TEORIA DEI VALORI ESTREMI E APPLICAZIONI AL CALCOLO DEL VALUE AT RISK

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1 UNIVERSITA DI URBINO FACOLTA DI ECONOMIA TEORIA DEI VALORI ESTREMI E APPLICAZIONI AL CALCOLO DEL VALUE AT RISK Giaa Figà-Talamaca Uiversità della Calabria

2 Vale at Risk 1 Il Vale at Risk (Valore a Rischio è defiito come la perdita massima al di sotto della qale si pò adare solo co a bassa probabilità α. Se co X t, t1,2,, rappresetiamo la serie storica del redimeto della ostra posizioe fiaziaria X, si ha: P( X < VaR + 1 α

3 Vale at Risk 2 Il Vale at Risk è qidi qatile, corrispodete i geere al 5% o all 1%, della distribzioe di probabilità del redimeto della posizioe fiaziaria X s orizzote temporale prefissato (1 gioro, a settimaa, etc.. Dal 1986 il Comitato di Basilea ha stabilito che le istitzioi fiaziarie soo tete a calcolare (stimare il proprio VaR come misra del capitale a rischio della società. Le istitzioi soo altresì tete ad accatoare capitale come assicrazioe cotro evetali perdite, i modo proporzioale al VaR calcolato e alla loro affidabilità (rietrado el passato el VaR calcolato, etc..

4 L tilizzo del VaR é stato ed é acora molto criticato dagli accademici e altre misre di rischio soo state itrodotte. Noostate qesto il VaR é tttora tilizzato da molte istitzioi e per migliorare le prestazioi è ecessario dare a accrata descrizioe delle code della distribzioe dei redimeti (Profit- Loss che o pò essere be rappresetata da a distribzioe ormale. Istogramma per le perdite gioraliere MIB30 SP500

5 Aalisi delle code : il Q-Q plot Si ottiee rappresetado i ascissa i qatili teorici per la distribzioe ormale ed i ordiata i qatili della distribzioe empirica. Se i pti risltao slla diagoale la distribzioe empirica è be descritta da qella teorica. Si pò otare che elle code l approssimazioe è scarsa e il VaR o pò essere be stimato dal qatile di a distribzioe ormale. MIB30 SP500

6 Distribzioi leptocrtiche Ua possibile solzioe è qella di rappresetare la distribzioe dei redimeti co a distribzioe diversa dalla ormale e che goda della proprietà di leptocrtosi (idice di crtosi > 3 che è casa delle code grasse. Possibili esempi di tali distribzioi possoo essere la distribzioe t-di stdet, la distribzioe iperbolica o altre, i ci parametri possoo essere stimati tilizzado ttte le osservazioi passate dispoibili si redimeti della posizioe fiaziaria X.

7 La Teoria dei Valori Estremi Si occpa dello stdio di eveti rari ed è iizialmete ata ell ambito della previsioe di catastrofi atrali. Nelle applicazioi fiaziarie l eveto raro pò corrispodere al fallimeto di a società, al crollo del prezzo di titolo azioario o di portafoglio. La Teoria dei valori estremi (EVT si affiaca all aalisi statistica stadard, che aalizza i feomei ella medi foredo strmeti di diagbistica come appto il QQ-plot, per stdiare gli veti rari, ovvero qelli che si trovao elle code di a distribzioe. I particolare, l applicazioe della EVT i ambito fiaziario cerca di stimare la forma distribzioe del redimeto di a posizioe fiaziaria SOLO per qato rigarda le code di tale distribzioe e la si basa sll aalisi dei soli dati estremali ella serie storica dei redimeti passati.

8 Dalle medie agli estremi Ricordiamo che la distribzioe di v.a. X è caratterizzata dalla sa Fzioe di Ripartizioe defiita come: F X ( x P( X x e che a sccessioe di variabili aleatorie X 1,X 2, X si dicoo ideticamete distribite se hao la stessa fzioe di ripartizioe (la stessa distribzioe. Idici sitetici importati ella distribzioe di a v.a. soo la media e la variaza defiite rispettivamete come: + + [ X ] xdf( x E xf ( x dx + + [ ] 2 X x df( x 2 V x f ( x dx

9 Dalle medie agli estremi 2 De dei teoremi cardie dell ifereza statistica stadard rigardao appto la distribzioe della MEDIA di a sccessioe di variabili aleatorie: Siao X 1,X 2, X variabili aleatorie idipedeti ed ideticamete distribite co media µ e variaza σ 2 e sia: X X + X X 1 2 la media aritmetica delle prime. Legge dei gradi meri X + µ Teorema cetrale del limite X σ µ d N(0,1

10 Dalle medie agli estremi 3 Per rappresetare le code di a distribzioe si aalizzao gli eveti estremali che possoo essere rappresetati da de diverse variabili: 1 Il massimo a blocchi delle variabili aleatorie osservate; 2 Il valore degli eccessi sopra a soglia prefissata detta threshold.

11 La distribzioe del massimo campioario Cosideriamo ovamete la sccessioe X 1,X 2, X di v.a. i.i.d poedo la ostra attezioe o più slla media aritmetica ma sl massimo campioario delle v.a. Defiiamo qidi: M max( X, X 2,..., X 1. La distribzioe del massimo è descritta dalla fzioe di ripartizioe otteta come: F ( x P( M x M, [ ] F( x. Baalmete, se x è valore tale che F(x<1 allora: F M, ( x + 0. Risltato di poco iteresse

12 La distribzioe del massimo campioario 2 U risltato limite iteressate si ottiee ivece ormalizzado la variabile massimo mediamte a costate a di scala e a costate b di posizioe per ci si abbia: P M a b x [ ] F( a x + b H ( x + Se a tale distribzioe limite H esiste ed è o degeere, allora deve ecessariamete apparteere ad a certa classe di distribzioi deomiate del valore estremo geeralizzato (GEV. I tale caso si dice che le v.a. X 1,X 2, X hao la fzioe H come domiio di attrazioe per il massimo.

13 Distribzioi GEV Il Three Types Theorem Se il massimo campioario ormalizzato ammette a distribzioe limite H o degeere allora qesta pò essere descritta da a delle segeti forme fzioali: H ( x exp x ( e, x Gmbel H ( x 0 exp( x α x x < > 0 0 Fréchet H ( x 1 exp( x α x x > < 0 0 Weibll co α positivo.

14 Distribzioi GEV: Parametrizzazioe ica Le tre tipologie di fzioi di ripartizioe possoo essere scritte i a forma come del tipo: H ( x exp 1+ ξ x ψ µ 1 ξ + Dove µ é parametro di posizioe, ψ > 0 è parametro di scala e ξ è parametro di forma (il più importate ella descrizioe della forma delle code. Per ξ 0 ritroviamo la distribzioe di Gmbel, per ξ > 0 la distribzioe di Frechét co α ξ -1, per ξ < 0 la distribzioe di Weibll co α -ξ -1. I modo iformale possiamo dire che il caso ξ > 0 corrispode a distribzioi co code pesati e lghe che decrescoo come a fzioe poteza x -1/ ξ, il caso ξ 0 alle distribzioe itermedie co code che decadoo i modo espoeziale e il caso ξ < 0 corrispode a distribzioi co code corte e fiite a destra.

15 Cosideriamo ora di avere a sccessioe di v.a. co come fzioe di ripartizioe F apparteete ad a classe ota: qale è la distribzioe limite GEV del massimo campioario? exp( 1 ( x x F b a log, 1 exp( 1 ( x x e e x a b F + + co Distribzioe Espoeziale Gmbel Distribzioe Normale x d x F 2 exp( 2 1 ( 2 π co 1 (1, 1 1 F b b a exp( 1 ( x x e e x a b F + + Gmbel

16 Code Paretiae Si dice che la distribzioe di a v.a. X ha code Paretiae di ordie α se: α P( X > x 1 F( x cx, co α, c > 0, per x 1 α I qesto caso, poedo a ( c, b 0 si ottiee: F( a x ( ( α α x + 1 c a 1 x exp( x α ovvero il domiio di attrazioe del massimo per a distribzioe co code di tipo Pareto è a Fréchet.

17 La distribzioe degli eccessi Fissato valore soglia idichiamo co Y la v.a. degli eccessi da, YX-. Cosideriamo la distribzioe codizioata: ( 1 ( ( ( ( ( ( ( F F y F X P y X P X y X P X y Y P y F + > + < > + > Qado la soglia tede al valore massimo per la v.a. X è possibile trovare a fzioe di distribzioe limite per tale distribzioe codizioata.

18 La distribzioe degli eccessi 2 Se tale limite esiste qesto appartiee alla classe delle distribzioi Pareto Geeralizzate (GPD ovvero, se: { } 1 sp dove, ; ( ( < x: F(x ω y G y F ξ σ ω allora: + + 0, exp 1 0, 1 1, ; ( 1 ξ σ ξ σ ξ ξ σ ξ y y y G Espoeziale Pareto e Beta

19 Si oti che, assegata a distribzioe F per la sccessioe di v.a. iid, tale limite per la distribzioe codizioata degli eccessi esiste SE E SOLO SE esiste il limite per la distribzioe del massimo campioario e il parametro di forma ξ coicide. Pertato, ovamete, se il parametro di forma è positivo la distribzioe possiede code lghe e pesati, se è egativo, code corte o trocate e se è llo code che decadoo i modo espoeziale. Risltati iteressati slle caratteristiche delle distribzioi GPD soo i segeti: [ ] V Y [ ] (1 2 σ 2 ξ (1, per ξ 2ξ σ + 1 per ξ [ y Y > y > 0], per ξ < 1 E Y E Y σ 1 ξ, ξ y ξ < 1 < 1 2

20 Cosideriamo ora di avere a sccessioe di v.a. co come fzioe di ripartizioe F apparteete ad a classe ota: qale è la distribzioe limite GPD degli eccessi sopra a soglia? F( x 1 exp( x Distribzioe Espoeziale co σ 1 ( ( + z exp( exp F ( z σ 1- exp( z exp( Espoeziale! x 1 2 F ( x exp( 2 d 2π Distribzioe Normale co σ 1 F F( + z F( + ( σ z 1- exp( z 1 F( Espoeziale!

21 Code Paretiae e GPD Nel caso i ci la distribzioe origiale abbia code paretiae, sia σ b, co b > 0, allora: F( σ F( + bz F( 1 F( + α z 1-( 1 + bz che appartiee alle GPD se poiamo ξ1/α e bξ.

22 Distribzioi GPD e Qatili Ua volta oti (stimati i parametri che compaioo ella distribzioe GPD è possibile calcolare i qatili della distribzioe i fzioe di qesti e del threshold scelto. Si ha, per 1-q<1-F( ovvero q> F(: + 1 (1 ξ ξ σ q N Z q co threshold sopra il osservazioi mero di e ( : > q q N q X Z Y P Z Tramite qesta formla è possibile calcolare direttamete il VaR!

23 Stima dei parametri s osservazioi di mercato Il parametro che rislta più importate da stimare per capire la forma delle code della distribzioe empirica dei dati di mercato (redimeti della ostra posizioe fiaziaria è il parametro di forma ξ. Qesto pò essere idifferetemete stimato tramite la distribzioe del massimo (a blocchi fissato mero sfficietemete alto di osservazioi oppre tramite la distribzioe codizioata degli eccessi, fissato threshold sfficietemete alto. Il mero di osservazioi i caso, il threshold ell altro soo scelte arbitrarie che possoo alterare il valore della stima.

24 Il Caso MIB30: X log-perdita gioraliera 0,034 0,021 0,012

25 Approssimazioe della coda el caso del MIB30 1 Cofroto: GPD verss Tail Empirico dell'idice M IB Soglia fissata a 0, G P D t e o r i c a T a i l E m p i r i c o C ofroto: GPD verss Tail Empirico dell'idice M IB Soglia fissata a 0, G P D t e o r i c a T a i l E m p i r i c o

26 Media Aalisi stadard S&P 500 Stdev 0, ,0107 Skewess Krtosis -1, ,27

27 S&P 500 Stima del parametro di forma al variare del threshold (del mero di osservazioi ella coda Valore plasibile itoro a 0.3

28 S&P 500 Stima del parametro di forma e dei Qatili (VaR VaR (99% Parametro di forma 0,0975 0,27 0,1061 0,3 0,1155 0,33 Come variao le stime dei qatili i base al threshold?

29 S&P 500: VaR al variare del threshold Valore plasibile itoro a 0.1, proprio qello trovato i corrispodeza di ξ0.3

30 S&P 500 Fzioe di ripartizioe stimata ed empirica

31 Aalisi stadard del tasso di cambio Jap. Ye /UK. Media Stdev 0, ,077 Skewess Krtosis 0,3406 6,1588

32 Japaese Ye /UK. Stima del parametro di forma Rislta difficile trovare valore ottimale

33 Japaese Ye / UK. Stima del VaR al 99% VaR (99% Parametro di forma 0,0609 0,22 0,066 0,25 0,0717 0,28 L itervallo per il qatile è accettabile, ma come varia la stima co il threshold?

34 Japaese Ye to UK. VaR al variare del threshold

35 Japaese Ye/UK. Fzioe di ripartizioe stimata ed empirica

36 Aalisi stadard del Ftre sl Caffè. Media Stdev 0, ,0204 Skewess Krtosis -0, ,9788

37 LIFFE Coffee Ft. Stima del parametro di forma

38 LIFFE Coffee Ft. Var al 99% VaR(99% Parametro di forma 0,1858 0,27 0,202 0,3 0,22 0,33

39 LIFFE Coffee Ft. VaR al variare del threshold

40 LIFFE Coffee Ft. Fzioe di ripartizioe stimata ed empirica

41 Cofroto tra la stime del VaR al 99% ipotizzado a distrobzioe ormale e co la teoria dei valori estremi. VaR- Normale VaR-EVT S&P 500 2,5% 10,6% Coffee ftres 4,8% 20,2% Ye /UK 1,8% 6,6%