INDICE. Scaricabile su: Algebra e Equazioni TEORIA

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1 P r o f. Gu i d of r c h i i Atepri Atepri Atepri www. l e z i o i. j i d o. c o

2 Scricile su: Alger e Equzioi TEORIA INDICE Nozioi geerli, isiei, uioe ed itersezioe, ueri reli Mooi e polioi Operzioi tr ooi e polioi M.C.D. e.c.. Scoposizioi di polioi i fttori Regol di Ruffii Equzioi di grdo Equzioi di grdo Equzioi fttorili Equzioi iqudrtiche Equzioi ioie Equzioi frtte ESERCIZI Prodotti otevoli M.C.D. e.c.. Rccoglieto fttor coue Regol ri Ruffii Seplificzioi di frzioi lgeriche Equzioi di grdo Equzioi di grdo (spurie, pure e coplete) Equzioi di grdo superiore l Equzioi frtte

3 Scricile su: Alger e Equzioi OPERAZIONI TRA MONOMI E POLINOMI ) So e sottrzioe. L so e l sottrzioe tr ooi è possiile se e solo se i ooi soo siili fr loro. Es. ( y) ( 5 y) ( y) coe si può otre qui sopr, l so tr i due ooi siili, h per risultto u ooio siile i dti, che h per coefficiete l so o l differez ( se essi soo di sego discorde ) tr i sigoli coefficieti, teedo el secodo cso il sego del coefficiete ggiore, i vlore ssoluto. Es. ( y ) ( y ) ( 6 y ) i questo cso l so tr i due ooi dà cor u ooio siile i dti, che h coe coefficiete l so dei sigoli coefficieti ( se essi soo di sego cocorde ). Es. ( y ) - ( 5 y ) ( 8 y ) l differez tr due ooi siili, sostzilete, è u so lgeric tr il prio ooio e l opposto del secodo. ( 5 y ) ( 5 ) y è il suo opposto ( ci solo il sego del coefficiete.) y 5 y ( 5 ) è il suo reciproco ( uertore e deoitore si scio )

4 Scricile su: Alger e Equzioi ( si ricordi che ogi uero itero esprie u frzioe di deoitore uitrio 5 5 ). Quidi rissuedo, per l sottrzioe : ( 8 y) ( 6y) ( y ) iftti ( 8y) ( 6y) ( y) ( 7 y) ( 5 y) ( y ) iftti ( 7 y) ( 5 y) ( y) E del tutto evidete che se i ooi o soo siili le operzioi di so e di sottrzioe o si possoo eseguire e il tutto rie idicto coe seplice polioio : ( y ) ( z ) ( y) ( y z y) Si fcci presete che l uso delle pretesi è idispesile qudo si de evidezire l operzioe lgeric dl sego del sigolo terie ( ooio ) ; divet couque iutile ( el cso di so e di sottrzioe ) se teio preseti le osservzioi ftte i precedez. Es. ( yz) ( ) ( 5 z) ( yz 5 z) ) Moltipliczioe. L oltipliczioe tr due o più ooi è sepre possiile, ddo coe risultto cor u ooio vete coe coefficiete il prodotto dei rispettivi coefficieti e coe prte letterle il prodotto delle rispettive prti letterli ( vvledosi evideteete delle proprietà delle poteze ). Es. ( y ) ( yz) 5 ( 6 y z) ( 5 ) ( yzt) 5 ( yzt)

5 Scricile su: Alger e Equzioi ) Divisioe. Ache l divisioe tr due o più ooi è sepre possiile, ddo coe risultto cor u ooio vete coe coefficiete il quoziete dei rispettivi coefficieti e coe prte letterle il quoziete delle rispettive prti letterli ( utilizzdo sepre le proprietà delle poteze ). Voglio ricordre couque che l divisioe si può, più sepliceete ricodurre d u prodotto tr il prio ooio e il reciproco del secodo. Es. ( 8 y z) : ( yz) ( y ) ( ) ( ) 5 5 : c z c z ( ) ( ) ( ) 5 : c z 5 5 c z cz ) Potez ( di u ooio ). Per potez di u ooio si itede cor u ooio che si ottiee dl precedete elevdo potez si il coefficiete si l prte letterle. ( evideteete vledo sepre le proprietà delle poteze ). Es. ( y z) 6 ( y z ) ( y) 6 ( 9 y )

6 Alger e Equzioi Scricile su: Ricordio or quelle che soo le PROPRIETA DELLE POTENZE ( ) ( ) : : Quest è solo u tepri diostrtiv dei coteuti dispoiili el File Copleto: Alger e Equzioi su Qui sopr vete trovto u prte del cpitolo "Teori"

7 Scricile su: Alger e Equzioi EQUAZIONI DI GRADO c equzioe coplet ed ordit le soluzioi ( o rdici ) dell'equzioe si ottegoo dll' ppliczioe dirett dell forul : ± c dett forul risolutiv. dove c si chi discriite dell equzioe. Allo stesso odo si può utilizzre quell che si chi forul ridott ( otevolete vtggios i certi csi ) ± c

8 Scricile su: Alger e Equzioi Crtteristiche pricipli dell'equzioe di grdo : c ) soluzioi reli e distite. ) soluzioi reli e coicideti. ( il polioio è il qudrto di u ioio ). ) < / R ( essu soluzioe i R ). Csi prticolri dell equzioe di grdo : ( c ) ) Se c l equzioe divet dett che equz. SPURIA pplicdo l forul risolutiv io : c ± ± ±

9 Scricile su: Alger e Equzioi Gli stessi risultti li possio otteere olto più sepliceete usdo il rccoglieto fttore coue : ( ) Es. ( ) ) Se l equz. divet c dett che equz. PURA pplicdo uovete l forul risolutiv io : c c c ± ± ± c c Equivleteete potreo risolvere che così : c c c ± c c NOTA BENE : dl oeto che stio operdo el cpo dei ueri reli le soluzioi di u equzioe pur soo ccettili se e solo se i vlori dei coefficieti e c soo di sego discorde.

10 Scricile su: Alger e Equzioi Quidi :, R >, c < <, c > 6 Es. 6 ± ( >, c < ) 8 8 ± 8 / R I questo cso si potev rgiore i odo seplice cosiderdo che u qudrto ( ) che esprie u qutità positiv o può i essere ugule d u uero egtivo. Ricordio che il grdo di u'equzioe è dto dl grdo ssio di u suo ooio e che il grdo esprie ltresì il uero ssio di soluzioi ( rdici ) dell stess. Il ooio privo di fttore letterle ( icogit ) è detto terie oto dell'equzioe ; l cz di tle terie qulific l'equzioe coe oogee. Sitetizzdo : c c... z c... z... v equzioe ordit ( poteze decresceti ) e coplet ( presez del terie oto ) equzioe ordit ( poteze decresceti ) e icoplet ( cz di u terie ) equzioe ordit oogee ( poteze decresceti ) e icoplet ( cz del terie oto ) Quest è solo u tepri diostrtiv dei coteuti dispoiili el File Copleto: Alger e Equzioi su Qui sopr vete trovto u prte del cpitolo "Teori"

11 Scricile su: Alger e Equzioi Utilizzdo i rccoglieti fttor coue ( totli o przili ) scoporre i segueti polioi : 8. 5 y 5 5 ( y ) 5 y c 6 c ( c) 8. Rccogliedo di prii due terii -, dgli ultii due, si h : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 8. y y I prii tre terii costituiscoo u qudrto di ioio ; e successivete pplicdo l differez di due qudrti : ( y) ( y )( y ) y y Sviluppdo l so di cui dgli ultii due terii : ( 9 )( ) ( )( 9 ) y y Di prii due, dgli ultii due : ( y) ( y) ( y)( ) 6 y y 87. y y Evidezido - e sviluppdo l reltiv so di cui, di prii due terii : y y ( y)( y y ) ( y) ( y)( y y )

12 Scricile su: Alger e Equzioi 88. y y y Evidezido - di prii tre terii si h lo sviluppo di u qudrto di ioio ; dgli ultii due : ( y) ( y ) ( y)( y ) y y y Di prii tre terii si h lo sviluppo di u qudrto di ioio ; dgli ultii due - : ( ) ( ) ( )( ) y 7 y Sodo i terii siili e rccogliedo fttor coue 7 : ( y) 7 y 7y 7 7y 7 Quest è solo u tepri diostrtiv dei coteuti dispoiili el File Copleto: Alger e Equzioi su Qui sopr vete trovto u prte del cpitolo "Esercizi"

13 Scricile su: Alger e Equzioi Risolvere le segueti equzioi di grdo superiore l secodo : 5. Applicdo Ruffii si h : ( )( ) che per l'pputo defiisce u equzioe fttorile. d cui : 5 > ± e quidi rissuedo le soluzioi soo : ± ; 5 5. Applicdo Ruffii si h : - ( )( ) che per l'pputo defiisce u equzioe fttorile.

14 Alger e Equzioi Scricile su: d cui : ± > e quidi rissuedo le soluzioi soo : ± 6 ; 5. Applicdo Ruffii si h : ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )( ) che per l'pputo defiisce u equzioe fttorile. d cui : ± > e quidi rissuedo le soluzioi soo : ( ) ;

15 Scricile su: Alger e Equzioi Avreo potuto che risolvere l'equzioe coe iqudrtic : posto t t t poichè t e risostituedo : ± Sree stto più seplice se d suito vessio otto che : ( ) ( )( ) ± ± Quest è solo u tepri diostrtiv dei coteuti dispoiili el File Copleto: Alger e Equzioi su Qui sopr vete trovto u prte del cpitolo "Esercizi"