I radicali 1. Claudio CANCELLI (www.claudiocancelli.it)

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1 I rdicli Cludio CANCELLI (www.cludioccelli.it) Ed..0 Dec. 0

2 I rdicli INDICE DEI CONTENUTI. I RADICALI... INDICE DI RADICE PARI...4 INDICE DI RADICE DISPARI...5 RADICALI SIMILI...6 PROPRIETA INVARIANTIVA DEI RADICALI...6 POTENZA DI UN RADICALE...6 RADICE DI UN RADICALE...7 RADICALE ED ESPONENZIALE...7 TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE...7 TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE...8. OPERAZIONI CON I RADICALI... 9 RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE...9 SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI...9 PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE...0 QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE...0. SEMPLIFICAZIONI DI RADICALI... RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI...4 Ed..0 Dec. 0

3 I rdicli. I RADICALI L espressioe rdice -esi di prede il oe di rdicle (fig. ). Rdicle Fig. - Rdicle Rdicle, idice di rdice e rdicdo soo seglti i figur. Idice di rdice Rdicdo Fig. - Idice di rdice e rdicdo Il sibolo riportto i fig, è chito sego del rdicle. Sego del rdicle Fig. - Sego del rdicle Voglio rppresetre i iglese l rdice cubic di -4? Fig.4 - Cube root of "-4" E per cocludere ettio i evide l evetule coefficiete che precede il rdicle co il sego di prodotto: Coefficiete del rdicle k Ed..0 Dec. 0

4 I rdicli 4 L rdice -esi di, è quel uero l cui pote -esi è ugule d, ossi: co ggiore o ugule ero co uero turle ggiore di ero co ggiore o ugule ero ESEMPI DI RADICI SI PRONUNCIA "rrdiice qudrrtt di " SI PRONUNCIA "rrdiice cubiic di 5" SI PRONUNCIA "rrdiice qurrtt di 9" SI PRONUNCIA "rrdiice quiitt di 7" SI PRONUNCIA "rrdiice diiciissettttesii di 94" INDICE DI RADICE PARI Co pri (, 4, 6, 8 ) Codiioe di esiste 0 Codiioe di sego 0 4 Esepi: 6 Possibile, poiché 6 > 0 Esepi: 4 6 Ipossibile, poiché -6 < 0 Ed..0 Dec. 0

5 I rdicli 5 INDICE DI RADICE DISPARI Codiioe di esiste Codiioe di sego 0 0 Co dispri (,, 5, 7, ) o o < 0 < 0 Esepio: 4? Il proble è posto i questi terii: QUAL E QUEL NUMERO REALE POSITIVO CHE ELEVATO AL QUADRATO DA COME RISULTATO 4. LA RISPOSTA E, POICHE 4. Quidi 4 4 Esepio: 8? Il proble è posto i questi terii: QUAL E QUEL NUMERO REALE NEGATICO CHE ELEVATO AL CUBO DA COME RISULTATO -8. LA RISPOSTA E -, POICHE ( -) -8. Quidi 8 ( ) 8 Esepio: Clcolre l rdice quit d i-. 5 ( ) iftti l operioe (-)(-)(-)(-)(-) port l risultto -. 5 Esepio: Clcolre l rdice qudrt di 49 Metlete si può effetture il clcolo, iiido d. *, * 4, * 9, 4 * 4 6, 5 * 5 5, 6 * 6 6, 7 * Ecco l soluioe è pri Esepio: Per clcolre l rdice qudrt di, poiché etlete si è costtto co l esepio precedete che o esiste lcu uero turle il cui qudrto port ll soluioe, si può utilire l clcoltrice ed otteere il risultto ugule,46.,46 Ed..0 Dec. 0

6 I rdicli 6 RADICALI SIMILI Due rdicli si dicoo siili se ho lo stesso idice di rdice e lo stesso rdicdo. Esepio: i rdicli : 7 ; 7 ; soo rdicli siili i quto ho diversi coefficieti stesso idice di rdice, pri, e stesso rdicdo ugule 7. PROPRIETA INVARIANTIVA DEI RADICALI Il vlore di u rdicdo o cbi se si oltiplic per u uero itero positivo p, si l idice di rdice si l espoete del rdicdo. Ossi: p p Esepio: il rdicle 6 0 equivle l rdicle b c 5 6 b c b c Esepio: il rdicle equivle l rdicle Idice di rdice ed espoete di tutti i fttori soo stti divisi per lo stesso uero (). Esepio: il rdicle equivle l rdicle Idice di rdice ed espoete di tutti i fttori soo stti oltiplicti per lo stesso uero (). POTENZA DI UN RADICALE L pote -esi di u rdicle è u rdicle co lo stesso idice di rdice e co il rdicdo elevto ll espoete. Ossi: ( ) b c b c b c Esepio: il rdicle ( ) equivle 9 Esepio: il rdicle ( ) equivle Ed..0 Dec. 0

7 I rdicli 7 RADICE DI UN RADICALE L rdice -esi dell rdice -esi positiv, è ugule d u rdice vete idice di rdice il prodotto degli idici dei due rdicli e per rdicdo il edesio rdicdo. Ossi: Esepio: l rdice del rdicle 6 equivle RADICALE ED ESPONENZIALE Per trsforre u rdicle ell for espoeile, vle l regol: Esepio: l rdice Esepio: l rdice 8 può essere riscritt può essere riscritt ( ) Esepio: l rdice può essere riscritt (8) Esepio: l rdice 6 6 può essere riscritt () TRASPORTO DI UN RADICALE FUORI DAL SEGNO DI RADICE U fttore di u rdicdo può essere portto fuori dl sego di rdice purchè il suo espoete si ggiore dell idice di rdice. Ossi: o p p Si possoo portre fuori dll rdice solo i fttori che ho l espoete ggiore o ugule ll idice dell rdice (o, +p o, < o). Ed..0 Dec. 0

8 I rdicli 8 Esepio:essedo 4 >, co 4 +, risult: 4 Esepio: 4 TRASPORTO DI UN RADICALE SOTTO IL SEGNO DI RADICE U coefficiete di u rdicle lo si può portre sotto il sego di rdice e frlo divetre u fttore del rdicdo purchè lo si elevi pote co espoete ugule ll idice di rdice. Ossi: Esepio: il rdicle equivle Atteioe l sego eo: o v portto sotto il sego di rdice Ed..0 Dec. 0

9 I rdicli 9. OPERAZIONI CON I RADICALI RIDUZIONE DI RADICALI ALLO STESSO INDICE Per ridurre due o più rdicli llo stesso idice di rdice: si clcol il iio coue ultiplo tr tutti gli idici di rdice e si ssue coe idice coue tutti i rdicli; si divide il.c.. per ciscu idice e si oltiplic il risultto per l espoete di ciscu terie del rispettivo rdicdo. Esepio: ridurre i rdicli llo stesso idice Risult:.c.. (,) 6 Quidi ; ; 6 8 Esepio: ridurre i rdicli llo stesso idice 7 5 Risult:.c.. (,,5) 0 Quidi 0 0 ; 0 ( 0 ) 7 ; 0 ( 0 ) ; 0 05 ; 0 8 SOMMA E DIFFERENZA DI RADICALI Per poter effetture l so lgebric i rdicli devoo essere siili. I tl cso il coefficiete del rdicle siile è l so lgebric dei coefficeti dei rdicli. Esepio: eseguire l so lgebric Poiché i rdicli soo siili, risult: ( 6 ) Esepio: eseguire l so lgebric Poiché i rdicli soo siili, risult: ( ) ( ) Ed..0 Dec. 0

10 I rdicli 0 PRODOTTO DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE Se due rdicli ho lo stesso idice di rdice il loro prodottoo è ugule d u rdicle co lo stesso idice di rdice ed il rdicdo ugule l prodotto dei due rdicdi: w w Risult: Esepio: usre l regol del prodotto per oltiplicre 6 e Risult: Esepio: le regole dell so e del prodotto sio d pplicre ll espressioe: Esepio: pplicre l regol del prodotto ll espressioe Risult, dopo ver oltiplicto i coefficieti dei due rdicli: WARNING Esepio: seplificre l espressioe No coettere l errore di seplificre l rdice di co Il risultto srà pertto: QUOZIENTE DI RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE Se due rdicli ho lo stesso idice di rdice il loro quoiete è ugule d u rdicle co lo stesso idice di rdice ed il rdicdo ugule l quoiete dei due rdicdi: w Ed..0 Dec. 0 w

11 I rdicli Esepio: usre l regol del quoiete per effetture il quoiete tr e Risult: Ed..0 Dec. 0

12 I rdicli. SEMPLIFICAZIONI DI RADICALI RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI. Il rdicle può essere scritto ell otioe espoeile rispettdo l seguete regol: Esepi: i segueti rdicli: 4, 8, 5 4 possoo essere espressi co l otioe espoeile el odo seguete: Per i prii due esercii i risultti si possoo seplificre ulteriorete utilido l regol delle potee (pote di pote). 4 4 ( ) 8 ( ) ( ) b. Il rdicle può essere seplificto se, dopo ver scoposto i fttori prii l idice di rdice e l espoete del rdicdo, uo dei fttori è coue i etrbe le scoposiioi, ossi: p p Esepio: il rdicle 5 può essere seplificto el odo seguete: Esepio: seplificre il rdicle Dopo ver scoposto il uero 7 i fttori prii si pplic l regol ppe eiot: c. U odo per seplificre u rdicle qudo si preset ell for riportt di seguito, co,, o ggiore o ugule d : è riportto co l esepio riportto di seguito. w o Ed..0 Dec. 0

13 I rdicli Ed..0 Dec s q Esepio: seplificre Step : scoporre i fttori prii ed espdere le potee Step : isolre gruppi di tre (è il vlore dell idice di rdice) ciscu fttore e riportrlo i bsso Step : portre fuori dl sego di rdice ciscu fttore idividuto el puto precedete Step 4: seplificre effettudo i prodotti Esepio: coe si può seplificre l rdice qudrt di elevto ll setti? Osservio l seguete seque: E quidi: U regol geerle può essere quell di dividere l espoete del rdicdo per due e lscire il resto el rdicdo. Per estesioe, se è ggiore di, / q e resto s

14 I rdicli 4 Esepio: seplificre 7 Risult che 7/ co resto, quidi RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI Ed..0 Dec. 0

15 I rdicli 5 Qulsisi osservioe che poss cotribuire redere il docueto più copleto è be ccolt! Ed..0 Dec. 0

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