13. Risoluzione Numerica delle Equazioni.

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1 pputi jv Cpitolo 3 pg. 3. Risoluzioe Numeric delle Equzioi. Dt l'equzioe ell orm = 0, secod dell tur dell le equzioi si clssiico i: Algeriche Trscedeti Le equzioi lgeriche loro volt si distiguoo i: Rzioli Irrzioli Qudo si risolve u equzioe si deve speciicre l'isieme el qule si ricerco le soluzioi o rdici; se l'isieme o viee idicto, di solito si sottitede R. I R simo i grdo di risolvere equzioi di: grdo grdo ricoduciili grdo e grdo. Si dimostr che u equzioe lgeric rziole iter di grdo h soluzioi, o ecessrimete tutte reli. Per risolvere le equzioi di grdo soo suicieti i pricipi delle equzioi, per quelle di esiste l ormul risolutiv. Esistoo ormule risolutive per le equzioi lgeriche di grdo superiore? Per = 3 si ho le ormule di Crdo 545; il metodo risolutivo è dovuto Scipioe Dl Ferro55. Per = 4 si h l ormul di Ludovico Ferrri 540 circ. Per 5 Polo Ruii stilì che o esistoo ormule geerli; l dimostrzioe di Ruii er icomplet, m Niels Ael orì u dimostrzioe rigoros el 86. Se o esistoo ormule risolutive geerli per le equzioi lgeriche o esistoo certo ormule risolutive per le equzioi trscedeti. Qudo o è possiile cooscere il vlore estto delle soluzioi ci si ccotet di cooscere u vlore pprossimto delle soluzioi stesse otteuto pplicdo uo dei metodi umerici per l risoluzioe umeric delle equzioi. Prim di pplicre u lgoritmo per otteere u vlore pprossimto delle soluzioi reli di u equzioe del tipo = 0, occorre stilire. se le soluzioi esistoo. qute soo le soluzioi. Le soluzioi dell'equzioe = 0 si possoo iterpretre gricmete come le scisse dei puti di itersezioe co l'sse delle dell uzioe vriili reli di equzioe =. PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

2 pputi jv Cpitolo 3 pg. Uo studio qulittivo di = permette di. cooscere il umero delle soluzioi. loclizzre le soluzioi. 3. L seprzioe delle soluzioi I prticolre si prl di limitzioe delle soluzioi qudo si è determito l'itervllo [, ] cui pprtegoo tutte le soluzioi dell'equzioe, o esistoo, cioè, soluzioi o pprteeti ll'itervllo [, ]. Si prl, ivece, di seprzioe delle soluzioi qudo si idividu u isieme di sottoitervlli di [, ] disgiuti, o ecessrimete chiusi, ll'itero dei quli cde u e u sol soluzioe. = c d 3 Co rierimeto ll igur l'itervllo [, ] rppreset u limitzioe delle soluzioi, metre i sottoitervlli [, c], [c, d] e [d, ] rppreseto u seprzioe delle soluzioi. 3. Teorem dell'esistez degli zeri Per l limitzioe delle rdici si può utilizzre il Teorem dell'esistez degli zeri Teorem dell'esistez degli zeri Si u uzioe cotiu i [, ], se ess ssume egli estremi dell'itervllo vlori di sego discorde, cioè < 0, llor esiste lmeo u puto, c, itero ll'itervllo [, ] i cui ull, cioè c = 0. Se, ioltre, è che mooto i [, ] ess si ull i u uico puto itero ll'itervllo [,]. Se per c ], [ si h c = 0 llor c è chimto zero dell uzioe. Esempio Dt l'equzioe trscedete 3si = 0 limitre e seprre le rdici. PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

3 pputi jv Cpitolo 3 pg. 3 Si osserv che = 0 è soluzioe dell'equzioe, m è l'uic soluzioe o e esistoo ltre? Nell igur seguete si riport il grico di = 3si. Dl grico si osserv che l curv itersec l'sse i tre puti: uo di sciss 0 e gli ltri due di sciss α e α. Le tre rdici cdoo ell'itervllo [5, +5] itti 5 = > 0 e 5 = < 0 [5, 5] è u limitzioe delle rdici. Ache [4, 4] è u limitzioe delle rdici itti 4 = > 0 e 4 = < 0 e così [π, π] itti π = π > 0 e π = π < 0. Cosiderdo l'ultim limitzioe [π, π] i sottoitervlli costituiscoo u seprzioe delle rdici. π π π π,,, e π, π No è molto immedit l costruzioe del grico di = 3si e di solito si procede el modo seguete. Scritt l'equzioe ell orm 3si = ess può essere iterprett come l'equzioe risolvete il sistem = 3si = Le soluzioi dell'equzioe dt sro le scisse degli evetuli puti di itersezioe delle due curve di equzioe = 3si e =, i grici delle quli soo sicurmete più semplici d trccire. Le due curve si iterseco i tre puti: uo di sciss 0 e gli ltri due di sciss α e α co 0 < α < π. PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

4 pputi jv Cpitolo 3 pg. 4 = = 3si Itti per = 0 si h si 0 = 0, per = π si h si π = 0 e per = π si h si π = 0, l 3, 3. uzioe = è sempre crescete el suo domiio e = 3si h per codomiio ] [ π π Ioltre 3si = 3 e 3 si = 3 pertto gli itervlli costituiscoo u seprzioe delle rdici. π π π π,,, 3.3 Metodi Numerici per l risoluzioe delle equzioi 3.3. Metodo di Bisezioe o Dicotomico Si dt l equzioe = 0 e si s l uic soluzioe pprteete ll itervllo [, ], cioè s = 0 co s [, ] ; s si può iterpretre come l sciss del puto di itersezioe del grico dell uzioe di equzioe = co l sse delle. Codizioi per pplicre il metodo = cotiu i [, ] s [, ] uic e discordi e π, π =, 3, 3, 3,, PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

5 pputi jv Cpitolo 3 pg. 5 Si clcol se + = = 0 0 è soluzioe dell'equzioe soluzioe si determi l itervllo cui pprtiee s se <0 s [, ] <0 s [,] Si ripete il procedimeto e si ottiee così u successioe di itervlli cui pprtiee s. Se si idic co i l estremo siistro e co i l estremo destro si h: [, ] [ -, - ]... [, ] [, ] Qudo si rrest il procedimeto? Se + = 0, s = +. Se + 0? Fisst u precisioe ε il procedimeto si può rrestre qudo - < ε. È possiile stimre priori il vlore di. Poiché < < ε =, si h < ε e > ε < log < ε Quidi l relzioe < ε è veriict per = + log ε d cui si ottiee U ltr codizioe di rresto potree essere: + < ε È u uo criterio di rresto? No sempre. Dipede dll dmeto dell uzioe. PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

6 pputi jv Cpitolo 3 pg. 6 Soo poche le codizioi su = per l pplicilità del metodo: solo l cotiuità. Vtggi e Svtggi del metodo Vtggi Semplicità Svtggi Covergez let; co ltri metodi l precisioe richiest si rggiuge i u umero ieriore di iterzioe del metodo Metodo dell Cord Si dt l equzioe = 0 e si s l uic soluzioe pprteete ll itervllo [, ], cioè s = 0 co s [, ] ; s si può iterpretre come l sciss del puto di itersezioe del grico dell uzioe di equzioe = co l sse delle. Codizioi per pplicre il metodo = cotiu i [, ] s [, ] uic e discordi, =, 3,, Si clcol l'equzioe dell rett psste per i puti, e, = che itersecherà l sse i u puto di sciss, itero ll itervllo [, ] e si determi quidi il vlore di poedo =0 = = Se = 0 0 è soluzioe dell'equzioe si determi l itervllo cui pprtiee s Se <0 s [, ] <0 s [,] PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

7 pputi jv Cpitolo 3 pg. 7 si ripete il procedimeto e si ottiee così u successioe di vlori oguo dei quli pprossim s. s Qudo si rrest il procedimeto? Fisst u precisioe ε, il procedimeto si può rrestre qudo, presi due vlori cosecutivi dell sequez, e -, risult - - < ε Si cosideri or il seguete cso Se si pplic il procedimeto si osserv che u estremo dell'itervllo i cui cde s o è mi modiicto, co rierimeto ll igur precedete l'estremo. Se si clcol l'equzioe dell rett psste per i puti, e, si h = e l'sciss,, del suo puto d'itersezioe co l'sse delle vle = Se si ripete cor il procedimeto si vrà 3 = Procededo si h l ormul ricorrete = Qulor o si modiichi l'estremo siistro si vrà = Per vere u ormul ricorrete, u estremo dell itervllo iizile cui pprtiee s deve rimere isso e questo si veriic se l uzioe = ell itervllo [,] o modiic mi l su cocvità. =,, 3,, 3, 3 PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

8 pputi jv Cpitolo 3 pg. 8 L uzioe = dovrà pertto essere che derivile due volte i [,] co di sego costte i [,] Metodo di Newto o dell Tgete Si dt l equzioe = 0 e si s l uic soluzioe pprteete ll itervllo [, ], cioè s = 0 co s [, ] ; s si può iterpretre come l sciss del puto di itersezioe del grico dell uzioe di equzioe = co l'sse delle scisse. Si cosideri l situzioe rppresett ell igur seguete: =, 3,,, Dl puto, si è trccit l rett tgete ll curv di equzioe = e co si è idict l sciss del puto di itersezioe dell tgete co l'sse : è u prim pprossimzioe di s. Poiché 0, dl puto, si è trccit l rett tgete ll curv e si è idict co l sciss del puto di itersezioe dell tgete co l'sse : è cor u pprossimzioe di s. Reiterdo il procedimeto si ottiee u successioe di vlori oguo dei quli pprossim s e, l tedere di ll'iiito, coverge d s: s. Si osserv che per pplicre il metodo, o solo si deve vere = cotiu i [, ], s [, ] uic e e discordi, m deve esistere l tgete ll curv i ogi suo puto e pertto l uzioe deve essere derivile i ogi puto dell'itervllo ], [ che i u itoro di e di. No si devoo, ioltre, veriicre situzioi come quelle rppresette ei digrmmi segueti, =,,, PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

9 pputi jv Cpitolo 3 pg. 9 Aiché o si veriichio situzioi come quelle rppresette, l uzioe deve essere: derivile due volte i ogi puto dell'itervllo ], [ che i u itoro di e di vere derivt prim e derivt secod diverse d zero e co sego costte i ], [. Si clcol l'equzioe dell rett tgete ll curv el puto, = ' e quidi l'sciss,, del suo puto d'itersezioe co l'sse delle. = ' Si può ripetere il procedimeto e clcolre l'equzioe dell tgete ll curv el puto, = ' e quidi l'sciss,, del suo puto d'itersezioe co l'sse delle. Si h = ' Reiterdo il procedimeto si h l ormul ricorrete = ell qule ogi ' vlore è espresso i uzioe del vlore precedete, prtedo d u vlore iizile 0 che può coicidere co o co. Ogi vlore dell successioe pprossim s. Si dimostr che l successioe otteut coverge s s. No si può procedere ll'iiito. Qudo si rrest il procedimeto? Fisst u precisioe ε, il procedimeto si può rrestre qudo, presi due vlori cosecutivi dell sequez, e -, risult - - < ε D qule estremo prtire, o,? Si cosiderio i segueti grici: PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

10 pputi jv Cpitolo 3 pg. 0 Dll'osservzioe dei grici riportti si può cocludere che il procedimeto può iizire dll'estremo el qule l uzioe h lo stesso sego dell derivt secod. Dl puto di vist prtico, se si veriico le codizioi per pplicre il metodo derivt prim e secod diverse d zero e co sego costte, il procedimeto umerico può vere iizio d uo qulsisi dei due estremi dell itervllo purché, se il primo vlore clcolto,, o pprtiee ll itervllo, si ripet il procedimeto prtedo dll ltro estremo Progetto di lgoritmi per l determizioe degli zeri Algoritmo di Bisezioe sempliicto Co l prol sempliicto si itede u lgoritmo che termi solo se soo veriicte strettmete le codizioi di covergez. CONDIZIONI di Covergez: E certo che è deiit e cotiu i [, ] E certo che *<0 Se ho delimitto u sol soluzioe cor meglio E certo che ε tol, che è il mssimo errore ssoluto co cui si desider determire l soluzioe NON è ieriore ll ultim cir sigiictiv co cui u doule è rppresetile el liguggio circ 3 cire circ i Jv, vvero tol>0-3 L successioe che coverge ll soluzioe è l seguete =+/ = + / se * <0 oppure = + / se * <0.. = -+ - / se - * - <0 L codizioe di termizioe dell iterzioe ciclic è - - < tol Il progetto di u clsse jv per coteere gli lgoritmi. Si trtt di u gruppo di lgoritmi umerici che possoo essere utilizzti d u progrmm mi che li ivoc e sro progettti come metodi Jv sttici. L clsse Zeri srà il ome del coteitore. Il seguete disego mostr i soli metodi ecessri. Il metodo isez implemet quello che imo chimto lgoritmo di isezioe sempliicto. Si oti che l clsse o h costruttori e o h ttriuti i quto semplice coteitore di metodi sttici. Il metodo privto - sttic doule doule deve coteere l espressioe litic dell uzioe di cui si desider determire lo zero pprossimto. Il metodo pulico +sttic doule isezdoule,, tol implemet l lgoritmo co l evidete sigiicto dei prmetri che riceve. Zeri - sttic doule doule +sttic doule isezdoule,, tol PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

11 pputi jv Cpitolo 3 pg. L codiic che segue è quell più le dte le codizioe restrittive imposte per l termizioe. Si è supposto di voler determire lo zero dell uzioe =se delimitt dll itervllo [=, =4] si ricord che se h u zero pigreco che vle circ 3,4 pulic clss Zeri { pulic sttic doule doule { retur Mth.si; pulic sttic doule isezdoule, doule, doule tol { oole trovto=lse; doule c=0,c=0,delt=mth.s-; doule =, =; while delt>=tol &&!trovto { c=+/; c=c; i c*<0 { =c; =c; /* uovi estremi, c */ else i c*<0 { =c; =c; /* uovi estremi c, */ else i c==0 trovto=true; delt=mth.s-; retur c; di seguito il mi di prov: pulic clss le{ pulic sttic void mistrig rg[] { doule tol=0.000, =,=4; doule r=zeri.isez,,tol; Sstem.out.pritl"l rdice vle "+r+"+-"+tol; Algoritmo di Bisezioe meo le Co l prol meo le si itede u lgoritmo che termi che se NON soo veriicte TUTTE le codizioi di covergez e che se l NON h zeri ell itervllo. CONDIZIONI di TERMINAZIONE: Se o è deiit i [, ] termi co l restituzioe di u seglzioe degut. Se *>0 termi co l restituzioe di u seglzioe degut. Se ε tol o ieriore ll ultim cir sigiictiv co cui u doule è rppresetile el liguggio circ 3 cire circ i Jv, vvero tol>0-3, termi co l restituzioe di u seglzioe degut. Se trov lo zero termi co l restituzioe del vlore di, di e del umero di iterzioi impiegte per determire l soluzioe. L successioe che coverge è idetic quell sopr idict PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

12 pputi jv Cpitolo 3 pg. Per r restituire le diverse situzioi di termizioe è ecessrio progettre u clsse Sol che coterrà u Oggetto Sol stmpile che o cosisterà semplicemete u doule. Amplimeto dell clsse Zeri e progetto dell clsse Sol Zeri - sttic doule doule +sttic doule isezdoule,, tol + sttic Sol isezdoule,, tol, it Miter Sol - doule X, Y, TOL; - it IT, MAXITER, E ; + Soldoule,, tol, it Iter, Miter, err + doule getx + doule gety + Strig tostrig Gli ttriuti di Sol corrispodoo tutte le iormzioi che può restituire l soluzioe dell lgoritmo: se E=0 l lgoritmo è termito correttmete e i dti,,to,it ho u sigiicto evidete. Il metodo tostrig restituisce l strig co tutte le iormzioi. Se E= Si è veriicto che *>0 e il metodo tostrig restituisce l iormzioe. Se E= L o è deit i [,]. Se E=3 l lgoritmo o coverge dopo MAXITER iterzioi. co isezioe l uic possiilità e che ite ssegto tol=0. Il costruttore Sol viee ivocto d isez co gli opportui prmetri di termizioe Strig tostrig ; restituisce l Strig stmpile di u Sol doule getx ; doule gety; soo stti progettti per restituisce il solo o o il o. L codiic che segue mostr quto illustrto si lsci l codiic di Sol come esercizio: pulic sttic Sol isezdoule, doule, doule tol, it miter { it iter=0; it err=0; oole trovto=lse; doule,,c=0,c=0,=,=,delt=-; i ==0 {c=; c=; trovto=true; else i ==0 {c=; c=; trovto=true; else i *>0 err=; else i""+.equls"nn" ""+.equls"nn" err=; else { // d <0 =; =; while delt>=tol && iter<=miter&& err==0 &&!trovto { c=+/; c=c; i ""+c.equls"nn" err=; else { // uzioe deiit iter++; delt=mth.sc-; i c*<0 { =c; =c; /* uovi estremi, c */ else i c*<0 { =c; =c; /* uovi estremi c, */ else i Mth.sc==0 trovto=true; else i *c>0 err=; // ed else uzioe deit // ed while // ed else d <0 i delt<tol trovto=true; else i iter>miter { c=doule.nn; c=doule.nn; err=3; else i err!=0 { c=doule.nn; c=doule.nn; retur ew Solc,c,tol,iter,miter,err; // ed isez PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

13 pputi jv Cpitolo 3 pg Progetto dell lgoritmo di Newto sempliicto. Co l prol sempliicto si itede u lgoritmo che termi solo se soo veriicte strettmete le codizioi di covergez. Codizioi di Covergez: E certo che e soo deiite e cotiue i [, ] E certo che L soluzioe esiste i [,]; I metodo coverge sicurmete, esempio e cotiu e mtiee sempre lo stesso sego, co i [,] Cotrolli d testre : Ho trovto l soluzioe estt [==0] quidi iterrompo e restituisco l soluzioe Ho trovto l soluzioe pprossimt - - <tol L rett tgete h coeiciete golre [ =0] è impossiile cotiure. Iterrompo co messggio. L successioe che coverge ll soluzioe è l seguete 0 = = 0-0 / 0.. = / - L codizioe di termizioe dell lgoritmo è - - < tol L clsse Zeri srà così mplit: Si oti che: Il metodo d.. cotiee l espressioe litic dell derivt prim di. Il metodo ewto.. esige u solo puto per vvire il ciclo itertivo. Il codice di ewto sempliicto è: Zeri - sttic doule doule - sttic doule ddoule + sttic doule isezdoule,, tol + sttic Sol isezdoule,, tol, it Miter + sttic doule ewtodoule, tol pulic sttic doule ewto doule, doule tol { doule _=; oole err=lse, trovto=lse; doule =_, d=d_; doule =_-/d ; i ==0 trovto=true; i d==0 err=true; doule delt=mth.s-_ ; while delt>tol &&!err &&!trovto { _=; =_ ; d=d_ ; = _-/d ; i ==0 trovto=true; i d==0 err=true; delt=mth.s-_ ; i err==true { Sstem.out.pritl"Tgete orizzotle"; Sstem.eit; retur ; PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

14 pputi jv Cpitolo 3 pg Progetto dell lgoritmo di Newto o le. Per progettre l Algoritmo di Newto i modo che termii qusi sempre, i logi l cso Bisezioe o le, si devoo predere i esme le segueti situzioi: ell itestzioe si deve pssre l vriile Miter che cotroll l etrt i cicli iiiti restituire u Oggetto Sol come i Bisezioe NON Ble 3 cotrollre si l esistez di che quell di 4 veriicre che l rett tgete o i coeiciete golre [ =0] 5 cotrollre se, =0 è uo zero estto L degumeto dell clsse Sol, il uovo metodo ewto co l reltiv itestzioe e il mi di prov soo ssegti come esercizio d svolgere cedo rierimeto l codice di Bisezioe Progetto dell lgoritmo del rpporto icremetle qusi Newto. Se o si dispoe dell è possiile utilizzre u metodo logo l metodo di Newto sostituedo ll derivt di i u puto il suo rpporto icremetle i tle puto scegliedo co ttezioe il vlore dell icremeto h. L successioe del metodo del rpporto icremetle diviee: 0 = = 0-0 /[ 0 +h- 0 ]/h.. = / [ - +h- - ]/h Come deve essere il vlore di h? molto piccolo m o ieriore ll precisioe umero di cire sigiictive dei umeri doule del sistem. Esempio h=e -0 è corretto co i doule di Jv, metre h=e -0 NO. I doule di Jv ho 5 cire sigiictive quidi 0-5 è il limite di sicurezz. Progettre l lgoritmo si Sempliicto che No Ble co questo metodo.. Metodo sempliicto: gli uici cotrolli d testre soo: o Ho trovto u soluzioe estt [==0] quidi iterrompo e restituisco l soluzioe o L rett Qusi tgete h coeiciete golre [m=+h-/h=0] è impossiile cotiure. Iterrompo co messggio. [No è ecessri l ]. Metodo No Ble: o Desumere d isezioe Newto i cotrolli che è opportuo testre L degumeto dell clsse Sol, il uovo metodo ewto co l reltiv itestzioe e il mi di prov soo ssegti come esercizio d svolgere cedo rierimeto l codice di Bisezioe. PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio

15 pputi jv Cpitolo 3 pg. 5 3.E Esercizi Esercizi sugli zeri. progettre u progrmm che "implemeti l lgoritmo dell cord. Idiczioi: re l ipotesi sempliict dell covergez. Richieste: Amplire l clsse Zeri progettt i precedez.. progettre u progrmm che "implemeti l lgoritmo dell cord o le. Idiczioi: re ipotesi sulle codizioi di termizioe i logi l precedete lgoritmo di Bisezioe. Richieste: Amplire l clsse Zeri progettt i precedez e veriicre l degutezz dell clsse Sol. 3. progettre u progrmm che "implemeti l lgoritmo del rpporto icremetle. Idiczioi: re l ipotesi sempliict dell covergez. Richieste: Amplire l clsse Zeri progettt i precedez. 4. progettre u progrmm che "implemeti l lgoritmo del rpporto icremetle o le. Idiczioi: re ipotesi sulle codizioi di termizioe i logi l precedete lgoritmo di Newto o le. Richieste: Amplire l clsse Zeri progettt i precedez e veriicre l degutezz dell clsse Sol. PDF creted with FiePrit pdfctor Pro tril versio