L INTEGRALE DEFINITO b f x d x a 1

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1 L INTEGRALE DEFINITO d

2 ARGOMENTI. Mpp cocettule. Le successioi umeriche. Il Trpezoide re del Trpezoide 4. L itegrle deiito de. Di Riem 5. Fuzioi itegrili secodo Riem 6. Proprietà dell itegrle deiito teorem dell medi 7. L uzioe itegrle teorem di Torricelli-Brrow e corollrio 8. Regole d itegrzioe per prti e per sostituzioe 9. Appliczioi dell itegrle deiito - Clcolo di ree di domii pii teorem di Archimede - Clcolo di volumi - volumi di igure di rotzioe - Lughezz di u rco di curv - Clcolo dell re di superici di rivoluzioe - Itegrli impropri o geerlizzti - Appliczioi del clcolo itegrle ll isic

3 c CONCETTO di LIMITE» LA DERIVATA è il limite del rpp.icrem. L INTEGRALE DEFINITO è il limite di u successioe L INTEGRALE INDEFINITO è l isieme iiito delle PRIMITIVE INTEGRALE DEFINITO e AREA del TRAPEZOIDE TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

4 LE SUCCESSIONI NUMERICHE U successioe è u uzioe rele di vriile turle: : N R (Domiio N e Codomiio R) U successioe può essere deiit:. Medite l ormul che deiisce il termie -esimo: = + N. Per ricorrez, cioè idicdo i primi termii e l legge che leg u termie l precedete: =, =,, + = + + ( =, =, =, =, 4 =, 5 =5, 6 =8, 7 =, 8 = successioe di Fiocci). 4

5 LIMITI DELLE SUCCESSIONI No h seso cosiderre il limite di u successioe per tedete d u vlore iito, m, essedo il domiio N illimitto superiormete, è iteresste studire il limite di u successioe per +. Deiizioi:. Successioe covergete: si dice che u successioe { } coverge verso l, e si scrive lim l se R + esiste u N, tle che si veriichi -l < co >.. Successioe divergete: diverge positivmete se lim diverge egtivmete se lim. Successioe idetermit: si dicoo idertmite le successioi che o soo è covergeti, è divergeti. 5

6 DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI. Progressioe ritmetic: è u successioe deiit per ricorrez ddo il primo termie e l legge che deiisce i termii successivi el modo seguete:, = +d, = +d,, + = +d Il umero rele d prede il ome di rgioe. L somm dei primi termii è dt dll ormul: S k k d. Progressioe geometric: è u successioe deiit per ricorrez ddo il primo termie e l legge che deiisce i termii successivi el modo seguete:, = q, = q,, + = q Il umero rele q prede il ome di rgioe. L somm dei primi termii è dt dll ormul: S k k - q - q se q S se q 6

7 IL TRAPEZOIDE Si () u uzioe cotiu ell itervllo [;], co <, e suppoimo che ivi si o egtiv. Deiizioe: Trpezoide è il qudriltero mistilieo ABCD delimitto dll curv γ di equzioe y = (), dll sse delle e dlle prllele AD e BC ll sse delle y. 7

8 L AREA DEL TRAPEZOIDE Scompoimo l itervllo [;] i itervllii przili qulsisi, che solo per comodità espositiv ssumimo uguli, e idichimo co h l mpiezz di questi itervlli. Sio m i e M i, rispettivmete, il miimo e il mssimo dei vlori di () ell i esimo itervllio (m i e M i esistoo per il teorem di Weierstrss), e cosiderimo le segueti due somme: s mih i S M h i i 8

9 s m h i i S M h i i s prede il ome di plurirettgolo iscritto el trpezoide, ed è l somm delle ree degli rettgoli veti per si gli itervllii i cui è stto diviso l itervllo [;] e per ltezze le ordite miime m i dell curv i tli itervllii; S prede il ome di plurirettgolo circoscritto l trpezoide, ed è Evidetemete s S, quluque si. Il vlore delle somme s e S dipede, evidetemete, dll scomposizioe dottt per [;]: s e S soo due uzioi reli dell vriile turle, soo cioè due successioi. Teorem. Se () è u uzioe cotiu e o egtiv i [;], le due successioi s e S soo covergeti e covergoo verso lo stesso umero, cioè mmettoo lo stesso limite iito per + e risult: lim mih lim Mih i i Deiizioe: Chimsi re del trpezoide ABCD, delimitto dll curv di equzioe y = (), co (), dll sse delle e dlle prllele AD e BC ll sse delle y, il umero che rppreset il limite comue per + delle somme s e S. 9

10 L INTEGRALE DEFINITO Deiizioe di itegrle deiito secodo Riem: Dt l uzioe (), cotiu i [ ; ], co <, il vlore comue del limite delle successioi s ed S si chim itegrle deiito dell uzioe cotiu () esteso ll itervllo [ ; ], e si idic co l scrittur: d lim s lim S Si legge: itegrle deiito d di () d. I umeri e si dicoo estremi dell itegrle: - estremo ieriore, - estremo superiore. L uzioe () si chim uzioe itegrd, l vriile si chim vriile d itegrzioe. N.B. I quest deiizioe o viee tt l ipotesi che () si o egtiv i [ ; ].

11 Se per ogi [, ] l uzioe () è o egtiv e itegrile, llor rppreset l're dell'isieme: {(, y) :, y ()}. si d, metre Are 4, itti Are si d 4

12 Esempi di clcolo dell itegrle deiito.. Cosidero l uzioe () = p + q e clcolo l itegrle deiito L () è cotiu i [ ; ].. d q p β q β p... β q β p β q p m... m m s : quidi vrà Si q k p q p M q k p q p m β pogo k k k k p q p S : logmete e p q p s... essedo... pβ β q p β q β... p p : ottiee si rgioe ) di ritmetic progressioe u di (somm

13 Clcolimo or l itegrle deiito: p q d lim s lim S p qd lim p q p lim p q p p qd p q p - lim p q p - lim p qd p q p Si può che scrivere : - essedo lim. p qd p q p - p q p q - L ultim espressioe è l ormul per l re del trpezio!

14 Osservzioe importte: L espressioe precedete si può scrivere el seguete modo: p q p q p q d - p q - p q Il vlore dell itegrle coicide co l dierez gli estremi dell itervllo d itegrzioe [ ; ] dell uzioe F p q dove F p qd è u primitiv di p q Si può scrivere quidi: p qd F F. Il teorem odmetle del clcolo itegrle (Torricelli-Brrow) spieg tle cocetto. 4

15 5. Cosidero l uzioe () = e clcolo l itegrle deiito L () è cotiu i [ ; ].. d Dividimo l itervllo [;] i prti uguli, medite i puti,,, -, : S s,,,, : vrà si, poichè i i i i Le somme r pretesi soo quelle di termii i progressioe geometric di rgioe /, perciò si può scrivere: S ricv si logmete e s

16 d d lim lim s lim S lim... De l' Hospitl... log e Ache i questo cso osservo che il vlore dell itegrle coicide co l dierez gli estremi dell itervllo d itegrzioe [ ; ] dell uzioe F log e dove F d è u primitiv di Si può scrivere quidi: d F F log e - log e log e. 6

17 FUNZIONI INTEGRABILI Teorem Codizioe ecessri iché () si itegrile ell itervllo [; ] è che si limitt i [; ]. L codizioe o è suiciete. Esempio: l uzioe () si deiit i [; ] dll seguete legge:,, se se è è rziole irrziole Quest uzioe, pur essedo limitt i [; ], ivi o è itegrile secodo Riem, perché, come si dimostr cilmete lim s lim S Teorem Codizioe suiciete iché () si itegrile ell itervllo [; ] è che si cotiu i [; ]. Clssi di uzioi itegrili: Ogi uzioe : [, ] R cotiu è itegrile; Ogi uzioe : [, ] R limitt e mooto è itegrile; Ogi uzioe : [, ] R limitt co u umero iito o umerile di puti di discotiuità di prim o terz specie è itegrile. 7

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19 PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO Deiizioi:. se < si poe:. se = Teoremi: d d proprietà dditiv 9

20 7. Teorem dell medi Si () u uzioe cotiu sull'itervllo [, ], llor esiste lmeo u puto c [, ] tle che (*) Il vlore (c) si chim vlor medio dell uzioe ell itervllo [ ; ]. Dimostrzioe: Idicti co m ed M il miimo e il mssimo di () i [ ; ], co <, si h: d M m L espressioe m d d M è u umero compreso r il miimo m e il mssimo M dell uzioe; per il teorem dei vlori itermedi, esiste lmeo u puto c [, ] i cui l () ssume tle vlore, i cui cioè si veriic l (*).

21 Iterpretzioe geometric del teorem dell medi. Il vlore dell uzioe i c, (c), è il vlore medio dell uzioe reltivmete ll itervllo cosiderto. Not l logi co l deiizioe di medi ritmetic podert. I prticolre, se l () è o egtiv i [ ; ], l itegrle deiito rppreset l re del trpezoide e il vlore dell uzioe i c, (c), è l ltezz del rettgolo vete per se l itervllo [;] ed equivlete come re l trpezoide.

22 FUNZIONE INTEGRALE Fissto [, ], per uzioe itegrle si itede l uzioe F () deiit sull'itervllo [, ]: Si osservi che l vriile dell uzioe F() è l'estremo superiore dell'itervllo di itegrzioe.

23 L Fuzioe Itegrle ltr iterpretzioe gric

24 TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE (Torricelli-Brrow) Dt u uzioe () cotiu sull'itervllo [, ], l uzioe itegrle F t dt è derivile [, ], e si h: F'() = () e F() =. Dimostrzioe: predo due puti qulsisi di [;], e + h, quidi cosidero il rpporto icremetle dell F(): F h F h h t dt t h dt per l proprietà dditiv h t dt t dt t h dt h h t dt per il teorem dell medi c co c ; h. 4

25 Clcolo il limite del rpporto icremetle per h : h F F lim lim h h h c c per l' ipotesi di cotiuità dell. Quidi ho dimostrto l prim prte dell tesi: l F() è derivile e risult F () = (). L secod prte dell tesi si dimostr immeditmete essedo: F d per l deiizioe N. Osservzioe : F d 5

26 Corollrio del Teorem odmetle del clcolo itegrle Dt l uzioe () cotiu sull'itervllo [, ], φ() si u primitiv di (), llor si h: d Dimostrzioe: Le uzioi F() e φ() soo due primitive di (), quidi dieriscoo per u costte k, cioè φ() = F() + k φ() = t dt + k, quidi, poiché t dt, si h: Regol: k t dt k t dt. L itegrle deiito tr e dell (), cotiu i [;], è dto dll dierez dei vlori ssuti d u primitiv φ(), rispettivmete, ell estremo superiore e ell estremo ieriore dell itegrle stesso. 6

27 d d d... per... d 6. l 4 π l rctg... prti) (per... rctg d d 4. l l l lcos 4 π lcos lcos tgd. e e d e. 4 d. : Esempi π 4 π

28 7. Dt l uzioe F() determi, servedoti del teorem di si (t)dt, Torricelli Brrow, gli itervlli i cui ess volge l cocvità verso l'lto. Rispost : F() è derivile, quidi l codizioe ecessri e suiciete per l cocvità verso l'lto è che F ''(). F '() si (), F ''() sicos ; F ''() ; sicos ; si per k k e per tli vlori di, l cocvità dell F() è verso l'lto. 8. Determi Rispost : l'equzioe poichè y - F() m F '() dell F() m( -) rett t t 4 tgete y - e l grico dell F '() si h : ; y. 4, uzioe F() t t 4 dt el puto di sciss. 8

29 Grico dell uzioe itegrle F() Se osse sempre cile determire u primitiv di u uzioe, per studire l uzioe itegrle F(), steree determire u primitiv () dell (), quidi porre F() = () - (), come, per esempio: F() t Questo procedimeto o sempre è gevole e coviee teer presete quto segue. dt t. Il teorem di Toricelli-Brrow erm che, dt u uzioe (), cotiu sull'itervllo [, ], l su uzioe itegrle F t dt è derivile [, ], e si h: F () = () e F() =. Osservimo, quidi che:. se () > F() è crescete, se () < F() è decrescete;. se () = esistoo puti stziori ( tgete orizzotle) pr l F(); c. se () è dispri F() è pri; d. se () è pri e = F() è dispri. Dlle due igure segueti si comprede il sigiicto dell codizioe =. 9

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32 Esempio: studi l uzioe F() e dt co R. ( i questo cso o è cile trovre l primitiv! ) t Poiché () e si h che: domiio F(): tutto R; F() > per > (l uzioe itegrd è sempre positiv!); F() = per = ( F() = ), quidi pss per l origie; per quto detto sopr, i puti,,c,d, si h:. F () = () > R F() è sempre crescete i R;. F () = () = per essu vlore di, quidi F() o h puti stziori; d. () è pri e =, quidi l F() è dispri. ' ' ' ' F () e ; F () per, quidi cocvità verso l lto per <, verso il sso per > e puto di lesso discedete ell origie, co tgete y = ( y =F (), co F ()= ). Teuto presete che lim F '() lim e, si ricoosce che le tgeti l grico di F() ho, l tedere di ±, coeicieti golri sempre più piccoli: ciò suggerisce l esistez di due sitoti orizzotli, uo per + e uo per -. D quto detto, il grico srà:

33 Si dimostr che lim F() π, cioè gli sitoti orizzotli ho equzioe y π. Co metodi prticolri, che vo oltre il progrmm di V liceo sciet., si determi il vlore dell' itegrle di Guss: e d.

34 REGOLE DI INTEGRAZIONE. Itegrzioe per prti Sio e g due uzioi cotiue co le derivte ' e g' cotiue ell'itervllo [, ], llor vle: g() si dice ttore iito '()d si dice ttore dierezile Per gli itegrli ideiiti si ottiee l seguete relzioe: 4

35 . Itegrzioe per sostituzioe Si : [, ] R u uzioe cotiu, si φ : [α, β] [, ] u uzioe cotiu e derivile co cotiuità. Si ioltre φ: ([α, β] ) = [, ], llor, preso u qulsisi itervllo [c, d] [, ], esistoo due vlori γ, δ tli che c = φ(γ), d = φ (δ) e vle l ormul: Si osservi che l'itervllo [γ, δ] o è uivocmete determito. Se l uzioe φ è ivertiile llor l'itervllo [γ, δ] è uivocmete determito, i tl cso si può scrivere: Per gli itegrli ideiiti si ottiee l seguete relzioe: 5

36 Esempio Cosidero l uzioe () = e l itegrle deiito d. 4 Si ioltre φ(t) = t, uzioe o ivertiile (si deve eetture u restrizioe per rederl ivertiile) e si = φ(t), cioè = t e t. Osservo che l itervllo di [;4] è immgie di quttro itervlli di t: [;4] = φ([;]) = φ([-;]) = φ([;-]) = φ([-;-]). Eettudo l sostituzioe t, ( d = d(t ) d = tdt ), si h: 4 d t dt t dt t dt t dt 5 6

37 4 d d 7

38 4 d - d 8

39 4 d - d 9

40 4 d - - d 4

41 Altro esempio (itegrzioe per sostituzioe) Si () u uzioe rele di vriile rele, cotiu su tutto l sse rele, tle che: () d e () d 5. Di ciscuo dei segueti itegrli:. d ;. d ;. 4 d ; 4. d, dire se le codizioi ssegte soo suicieti per clcolre il vlore e, i cso di rispost ermtiv, qul è questo. Risoluzioe. Per il primo itegrle le codizioi o soo suicieti, per gli ltri si, itti: per gli itegrli,,, poimo / = t, cioè = t, d = dt e gli estremi d itegrzioe diveto = t = ; = t = /; = t =, quidi 4

42 4 4 (). l'itegrle per 5 - dt t ) t, t d'itegrzioe estremi co dt/, d t/, cioè t, poimo d 4. (). e () itegrli per gli dditiv e proprietà per l dt t dt t dt t d. (). l'itegrle per 4 dt t d. vlore! il clcolre per suicieti soo o codizioi le? dt t d.