1^ Lezione. Matrici e determinanti. Operazioni tra matrici. Proprietà delle matrici. Determinante. Proprietà dei determinanti.

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1 Corso di Geometri e lger Liere: Mtrici e Determiti ^ Lezioe Mtrici e determiti. Operzioi tr mtrici. Proprietà delle mtrici. Determite. Proprietà dei determiti. - llegto Esercizi

2 MTRICI E DETERMINNTI Si defiisce mtrice co otzioe m u isieme ordito di elemeti (umeri reli) disposti per righe (idice m) disposti per coloe (idice ). Per idicre correttmete u mtrice di m-righe ed -coloe scriveremo : { i j} m m righe coloe co i j che idico gli elemeti dell mtrice (umeri reli). llo stesso modo gli idici (ij) idico l posizioe dell elemeto rispettivmete ll i-esim rig ed ll j-esim colo. U mtrice m l oteremo per esteso come segue : m m m... m oppure i form comptt m [ i j ] ricorddo che potremo usre l pretesi qudr e llo stesso modo l tod. Ricordimo ioltre che gli idici m idico quelle che oi chimeremo le dimesioi dell mtrice. qudrte m Le mtrici si possoo clssificre i : rettgolri m U mtrice qudrt duque l si potrà rppresetre : ( i j )

3 idicdoe per esteso l su rppresetzioe : Gli elemeti... costituiscoo quell che si chim digole priciple e quidi li chimeremo elemeti digoli ( o pricipli ). llo stesso modo gli elemeti... formo l digole secodri. Dte due mtrici ( ) ( ) m i j m i j si dicoo uguli se e solo se : i j R i j i j Dt u mtrice m ( i j ) ed u mtrice m ( i j ) trspost di se : i j i j quest ultim si dice e si idic co t e vrà come righe le coloe di e come coloe le righe di. Dt u mtrice ( )... ess viee defiit come vettore rig. llo stesso modo... viee defiit come vettore colo.

4 Per MTRICE TRINGOLRE si itede quell mtrice tle che : i j i j > i < j i cui tutti gli elemeti soprstti o sottostti l digole priciple soo ulli. Nel cso specifico se i j co i > j l mtrice si dice trigolre lt ; se ivece i j co i < j l mtrice è dett trigolre ss. Per MTRICE DIGONLE ( i j ) itederemo quell mtrice tle che : i j i j co i i j j Per MTRICE UNITÀ (o idetic) I ( i j ) itederemo u mtrice tle che : i j i j co i i j j... I

5 Per MTRICE SIMMETRIC ( i j ) si itede quell mtrice tle che : co i j e per l qule. i j j i t Es. OPERZIONI TR MTRICI Per somm e differez tr due mtrici m ( i j ) m ( i j ) l mtrice Cm ( i j ± i j ) così otteut : itederemo m m ± m m C m ± ±... ± ± ±... ± m m co ovvi cosiderzioe : l somm e l differez di mtrici è possiile se e solo se le mtrici soo dell stess dimesioe ( stesso di righe stesso di coloe ).

6 Per prodotto di uo sclre ( K R ) per u mtrice m ( i j ) mtrice i cui elemeti vegoo tutti moltiplicti per K. si itede quell k ( ki j ) m m k k... k k k... k km km... km Es. k k Se k il prodotto di k per u mtrice m ( i j ) ci dà u mtrice m ( i j ) dett oppost di m ( i j ) cioè tle che ( ) (mtr. Null). Prodotto di mtrici Dte due mtrici m ( i j ) p ( i j ) u mtrice Cm p ( ci j ) di. oi itederemo come prodotto delle due mtrici che vrà lo stesso di righe e lo stesso di coloe Il prodotto deomito righe coloe srà possiile se e solo se il di coloe di è ugule l di righe di. vremo quidi : C ( c i j ) m p m p co c... i j i j i j i j

7 che si può sitetizzre trmite il simolo di sommtori : c i j ir rj r. Es. Dte le mtrici clcolre il prodotto : Si vrà che C c c c c c c co : c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) quidi srà : C. PROPRIET DELLE MTRICI Nell isieme delle mtrici M soo vlide le segueti proprietà: ) ()C (C) ( prop. ssocitiv ) ) ( esistez elemeto eutro ) ) (-) (-) O ( esistez elemeto opposto ) ) ( proprietà commuttiv ) ) ( opertore uità ) ) h ( k ) ( hk) ( propr. ssocitiv mist )

8 ) ( h k) h k ( prop. distriut. rispetto ll somm di sclri ) 8) h () h h ( prop. distriut. rispetto ll somm di mtrici ) quluque sio le mtrici C e gli sclri h k. DETERMINNTE di u mtrice Per determite di u mtrice itederemo quel vlore umerico (e quidi u umero rele) espresso d u isieme di operzioi poliomili dettte d tutti gli elemeti dell mtrice. Nel cso più specifico esmiimo i determiti di lcui ordii di mtrici. Determite di u mtrice di ordie. [ ] det quidi il determite di u mtrice del ordie è dto direttmete dl vlore espresso dll uico suo elemeto. Determite di u mtrice di ordie. det

9 il determite di u mtrice del ordie è dto dll differez dei prodotti degli elemeti che costituiscoo rispettivmete l digole priciple ( ) e l digole secodri ( ). Determite di u mtrice di ordie. Ci si può vvlere di due metodi di clcolo. ) METODO DI SRRUS ( vlido esclusivmete per mtrici co ) ) METODO GENERLE ( secodo lo sviluppo di u lie dell mtrice ) Clcolimo quidi il det medite il metodo di Srrus. det ( ) ( ) det. Tle metodo cosiste quidi el riportre prllelmete ll ^ colo le prime due ed eseguire l somm delle tre digoli pricipli lle quli viee sottrtt l somm delle tre digoli secodrie. Es. Clcolre il determite :

10 Det ( ) ( 8) Il METODO GENERLE ( Lplce - secodo lo sviluppo di u su lie ) per il clcolo di u determite è u metodo di vlidità geerle ossi per mtrici di quluque ordie. Esso si fod sull scelt ritrri di u lie ( di solito è coveiete quell co il mggior umerodi zeri ) che viee sviluppt elemeto per elemeto cosiderdo il cmio di sego oppure o secod dell posizioe dispri o pri dell elemeto cosiderto. Lo sviluppo si s sull somm dei prodotti di ciscu elemeto dell lie per il corrispodete complemeto lgerico ossi u sottomtrice ( dett che miore ) che si ottiee dll soppressioe dell i-esim rig e j-esim colo cui pprtiee l elemeto stesso. Visulizzdo tle metodo vremo: ( scegliedo per es. l prim rig ) det complemeto lgerico Il sego di ogi elemeto è stilito dll posizioe ( ) i j.

11 Clcolre il determite di : det det ( 8 8 ) ( ) ( ) ( 8 ) det ( 8 8 ) 8 Notimo che se riuscimo d otteere il mggior di zeri i u lie dell mtrice iizile il clcolo del determite è sicurmete più semplice. L zzermeto di elemeti di u lie i u mtrice si ottiee trmite quelle che vegoo defiite come operzioi elemetri di liee. Tli operzioi vegoo defiite d: ) somm e differez di liee (rig o colo) ) moltipliczioe di uo sclre ( R k ) c) scmio di liee. k per u lie

12 ) Per somm o differez di due liee itederemo cor u lie che vrà come elemeti l somm o l differez dei rispettivi elemeti. ) Per moltipliczioe di uo sclre k per u lie itederemo cor u lie che vrà come elemeti il prodotto di k per ogi elemeto dell lie. Fccimo quidi vedere trmite quest serie di operzioi come il clcolo del determite dell esempio precedete si più semplice e più veloce. Clcolre il determite: Dl mometo che l scelt dell lie è ritrri oi possimo predere u rig o u colo qulsisi. Per esempio cosiderimo l ^ rig (vi è già u elemeto ullo uo zero) Per ullre d esempio il primo elemeto () possimo moltiplicre per (-) l prim rig e quidi i sostituzioe dell ^ rig l somm dell stess co l ^. 9 9 ^ ri ^ ri ^ ri ^ ri ^ ri

13 I questo modo si può otre come vedo ullto il primo elemeto dell terz rig o imo vuto u effettivo vtggio i quto ci ritrovimo co u solo zero su u lie come ll iizio. Quidi importte srà lvorre d esempio sempre co l ^ rig m i modo tle che si ottego ltri zeri oltre quello iizile. 9 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ( ) ^ ( ) col col col col col col col e di qui clcoldo il reltivo determite co il metodo geerle scegliedo evidetemete come lie ritrri l ^ rig vremo che: det e di qui ricorddo che ei vri pssggi imo complessivmete moltiplicto per ( ) ( ) ( ) 8 e che quidi per l ssolut equivlez divideremo per 8 otteimo ifie ( ) ( 8 ) 8 come dovev essere.

14 PROPRIET DEI DETERMINNTI ) l mtrice trspost di u dt h lo stesso determite dell dt. ) se u mtrice h u lie tutt ull il suo determite è ullo. c) scmido due liee prllele (rig co rig colo co colo) di u mtrice il suo determite cmi solo di sego. d) se i u mtrice due liee prllele soo uguli (stessi elemeti) il suo det. è ullo. e) se i u mtrice due liee prllele soo proporzioli il suo determite è zero. f) se i u mtrice si sposto prllelmete se stesse di -posti due liee il determite rime ivrito o cmi di sego secod che si pri o dispri. g) se i u mtrice gli elemeti di u su lie vegoo moltiplicti per uo sclre k che il determite rime moltiplicto per k. Miore complemetre e complemeto lgerico di u mtrice Dt u mtrice chimeremo miore complemetre di u suo elemeto h k il determite di ordie - che si ottiee sopprimedo dll mtrice dt l rig h-esim e l colo k-esim. Es miore complemetre di Chimeremo ltresì complemeto lgerico dell elemeto h k il determite di ordie - come sopr idicto co il rispettivo sego.

15 ... Es. ( ) complemeto lgerico di Possimo duque rissumere dicedo che il determite di u mtrice è dto dll somm dei prodotti degli elemeti di u lie per i corrispodeti complemeti lgerici.

16 Esercizi dell lezioe sulle Mtrici e i Determiti ESERCIZI SULL SOMM SOTTRZIONE E PRODOTTO TR MTRICI ESERCIZI SUL CLCOLO DEL DETERMINNTE E DELL MTRICE INVERS

17 USO DEI PULSNTI Visulizz solo l soluzioe dell'esercizio Visulizz le soluzioi di tutti gli eserciz i Nscode le soluzioi T or ll'idice degli esercizi

18 Eseguire qudo possiile le segueti operzioi di somm sottrzioe e moltipliczioe tr mtrici :. * *. * * 8

19 . * *. * *

20 . 8 8 * *. 8

21 . [ ] [ ] [ ] [ ] 8 * * 8. * * 9 9.

22 Clcolre il determite e qudo possiile l mtrice ivers delle segueti mtrici :. ( ) ( ) iftti come d verific :

23 . ( ) ( ) iftti come d verific :. ( ) ( ) iftti come d verific :

24 . ( ) ( ) ( ) 8 8 iftti come d verific : 8 o esiste quidi l'ivers.

25 iftti come d verific : 8

26 iftti come d verific :.. ^. ^. ^ col col col

27 e quidi :

28 e di qui : iftti come d verific : o esiste quidi l'ivers.

29 . ( ) iftti come d verific : o esiste il determite. o esiste l'ivers.

30 iftti come d verific :

31 8. co opportue operzioi elemetri tr liee : det procededo come ei precedeti esercizi otteimo ifie :