Corso di ordinamento- Sessione ordinaria - a.s Soluzione di De Rosa Nicola

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di ordinamento- Sessione ordinaria - a.s Soluzione di De Rosa Nicola"

Transcript

1 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol EAME DI TATO DI LICEO CIENTIFICO CORO DI ORDINAMENTO Tem di: MATEMATICA s 7- PROBLEMA Il trigolo rettgolo ABC h l ipoteus AB e l golo ˆ C AB ) i descriv, itermete l trigolo, co cetro i B e rggio, l rco di circoferez di estremi P e Q rispettivmete su AB e su BC i poi R l itersezioe co il cteto CA dell rco di circoferez di cetro A e rggio AP i specifichio le limitzioi d imporre d ffichè l truzioe si relizzbile b) i esprim i fuzioe di l re del qudriltero mistilieo PQCR e si trovi qule si il vlore miimo e qule il vlore mssimo di () c) Tr i rettgoli co u lto su AB e i vertici del lto opposto su ciscuo dei due cteti si determii quello di re mssim d) Il trigolo ABC è l bse di u solido W i clcoli il volume di W spedo che le sue sezioi, otteute tglidolo co pii perpedicolri d AB, soo tutti qudrti PROBLEMA Assegto el pio il semicerchio Γ di cetro C e dimetro AB, si ffrotio le segueti questioi: ) i disegi ello stesso semipio di Γ u secodo semicerchio Γ tgete d AB i C e di ugule rggio i clcoli l re dell isieme pio itersezioe dei due semicerchi Γ e Γ wwwmtemticmeteit

2 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol b) i trovi il rettgolo di re mssim iscritto i Γ c) i P u puto dell semicircoferez di Γ, H l su proiezioe ortogole su AB i pog P CB ˆ e si esprimo i fuzioe di le ree di e dei trigoli APH e PCH i clcoli il rpporto f d) i studi f() e se e disegi il grfico prescidedo di limiti geometrici del problem QUETIONARIO ) i ideri l seguete proposizioe: e due solidi ho ugule volume, llor, tgliti d u fscio di pii prlleli, itercetto su di essi sezioi di ugule re i dic se ess è ver o fls e si motivi esurietemete l rispost ) Ricorddo che il lto del decgoo regolre iscritto i u cerchio è sezioe ure del rggio, si 5 provi che si ) Fr le csseruole, di form cilidric, veti l stess superficie (quell lterle più il fodo) qul è quell di volume mssimo? ) i espog l regol del mrchese de L Hôpitl ( 7) e l si pplichi per dimostrre che è: lim 5) i determii u poliomio P() di terzo grdo tle che: P ( ) P' ( ), P( ) e P d ) e,, co > soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? 7) i determii, l vrire di k, il umero delle soluzioi reli dell equzioe: k wwwmtemticmeteit

3 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol ) i f l fuzioe defiit d ( ) sue derivte, prim e secod, el puto 9) i f ; esiste f lim f i precisi il domiio di f e si stbilisc il sego delle? i giustifichi l rispost ) ecodo il codice dell strd il segle di slit ripid (fig sotto) prevverte di u trtto di strd co pedez tle d tituire pericolo L pedez vi `e espress i percetule e ell esempio è % e si st relizzdo u strd rettilie che, co u percorso di, km, super u dislivello di 5m, qul è l su iclizioe (i grdi sessgesimli)? Qule l percetule d riportre sul segle? wwwmtemticmeteit

4 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol PROBLEMA Il trigolo rettgolo ABC h l ipoteus AB e l golo ˆ C AB Puto i descriv, itermete l trigolo, co cetro i B e rggio, l rco di circoferez di estremi P e Q rispettivmete su AB e su BC i poi R l itersezioe co il cteto CA dell rco di circoferez di cetro A e rggio AP i specifichio le limitzioi d imporre d ffichè l truzioe si relizzbile Cosiderimo l figur sottostte: L truzioe è relizzbile se i puti Q ed R si trovo etrmbi itermete i cteti BC ed AC I prticolre se Q C AC si d cui BC si, metre se R C I coclusioe ffichè l truzioe si relizzbile si deve imporre Puto b i esprim i fuzioe di l re del qudriltero mistilieo PQCR e si trovi qule si il vlore miimo e qule il vlore mssimo di () Cosiderimo l figur seguete: wwwmtemticmeteit

5 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol wwwmtemticmeteit 5 L re del qudriltero PQCR è clcolbile come differez tr l re del trigolo rettgolo ABC e l re dei due settori circolri Circ ett PAR e Circ ett PBQ I prticolre si h: ( ) ( ) Circ ett Circ ett PBQ PAR ABC per cui ( ) ( ) co L fuzioe re ( ) è u prbol co cocvità verso il bsso, per cui ess rggiuge il suo mssimo ell sciss del vertice ed i prticolre m cui corrispode ( ) 9 9 m U ltro modo per clcolre il vlore mssimo è sfruttre le derivte; le derivte prim e secod dell fuzioe re soo ( ) ' ed ( ) R < '' Teedo coto dell limitzioe geometric l fuzioe re è strettmete crescete i,, strettmete decrescete i, e si ull i i cui ssume il vlore mssimo Per quto rigurd il vlore miimo, può essere rggiuto solmete i uo degli estremi dell itervllo, ; i prticolre 7, Or, essedo 7 > si h 7 < d cui < per cui l re miim l si h per e vle ( ) 7 mi Puto c

6 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Tr i rettgoli co u lto su AB e i vertici del lto opposto su ciscuo dei due cteti si determii quello di re mssim Cosiderimo l figur seguete: I trigoli CGF e CAB soo simili per cui vle l proporzioe CH : AB CK : GF M ABC AB, CH per cui i limiti geometrico impogoo che y, Or CK CH y y metre dll proporzioe ricvimo GF y AB CK y L re del rettgolo DEFG è llor CH R ( y) y y co y, L re del rettgolo è u prbol co cocvità verso il bsso, per cui ess rggiuge il suo mssimo ell sciss del vertice ed i prticolre y m cui corrispode ( ) R y m Allo stesso risultto si giuge se si pplic il metodo delle derivte Puto d Il trigolo ABC è l bse di u solido W i clcoli il volume di W spedo che le sue sezioi, otteute tglidolo co pii perpedicolri d AB, soo tutti qudrti Il volume può essere clcolto per due strde: sfruttdo ozioi di lisi o di geometri solid wwwmtemticmeteit

7 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Volume ttrverso ozioi di lisi Cosiderimo l figur sottostte: ppimo che L t AH, per cui se, il lto del qudrto sezioe srà pri cui corrispode l re del qudrto sezioe ( ) A Q L ; se, t il lto del qudrto sezioe srà pri ( ) ( ) qudrto sezioe ( ) L A Q L Quidi l fuzioe re vle: A Q I tl modo il volume richiesto srà: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) Q d 9 V A d d Volume ttrverso ozioi di geometri cui corrispode l re del Il solido W che si ottiee può essere pesto come composto d due pirmidi bse-bse, cioè pirmidi icollte trmite le bsi L prim pirmide h ltezz AH, metre l secod h ltezz BH Per cui il volume totle è l somm dei due volumi delle due pirmidi compoeti ed i prticolre: V AH CH HB CH AB CH come già provto wwwmtemticmeteit 7

8 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol PROBLEMA Assegto el pio il semicerchio Γ di cetro C e dimetro AB, si ffrotio le segueti questioi: Puto i disegi ello stesso semipio di Γ u secodo semicerchio Γ tgete d AB i C e di ugule rggio i clcoli l re dell isieme pio itersezioe dei due semicerchi Γ e Γ L re richiest può essere clcolt i due modi possibili: per vi geometric e per vi litic Mostrimo etrmbe le soluzioi Vi geometric Cosiderimo l figur sottostte: L re tr le due circofereze, per simmetri è il doppio dell differez tr l re del settore circolre ECD ett Circ e l re del trigolo ECD Notimo che il trigolo CDC è equiltero di lto uitrio per truzioe, per cui l pertur del settore circolre ECD ett Circ è ; l re del settore ECD ett Circ di rggio uitrio ed pertur è ECD ett ; per clcolre l re del Circ trigolo ECD, otimo che h bse si ed ltezz si per cui vrà re I coclusioe l re tr i due semicerchi è, Vi litic L vi litic iste el iderre i due semicerchi i u sistem di riferimeto crtesio Il sistem di riferimeto più semplice h origie coicidete col cetro C del semicerchio Γ che wwwmtemticmeteit

9 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol vrà il dimetro AB di estremi A (,), B (, ) di Γ vrà equzioe y Il semicerchio Di eguez l circoferez frotier Γ h cetro C i ' (,) C e rggio ch esso uitrio per cui l circoferez frotier di Γ vrà equzioe ( y ) y y come el grfico sottostte evidezito Le itersezioi tr i due semicerchi si trovo mettedo sistem le due equzioi: E, D : y y y sottredo l prim ll secod y y Or otimo che el semipio y y, metre el semipio E D,, y > l circoferez Γ è rppresett dll equzioe y < l circoferez Γ è rppresett dll equzioe I tl modo l re rcchius di semicerchi è [ ( )] d d d d wwwmtemticmeteit Il primo itegrle lo clcolimo ttrverso il metodo di itegrzioe per prti Itegrdo si h: d d d d d rcsi d D cui 9

10 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol L re srà llor pri : rcsi( ) d k d k rcsi( ) d [ rcsi ] Itegrdo pri d Puto b i trovi il rettgolo di re mssim iscritto i Γ Il rettgolo di re mssim può essere trovto ttrverso differeti soluzioi e e presetero : Uso dell geometri litic e dell lisi i ideri l figur sottostte i cui il rettgolo e l semicircoferez soo rppresetti i u sistem di riferimeto crtesio co l origie coicidete co il cetro dell semicircoferez: L bse HI del rettgolo FGHI si trov sull rett geeric di equzioe y k, k ],[ puti di itersezioe di suddett rett co l circoferez di equzioe y soo rispettivmete H ( k, k), I ( k, k) F ( k,), G ( k,) b, metre F e G ho coordite Co queste coordite l bse del rettgolo srà pri FG HI k, e l ltezz ],[ k h HG IF k k L re del rettgolo è I wwwmtemticmeteit

11 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol llor ( k) k k co k ],[ k dell derivt prim: ( ) ( k ) ' k Mssimizzimo l fuzioe re ttrverso il clcolo k per cui i, l fuzioe k k è strettmete crescete, i, è strettmete decrescete e si ull i ssume il vlore mssimo Quidi il rettgolo di re mssim k i cui h vertici G,, H,, I,, F, ed il rettgolo di re mssim è tituito d due qudrti di lto ed re Pertto il rettgolo h re mssim uitri Uso dell trigoometri i ideri l figur sottostte: L limitzioe geometric impoe α, I tl cso per il teorem sui trigoli rettgoli OG ( α ), HG si( α ) ( α ) FG HG OG HG ( α ) si( α ) si( α ) seo, ess è mssim qudo si ( ) per, per cui, ed essedo l re u fuzioe α e quidi qudo α k α k e, α il vlore ccettbile è α i corrispodez del qule l bse del rettgolo vle FG e l ltezz HG Uso dell geometri elemetre e dell lisi i ideri l figur sottostte: wwwmtemticmeteit

12 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Poimo l bse del rettgolo queste ssuzioi AF ( ), FB ( ) IF FG L limitzioe geometric impoe < < Co, per cui per il teorem di Euclide HG ( ) ( ) L re del rettgolo è llor < < si h d cui ( ) e poiché L mssimizzzioe dell fuzioe re, come già mostrto, può essere effettut trmite le derivte; o seguiremo quest strd m mostreremo u strd ltertiv Mssimizzre ( ) mssimizzre l fuzioe rdicdo r ( ); l fuzioe umeri somm tte (e pri : ( ) qudo i due umeri soo uguli e quidi qudo ( ) è equivlete r è il prodotto di due ) per cui il loro prodotto è mssimo d cui ± ; l soluzioe egtiv v scrtt per cui l re del rettgolo è mssim qudo e quidi qudo FG, IG e vle Puto c i P u puto dell semicircoferez di Γ, H l su proiezioe ortogole su AB i pog P CB ˆ e si esprimo i fuzioe di le ree di e dei trigoli APH e PCH i clcoli il rpporto f io, y due umeri positivi l cui somm è y s ed il cui prodotto è y p Dll somm si ricv y s che sostituito el prodotto forisce p ( s ) ; pertto il prodotto è u prbol co cocvità verso s s il bsso e co mssimo rggiuto per cui corrispode y wwwmtemticmeteit

13 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Per rispodere l quesito dobbimo distiguere i due csi corrispodeti rispettivmete ll iderzioi di u golo P CB ˆ cuto < < od ottuso < < I cso: P CB ˆ cuto < < L figur d iderre è l seguete: ed I tl cso CH, PH si, AH per cui ( ) si si per cui f II cso: P CB ˆ ottuso < < L figur d iderre è l seguete: I tl cso CH ( ), PH si, AH per cui ( ) si ed si per cui f I coclusioe, cotempldo etrmbi i csi, l fuzioe rpporto tr le due ree è f ( ) I reltà, dt l o egtività di, l fuzioe rpporto tr wwwmtemticmeteit

14 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol le due ree può i coclusioe essere f co,, Puto d i studi f() e se e disegi il grfico prescidedo di limiti geometrici del problem Per lo studio dell fuzioe ( ) f, bst studire l fuzioe f mometo che il grfico di ( ) f si ricv d quello di f, dl ribltdo verso le ordite positive le prti di grfico l di sotto dell sse delle scisse A tl rigurdo studimo l fuzioe ( ) f ell itervllo [, ] periodo T,,, ; Domiio: ( ) Evetuli simmetrie: l fuzioe è pri: iftti Itersezioi sse scisse: Itersezioi sse ordite: y ; Positività: visto che risult essere periodic co ( ) ( ) f f f ; ; f >, ; Asitoti verticli: le rette lim lim, lim, lim Asitoti orizzotli: o ce e soo; Asitoti obliqui: o ce e soo;, soo sitoti verticli; iftti ' Crescez e decrescez: f si per cui wwwmtemticmeteit

15 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol ' si f > < < < < e si ull i e ; ' ' Flessi: l derivt secod è f ' ' flessi tgete obliqu; ioltre ( ) < i (,) e essu flesso tgete orizzotle si per cui, o ulldosi mi, o ci soo f pertto l fuzioe mmette u mssimo Il grfico, i cui si è iderto che l fuzioe è periodic co periodo presetto ell itervllo [, ] : T, è di seguito Il grfico di f è di seguito riportto: wwwmtemticmeteit 5

16 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol wwwmtemticmeteit

17 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol QUETIONARIO Quesito i ideri l seguete proposizioe: e due solidi ho ugule volume, llor, tgliti d u fscio di pii prlleli, itercetto su di essi sezioi di ugule re i dic se ess è ver o fls e si motivi esurietemete l rispost L proposizioe è fls i quto si trtt dell proposizioe ivers del Pricipio di Cvlieri che poev u codizioe sufficiete m o ecessri per l equiestesioe dei solidi Iftti il pricipio suddetto ì recitv: "e due solidi ho ugule ltezz e se le sezioi tglite d pii prlleli lle bsi e ugulmete distti d queste sto sempre i u dto rpporto, che i volumi dei solidi stro i questo rpporto" Per dimostrre l flsità dell proposizioe, bst iderre due prllelepipedi co le stesse dimesioi, e quidi co stesso volume, che poggio su bsi differeti come lto Quesito Ricorddo che il lto del decgoo regolre iscritto i u cerchio è sezioe ure del rggio, si provi che si 5 Cosiderimo l figur sottostte: wwwmtemticmeteit 7

18 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol L golo ˆ A OB i quto dell golo giro Il lto AB è l sezioe ure del rggio per cui 5 5 AB d cui 5 AB MA M per il teorem dei sei MA AO si si 5 d cui per cofroto si ricv si Quesito Fr le csseruole, di form cilidric, veti l stess superficie (quell lterle più il fodo) qul è quell di volume mssimo? i ideri il cilidro sottostte di rggio r ed ltezz h: L superficie ed il volume del cilidro sro: V r hr rh Dll superficie ricvimo l ltezz r h co r < r < e sostituedo el volume si h V () r r r r r r Derivdo il volume i fuzioe del rggio si h V ' () r r per cui l fuzioe risult strettmete crescete i,, strettmete decrescete i, e si ull i r Ioltre V '' [ r ] < r, per cui l csseruol di volume mssimo è quell per cui wwwmtemticmeteit

19 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol r ed il volume mssimo vle V m Quesito i espog l regol del mrchese de L Hôpitl ( 7) e l si pplichi per dimostrre che è: Eucimo l regol di de L Hôpitl: e due fuzioi f e lim g defiite i u itoro di, soo derivbili i tle itoro, co g ' ; se le due fuzioi, per tedoo etrmbe o e se esiste il limite del rpporto delle derivte delle fuzioi dte, ( ) ( ) f ' g', llor esiste che il limite del rpporto delle f f f ' fuzioi e vle lim lim g g g' Nel cso i esme è possibile pplicre tle teorem e, dopo verlo pplicto volte si h! lim lim D se, D l ( l ) Quesito 5 i determii u poliomio P() di terzo grdo tle che: P dl mometo che [ ] [ ] ( ) P' ( ), P( ) e P d Il geerico poliomio di terzo grdo p u cubic di equzioe y b c d, l cui derivt prim è l prbol y ' b c ioltre P() b per cui il poliomio divet y ( ) P d ricvimo ( ) b ], [ ],[ Or P ( ) d, metre '( ) c P ; Impoedo l codizioe d d cui per cofroto si ottiee Il poliomio è quidi y ( ) Tle fuzioe è strettmete positiv i, ssume u miimo i (,), u mssimo i, 7 grfico di seguito ed u flesso i, Il 9 wwwmtemticmeteit 9

20 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol wwwmtemticmeteit Quesito e,, co > soo i progressioe ritmetic, qul è il vlore di? Ricordimo che u successioe è i progressioe ritmetic qudo l differez tr u suo elemeto ed il precedete è pri d u tte, dett rgioe Questo equivle el ostro cso porre che e quidi Applicdo l defiizioe di coefficiete biomile si h: ( )( ) ( ) d cui si ricv ( ) ( )( ) 7,, 7 9, Dovedo essere > l soluzioe ccettbile è 7 Iftti e Quesito 7 i determii, l vrire di k, il umero delle soluzioi reli dell equzioe: k i trtt di discutere il sistem y k y L rett k y è prllel ll sse delle scisse, metre l cubic di equzioe y è defiit i tutto R, itersec le scisse i ( ) ( ), e, e le ordite i (,), è positiv o ugule zero per, o preset sitoti, preset u miimo i ( ), m, u mssimo i ( ), M ed u flesso i ( ), Cosiderimo il grfico sottostte che rffigur l cubic e l rett di equzioe y ello stesso riferimeto crtesio:

21 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Dl grfico si oto le segueti soluzioi: k > : soluzioe egtiv k : soluzioi di cui u egtiv e due coicideti pri < k < : soluzioi di cui u egtiv e due positive distite k : soluzioi di cui u positiv e pri e due coicideti pri k < : soluzioe positiv Rissumedo si h: k < k > : soluzioe k : soluzioi Quesito i f l fuzioe defiit d ( ) sue derivte, prim e secod, el puto f i precisi il domiio di f e si stbilisc il sego delle L fuzioe i esme può essere ì scritt: f f i cui il domiio di f tutto R, metre il domiio di ( ) domiio Le derivte soo: f ' f '' R e cioè (, ) l l ( ) f è f è R ; quidi che l fuzioe differez h come wwwmtemticmeteit

22 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol e vlutte per f ' f '' foriscoo ( ) l ( l ) ( ) l ( ) ( l ) Or essedo > e l > l e per cui etrmbe le derivte i ssumoo vlore positivo Quesito 9 i f ; esiste f lim? i giustifichi l rispost L fuzioe f h come domiio /{ } riscritt: > f < R e può essere ì Or lim lim( ) metre lim lim( ) e poiché i limiti soo diversi cocludimo che il limite richiesto o esiste L figur di seguito preset l discotiuità di prim specie dell fuzioe i esme wwwmtemticmeteit

23 Corso di ordimeto- essioe ordiri - s 7- oluzioe di De Ros Nicol Quesito ecodo il codice dell strd il segle di slit ripid (fig sotto) prevverte di u trtto di strd co pedez tle d tituire pericolo L pedez vi `e espress i percetule e ell esempio è % e si st relizzdo u strd rettilie che, co u percorso di, km, super u dislivello di 5m, qul è l su iclizioe (i grdi sessgesimli)? Qule l percetule d riportre sul segle? Cosiderimo l figur sottostte: Per ipotesi AB, km, BC5m Per il teorem di Pitgor AC 5 9, 99m, per cui l percetule di iclizioe è 5 5 p % 7,%, metre l golo di iclizioe vle α rct, 9,99 9,99 wwwmtemticmeteit

3. Si determini l area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è 3

3. Si determini l area del segmento parabolico di base AB e si verifichi che essa è 3 MINIERO DELL'IRUZIONE,DELL'UNIERIÀ E DELLA RICERCA CUOLE IALIANE ALL EERO EAMI DI AO DI LICEO CIENIFICO essioe Ordiri s 00/005 ECONDA PROA CRIA em di Mtemtic Il cdidto risolv uo dei due problemi e quesiti

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2010, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico sperimentale PNI sessione ordinaria 2010, matematicamente.it Nicol De Ros, Liceo scietifico sperimetle PNI sessioe ordiri, mtemticmete.it PROBLEMA Nell figur che segue è riportto il grfico di g per 5 essedo g l derivt di u fuzioe f. Il grfico cosiste di tre 9 semicircofereze

Dettagli

Polinomi, disuguaglianze e induzione.

Polinomi, disuguaglianze e induzione. Allemeti Disid Mtemtic Geio 03 Poliomi, disuguglize e iduzioe. Qul è l mssim re di u rettgolo vete perimetro ugule 576? [Suggerimeto: utilizzre le medie e le loro disuguglize.] Svolgimeto. Predimo i cosiderzioe

Dettagli

Liceo Scientifico di Trebisacce Classe Seconda - MATEMATICA. a ab. Prof. Mimmo Corrado. Scomposizioni. Frazioni algebriche

Liceo Scientifico di Trebisacce Classe Seconda - MATEMATICA. a ab. Prof. Mimmo Corrado. Scomposizioni. Frazioni algebriche Liceo Scietifico di Treiscce Clsse Secod - MATEMATICA Esercizi per le vcze estive Prof. Mimmo Corrdo. Esegui le segueti scomposizioi i fttori Scomposizioi z z m m m c m m m m. Clcol M.C.D. e m.c.m. dei

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2002/2003 CORSO SPERIMENTALE PNI e Progetto Brocca SESSIONE SUPPLETIVA

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2002/2003 CORSO SPERIMENTALE PNI e Progetto Brocca SESSIONE SUPPLETIVA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO.s. / CORSO SPERIMENTALE PNI e Progetto Brocc SESSIONE SUPPLETIVA Il cdidto risolv uo dei due problemi e 5 dei quesiti i cui si rticol il questiorio. PROBLEMA. I u pio,

Dettagli

Analisi numerica. Richiami di teoria Zeri di una funzione, soluzione approssimata di un equazione. Teorema di esistenza degli zeri

Analisi numerica. Richiami di teoria Zeri di una funzione, soluzione approssimata di un equazione. Teorema di esistenza degli zeri 6 - Alisi umeric 6 Alisi umeric. Richimi di teori Zeri di u fuzioe, soluzioe pprossimt di u equzioe Se o è possibile determire lgebricmete gli zeri dell fuzioe f(), rdici dell equzioe f() =, si possoo

Dettagli

RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO L stbilità di u sistem liere, ivrite ed prmetri cocetrti può vlutrsi co due criteri diversi che fo rispettivmete riferimeto ll rispost

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2000/2001 Tema di MATEMATICA Sessione suppletiva CORSO DI ORDINAMENTO. di variabile reale x tale che:

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2000/2001 Tema di MATEMATICA Sessione suppletiva CORSO DI ORDINAMENTO. di variabile reale x tale che: essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros EAME DI TATO DI LICEO CIENTIFICO s / Te di MATEMATICA essioe suppletiv CORO DI ORDINAMENTO PROBLEMA i cosideri l uzioe rele di vribile rele tle

Dettagli

Misurare una grandezza fisica significa stabilire quante unità di misura sono contenute nella grandezza stessa.

Misurare una grandezza fisica significa stabilire quante unità di misura sono contenute nella grandezza stessa. L misur: Misurre u grdezz fisic sigific stilire qute uità di misur soo coteute ell grdezz stess. L misur di u grdezz si dice dirett qudo si effettu per cofroto co u grdezz d ess omogee scelt come cmpioe

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Corso di Clcolo Numerico Dott.ss M.C. De Bois Uiversità degli Studi dell Bsilict, Potez Fcoltà di Igegeri Corso di Lure i Igegeri Meccic Ao Accdemico 004/05

Dettagli

ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI

ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI. RELAZIONI Le fuzioi soo prticolri relzioi; le relzioi (birie) soo sottoisiemi del prodotto crtesio tr due isiemi. L trttzioe prte quidi dl cocetto di prodotto crtesio.

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

SERIE NUMERICHE esercizi. R. Argiolas

SERIE NUMERICHE esercizi. R. Argiolas esercizi R. Argiols L? Quest piccol rccolt di esercizi sulle serie umeriche è rivolt gli studeti del corso di lisi mtemtic I. E bee precisre fi d or che possedere e svolgere gli esercizi di quest dispes

Dettagli

ELLISSE STANDARD. 1. Il concetto

ELLISSE STANDARD. 1. Il concetto ELLIE TANDARD. Il cocetto L icertezz dell posizioe plimetric di u puto i u rete si deiisce ttrverso lo studio dell ellisse stdrd. Prim di pssre lle relzioi mtemtiche che govero questo rgometo è preeribile

Dettagli

ma non sono uguali fra loro

ma non sono uguali fra loro Defiizioe U fuzioe f defiit i D (doiio) si dice cotiu i u puto c D se esiste i tle puto (è cioè possiile clcolre f (c)); se esiste, fiito, il ite dell fuzioe per che tede c e se il vlore del ite coicide

Dettagli

L INTEGRALE DEFINITO b f (x) d x a 1

L INTEGRALE DEFINITO b f (x) d x a 1 L INTEGRALE DEFINITO ( ) d ARGOMENTI. Il Trpezoide re del Trpezoide. L itegrle deiito de. Di Riem. Proprietà dell itegrle deiito teorem dell medi. L uzioe itegrle teorem di Torricelli-Brrow e corollrio

Dettagli

2 Sistemi di equazioni lineari.

2 Sistemi di equazioni lineari. Sistemi di equzioi lieri. efiizioe. Si dice equzioe liere elle icogite equzioe dell form () + +...+ = o che (') i= i i = ove,,..., R si chimo coefficieti e R termie oto.,,..., ogi efiizioe. Si dice soluzioe

Dettagli

Nel gergo delle disequazioni vi sono dei simboli che devono essere conosciuti leggendoli da sinistra a destra:

Nel gergo delle disequazioni vi sono dei simboli che devono essere conosciuti leggendoli da sinistra a destra: Disequzioi Mrio Sdri DISEQUAZIONI Defiizioi U disequzioe è u disegugliz tr due espressioi che cotegoo icogite. Risolvere u disequzioe sigific trovre quell'isieme di vlori che, ttriuiti lle icogite, l redoo

Dettagli

OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE A] SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA Sempliicre u rzioe lgeric sigiic dividere umertore e deomitore per uo stesso ttore diverso d zero. Procedur per sempliicre

Dettagli

Argomento 9 Integrali definiti

Argomento 9 Integrali definiti Argometo 9 Itegrli defiiti Premess. Si f u fuzioe cotiu ell itervllo [, b]. L regioe di pio compres tr l sse x, le due rette verticli di equzioe x = e x = b, ed il grfico di f è dett trpezoide reltivo

Dettagli

Scuola delle Biotecnologie - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - a. a. 2006/2007 Prof. Margherita Fochi. Appunti precorso. k k

Scuola delle Biotecnologie - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE - a. a. 2006/2007 Prof. Margherita Fochi. Appunti precorso. k k Scuol delle Biotecologie - ISTITUZIONI DI MATEMATICHE -.. 006/007 Prof. Mrgherit Fochi Apputi precorso.- Poliomi.. - Geerlità Def..- Moomio ell vribile di grdo k è l espressioe : Def..- Poliomio ell vribile

Dettagli

Successioni e serie. Ermanno Travaglino

Successioni e serie. Ermanno Travaglino Successioi e serie Ermo Trvglio U successioe è u sequez ordit di umeri o di ltre grdezze, e u serie è l somm dei termii di tle sequez. U successioe si rppreset co l'espressioe,,,, ell qule è u itero positivo,

Dettagli

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario. la sua primitiva tale che ( 1) f ( 1)

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 quesiti del questionario. la sua primitiva tale che ( 1) f ( 1) Sessioe ordiaria all estero caledario australe 005 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessioe Ordiaria 005 Caledario

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO

LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO LICEO SCIENTIFICO CLASSICO SCIENZE UMANE MARCONI DELPINO RECUPERO ESTIVO PER LE CLASSI ^D- E SCIENTIFICO Argomenti d rivedere: I QUADRIMESTRE: ) Equzioni di secondo grdo e relzioni tr coefficienti e rdici

Dettagli

I numeri reali come sezione nel campo dei numeri razionali

I numeri reali come sezione nel campo dei numeri razionali I umeri reli come sezioe el cmpo dei umeri rzioli Come sppimo, el cmpo dei umeri rzioli, le quttro operzioi fodmetli soo sempre possibili, el seso che, effettudo sopr u quluque isieme fiito u sequel fiit

Dettagli

Sdl ELEMENTI DI BASE: Potenze. Radicali. Logaritmi

Sdl ELEMENTI DI BASE: Potenze. Radicali. Logaritmi ELEMENTI DI BASE: Poteze Rdicli Logritmi POTENZE L potez co bse ed espoete, o potez - esim di, si idic co ed è il prodotto di fttori tutti uguli d. =... ( volte) 0 = 1 PROPRIETÀ DELLE POTENZE m = +m :

Dettagli

, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +...

, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +... . serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = + 2 +... + = k. L serie coverge (semplicemete)

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

Progressioni aritmetiche e geometriche

Progressioni aritmetiche e geometriche Progressioi ritmetiche e geometriche 7. Progressioi ritmetiche. Defiizioe. Si dt l successioe umeric:,, 3,, 5,...,,.... Ess rppreset u progressioe ritmetic se l differez fr qulsisi termie dell successioe

Dettagli

PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria

PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria Vi Aldo Mo ro, 1097-300 15 Chioggi (VE) t el. 0414 965 81 1 - fx 0 414 96 54 3 - ww w. itisri ghi.com POTENZA i N... DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI...3 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO...3

Dettagli

DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE)

DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE) DOTTORATO DI RICERCA IN GEOFISICA-XXIIICICLO/ EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (Prof. BONAFEDE) Mggi C. & Bccesci P. Soluzioe problem V Puto 1: T Clcolre l soluzioe stziori dell (1) euivle d imporre l

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

Matematica e-learning - Corso Zero di Matematica. I Radicali. Prof. Erasmo Modica A.A. 2009/2010

Matematica e-learning - Corso Zero di Matematica. I Radicali. Prof. Erasmo Modica A.A. 2009/2010 Mtemtic e-lerig - Corso Zero di Mtemtic I Rdicli Prof. Ersmo Modic ersmo@glois.it A.A. 2009/200 I umeri turli 2 Le rdici Abbimo visto che l isieme dei umeri reli è costituito d tutti e soli i umeri che

Dettagli

I. COS E UNA SUCCESSIONE

I. COS E UNA SUCCESSIONE 5 - LE SUCCESSIONI I. COS E UNA SUCCESSIONE L sequez 0 = = 0 3 = 3 = 4 =... 3 5 = +... costituisce u esempio di SUCCESSIONE. 90 Ecco u ltro esempio di successioe: 3 4 = 3 = 3 3 = 3 4 = 3... = 3... U successioe

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2010

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PROBLEMA Sia ABCD u quadrato di lato, P u puto di

Dettagli

N 02 B I concetti fondamentali dell aritmetica

N 02 B I concetti fondamentali dell aritmetica Uità Didttic N 0 I cocetti fodmetli dell ritmetic U.D. N 0 B I cocetti fodmetli dell ritmetic 0) Il cocetto di potez 0) Proprietà delle poteze 0) L ozioe di rdice ritmetic 0) Multipli e divisori di u umero

Dettagli

1. Introduzione. disegnando le rette verticali x =1/4 ; x =1/2; e x =3/4 come in Figura ; S 3 ; S 2. ; ed S 4

1. Introduzione. disegnando le rette verticali x =1/4 ; x =1/2; e x =3/4 come in Figura ; S 3 ; S 2. ; ed S 4 Gli itegrli Gli itegrli. Itroduzioe Gli itegrli Le ppliczioi del clcolo itegrle soo svrite: esistoo, iftti, molti cmpi, dll fisic ll igegeri, dll iologi ll ecoomi, i cui tli ozioi trovo o poche ppliczioi.

Dettagli

3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr.

3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr. DIDATTICA DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA MODULO TRE I CONCETTI FONDAMENTALI NELL ANALISI DELLA TENSIONE PARTE B) MODULO PER LO SPECIALIZZANDO Modulo. Rappresetazioe dello stato

Dettagli

BREVE COMPENDIO DI MATEMATICA 1 / 15

BREVE COMPENDIO DI MATEMATICA 1 / 15 www.osvldoduiliorossi.it BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 1 / 15 Questo breve compedio guid il lettore tr le regole e i modelli bsilri dell mtemtic, e forisce gli strumeti co cui impostre e risolvere problemi

Dettagli

IL PROBLEMA DEI QUADRATI

IL PROBLEMA DEI QUADRATI IL PROBLEMA DEI QUADRATI MICHELE ROVIGATTI MARGHERITA MORETTI SIMONE MORETTI CATERINA COSTANZO GABRIELE ARGIRÒ 0. INTRODUZIONE. Il problem sce d u quesito di combitoric iserito el testo di u gr di mtemtic

Dettagli

Unità Didattica N 12. I logaritmi e le equazioni esponenziali

Unità Didattica N 12. I logaritmi e le equazioni esponenziali Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili Uità Didttic N I riti e le equzioi espoezili ) Potez co espoete itero di u uero rele. ) Potez co espoete rziole. ) Potez co espoete rele di u uero rele positivo.

Dettagli

Metodi d integrazione di Montecarlo

Metodi d integrazione di Montecarlo Metodi d itegrzioe di Motecrlo Simulzioe l termie simulzioe ell su ccezioe scietific h u sigificto diverso dll ccezioe correte. Nell uso ordirio è sioimo si fizioe; ell uso scietifico è sioimo di imitzioe,

Dettagli

CORSO DI METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA MECCANICA

CORSO DI METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA MECCANICA CORSO DI METODI MATEMATICI PER L INGEGNERIA MECCANICA. ALCUNE NOZIONI E STRUMENTI PRELIMINARI -RICHIAMI SUGLI SPAZI VETTORIALI Ricordimo che u vettore i R (o C ) e u -upl ordit di umeri reli (o complessi)

Dettagli

Appunti sui RADICALI

Appunti sui RADICALI Imprimo d operre co i rdicli Apputi sui RADICALI sego di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo: cquisteri fmilirità co queste prole: simbolo di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo.

Dettagli

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO

LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLASSI 3 S.M. DA CONSEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI SPORTELLO LAVORO PER IL RECUPERO DEL DEBITO MATEMATICA CLAI.M. DA CONEGNARE IL PRIMO GIORNO DI ATTIVITA DI PORTELLO DEVI RIOLVERE PRIMA DI TUTTO I PROBLEMI E GLI EERCIZI QUI ELENCATI. TERMINATI QUETI, RIOLVI ALCUNI

Dettagli

Integrali: non solo aree Unità Problemi di fisica Volumi Solidi geometrici: sezioni e volumi.

Integrali: non solo aree Unità Problemi di fisica Volumi Solidi geometrici: sezioni e volumi. Prerequisiti: - Clcolre limiti, derivte e semplici itegrli. - Studio di u fuzioe - Nozioi fodmetli di geometri pi e solid Quest uità o rigurd l Istituto Tecico, settore Ecoomico. Tutte le ltre scuole e

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. DEFINIZIONE DI APPLICAZIONE LINEARE. Sio V e W due spzi vettorili su u medesimo cmpo K. Si :V W u ppliczioe di V i W. Si dice che l è u ppliczioe liere di V i W se soo veriicte

Dettagli

identificando (a, 0) con a, (b, 0) con b e posto i =(0, 1) possiamo esprimere un numero complesso nella forma 2 = a + ib. 2 ) a

identificando (a, 0) con a, (b, 0) con b e posto i =(0, 1) possiamo esprimere un numero complesso nella forma 2 = a + ib. 2 ) a Numeri Complessi E be oto che o esiste lcu umero rele x tle che x = o, equivletemete, che l equzioe x + = 0 o h soluzioi reli. Cosí come è possibile estedere i umeri rzioli, itroducedo i umeri reli, i

Dettagli

EQUAZIONI ESPONENZIALI -- LOGARITMI

EQUAZIONI ESPONENZIALI -- LOGARITMI Equzioi espoezili e riti pg 1 Adolfo Sioe 1998 EQUAZIONI ESPONENZIALI -- LOGARITMI Fuzioe Espoezile Dto u uero rele positivo osiderio l fuzioe f : R R he d ogi eleeto R f orrispodere l'eleeto y =. Se =

Dettagli

Progressioni geometriche

Progressioni geometriche Progressioi geometriche Comicimo co due esempi: Esempio Cosiderimo l successioe di umeri:, 6,, 4, 48, 96 L successioe è tle che si pss d u termie l successivo moltiplicdo il precedete per. Si dice che

Dettagli

Algebra» Appunti» Logaritmi

Algebra» Appunti» Logaritmi MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Psqule Spiezi Algebr» Apputi» Logriti TEOREMA Sio e b ueri reli co R + {} e b R +. Esiste, ed è uico, u uero k R: k b Il uero k è detto rito di b i bse e viee idicto co l

Dettagli

IL PROBLEMA DELLE AREE

IL PROBLEMA DELLE AREE IL PROBLEMA DELLE AREE Il prolem delle ree è uo dei più tichi prolemi dell mtemtic e certmete che uo dei più importti, se si tiee coto che esso è ll se del clcolo itegrle. Nei tempi più remoti dell stori

Dettagli

I numeri naturali. Cosa sono i numeri naturali? Quali sono le caratteristiche di N? Le operazioni in N. addizione = 15. moltiplicazione 3 7 = 21

I numeri naturali. Cosa sono i numeri naturali? Quali sono le caratteristiche di N? Le operazioni in N. addizione = 15. moltiplicazione 3 7 = 21 I ueri turli Cos soo i ueri turli? I ueri turli soo i ueri 0 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 L isiee dei ueri turli si idic co N. N { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,..} Quli soo le crtteristiche di N? L isiee

Dettagli

ORDINAMENTO 2010 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1

ORDINAMENTO 2010 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 1 SESSIONE STRAORDINARIA - QUESITI QUESITO 1 Due osservatori si trovao ai lati opposti di u grattacielo, a livello del suolo. La cima dell edificio dista 16 metri dal primo

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

RADICALI RADICALI INDICE

RADICALI RADICALI INDICE RADICALI INDICE Rdici qudrte P. Rdici cubiche P. Rdici -esime P. Codizioi di esistez P. Proprietà ivritiv e semplificzioe delle rdici P. Poteze d espoete rziole P. 7 Moltipliczioe e divisioe di rdici P.

Dettagli

A cura del dipartimento di Matematica dell Istituto Superiore N. BIXIO FORMULARIO DI MATEMATICA E COMPLEMENTI PER LE CLASSI III-IV-V

A cura del dipartimento di Matematica dell Istituto Superiore N. BIXIO FORMULARIO DI MATEMATICA E COMPLEMENTI PER LE CLASSI III-IV-V cur del diprtimeto di Mtemtic dell Istituto uperiore N. IXIO FORMULRIO DI MTEMTIC E COMPLEMENTI PER LE CLI III-IV-V.. 5/6 INDICE EQUZIONI DI GRDO...3 EQUZIONI E DIEQUZIONI DI GRDO CON... EQUZIONI E DIEQUZIONI

Dettagli

VINCENZO AIETA Matrici,determinanti, sistemi lineari

VINCENZO AIETA Matrici,determinanti, sistemi lineari VINCENZO AIETA Mtrici,determiti, sistemi lieri 1 Mtrici 1.1 Defiizioe di cmpo. Dto u isieme A, dotto di due operzioi itere (, ), A Φ, si dice che l struttur lgebric A(, ), di sostego A, è u cmpo se: (1)

Dettagli

FORMULARIO prof. Danilo Saccoccioni

FORMULARIO prof. Danilo Saccoccioni PROPRIETA' DELLE RADICI Vlgoo le segueti proprietà se i rdicdi soo positivi: FORMULARIO prof. Dilo Sccoccioi E' fodmetle ricordre le segueti equivleze, vlide per tre umeri qulsisi, b e c che le redo seste

Dettagli

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4

Quarto Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 5 Luglio Soluzioni. z 2 = 3 4 i. a 2 b 2 = 3 4 Quarto Compito di Aalisi Matematica Corso di laurea i Iformatica, corso B 5 Luglio 016 Soluzioi Esercizio 1 Determiare tutti i umeri complessi z tali che z = 3 4 i. Soluzioe. Scrivedo z = a + bi, si ottiee

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioi di fuzioi Defiizioe. U successioe di fuzioi f : A R, N coverge putulmete d u fuzioe f : A R se f (x) = f(x) per ogi x A. L successioe coverge uiformemete d f se ccde che per ogi > 0 esiste N

Dettagli

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DALLA SECONDA ALLA TERZA PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA ) Inscrivere in un semicirconferenz di dimetro r un rettngolo ABCD vente il lto AB sul dimetro

Dettagli

- 1 - 4. Per le funzioni reali di variabile reale si può dare la seguente definizione dovuta a Dirichlet:

- 1 - 4. Per le funzioni reali di variabile reale si può dare la seguente definizione dovuta a Dirichlet: - - Fuzioi Defiizioi fodmetli. Dti due isiemi o vuoti X e Y si chim ppliczioe o fuzioe d X Y u relzioe tr i due isiemi che d ogi X f corrispodere uo ed u solo y Y. Se y è l immgie di trmite f, si scrive

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

LEZIONE Numeri complessi. Sappiamo già come sommare le coppie di numeri reali. Se (a, b ), (a, b ) R 2 allora la coppia somma è

LEZIONE Numeri complessi. Sappiamo già come sommare le coppie di numeri reali. Se (a, b ), (a, b ) R 2 allora la coppia somma è LEZIONE 14 14.1. Numeri complessi. Sppimo già come sommre le coppie di umeri reli. Se, b,, b R 2 llor l coppi somm è, b +, b = +, b + b R 2. Voglimo or defiire che u operzioe di prodotto i R 2. Defiizioe

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA. xn lim sup. lim inf x n. lim sup x n. = L, allora esiste anche lim e vale L.

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA. xn lim sup. lim inf x n. lim sup x n. = L, allora esiste anche lim e vale L. ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA GRAZIANO CRASTA Notzioi. N = {, 1, 2,...} = isieme dei umeri turli, N + = Z + = N\{} = isieme dei umeri turli positivi, Z = isieme degli iteri reltivi. = esercizio difficile,

Dettagli

Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo

Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo Δlessio elli Studete di Mtemtic Spiez - Uiversità di Rom Diprtimeto di Mtemtic Guido Csteluovo we-site: www.selli87.ltervist.org APPUNTI SUI RADICALI DEFINIZIONE DI RADICALE INDICE PARI : Si chim rdice

Dettagli

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE.

La parabola LA PARABOLA È IL LUOGO DEI PUNTI DEL PIANO EQUIDI- STANTI DA UN PUNTO DETTO FUOCO E DA UNA RETTA CHE NON LO CONTIENE DETTA DIRETTRICE. L prol In figur è trccito il grfico di un prol con sse di simmetri verticle. Si vede suito dl grfico ce: l curv è simmetric rispetto l suo sse di simmetri il suo punto più in sso è il vertice il vertice

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze

24 y. 6. ( 5 A. 1 B. 5 4 C D. 50 Applicando le proprietà delle potenze Alunno/.. Alunno/ Pgin Esercitzione in preprzione ll PROVA d ESAME Buon Lvoro Prof.ss Elen Sper. Il piccolo fermcrte dell figur è relizzto nel seguente modo. Si prende un cubo di lto cm e su un fcci si

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

ARGOMENTI INTRODUTTIVI AI CORSI DI MATEMATICA DELLA FACOLTA DI INGEGNERIA SEDE DI MODENA

ARGOMENTI INTRODUTTIVI AI CORSI DI MATEMATICA DELLA FACOLTA DI INGEGNERIA SEDE DI MODENA GOMENTI INTODUTTIVI I COSI DI MTEMTIC DELL FCOLT DI INGEGNEI SEDE DI MODEN Espoimo i modo molto suito le deiizioi e le proprietà he verro riteute ote e utilizzte ei Corsi di Mtemti he seguiro Per u trttzioe

Dettagli

Figura 1 Figura 2 1) Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune

Figura 1 Figura 2 1) Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2, mostra, con le opportune Ottvio Serr Biciclett miisterile ruote qudrte e geerlizzzioe.. Il problem del compito di mtemtic l Liceo scietifico. Esme di stto 07. PROBLEMA Si può pedlre gevolmete su u biciclett ruote qudrte? A New

Dettagli

INDICE. Scaricabile su: Algebra e Equazioni TEORIA

INDICE. Scaricabile su:  Algebra e Equazioni TEORIA P r o f. Gu i d of r c h i i Atepri Atepri Atepri www. l e z i o i. j i d o. c o Scricile su: http://lezioi.jido.co/ Alger e Equzioi TEORIA INDICE Nozioi geerli, isiei, uioe ed itersezioe, ueri reli Mooi

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA

APPUNTI DI MATEMATICA APPUNTI DI MATEMATICA Fuzioe dti li isiemi X e Y, si chim uzioe d X i Y u sottoisieme del prodotto crtesio XY tle che per oi X, esiste uo ed u solo elemeto Y tle che (,). Fuzioe relzioe che ssoci d oi

Dettagli

Analisi Matematica I

Analisi Matematica I Uiversità di Pisa - orso di Laurea i Igegeria Edile-rchitettura alisi Matematica I Pisa, febbraio Domada La derivata della fuzioe f) log ) si è ) log )si B) log )cos ) log ) si cos loglog ) + si ) log

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2

Nicola De Rosa, Liceo scientifico PNI sessione straordinaria 2010, matematicamente.it. e se ne tracci il grafico nell intervallo 0 x 2 Nicol De Ros, Liceo scientifico PNI sessione strordinri, mtemticmente.it PROBLEMA Sono dti: un circonferenz di centro O e dimetro AB e tngente t prllel l dimetro. Si prolungno i rggi OA ed OB di due segmenti

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Distillazione. Obiettivi Arricchire la miscela dei componenti più volatili. Impoverire la miscela dei

Distillazione. Obiettivi Arricchire la miscela dei componenti più volatili. Impoverire la miscela dei istillzioe istillzioe Oerzioe che cosete di serre i comoeti di u miscel liquid, sfruttdo l differez di tesioe di vore degli stessi comoeti. Obiettivi Arricchire l miscel dei comoeti iù voltili. Imoverire

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem

Dettagli

1 COORDINATE CARTESIANE

1 COORDINATE CARTESIANE 1 COORDINATE CARTESIANE In un sistem di ssi crtesini (,) un punto P è identificto dll su sciss e dll su ordint : Asciss : distnz di P dll sse delle ordinte Ordint :distnz di P dll sse delle scisse P(-4,4)

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

La base naturale dell esponenziale

La base naturale dell esponenziale La base aturale dell espoeziale Beiamio Bortelli 7 aprile 007 Il problema I matematica, ci è stato detto, la base aturale della fuzioe espoeziale è il umero irrazioale: e =, 7888... Restao, però, da chiarire

Dettagli

Successioni e Logica. Preparazione Gara di Febbraio 2009. Gino Carignani

Successioni e Logica. Preparazione Gara di Febbraio 2009. Gino Carignani Successioi e Logic Preprzioe Gr di Febbrio 009 Gio Crigi Progressioe ritmetic è u successioe di umeri tli che l differez tr ciscu termie e il suo precedete si u costte d (rgioe) d α α d α d K ( α )d 3

Dettagli

Le successioni: intro

Le successioni: intro Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!

Dettagli

Compendio di Calcolo Combinatorio in preparazione all esame di stato

Compendio di Calcolo Combinatorio in preparazione all esame di stato Compedio di Clcolo Combitorio i preprzioe ll esme di stto Simoe Zuccher prile Idice Permutzioi semplici Permutzioi co ripetizioe Disposizioi semplici Disposizioi co ripetizioe 5 Combizioi semplici 6 Combizioi

Dettagli

Appunti di Matematica per le Scienze Sociali

Appunti di Matematica per le Scienze Sociali 2014 Apputi di Mtemtic per le Scieze Socili Quello che vete imprto scuol (o lmeo u prte) m che o vi ricordte. [Digitre qui il suto del documeto. Di orm è u breve sitesi del coteuto del documeto. [Digitre

Dettagli

I appello - 29 Giugno 2007

I appello - 29 Giugno 2007 Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

Introduzione al calcolo letterale: Monomi e polinomi

Introduzione al calcolo letterale: Monomi e polinomi http://www.tuttoportle.it/ A SCUOLA DÌ MATEMATICA Lezioi di mtemtic cur dì Eugeio Amitro Argometo. Itroduzioe l clcolo letterle: Moomi e poliomi U pgi del liro Al-Kitā l-mukhtṣr fī hīsā l-ğr w l-muqāl

Dettagli

Studio sull impiego dell algoritmo della suddivisione della tangente, per ottenere la tracciatura di curve del 2 ordine diverse dalla circonferenza.

Studio sull impiego dell algoritmo della suddivisione della tangente, per ottenere la tracciatura di curve del 2 ordine diverse dalla circonferenza. Studio sull impiego dell lgoritmo dell suddivisioe dell tgete per otteere l trccitur di curve del ordie diverse dll circoferez. Michele De Frchis 1 Uiversità degli Studi di Plermo Mssimilio Cldrio 3 Atoio

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema di MATEMATICA a. s

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema di MATEMATICA a. s WWWMATEMATICAMENTEIT Corso di ordimto - Sssio ordiri - s 9- ROBLEMA ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tm di MATEMATICA s 9- Si ABCD u qudrto di lto, u puto di AB γ l circofrz di

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

E il più grande tra tutti i numeri interi positivi che dividono i numeri dati.

E il più grande tra tutti i numeri interi positivi che dividono i numeri dati. M.C.D. E il più grde tr tutti i ueri iteri positivi che dividoo i ueri dti. 4 = 144 = 4 M.C.D.= = 1 60 = 5 Si predoo cioè tutti i fttori coui co l espoete iore. Il M.C.D. tr due o più ooi è u ooio co coefficiete

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli