ELLISSE STANDARD. 1. Il concetto

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1 ELLIE TANDARD. Il cocetto L icertezz dell posizioe plimetric di u puto i u rete si deiisce ttrverso lo studio dell ellisse stdrd. Prim di pssre lle relzioi mtemtiche che govero questo rgometo è preeribile esporre il cocetto i termii prtici o rierimeto ll ig., l posizioe del puto P è espress i o di vlori di scisse e ordit. ppimo ioltre che qule che si il modo co cui si rriv determire ed, essi sro etti d u vriz e che si esplic elle direzioi cogrueti. M oltre l e può essere presete u covriz il cui eetto è quello di re ttigere vlori di vriz m e mi su ssi coorditi u,v icliti di ϕ rispetto gli ssi,. L idividuzioe di questi ssi rispetto i quli, come vedremo, l covriz srà ull, è molto importte i quto iss le direzioi di mssim e miim vriz. L regioe del pio ll itero dell qule srà possibile riteere che si trovi il puto co u determit probbilità srà proprio u ellisse u ellissoide per le tre dimesioi i cui ssi pricipli soo proprio u e v. Risult chiro così che l deiizioe dell ellisse d icertezz di u puto ssume otevole importz per tutti quei problemi che i prticolre ttegoo il rilievo e soprttutto il cotrollo.

2 L v.c. ormle d dimesioi L uzioe desità è espress d: / / T ep dove X det E cile vedere che per si ottiee essedo i ep e le vribili o soo correlte ik φ, esse soo che stocsticmete idipedeti, itti se ik φ... pertto

3 3 ep... ep vle dire [ ] i Π quidi le i soo idipedeti. L ellisse stdrd osiderimo or l v.c. ormle due dimesioi, [ per esempio: l posizioe plimetric di u puto], l uzioe desità srà espress d: T ep, / dove co coeiciete di correlzioe

4 4 L ivers di vle: viluppimo or l rgometo dell espoezile dell ƒ,: T L uzioe desità si scrive: ep dove e soo scrti L itersezioe co u pio costte geer u curv, i cui puti ho l stess desità di probbilità, e l cui equzioe è l seguete: K quest curv rppreset u ellisse visto che il suo discrimite

5 5 sempre φ 4 4 A B i quto < Al vrire di k cmbio solo le dimesioi dell ellisse ed i prticolre l ellisse co k si chim ellisse stdrd, l cui equzioe sviluppt ssume l orm dove ; ; ; dimostrzioe: equzioe ellisse stdrd: essedo si h e cor:

6 I vlori dei qudrti dei semissi soo: b essedo e b ssi pricipli srà: b m mi ϕ ϕ u ' OA OR RA u cosϕ vseϕ v' R RB v cosϕ useϕ u ' u cosϕ vseϕ v ' useϕ v cosϕ cosϕ seϕ seϕ cosϕ u v 6

7 Per determire il vlore di ϕ è ecessrio lizzre il sego di e di tg ϕ : - tg ϕ > φ > φ o A l golo A è del qudrte pertto ϕ A o ϕ A 4 - tg ϕ < φ > φ A l golo A è del qudrte pertto ϕ - A A ϕ < 4 - tg ϕ > φ < φ 3 A l golo A è del 3 qudrte pertto ϕ A A 3 ϕ 4 - tg ϕ < φ < φ 3 A l golo A è del 4 qudrte pertto ϕ - A 3 ϕ A 4 Rispetto gli ssi u, v, l equzioe dell ellisse divet: 7

8 si trtt quidi di u uov v.c. costituit dll somm di qudrti di scrti stdrdizzti idipedeti, e quidi distribuiti secodo u λ due grdi di libertà. Pertto tutti i puti ll itero del bordo dell ellisse ho u somm di qudrti di scrti stdrdizzti miore di, l cui probbilità è del 40%, per u ellisse co i semissi doppi di quell stdrd vremo u probbilità dell 86% ed iie l per u ellisse co essi tripli rispetto quelli dell ellisse stdrd l probbilità srà del 99%. I buo sostz per u eveto due dimesioi distribuito ormlmete per es. l posizioe plimetric di u puto eseguedo u umero molto elevto di esperimeti si vrà che il 40% di essi si troverà ll itero di u ellisse di semissi m e b mi, metre l 86% srà ll itero dell ellisse co m e b mi ed i 99% cdrà ll itero dell ellisse co semissi 3 m e b 3 mi. 8