LE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =

Transcript

1 Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez otteut dividedo ogi elemeto per il precedete: ,,,,,, ovvero:,,.5,.,.6,.65,... 5 I vlori otteuti si vvicio ll sezioe ure:

2 Le successioi (itrodotte prim delle fuzioi) soo prticolri fuzioi veti come domiio l isieme N dei umeri turli e come codomiio u sottoisieme B proprio dell isieme dei umeri reli. Le successioi vegoo idicte : Ovvero come : {,,...,,...}, 3 Il grfico di u successioe si trov el primo o el qurto qudrte.

3 Esempio. Si cosideri l successioe: l crescere di l frzioe, che ssume vlori positivi, si vvici sempre di più l umero 0. Esempio Si cosideri l successioe: Al crescere di l potez ssume vlori sempre più grdi Esempio 3 Si cosideri l successioe : () Al vrire di i vlori soo ltertivmete e. 0 3

4 I tre esempi precedeti esibiscoo i tre diversi comportmeti di u successioe: Covergete, divergete ed oscillte. Studire u successioe equivle d idividure il comportmeto l crescere di verso ovvero clcolre il : lim 4

5 Si cosideri u ivestimeto che ll fie di ogi uità di tempo (scelt) grtisce u premio costte pri d u percetule fiss (i tsso di iteresse) dell somm iizilmete ivestit (C 0 ). Il cpitle dopo periodi è espresso d: C C ( ) 0 i Se ivece il premio è clcolto sul cpitle dispoibile ll iizio di ogi uità di tempo llor il cpitle dopo periodi è dto dl termie -esimo dell successioe: C C ( i) 0 5

6 Proprietà dei limiti: lim ( ± b ) lim ± lim b A) B) lim ( b ) lim lim b C) lim b lim lim b D) lim b ( ) lim b lim 6

7 Si cosideri l successioe il cui termie geerico è rppresetto d u poliomio di grdo h i : Esempio: h h α α... α 0 Rccogliedo l potez di grdo più elevto i si h: 5 5 lim lim ( ) ( 0 0) h I geerle si h: lim sig( α 0 ) 7

8 8 U successioe ell qule il termie geerico è dto dl rpporto di due poliomi ssume l espressioe: A) h>k B) hk C) h<k k k k h h h β β β α α α

9 I tutti e tre i csi si rccoglie si umertore si deomitore l potez di grdo più elevto: Nel cso A) si h 4 ( ) 4 ( Il umertore diverge e quidi l successioe diverge metre il deomitore coverge quidi l successioe diverge ) ( ) 4 9

10 0 Nel secodo cso procededo ello stesso modo si ottiee: Per cui e quidi l successioe è covergete -. ) ( ) ( lim

11 Nel cso C) si h: Il umertore tede d u umero fiito metre il deomitore tede ll ifiito (per l precisioe ), quidi si ottiee: 0 L successioe è covergete. ) ( ) ( ) ( lim 4

12 Cocludedo: α 0 A) se h>k l successioe è divergete sig( β 0 α 0 B) se hk l successioe è covergete β 0 ) C) se h<k l successioe è covergete 0.

13 3 Per quto rigurd l successioe il cui termie geerico h l form: si preset u situzioe difficile solo se l l bse dell potez tede d (l espoete tede ll ), perché si geer l form idetermit p p p k k k h h h γ γ γ β β β α α α

14 Si cosideri l successioe : Ess d luogo ll form idetermit m si può dimostrre che tle successioe è covergete l umero di Eulero e,78 che è l bse dei logritmi eperii (o turli!) lx. 4

15 Si cosideri or l successioe: b c Dove le due successioi e b soo divergeti. Il clcolo del limite dell successioe port ll form idetermit. I questo cso si oper così: b b 5

16 b Clcoldo il limite si ottiee: lim b b lim lim lim b lim e 6

17 Esempio. Si cosideri l successioe 3 Il clcolo del limite port : lim lim e 3 e e 7

18 L successioe geometric: q Se q l successioe è oscillte e lim o esiste. Se < q < l successioe è covergete e lim 0 Se q l successioe è divergete e lim sig() 8

19 Esempio. 5 9 lim 0 5 lim () lim??? 9

20 0