore è geeralmete di ordie s _ (y), e specificatamete di ordie 1/M el caso omogeeo (Gourieroux, Lauret e Scaillet (000)). Si deoti co q a il quatile a. Specializzado a u portafoglio uiforme e poedo e = 1/ M e y 1 a = Φ 1 (1 a), l espasioe formale di q a è 7 : riskitalia.com 47

8 6 99,5 percetile delle perdite per i dati di Moody s q α Percetile delle perdite (%) ( ε) q α ε d q α = λ( ) 1 M dε ε=0 dσ L dq α + σ L ε=0 f λ df λ dλ (6) Qui, f l _ deota la desità di probabilità di l _ (y). I passaggi che portao all ultima espressioe sopra soo cosultabili, per esempio, i Rau-Bredow (00). Si scriva l _ (y) ella (7) come: N +1 L j j=1 p j y Per profili di perdita discreti, le espressioi esplicite dei termii di correzioe di graularità ella (6) soo: σ L = B λ dσ L = B dq α λ ε=0 Mote Carlo Corretto per la graularità Asitotico Numero di prestiti, λ, f = φ y1 α λ λ (7) df λ dλ = φ λ φ λ, 3 λ y 1 α = L j p j ( y) B y N +1, φ : desità ormale stadardizzata j=1 (8) La figura 6 mostra u percetile delle perdite corretto per la graularità per i dati di Moody s. La formula (6) sembra corrispodere da vicio a ua simulazioe diretta di Mote Carlo. Per u dato umero di prestiti, la procedura di Mote Carlo geera u isieme campioario di dati di perdita che corrispodoo a tiri della variabile ecoomia. L isieme campioario di dati è quidi ricampioato per geerare ulteriori isiemi di dati secodo ua procedura bootstrap. I puti idicati rappresetao la media bootstrap dei quatili. La stima bootstrap della deviazioe stadard è ell itervallo 0,1 0,%. Coclusioe Rispetto a modelli precedeti, il modello a stati multipli offre u approccio parsimoioso per cogliere gli effetti della correlazioe tra default e gravità della perdita. La sua semplicità risiede ella scelta di usare u uico driver per la perdita e il default, e di evitare ipotesi fuzioali sui tassi di recupero. La prima scelta cosete di escludere casi problematici di stati di perdita seza default, metre la secoda favorisce l iserimeto di dati di perdita arbitrari seza stima parametrica. Ne risulta u assetto sello, teoricamete coerete e di facile utilizzo per affrotare questioi pratiche importati quali il calcolo della dowtur LGD. I questo seso, è possibile cosiderarlo come u caoico modello di perdita moofattoriale co LGD variabile. Cocettualmete tuttavia cotiua a basarsi sul modello di Vasicek a due stati, dato che la formula multistato a LGD variabile è essezialmete u applicazioe ripetuta di quella di Vasicek. Rahul Se è first vice-presidet, della fuzioe home loas risk maagemet della Washigto Mutual Bak a Seattle. L autore rigrazia Michael Pykhti per l atteta rilettura di u precedete maoscritto e Jo Frye per i proficui scambi di opiioe. U rigraziameto va ache a Joh Stewart e a u referee aoimo per gli utili suggerimeti, oltre che a Sea Becketti, Amit Bhatagar, Shiju Liu e Hubert She per i commeti al maoscritto. rahul.se@wamu.et Riferimeti bibliografici Aderso T, 1984 A itroductio to multivariate statistical aalysis Joh Wiley Barco M, 007 Goig dowtur Risk agosto, pp Cramér H, 1999 Mathematical methods of statistics Priceto Uiversity Press, 19 edizioe Frye J, 000 Collateral damage Risk aprile, pp Frye J, 005 A false sese of security I Recovery Rates ad Loss Give Default, a cura di Altma, Resti e Siroi, Risk Books Gourieroux C, J-P Lauret e O Scaillet, 000 Sesitivity aalysis of values at risk Joural of Empirical Fiace 7 (3 4), pp Hillebrad M, 006 Modellig ad estimatig depedet loss give default Risk settembre, pp Marti R e T Wilde, 00 Usystematic credit risk Risk ovembre, pp Moody s Ivestors Service, 00 Default ad recovery rates of corporate bod issuers Special Commet, febbraio Pykhti M, 003 Uexpected recovery risk Risk agosto, pp Pykhti M e A Dev, 00 Aalytical approach to credit risk modellig Risk marzo, pp. S6 S3 Rau-Bredow H, 00 Credit portfolio modelig, margial risk cotributios, ad graularity adjustmet Documeto di lavoro, Uiversity of Würzburg RMA Capital Workig Group, 005 Dowtur LGDs for Basel II agosto Schöbucher P, 000 Factor models for portfolio credit risk Documeto di lavoro, Bo Uiversity Vasicek O, 00 Loa portfolio value Risk dicembre, pp Risk Italia Autuo 008