Analisi numerica. Richiami di teoria Zeri di una funzione, soluzione approssimata di un equazione. Teorema di esistenza degli zeri

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1 6 - Alisi umeric 6 Alisi umeric. Richimi di teori Zeri di u fuzioe, soluzioe pprossimt di u equzioe Se o è possibile determire lgebricmete gli zeri dell fuzioe f(), rdici dell equzioe f() =, si possoo utilizzre i cosiddetti metodi umerici che coducoo vlori pprossimti delle soluzioi cercte. L ricerc delle rdici (soluzioi), vviee i due fsi:. ricerc degli itervlli i cui compre u e u sol rdice (isolmeto dell rdice);. determizioe, ll itero degli itervlli precedetemete determiti, dell soluzioe pprossimt. Teorem di esistez degli zeri teorem di uicità dell soluzioe teorem di uicità dell soluzioe grfico Fse Se u fuzioe y = f() è cotiu ell itervllo chiuso [; b] e ssume vlori discordi gli estremi di tle itervllo, cioè f() f(b) <, llor l equzioe f() =h lmeo u soluzioe iter ll itervllo: α ]; b[ f(α) =. Il teorem ssicur l esistez di lmeo u rdice dell equzioe, quidi è possibile che ve e si più di u, comuque sempre i umero dispri. Se u fuzioe y = f() è cotiu ell itervllo chiuso [; b], è derivbile ell itervllo perto ]; b[, f() f(b) < e f () ]; b[, llor l equzioe f() =h u e u sol soluzioe iter ll itervllo:! α ]; b[ f(α) =. Se u fuzioe y = f() è cotiu ell itervllo chiuso [; b], è derivbile volte ell itervllo perto ]; b[, f() f(b) < e f () si mtiee di sego costte ]; b[, llor l equzioe f() = h u e u sol soluzioe iter ll itervllo:! α ]; b[ f(α) =. Nel cso di fuzioi lgebriche complesse o trscedeti per le quli il clcolo delle derivte e del loro sego comporti prticolri difficoltà, è possibile cercre di isolre le rdici utilizzdo il metodo grfico. Tle metodo cosiste el riscrivere l equzioe f() = come ugugliz di ltre due fuzioi ell stess vribile, g() =h(), lmeo u di esse ot, per cui l ricerc delle soluzioi dell equzioe dt è ricodott quell delle soluzioi del sistem { y = g() y = h() 7

2 Richimi di teori Rppresette grficmete le fuzioi g() e h(), è possibile determire pprossimtivmete gli itervlli i cui cdoo le soluzioi d determire. di bisezioe Fse Determito l itervllo [; b] i cui l fuzioe y = f() mmette u e u sol rdice α (per cui è sicurmete f() f(b) < ), bisog ricercre il vlore pprossimto di tle soluzioe. Il metodo cosiste el suddividere ogi psso l itervllo [; b] i due prti uguli e determire i qule dei due sottoitervlli si trov l rdice (l soluzioe), cioè vlg sempre f() f(b) <. Proseguedo i questo modo si dimezz progressivmete l mpiezz dell itervllo che cotiee α. Posti = e b = b, si clcolo = + b e f( ): se f( )=, α = è lo zero cercto; se f( ) e f( ) soo cocordi, cioè f( ) f( ) >, si poe = e b = b ; se f( ) e f( ) soo discordi, cioè f( ) f( ) <, si poe = e b =. Si ripete il procedimeto pplicdolo ll itervllo [ ; b ] e così vi. Si form i tl modo u successioe di itervlli icpsulti di mpiezz ugule ll metà del precedete: b = b + b = b e, i geerle, b = b = b. L codizioe di rresto del procedimeto è dt d: b <ε, co ε R + errore idicto dl testo o scelto picere, cioè l itervllo cui pprtiee l soluzioe α è sufficietemete ristretto; f( ) <ε, cioè il vlore ssuto d f i è sufficietemete prossimo zero; etrmbe le codizioi. Si ssume llor che α = + b co u errore ssoluto che è o superiore b. L semplicità f di tle metodo uo dei più utilizzti, mlgrdo bbi u covergez d α bbstz let. Per l su ppliczioe ci si può vvlere del seguete schem. b f ( ) f (b ) f ( ) b delle corde Il metodo cosiste el cercre u successioe di pprossimzioi dello zero α di y = f() utilizzdo le fuzioi lieri dte dlle rette pssti per gli estremi dell fuzioe stess ell itervllo cosiderto. Se [; b] è l itervllo i cui l fuzioe y = f() mmette u e u sol rdice α (per cui è sicurmete f() f(b) < ), suppoimo che f () bbi sego costte [; b]. 73

3 6 - Alisi umeric Posto = b k = se f () f() >, = k = b se f () f(b) >, scrivedo l equzioe dell rett psste per ( ; f( )) e (k; f(k)) e itersecdol co l sse si ricv: k = f(k) f( ) f( ). Iterdo il procedimeto ( ; f( )) e puti successivi, si ottiee l formul geerle: + = k f(k) f( ) f( ). L codizioe di rresto del procedimeto è dt d: + <ε, cioè l differez tr due pprossimzioi successive di α è sufficietemete piccol; f( + ) <ε, cioè il vlore ssuto d f i + è sufficietemete prossimo zero; etrmbe le codizioi. Si ssume llor che α +. L formul itertiv, poco semplice, f di tle metodo uo dei meo utilizzti. Per l su ppliczioe ci si può vvlere del seguete schem. f ( ) k f (k) + ====== delle tgeti (o di Newto) Il metodo cosiste el cercre u successioe di pprossimzioi dello zero α di y = f() utilizzdo le fuzioi lieri dte dlle tgeti ll curv i u estremo dell itervllo cosiderto. Se [; b] è l itervllo i cui l fuzioe y = f() mmette u e u sol rdice α (per cui è sicurmete f() f(b) < ), suppoimo che f () bbi sego costte [; b]. Posto = se f () f() >, = b se f () f(b) >, scrivedo l equzioe dell tgete i e itersecdol co l sse si ricv: = f( ) f ( ). Iterdo il procedimeto e vlori successivi, si ottiee l formul geerle: + = f( ) f ( ). Le codizioi di rresto del procedimeto soo le stesse del metodo delle corde. Si ssume llor che α +. L velocità di covergez d α (il umero di cifre decimli estte rddoppi ogi iterzioe) f di tle metodo uo dei più utilizzti. Per l su ppliczioe ci si può vvlere del seguete schem. f ( ) f ( ) + ====== 74

4 Richimi di teori. Itegrzioe umeric Se o è possibile determire lgebricmete l itegrle defiito di u fuzioe f(), perché o soo pplicbili le regole di itegrzioe studite, o esse porto clcoli lboriosi, o perché l fuzioe è coosciut solo per lcui puti ( seguito d esempio di studi sttistici), si possoo utilizzre i cosiddetti metodi umerici, che coducoo u vlore pprossimto dell itegrle defiito richiesto. L itegrzioe umeric si bs sul sigificto geometrico di itegrle defiito: l itegrle defiito f()d rppreset l re dell prte di pio compres tr il grfico dell fuzioe, l sse e le rette di equzioe = e = b, suppoedo f() cotiu e o egtiv i [; b]. Tle prte di pio prede il ome di trpezoide. Per grtire l esistez dell itegrle f()d e poter effetture u stim dell errore commesso utilizzdo uo dei metodi umerici, suppoimo che l fuzioe ite- grd f() si cotiu, o egtiv e derivbile più volte sull itervllo chiuso e limitto [; b]. dei rettgoli Il metodo cosiste el suddividere l itervllo di itegrzioe [; b] i u umero fiito di prti uguli di mpiezz h = b medite gli +puti =, = + h, = +h = + h,..., = + h = + h = b, cui corrispodoo i vlori dell fuzioe y = f( ), y = f( ),..., y = f( ), y = f( ). Si cosiderio gli rettgoli veti per bse uo degli itervlli i cui è suddiviso [; b] (quidi tutti di bse h) e per ltezz il vlore ssuto dll fuzioe el primo estremo di tle itervllo (figur ); si clcoli l somm R delle loro ree: R = y h + y h y h. y FIG. O = b = L re del trpezoide di bse [; b] è pprossimt d R, per cui: f()d R = y h + y h y h = b (y + y + y y ) 3 Si cosiderio gli rettgoli veti per bse uo degli itervlli i cui è suddiviso [; b] (quidi tutti di bse h) e per ltezz il vlore ssuto dll fuzioe el secodo estremo di tle itervllo (figur ); si clcoli l somm R delle loro ree: R = y h + y h y h. y O = b = FIG. 75

5 6 - Alisi umeric L re del trpezoide di bse [; b] è pprossimt d R, per cui: dei trpezi f()d R = y h + y h y h = b (y + y y + y ) 4 Le formule 3 e 4 soo dette formule di qudrtur dei rettgoli. Si può evidezire che essedo l fuzioe f() itegrbile, le somme R e R covergoo llo stesso limite per tedete ifiito e quidi l loro differez può essere res piccol picere umetdo opportumete il umero degli itervlli di suddivisioe. Ioltre, se f() è mootò crescete i [; b], llor R rppreset u pprossimzioe per difetto e R u pprossimzioe per eccesso dell itegrle defiito dto, il vicevers se f() è mootò decrescete i [; b]. Se l fuzioe f() mmette derivt prim cotiu, idicto co ε l errore commesso e co M il vlore mssimo di f () i [; b] (M = m f () f () M [;b] [; b]), si h: (b ) ε M. 4 Si suddivide l itervllo [; b] i itervlli, ciscuo di mpiezz h = b, medite gli +puti =, = + h, = +h = + h,..., = + h = + h = b cui corrispodoo i vlori dell fuzioe y = f( ), y = f( ),..., y = f( ), y = f( ). Si cosiderio gli trpezi rettgoli veti per ltezz uo degli itervlli i cui è suddiviso [; b] (quidi tutti di ltezz h) e per bsi i vlori ssuti dll fuzioe egli estremi di tle itervllo (figur 3); si clcoli l somm T delle loro ree: T = y + y h + y + y h y FIG. 3 L re del trpezoide di bse [; b] è pprossimt d T, per cui: + y + y f()d T = y + y h. h + y + y O = b = h y + y h = = h y + y + y + y + y y + y + y = = b ( ) y + y + y + y y, 5 che esprime l formul di qudrtur dei trpezi. Se l fuzioe f() mmette derivt secod cotiu, idicto co ε l errore commesso e co M il vlore mssimo di f () i [; b] (M = m f () f () M [;b] [; b]), si h: (b )3 ε M. 5 76

6 Richimi di teori delle prbole o di Cvlieri- Simpso Si suddivide l itervllo [; b] i itervlli, ciscuo di mpiezz h = b, medite i +puti =, = + h, = +h = + h,..., = +h = + h = b cui corrispodoo i vlori dell fuzioe y = f( ), y = f( ),..., y = f( ), y = f( ). Si cosiderio gli itervlli [ i ; i+ ] i cui è suddiviso [; b] di puti,,..., (figur 4) e per ciscuo di essi si clcoli l re sottes ll prbol psste per i puti di sciss i, i+, i+ (co i+ puto medio di [ i ; i+ ] e i =,,..., ), il cui vlore è ugule y y = f () FIG. 4 S i = h 3 (y i +4y i+ + y i+ ). O = b = Si clcoli successivmete l somm S di tli ree: S = S i = i = h 3 (y +4y + y )+ h 3 (y +4y 3 + y 4 )+...+ h 3 (y +4y + y )= = h 3 (y +4y + y + y +4y 3 + y y +4y + y )= = h 3 [y + y +(y + y 4 + y y )+4(y + y 3 + y y )] = = b 6 [y + y +(y + y 4 + y y )+4(y + y 3 + y y )]. L re del trpezoide di bse [; b] è pprossimt d S, per cui: f()d S = b 6 [y + y +(y + y 4 + y y )+4(y + y 3 + y y )] 6 che esprime l formul di qudrtur delle prbole o di Cvlieri-Simpso. Se l fuzioe f() mmette derivt qurt cotiu, idicto co ε l errore com- e co M il vlore mssimo di f (IV) () i [; b] (M = m f (IV) () messo [;b] f (IV) () M [; b]), si h: ε (b ) M. 6 77

7 6 - Alisi umeric Esercizi svolti QUESITO 6 A.S. / Esme di Stto, s.o. Liceo Scietifico P.N.I. Quesito Co uo dei metodi di qudrtur studiti, si clcoli u pprossimzioe dell itegrle defiito π se d e si cofroti il risultto co il vlore estto dell itegrle. Risoluzioe guidt Clcolimo il vlore estto I dell itegrle: I = π se d =[ cos ] π = cos π ( cos ) = + = I metodo. Per il clcolo pprossimto dell itegrle si può utilizzre il metodo dei trpezi co u suddivisioe dell itervllo [; π] i =6prti uguli di mpiezz h = π 6 = π 6 medite i 7 puti =, = π 6, = π 3, 3 = π, 4 = 3 π, 5 = 5 6 π, 6 = π. Ricordt l 5, si h: f()d T 6 = b ( ) [ ] y + y 6 f( )+f( 6 ) + y y 5 = h + f( )+...+ f( 5 ) ed essedo: f( )=f() =, f( 3 )=f ( π ) =, f( )=f ( ) π 3 = 3, f( )=f ( π 6 ) =, f(4 )=f ( 3 π) = 3, f( 5)=f ( 5 6 π) =, f( 6)=f(π) = si ottiee: [ I T 6 = π ] 3 + = π 6 ( 3+), L errore compiuto è quidi ε 6 =, =, (b )3 Per l 5 si h che ε M, co f () M [; b], ed essedo f () = se M =, si ricv: ε 6 (π )3 = π3 6 36, , verificdo l disugugliz teoric 5. II metodo. Per il clcolo pprossimto dell itegrle si può utilizzre il metodo dei rettgoli co u suddivisioe dell itervllo [; π] i =6prti uguli di mpiezz h = π 6 = π 6 medite i 7 puti =, = π 6, = π 3, 3 = π, 4 = 3 π, 5 = 5 6 π, 6 = π. Ricordte l 3 e l 4, si h: f()d R 6 = b ( y + y + y y 5 ) f()d R 6 = b ( y + y + y y 6 ) 78

8 Esercizi svolti e utilizzdo i vlori già determiti per il metodo precedete: ( f()d R 6 = π ) 3 + = π 6 ( 3+ ), ( f()d R 6 = π ) = π 6 ( 3+ ), L errore compiuto è quidi ε 6 =, =, Nel cso prticolre i esme si è trovto R 6 = R 6 = T 6, metre i geerle il metodo dei rettgoli forisce u pprossimzioe meo precis di quello dei trpezi ed è: R R e T = R + R. (b ) Per l 4 si h che ε M, co f () M [; b], ed essedo f () = cos M =, si ricv: ε 6 (π ) 6 = π, , verificdo l disugugliz teoric 4. QUESITO 7 A.S. / Esme di Stto, s.o. Liceo Scietifico P.N.I. Quesito Verificto che l equzioe e =mmette u sol rdice positiv compres tr e se e clcoli u pprossimzioe pplicdo uo dei metodi umerici studiti. Risoluzioe Posto f() = e, l ricerc delle soluzioi dell equzioe dt è ricodott ll ricerc delle itersezioi dell fuzioe f co l sse delle scisse. L fuzioe f è defiit e cotiu su tutto R. Essedo: f() = e = < e f() = e = e >, f() ssume gli estremi dell itervllo chiuso I =[;] vlori discordi; perciò, per il teorem di esistez degli zeri pplicbile lle fuzioi cotiue i u itervllo chiuso, si deve ullre lmeo i u puto = α, α ]; [. Derivdo vremo: f () =+e. L fuzioe derivt prim risult sempre positiv, poiché f () > R, e quidi f sempre strettmete crescete su tutto R, i prticolre su I. Dll esistez dello zero = α e dll mootoi di f() si ricv che tle zero deve che essere uico ( teorem di uicità dell soluzioe). Applicdo f() il metodo delle tgeti, + = f( ) f ( ), dto che f () = e per cui f () < R e =(il metodo richiede che f ( ) f( ) > ), si ottiee, co u pprossimzioe di e utilizzdo 4 cifre decimli: f ( ) f ( ) + ======,5,65,665,5,5663,3,5676,663 3, ,8 79

9 6 - Alisi umeric Essedo il vlore ssoluto dell differez tr due pprossimzioi successive di α e il vlore f( ) miori del scelto, si ricv che α,567 (u vlore più preciso è α, ). QUESITO A.S. /3 Esme di Stto, s.o. Liceo Scietifico P.N.I. Quesito 3 Verificre che l equzioe 3 3 += mmette tre rdici reli. Di u di esse, quell compres tr e, si clcoli u pprossimzioe pplicdo uo dei metodi umerici studiti. Risoluzioe L fuzioe f() = 3 3 +è u fuzioe poliomile iter di terzo grdo cotiu R, co lim f() = lim f() =+, + per cui per il teorem di esistez degli zeri di u fuzioe ] ;+ [ tle che f() =; ioltre f è derivbile R co derivt prim f () =3 3. Dllo studio dei puti stziori e dl sego delle corrispodeti ordite si deduce il umero di itersezioi dell fuzioe f() co l sse delle scisse. Risult f () 3 3, co f( ) = 3 e f() =, per cui i puti stziori M( ; 3) e m(; ) soo rispettivmete mssimo e miimo reltivo co ordite di sego discorde. L fuzioe ssegt itersec quidi l sse delle scisse i tre puti, ovvero l equ- 3 FIG. M y zioe 3 3 += mmette tre rdici reli α, α, α 3. Il grfico i figur illustr l situzioe. Essedo f() = l soluzioe α ]; [ e per il clcolo del suo vlore pprossimto possimo usre il metodo di bisezioe. Co =, b =e u pprossimzioe di, utilizzdo 5 cifre decimli, si ottiee: α α α 3 O m b f ( ) f (b ) f ( ) b,5 3,5 4,35 5, ,34375,5,375,5,375,5,6563,5,5,6563,375,375,77,5,375,6563,77,35,93,5,375,93,77,34375,937,65,375,937,77,35938,37,35,35938,937,37,3557,6,563 7,34375,3557,937,6,34766,96,78 Essedo i vlori b e f( ) miori del scelto, si ricv che α,34766 (u vlore più preciso è α, ). 8

10 QUESITO 9 A.S. 3/4 Esme di Stto, s.o. Liceo Scietifico P.N.I. Liceo Scietifico (QUESITO 4) Quesito 4 Esercizi svolti Si dimostri che l equzioe e +3 =mmette u e u sol soluzioe rele, e se e clcoli u vlore pprossimto utilizzdo u metodo itertivo scelt. Risoluzioe guidt L equzioe dt, h() =e +3 =, può essere riscritt come e = 3, per cui l su rdice λ coicide co l soluzioe del sistem { f() = e g() = 3 cioè è il puto comue lle fuzioi elemetri f() = e e g() = 3 Essedo f() mootò strettmete crescete, g() mootò strettmete decrescete, lim +, lim f() = + +, lim g() = +, lim g() = +, le curve si icotrero i u solo puto, pprteete ll itervllo ] ; [, come risult che dll figur. FIG. y = g() λ y O y = f () Applicdo il metodo di bisezioe co =, b = e u pprossimzioe di, utilizzdo 4 cifre decimli, si ottiee: b h( ) h(b ) h( ) b,63,5,8935,5,8935,5,88,5,5,5,8935,88,375,4377,5 3,375,5,4377,88,35,59,5 4,35,5,59,88,83,89,65 Essedo i vlori b e h( ) miori del scelto, si ricv che λ,83 (u vlore più preciso è λ, ). QUESITO 3/4 Esme di Stto, s.s. Liceo Scietifico P.N.I. Quesito 5 Dopo ver spiegto perché l fuzioe f() = cos è positiv ell itervllo [; ], esplicitre u lgoritmo idoeo clcolre u vlore pprossimto dell re situt sotto il grfico dell fuzioe reltivmete ll itervllo cosiderto. 8

11 6 - Alisi umeric Risoluzioe Nell itervllo [; ] l fuzioe cos è decrescete e miore di, quidi risult >cos cos > f() = >, [; ]. cos I metodo. L re d clcolre è dt d: A = cos d per cui, per il clcolo pprossimto dell itegrle, si può utilizzre, d esempio, il metodo dei trpezi co u suddivisioe dell itervllo [; ] i =5prti uguli (o soo stte dte idiczioi sul grdo di precisioe) di mpiezz h = = 5 =, medite i 6 puti =, =,, =,4, 3 =,6, 4 =,8, 5 =. Ricordt l 5, utilizzdo 4 cifre decimli, si h: A T 5 = b ( ) [ y + y 5 f( )+f( 5 ) + y y 4 = h ed essedo ] + f( )+...+ f( 4 ) f( )=f() =,753, f( )=f(,) =,938, f( )=f(,4) =,83, f( 3 )=f(,6) =,638, f( 4 )=f(,8) =,4933, f( 5 )=f() =,439 si ottiee: A T 5 = 5 [ ],753+,439 +,938 +,83 +,638 +,4933 = 5 4,485 =,887 (u vlore più preciso è A,8554 e o è richiest l stim dell errore). II metodo. Co il metodo di Cvlieri-Simpso, per l 6, suddividedo l itervllo [; ] medite i = puti, sempre utilizzdo quttro cifre decimli, vremmo ivece otteuto: h = = =, =, =,, =,, 3 =,3,..., 9 =,9, =, A S 6 = b 6 [y + y +(y + y 4 + y 6 + y 8 )+4(y + y 3 + y 5 + y 7 + y 9 )] e y = f() =,753 y = f(,) =,547 y = f(,) =,938 y 3 = f(,3) =,9685 y 4 = f(,4) =,83 y 5 = f(,5) =,6997 y 6 = f(,6) =,638 y 7 = f(,7) =,5468 y 8 = f(,8) =,4933 y 9 = f(,9) =,4498 y = f() =,439 d cui: A S 6 = [,753 +,439 + (,938 +,83 +,638 +,4933) (,547 +,9685 +,6997 +,5468 +,4498)],8555 pprossimzioe migliore di quell otteut co il metodo dei trpezi. 8