Unità Didattica N 22B : Serie
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- Anna Maria Innocenti
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1 0) L defiizioe di serie umeric 02) I primi teoremi sulle serie umeriche 03) Serie umeric combizioe liere di ltre serie umeriche 04) Serie umeriche termii positivi 05) Criteri di covergez e di divergez per le serie umeriche termii positivi ) Criterio del cofroto di Guss b) Criterio del cofroto sitotico c) Criterio dell ordie di ifiitesimo d) terzo criterio del cofroto e) Criterio del rpporto di D Almbert f) Criterio dell rdice di Cuchy g) Criterio del cofroto co l itegrle 06) Lo studio di lcue serie prticolrmete importti ) Serie di Megoli b) Serie di Beroulli c) Serie rmoic d) Serie rmoic geerlizzt 07) Le serie telescopiche 08) Le serie geometriche 09) Serie umeric e termii di sego lterto 0) Serie umeric termii di sego quluque ) Esercizi
2 2 Defiizioe di serie umeric Si dt u successioe di umeri reli, 2, 3,, [] U scrittur del tipo : esprimete l somm di ifiiti termii o h sigificto el seso ordirio di somm. Possimo però drgliee uo clcoldo le somme przili : S S2 2 S3 2 3 [2]... S e cosiderdo l successioe che così si ottiee : S, S 2, S 3,..., S,... [3] L successioe { S } di termie geerle S prede il ome di SERIE NUMERICA. U serie umeric può essere idict co u delle due segueti scritture : [4] L'espressioe [5] dett serie umeric di termie geerle, h u crttere purmete formle i quto l ' operzioe di somm o è defiit qudo il umero di ddedi è ifiito. Tli scritture simboliche servoo però sigificre che si vuole ricvre l successioe [3]. I umeri, 2, 3,, si dicoo i termii dell serie ; è il termie geerle. Le espressioi S, S 2, S 3,, S,... si chimo le somme przili o le ridotte dell serie [5]. L [3] è l successioe delle somme przili dell serie [5]. Lo studio di u serie o è ltro che lo studio di u successioe i cui termii vegoo geerti d u prticolre legge di formzioe. Poichè u serie è u successioe, ess può essere covergete, divergete, oscillte ( o idetermit ) secod che tle si l successioe { S } delle sue ridotte. Se l successioe { S } è REGOLARE ed h limite S ( fiito o ifiito ) diremo che l serie [5] è REGOLARE ed h per somm S Lim S [6]
3 3 Se l successioe delle somme przili coverge l limite S, è turle cosiderre S come l somm degli ifiiti ddedi,,,,,... ell'ordie i cui si preseto. 2 3 L serie [5] diverge positivmete o egtivmete se diverge positivmete o egtivmete l successioe { } S. Si scrive : [7] Qulor u serie risulti covergete, detto S il limite dell successioe [3] : S Lim S si dirà che S è l somm dell serie e si potrà scrivere : S Lim S [8] 2 3 Il crttere di u serie esprime l su proprietà di essere covergete, divergete, idetermit. Si dice che due serie ho lo stesso crttere qudo soo etrmbe covergeti, divergeti o idetermite. I primi teoremi sulle serie umeriche Teorem Il crttere di u serie o si lter se moltiplichimo tutti i suoi termii per uo stesso umero o ullo, o se trscurimo u umero fiito di suoi termii. Teorem N 2 U serie i cui termii, lmeo d u certo idice i poi, sio tutti positivi ( o tutti egtivi ) o può essere idetermit. Defiizioe Dicesi resto eesimo ( o resto di ordie ) dell serie [5] l serie che si ottiee d ess sopprimedo i primi termii R... [9] 2 k k k Teorem N 3 L serie [5] ed ogi suo resto ho sempre lo stesso crttere, cioè soo etrmbe covergeti, o divergeti, o idetermite. Ioltre R rppreset, i vlore ssoluto, l'errore che si commette qudo l somm dell serie viee sostituit dll somm dei suoi primi termii. Defiizioe Dicesi resto przile di idici e k dell serie [5] l somm di k termii successivi l termie, cioè : Rk, 2... k S k S [0]
4 4 Si dice che l serie determire i corrispodez u idice ( ) Si dice che l serie Defiizioe è covergete ed h per somm S se ε > 0 è possibile ε tle che si bbi: S S < ε > ( ε ) Defiizioe è divergete se scelto u umero positivo ed rbitrrio K ( e come tle grde picere ) è possibile determire i corrispodez u idice ( K) tle che si bbi : S > K > ( K) Teorem N 5 ( Criterio di Cuchy per l covergez di u serie o criterio geerle di covergez di Cuchy ) C.N.S. perchè l serie si covergete è che fissto u rbitrrio umero positivo ε > 0, è possibile determire i corrispodez u idice p si il umero turle k, si bbi : N, tle che per ogi > p e quluque Rk, S k S 2... k < ε > p k N Teorem ( codizioe ecessri m o sufficiete per l covergez di u serie ) Codizioe ecessri perché u serie si covergete è che il suo termie geerle ted zero qudo. Se l serie [5] è covergete llor deve essere : Lim 0 Di coseguez, se risult Lim 0 llor l serie è sicurmete divergete. Se ivece risult Lim 0 l serie può essere si covergete che divergete.
5 5 Serie umeric combizioe liere di ltre serie umeriche Dte due serie umeriche e b e scelte due costti hk, R, defiimo serie combizioe liere delle due serie dte l seguete serie : ( h kb ) I prticolre, per h k bbimo l serie somm ( b), per h, k - bbimo l serie differez ( b), per k 0 bbimo l serie prodotto per il umero rele h h. Se le serie e b soo covergeti ed ho per somm rispettivmete S, S 2 llor l serie combizioe liere ( h kb ) è covergete e l su somm S vle hs ks 2. L somm o l differez di due serie covergeti è u serie covergete. Se u serie coverge e l'ltr diverge, l somm lgebric delle due serie diverge. OSSERVAZIONE U serie può essere ites come quell'lgoritmo ( procedimeto di clcolo ) che permette di otteere l somm di u umero ifiito di termii medite l'ssocizioe dell'operzioe ritmetic di ddizioe quell di pssggio l limite. Studire u serie sigific stbilire il crttere ed, evetulmete, clcolre ls somm S. L somm S può essere clcolt solo se riuscimo trsformre l somm dei primi termii i u espressioe lgebric dt d u formul mtemtic. Per le serie telescopiche e per le serie geometriche è sempre possibile clcolre S. Per dire che l serie coverge scrivimo < per dire che l serie diverge scrivimo.
6 6 Serie termii positivi Si trtt di serie i cui termii soo tutti positivi, lmeo prtire d u certo idice i poi. Iftti, se i u serie i termii risultssero positivi soltto d u certo idice p i poi, potremmo ricodurci gevolmete d u serie termii tutti positivi cosiderdo l serie resto R p che, come sppimo, h lo stesso crttere dell serie dt. Le serie i cui termii soo tutti egtivi si trtto ll stess mier delle serie termii positivi. Adesso stbilimo per queste serie termii positivi dei criteri che ci coseto di stbilire se u serie è covergete o divergete. Criteri di covergez e di divergez per le serie termii positivi U serie termii positivi o può essere oscillte, ess o è covergete o è divergete positivmete. Per le serie termii positivi vlgoo prticolri criteri di covergez o di divergez che,però, differez del criterio di Cuchy, do solo codizioi sufficieti m o ecessrie. Si dice che l serie è mggiorte dell serie b e quest è miorte dell prim se risult : b N I questo cso l somm dei primi termii dell prim serie o è mi miore ( ) dell somm dei primi termii dell secod serie. Sio dte due serie termii positivi mggiorte delle secod serie. Allor : Criterio del cofroto ( di GAUSS ) e b e suppoimo che l prim serie si ) se l serie mggiorte è covergete risult pure covergete l serie miorte 2) se l serie miorte diverge ( positivmete ) che l serie mggiorte diverge positivmete
7 7 ESEMPIO L serie è covergete i quto è miorte dell serie geometric! che è 2 covergete i quto l su rgioe q 2 è miore di uo. Secodo criterio del cofroto ( o criterio del cofroto sitotico ) Sio e b due serie termii positivi per le quli risult : Lim b k [] Se risult : ) k umero rele fiito diverso d zero, le due serie ho lo stesso crttere, cioè soo etrmbe covergeti o etrmbe divergeti 2) k Ricorddo l defiizioe di successioe divergete pplict ll successioe vete termie geerle b, possimo scrivere : b > K ( lmeo d u certo idice i poi ) ed che : > K b Questo sigific che l serie è mggiorte dell serie b e quidi, per il teorem del cofroto, possimo ffermre che : << se l serie coverge che l serie b coverge, se l serie b diverge che l serie diverge. Null possimo dire se l serie diverge, o se l serie b coverge. 3) k 0 Ricorddo l defiizioe di successioe covergete ifiitesim pplict ll successioe vete termie geerle, possimo scrivere : < ε ( lmeo d u certo b b idice i poi ) ed che < ε b. Questo sigific che l serie b dell serie ) se l serie b e quidi, per il teorem del cofroto, possimo ffermre che : coverge che l serie coverge è mggiorte 2) se l serie diverge che l serie b diverge 3) Null possimo dire se l serie coverge o se l serie b diverge.
8 8 Criterio dell'ordie di ifiitesimo Dl criterio del cofroto sitotico possimo ricvre il seguete otevole criterio dell'ordie di ifiitesimo. Come serie b sceglimo l seguete serie rmoic geerlizzt poichè di ess p cooscimo il crttere l vrire dell'espoete p. Clcolimo il seguete limite : k Lim p Lim p Se risult : ) k umero rele fiito o ullo, cioè se k ] 0, [ llor l serie h lo stesso crttere dell serie rmoic geerlizzt. p Pertto l serie coverge se p >, diverge se p. 2) k 0 I questo cso l serie è mggiort dll serie rmoic geerlizzt e se quest coverge ( p > ) coverge che, Null possimo dire sul crttere dell serie dt se l serie rmoic geerlizzt diverge. 3) k I questo cso l serie mggior l serie rmoic geerlizzt e se quest diverge ( p ) diverge che. Null possimo dire sul crttere dell serie dt geerlizzt coverge. se l serie rmoic
9 9 CONCLUSIONE ) k 0, p > l serie 2) k 0, p l serie 3) k 0, p > l serie 4) k, p l serie coverge diverge coverge diverge 5) k 0, p il criterio è iefficce 6) k, p > il criterio è iefficce Questo criterio di solito viee utilizzto qudo il termie geerico dell serie è il rpporto di poliomi i, o il rpporto tr u poliomio i e qulche espressioe irrziole i. Terzo criterio del cofroto Se esistoo due costti positive α e β per le quli risult : α b β > p N [3] llor le due serie e b ho lo stesso crttere. Criterio del rpporto ( o di D ' ALAMBERT ) Si u serie termii positivi. Se è possibile determire u umero rele 0 < k < ed u idice p tli che > p N risulti : k < [4] l serie è CONVERGENTE, se ivece risult l serie è DIVERGENTE. Nell prtic o è sempre fcile determire u limitzioe del rpporto motivo è preferibile cosiderre il limite di tle rpporto qudo.. Per questo
10 0 Si ottegoo i segueti risultti : ) L im < l serie CONVERGE 2) Lim > l serie DIVERGE 3) Lim il criterio è iefficce. Questo sigific che il criterio o è dtto stbilire l covergez o l divergez dell serie ed è ecessrio ricorrere d u ltro criterio. Questo criterio, di solito, si utilizz co efficci se el termie geerico dell serie c'è qulche fttorile di o di u su espressioe, o se c'è qulche potez eesim di u umero rele dto, cioè u potez del tipo ( 2 oppure 5 ) CRITERIO DELLA RADICE ( o di Cuchy ) Se d u certo idice i poi risult 0 < k < l serie CONVERGE, se ivece risult 0 < l serie DIVERGE. Nell prtic,o essedo gevole l determizioe di u limitzioe per il termie geerle, è più coveiete cosiderre il limite per di tle rdice. Perveimo i segueti risultti : L im < l serie CONVERGE > l serie DIVERGE il criterio è iefficice Eucito :Dt l serie termii positivi Σ se esiste il seguete limite Lim k llor : 0) l serie coverge se 0 k < 02) l serie diverge se k > 03) il criterio è iefficice se k N.B. Poiché sppimo che se esiste il limite Lim esiste ed h lo stesso vlore il limite Lim, metre o è vero il vicevers. Il criterio dell rdice è di portt più geerle di quello del rpporto.
11 Criterio del cofroto co l'itegrle ( o criterio di Mc Luri ) U serie termii positivi ( ) che si poss pesre sotto l form f ( ) f fuzioe cotiu, positiv, decrescete ell'itervllo [, [ ( o più i geerle ell'itervllo [ x o,[ ) h lo stesso comportmeto dell'itegrle geerlizzto ( ) co f x dx e quidi si h covergez o divergez secod che si fiito o ifiito il seguete limite : Lim b b ( ) f x dx E bee osservre come o esist lcu relzioe tr il vlore dell itegrle geerlizzto e l somm dell serie.
12 2 Studio dettglito di lcue serie prticolrmete importti SERIE DI MENGOLI ( 650 ) ( ) ( ) S Pssdo l limite otteimo : S Lim S Lim L serie di Megoli è covergete ed h somm S. Serie di Beroulli ( )! ( ) 2 3!!!! ( )! S 2! 2! 3 3! 4! ( )!!! ( )!! ( ) S Lim S Lim ( ) L serie di Beroulli è covergete ed h per somm S.! Serie rmoic L serie rmoic è chimt cosi perchè i suoi termii soo i progressioe rmoic ( cioè i loro iversi formo u progressioe ritmetic ) L serie rmoic è divergete. Il termie geerico tede zero qudo, perché Lim 0, però l serie o è covergete.
13 3 Serie rmoic geerlizzt p R p 2 p 3 p 4 p p p ( ) Se p l serie rmoic geerlizzt diverge positivmete se p > l serie rmoic geerlizzt coverge. Serie telescopiche U serie differez b si dice telescopic qudo il suo termie geerle può essere scritto come b di due termii di u medesim successioe { b }, clcolti per due vlori k diversi dell'idice. Quidi per serie telescopic itedimo qulsisi serie che può essere ricodott ll seguete form : ( b b k) Clcolimo il vlore di S. 0 0 k N ( ) ( ) ( ) ( ) ( b0 b b2... bk ) ( b b 2... b k) S b b b b b b b b 0 0 k k 2 2 k k L serie telescopic successioe { } b è covergete ( divergete ) se è covergete ( divergete ) l L somm S di u serie telescopic covergete vle : S b b b... b k 0 2 L somm S dell serie telescopic successioe { b }. è ugule ll somm dei primi k termii dell
14 4 cso prticolre : 3 k ( b b 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S b b b b b b b b b b b b ( b b ) ( b b) ( b b ) ( b b ) ( b b ) Se bbimo : ( b b k) ( b0 b b2) ( b b 2 b 3) llor : ( ) ( 2... ) S b b b b b b b k k Se bbimo : ( b b k) 3 3 llor : ( ) ( 2... ) S b b b b b b b k k cso prticolre : k ( b b ) 0 0 ( b b2 ) ( b2 b3) ( b3 b4 ) ( b b ) ( b b ) b b S Esempio umerico ( 2) 2 b, k 2, b, b 2, b 2 2, b 2 ( ) S b b b b , S Lim S oppure : S b b Lim b Lim
15 5 Serie geometriche Si chim SERIE GEOMETRICA u serie i cui termii formo u progressioe geometric, cioè tli che oguo di essi si poss otteere moltiplicdo il precedete per uo stesso umero o ullo q, detto rgioe dell serie geometric. Detti e q, rispettivmete, il primo termie e l rgioe dell serie geometric bbimo : q q q q q q q, R { 0 } L somm przile eesim è dt d : 2 3 q S q q q... q ( i termii dell serie soo ) q Perveimo lle segueti coclusioi : ) Se < q < l serie geometric risult covergete ed h come somm S q Iftti : Lim q 0 2) Se q l serie geometric diverge positivmete se > 0, egtivmete se < 0. Iftti : se q > bbimo : Lim q egtivmete se < 0. e quidi l serie diverge positivmete se > 0, Se q l serie geometric ssume l form : I questo cso risult : S Lim S e quidi l serie geometric è divergete. 3) Se q l serie geometric è idetermit. Iftti o esiste il seguete limite Lim q e quidi o esiste eche : Lim S Lim geometric risult idetermit. q q e si coclude che l serie
16 6 Qulche rro utore f, ell'ipotesi q < -, il seguete rgiometo. Lim q ricorddo che q ssume vlori positivi ( egtivi ) qudo è pri ( dispri ), e di coseguez i termii dell successioe { S } diveto, i vlore ssoluto, sempre più grdi m ssumoo segi ltertivmete positivi e egtivi. Si dice, i questo cso, che l serie diverge oscilldo. Ivece, per q - S vle per pri, 0 per dispri. L serie geometric,i questo cso, è idetermit. Per l serie geometric ssume l form : q q q q q q Le coclusioi soo idetiche quelle dedotte precedetemete. I cso di covergez l somm S vle : S q
17 7 Serie termii di sego lterto Se { } è u successioe termii positivi, llor l serie : ( ) ( ) [20] è dett serie termii di sego ltertivmete positivo e egtivo o serie segi lteri o serie di sego ltero o serie ltert o serie termii ltertivmete positivi e egtivi. Se l successioe { } Criterio di Leibiz termii positivi è decrescete ( < ) ed ifiitesim ( Lim 0),llor l serie segi lteri [20] è covergete e sussiste l seguete formul di mggiorzioe del resto : R [2] Serie ssolutmete covergeti ed ssolutmete divergeti Cosiderimo l serie termii reli e di sego qulsisi [22] L serie 2 3 [23] dicesi serie dei moduli ssocit ll serie [22]. Tle serie o può essere idetermit i quto i suoi termii soo o egtivi. DEFINIZIONE U serie si dice ssolutmete covergete qudo è covergete l serie dei moduli d ess ssocit. Qudo u serie coverge, sez covergere ssolutmete, si dice che è semplicemete covergete, o codiziotmete covergete, o semicovergete. Quidi u serie si dice semplicemete covergete qudo è covergete m o è ssolutmete covergete.
18 8 Teorem N 6 U serie ssolutmete covergete è che semplicemete covergete. Tle teorem o è ivertibile, i quto u serie può essere semplicemete covergete sez essere ssolutmete covergete. Osservzioe I criteri esposti per le serie umeriche termii positivi soo ltrettti criteri di covergez ssolut se pplicti ll serie dei moduli Teorem N 7 I geerle u serie o gode dell proprietà commuttiv, cioè mutdo l'ordie dei termii di u serie termii di sego qulsivogli è possibile che muti il suo crttere e, se è covergete, che e vri l somm S. DEFINIZIONE U serie si dice ssolutmete divergete se è divergete e se si verific u delle segueti codizioi : ) h tutti i termii di sego costte 2) h u umero fiito di termii positivi o egtivi ( e, ovvimete,u umero ifiito di termii rispettivmete egtivi o positivi ) 3) h u umero ifiito si di termii positivi si di termii egtivi, m delle due serie formte co i soli termii positivi o co i soli termii egtivi u risulti divergete e l'ltr covergete. Teorem N 8 U serie ssolutmete covergete o ssolutmete divergete ( e quidi i prticolre u serie termii positivi ) gode dell proprietà commuttiv. DEFINIZIONE U serie si dice icodiziotmete covergete se è covergete e se gode dell proprietà commuttiv. Teorem di Dirichlet C.N.S. perchè u serie risulti icodiziotmete covergete è che risulti ssolutmete covergete ( questo comport che l somm dell serie o combi comuque si muti l ' ordie dei suoi termii ).
19 9 Teorem di Riem-Dii L somm di u serie semplicemete covergete dipede dll'ordie dei suoi termii. Modificdo questo ordie si può fre i modo che l serie che si ottiee bbi per somm u umero rele prefissto qulsisi, oppure che si divergete, oppure che si idetermit. Si vede, quidi, che è be diverso il comportmeto di u serie secod che quest si ssolutmete o semplicemete covergete. OSSERVAZIONE ) U serie, l cui serie dei moduli è covergete,è covergete e viee dett ssolutmete covergete. b) U serie covergete, l cui serie dei moduli è divergete, viee dett semicovergete o semplicemete covergete o codiziotmete covergete.
Progressioni geometriche
Progressioi geometriche ) Proprietà geerli U isieme ordito di umeri,,,...,,...dicesi progressioe geometric se N si h : co q qutità costte divers d dett rgioe o quoziete. U progressioe geometric di rgioe
LE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
LE SUCCESSIONI Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez
(labeling) si ottiene così l insieme a n ordinato (codominio della funzione f ) : Primo termine. Termine Generale
Successioi umeriche / Def. Si chim successioe umeric ogi fuzioe f d N i R defiit i u isieme del tipo I= { N 0 }, co 0 umero turle e che ssoci d u itero di I u umero rele f(). I geerle però porremo f: N
SERIE NUMERICHE esercizi. R. Argiolas
esercizi R. Argiols L? Quest piccol rccolt di esercizi sulle serie umeriche è rivolt gli studeti del corso di lisi mtemtic I. E bee precisre fi d or che possedere e svolgere gli esercizi di quest dispes
Successioni in R. n>a n+1
Successioi i R U successioe è u fuzioe f : N R. Si preferisce deotre f() co e quidi u successioe co ( ). Il codomiio di u successioe ( ) è l'isieme dei vlori che ssume l successioe, cioè { } successioe
LE SUCCESSIONI. ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea: =
Si cosideri l seguete sequez di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fibocci. Ess rppreset il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u llevmeto! Si cosideri l sequez otteut dividedo
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI { } n( ) f x converge puntualmente su S D ad una =, cioè se. ( n ) ( )
Successioi di fuzioi { } Si SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI f u successioe di fuzioi defiite tutte i u sottoisieme D { } Defiizioe : Si dice che l successioe fuzioe f ( ) se, S, risult f f lim f coverge
Unità Didattica N 22A : Successioni
0) Progressioi ritmetiche 0) Progressioi geometriche 0) Successioi umeriche e loro proprietà 0) Successioe covergete 05) Successioe divergete positivmete 06) Successioe divergete egtivmete 07) Teoremi
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Successioni. (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),...
Successioi U successioe di umeri reli e u legge che ssoci ogi umero turle = 0, 1, 2, u umero rele, i breve: e u fuzioe N R, Puo essere rppresett co l isieme delle coppie ordite (0, 0 ), (1, 1 ), (2, 2
punto di accumulazione per X. Valgono le seguenti
4 I LIMITI Si f : X R R u fuzioe rele di vribile rele. Si puto di ccumulzioe per X. Vlgoo le segueti DEFINIZIONI ( ε ( ε ε ( ε ε. ( ε { } lim f( = l R : > I I ' X I : f( l I I ' X
Integrali in senso generalizzato
Itegrli i seso geerlizzto Pol Rubbioi Itegrzioe di fuzioi o itte Deizioe.. Dt f : [; b[! R cotiu ed ilitt i prossimit di b, ovvero tle che!b f () = + oppure!b f () =, ess si dice itegrbile i seso geerlizzto
DERIVATE.. Si chiama rapporto incrementale della f (x) relativo al punto x
DERIVATE Si f ( ; Se e soo due puti del suo domiio, si cim icremeto dell fuzioe il vlore f = f( f( Si cim rpporto icremetle dell f ( reltivo l puto e ll'icremeto il rpporto: y = u fuzioe rele defiit ell'itervllo
Matematica e-learning - Corso Zero di Matematica. I Radicali. Prof. Erasmo Modica A.A. 2009/2010
Mtemtic e-lerig - Corso Zero di Mtemtic I Rdicli Prof. Ersmo Modic ersmo@glois.it A.A. 2009/200 I umeri turli 2 Le rdici Abbimo visto che l isieme dei umeri reli è costituito d tutti e soli i umeri che
1 Formula di Taylor. 1.1 I Simboli e o( ) Definizione 1.1 Sia I un intorno di x 0 R {± }. Siano f, g : I R con g(x) 0, x I.
Formul di Tylor. I Simboli e o( ) Defiizioe. Si I u itoro di x 0 R {± }. Sio f, g : I R co g(x) 0, x I. (i) Dicimo che f è sitotic g per x x 0 se f(x) x x 0 g(x) = ; scrivimo: f(x) g(x) per x x 0. (ii)
Unità Didattica N 35 I sistemi lineari
Uità Didttic N 5 Uità Didttic N 5 ) Sistem liere di equioi i icogite: teorem di Crmer ) Sistem liere di m equioi i icogite ) Teorem di ouchè-cpelli 4) Sistem di m equioi lieri omogeee i icogite 5) isoluioe
Successioni e serie. Ermanno Travaglino
Successioi e serie Ermo Trvglio U successioe è u sequez ordit di umeri o di ltre grdezze, e u serie è l somm dei termii di tle sequez. U successioe si rppreset co l'espressioe,,,, ell qule è u itero positivo,
13. Determinante di una matrice quadrata
Determite di u mtrice qudrt Defiizioe Dti umeri reli,,,,, (-), (-), col simbolo i idiceremo l loro somm ( + + + + + (-) + (-) + ) Quidi, i i := + + + + + (-) + (-) + i Esempio y i = y + y + y + y + + y
Gerarchia degli infiniti e asintotici per successioni numeriche 1
Gerrchi degli ifiiti e sitotici per successioi umeriche Sio { } e { } due successioi ifiite Vogo stilire u gerrchi di tli successioi el seso di cofrotre, se possiile, le velocità co le quli le successioi
Dove la suddivisione dell intervallo [a,b] è individuata dai punti
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04//205 Clcolo itegrle per fuzioi di u vriile Clcolo itegrle Itegrle defiito Si f:[,] R, limitt ξ ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 0 = 2 3 4 5 = Costruimo l somm di Cuchy-Riem S f f Dove l suddivisioe dell itervllo [,]
{ } { } Successioni numeriche. Scheda n 2 pag1. n 2. Pag. 3. Rappresentazione di una successione sul piano cartesiano. Esempio n 1 a) a n
Successioi umeriche Sched pg Rppresetzioe di u successioe sul pio crtesio Esempio ) { } { } Esempio ) ( ) b) ( ) Esempio ) 5 b) Esercizio L successioi degli esempi,,, soo covergeti, divergeti o idetermite?
, dove s n è la somma parziale n-esima definita da. lim s n = lim s n = + (= ). a n = a 1 + a 2 +...
. serie umeriche Def. (serie). Dt u successioe ( ) (co R per ogi ), si chim serie di termie geerle l successioe (s ), dove s è l somm przile -esim defiit d () s = + 2 +... + = k. L serie coverge (semplicemete)
RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
RELAZIONE FRA LA STABILITA DEL SISTEMA E LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO L stbilità di u sistem liere, ivrite ed prmetri cocetrti può vlutrsi co due criteri diversi che fo rispettivmete riferimeto ll rispost
I numeri reali come sezione nel campo dei numeri razionali
I umeri reli come sezioe el cmpo dei umeri rzioli Come sppimo, el cmpo dei umeri rzioli, le quttro operzioi fodmetli soo sempre possibili, el seso che, effettudo sopr u quluque isieme fiito u sequel fiit
Le successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi 2 mesi i u allevameto!
2 Sistemi di equazioni lineari.
Sistemi di equzioi lieri. efiizioe. Si dice equzioe liere elle icogite equzioe dell form () + +...+ = o che (') i= i i = ove,,..., R si chimo coefficieti e R termie oto.,,..., ogi efiizioe. Si dice soluzioe
Corso di Calcolo Numerico
Fcoltà di Igegeri - Lure Triele i Igegeri Meccic Corso di Clcolo Numerico Dott.ss M.C. De Bois Uiversità degli Studi dell Bsilict, Potez Fcoltà di Igegeri Corso di Lure i Igegeri Meccic Ao Accdemico 004/05
Matematica Capitolo 2. Successioni. Ivan Zivko
Mtemtic Cpitolo Successioi Iv Zivko Defiizioe U successioe ( ) è u isieme di ifiiti umeri orditi:,, 3,.,. Può essere defiit come u fuzioe: N R, Mtemtic Rppresetzioe Per rppresetre u successioe si possoo
PROGETTO SIRIO PRECORSO di MATEMATICA Teoria
Vi Aldo Mo ro, 1097-300 15 Chioggi (VE) t el. 0414 965 81 1 - fx 0 414 96 54 3 - ww w. itisri ghi.com POTENZA i N... DIVISIBILITÀ e NUMERI PRIMI...3 MASSIMO COMUN DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO...3
. La n a indica il valore assoluto della radice.
RADICALI Defiizioe: U umero irrziole è u umero decimle illimitto o periodico. Esempio:, 0, π Per clcolre il vlore pprossimto di u espressioe coteete rdici coviee mipolre l espressioe per ridurre l mssimo
Progressioni aritmetiche e geometriche
Progressioi ritmetiche e geometriche 7. Progressioi ritmetiche. Defiizioe. Si dt l successioe umeric:,, 3,, 5,...,,.... Ess rppreset u progressioe ritmetic se l differez fr qulsisi termie dell successioe
EQUAZIONI RAZIONALI. Principio di moltiplicazione: 0 è un polinomio.
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IL CONCETTO DI LIMITE
IL CONCETTO DI LIMITE DEFINIZIONE DI LIMITE Si f u fuzioe defiit i u itoro di x 0 dicimo che f x=l se e soltto se, comuque sceglimo u itervllo I l cetrto i l, piccolo quto voglimo, è possiile trovre u
N 02 B I concetti fondamentali dell aritmetica
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Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
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Sdl ELEMENTI DI BASE: Potenze. Radicali. Logaritmi
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Algebra» Appunti» Logaritmi
MATEMATICA & FISICA E DINTORNI Psqule Spiezi Algebr» Apputi» Logriti TEOREMA Sio e b ueri reli co R + {} e b R +. Esiste, ed è uico, u uero k R: k b Il uero k è detto rito di b i bse e viee idicto co l
RADICALI RADICALI INDICE
RADICALI INDICE Rdici qudrte P. Rdici cubiche P. Rdici -esime P. Codizioi di esistez P. Proprietà ivritiv e semplificzioe delle rdici P. Poteze d espoete rziole P. 7 Moltipliczioe e divisioe di rdici P.
Misurare una grandezza fisica significa stabilire quante unità di misura sono contenute nella grandezza stessa.
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( x) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) )
C Boccccio Apputi di Alisi Mtemtic CAP IV CAP IV FUNZIONI REALI Per due fuzioi reli f : X R e g : X R si defiiscoo le uove fuzioi f g : X R, f g : X R ed f g : X R l modo seguete: X : f g = f g X : ( )(
Integrazione numerica.
Itegrzioe umeric Autore: prof. RUGGIERO Domeico Itegrzioe umeric. Qui di seguito ci occupimo di metodi umerici volti l clcolo pprossimto di u itegrle defiito perveedo formule ce costituiscoo degli lgoritmi,
1^ Lezione. Matrici e determinanti. Operazioni tra matrici. Proprietà delle matrici. Determinante. Proprietà dei determinanti.
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a ij Indice di riga Indice di colonna Def. Matrice Tabella costituita da m righe ed n colonne. Si dice di tipo m x n o (m,n)
MTRICI: defiizioi Cosiderimo delle tbelle di umeri, i cui ci si imbtte spesso i molti problemi di mtemtic o di scieze pplicte. Tle tbelle ho u doppio ordimeto, per righe e per coloe, utilizzeremo i segueti
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE A] SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA Sempliicre u rzioe lgeric sigiic dividere umertore e deomitore per uo stesso ttore diverso d zero. Procedur per sempliicre
Polinomi, disuguaglianze e induzione.
Allemeti Disid Mtemtic Geio 03 Poliomi, disuguglize e iduzioe. Qul è l mssim re di u rettgolo vete perimetro ugule 576? [Suggerimeto: utilizzre le medie e le loro disuguglize.] Svolgimeto. Predimo i cosiderzioe
Le successioni: intro
Le successioi: itro Si cosideri la seguete sequeza di umeri:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, detti di Fiboacci. Essa rappreseta il umero di coppie di coigli preseti ei primi mesi i u allevameto! Si
k=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se
Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().
ESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare
> Definizione di matrice <
> Defiizioe di mtrice < Dti due umeri turli m e si defiisce mtrice di tipo (m,) l isieme di m umeri reli disposti orditmete su m righe orizzotli e coloe verticli Se m si h u mtrice qudrt di ordie m m >
SEFA Sapienza, Università di Roma Esercizi di Matematica 3 (C.Mascia) Alcune soluzioni di 1-2-3
Esercizio 11 SEFA Spiez, Uiversità di Rom Esercizi di Mtemtic 3 (CMsci) Alcue soluzioi di 1-2-3 11 ovembre 215 1 Foglio 1 i Descrivere i segueti isiemi di R 2 : {1} {2}, {} [1, 2], [, 1] {2}, [, 1] [,
SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. 1
SUCCESSIONI SERIE NUMERICHE pag. Successioi RICHIAMI Ua successioe di elemeti di u isieme X è ua fuzioe f: N X. E covezioe scrivere f( ) = x, e idicare le successioi mediate la ifiitupla ordiata delle
Capitolo 1 Numeri Reali
Cpitolo Numeri Reli L Alisi Mtemtic studi il comportmeto delle fuzioi co prticolre ttezioe i umeri reli Iftti, discuteremo di cotiuità, derivzioe e itegrzioe per fuzioi reli di vriile rele I questi primi
4 - Le serie. a k = a k. S = k=1
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Analisi Matematica A e B Soluzioni prova scritta n. 4
Aalisi Matematica A e B Soluzioi prova scritta. 4 Corso di laurea i Fisica, 17-18 3 settembre 18 1. Scrivere le soluzioi dell equazioe differeziale ( u u + u = e x si x + 1 ). 1 + x Soluzioe. Si tratta
Appunti sui RADICALI
Imprimo d operre co i rdicli Apputi sui RADICALI sego di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo: cquisteri fmilirità co queste prole: simbolo di rdice, idice di rdice, rdicdo, espoete del rdicdo.
Una dimostrazione elementare del teorema di Lebesgue sulla differenziazione di funzioni monotone
U dimostrzioe elemetre del teorem di Lebesgue sull differezizioe di fuzioi mootoe L. V., 208 Uo dei risultti più importti i Alisi Mtemtic è il teorem di Lebesgue sull derivbilità qusi ovuque di ogi fuzioe
L INTEGRALE DEFINITO b f x d x a 1
L INTEGRALE DEFINITO d ARGOMENTI. Mpp cocettule. Le successioi umeriche. Il Trpezoide re del Trpezoide 4. L itegrle deiito de. Di Riem 5. Fuzioi itegrili secodo Riem 6. Proprietà dell itegrle deiito teorem
I numeri naturali. Cosa sono i numeri naturali? Quali sono le caratteristiche di N? Le operazioni in N. addizione = 15. moltiplicazione 3 7 = 21
I ueri turli Cos soo i ueri turli? I ueri turli soo i ueri 0 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 L isiee dei ueri turli si idic co N. N { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1,..} Quli soo le crtteristiche di N? L isiee
Unità Didattica N 09 I RADICALI
1 Uità Didttic N 09 I RADICALI 01) I ueri reli 0) I rdicli ritetici 0) Seplificzioe di u rdicle 0) Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice 0) Moltipliczioe di rdicli 06) Divisioe di due rdicli 07)
VINCENZO AIETA Matrici,determinanti, sistemi lineari
VINCENZO AIETA Mtrici,determiti, sistemi lieri 1 Mtrici 1.1 Defiizioe di cmpo. Dto u isieme A, dotto di due operzioi itere (, ), A Φ, si dice che l struttur lgebric A(, ), di sostego A, è u cmpo se: (1)
Definizione 1. Data una successione (a n ) alla scrittura formale. 1) a 1 + a a n +, si dà il nome di serie.
SERIE NUMERICHE Defiizioe. Data ua successioe (a ) alla scrittura formale ) a + a 2 + + a +, si dà il ome di serie. I umeri a, a 2,, a, rappresetao i termii della serie, i particolare a è il termie geerale
16 - Serie Numeriche
Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia CdS Statistica per l Aalisi dei Dati Apputi del corso di Matematica 6 - Serie Numeriche Ao Accademico 03/04 M. Tummiello, V. Lacagia, A. Cosiglio, S.
n 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1.
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 0: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale - Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Successioi umeriche:
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE220
Uiversità degli Studi Rom Tre - Corso di Lure i Mtemtic Tutorto di GE220 A.A. 2010-2011 - Docete: Prof. Edordo Seresi Tutori: Filippo Mri Boci, Amri Iezzi e Mri Chir Timpoe Soluzioi Tutorto 4 (7 Aprile
Appunti di Matematica per le Scienze Sociali
2014 Apputi di Mtemtic per le Scieze Socili Quello che vete imprto scuol (o lmeo u prte) m che o vi ricordte. [Digitre qui il suto del documeto. Di orm è u breve sitesi del coteuto del documeto. [Digitre
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- Appunti di Matematica 2 Liceo Scientifico - - I radicali - I radicali 2 = 2 = 4
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DEFINIZIONE SUCCESSIONE NUMERICA Una successione numerica è una funzione che ha per dominio l insieme dei numeri naturali { 0;1;2;3;...
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Δlessio abelli. Studente di Matematica Sapienza - Università di Roma. Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo
Δlessio elli Studete di Mtemtic Spiez - Uiversità di Rom Diprtimeto di Mtemtic Guido Csteluovo we-site: www.selli87.ltervist.org APPUNTI SUI RADICALI DEFINIZIONE DI RADICALE INDICE PARI : Si chim rdice
Progetto Matematica in Rete - I radicali - I radicali 2 = 4
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Successioni di funzioni
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GLI INSIEMI NUMERICI
GLI INSIEMI NUMERICI R π, _ -,8,89 Q Z N - 8-8 -8 _,,66 - e, - -,6 _ -,6 6 R Numeri Reli Q Numeri Rzioli Z Numeri Iteri Reltivi N Numeri Nturli Dl digrmm di Eulero-Ve ovvio è che : N è u sottoisieme rorio
IL PROBLEMA DEI QUADRATI
IL PROBLEMA DEI QUADRATI MICHELE ROVIGATTI MARGHERITA MORETTI SIMONE MORETTI CATERINA COSTANZO GABRIELE ARGIRÒ 0. INTRODUZIONE. Il problem sce d u quesito di combitoric iserito el testo di u gr di mtemtic
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI
SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico
Definizioni varie sulla stabilità
Apputi di Cotrolli Automtici Cpitolo 4 - Prte II Stbilità e sistemi i retrozioe STABILITÀ DEI SISTEMI IN RETROAZIONE... Defiizioi vrie sull stbilità... Sistemi stziori prmetri cocetrti... 4 Stbilità I.L.U.L
Esercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =
Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)
PRECORSO DI MATEMATICA III Lezione RADICALI E. Modica LE RADICI
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Uità Didttic N 09 I Rdicli 71 U.D. N 09 I RADICALI 01) I ueri reli 0) I rdicli ritetici 0) Seplificzioe di u rdicle 0) Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice 0) Moltipliczioe di rdicli 0) Divisioe
ANALISI MATEMATICA 1
ANALISI MATEMATICA [Apputi per u Igegere] A CURA DI ALESSANDRO PAGHI Riepilogo su: - Vlore Assoluto, Poteze, Logritmi; - Rziolizzzioe; - Grdezze Trigoometriche; - Limiti Notevoli e Forme Idetermite; -
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Espoeziale complesso P.Rubbioi 1 Serie el campo complesso Per forire il cocetto di serie el campo complesso abbiamo bisogo di itrodurre la defiizioe di limite per successioi di umeri complessi. Defiizioe
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5 - LE SUCCESSIONI I. COS E UNA SUCCESSIONE L sequez 0 = = 0 3 = 3 = 4 =... 3 5 = +... costituisce u esempio di SUCCESSIONE. 90 Ecco u ltro esempio di successioe: 3 4 = 3 = 3 3 = 3 4 = 3... = 3... U successioe
Serie numeriche. Esercizi
Serie umeriche. Esercizi Mauro Saita, aprile 204. Idice Serie umeriche.. Serie a termii defiitivamete positivi..............................2 Serie a termii di sego altero.................................
1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti
6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo
Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4
4. Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorezo Giacomelli Aalisi Matematica 2 a edizioe Svolgimeto degli esercizi del Capitolo 4 Il limite segue dal teorema del cofroto: e / 0 per. 4.2 0
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Complessi. Idice 1 Defiizioi. 1 Form trigoometric: rgometo e fuzioe rcotgete. 3 Poteze e rdici. 4 4 Poliomi e rdici. 5 5 Estesioe di fuzioi elemetri l cmpo complesso. 6 6 Appedice per i lettori più iteressti.
DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
DISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI Idice Premess... Regole geerli.... Sigificto dei termii mggiore e miore.... Proprietà trsitiv delle disuguglize.... Regol del trsporto.... Regol del prodotto... 5. Regole
Corso di Laurea in Matematica Analisi Numerica Lezione 5
Docete: Diel Ler Corso di Lure i Mtemtic Alisi Numeric Lezioe 5 Risoluzioe di sistemi lieri Problem. Dto il sistem di m equzioi i icogite (,,, ) co i,j e b i umeri reli, voglimo determire i vlori di (,,,
1. Converge. La serie è a segno alterno. Non possiamo usare il criterio di assoluta convergenza, perché
Soluzioi.. Coverge. La serie è a sego altero. No possiamo usare il criterio di assoluta covergeza, perché log log a = > + e il fatto che la serie i valore assoluto diverge o permette di trarre coclusioi
Analisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1
Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.
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Capitolo 5 Successioi umeriche Ua successioe è ua fuzioe avete domiio N o u suo sottoisieme del tipo A = { N > 0, 0 N} e come codomiio R e che associa a ogi umero aturale u umero reale a. La legge di ua
2.5 Convergenza assoluta e non
.5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello
Analisi Matematica I - modulo B
Alisi Mtemtic I - modulo B Apputi delle lezioi teute dl Prof. A. Fod Uiversità di Trieste, CdL Mtemtic,.. 2009/200 Il cmpo dei umeri complessi. Defiizioi e prime proprietà Cosiderimo l isieme R R = {(,
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO. Disposizioni
ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO Il clcolo comitorio h come oggetto il clcolo del umero dei modi co i quli possoo essere ssociti, secodo regole stilite, gli elemeti di due o più isiemi o di uo stesso isieme.
Argomento 9 Integrali definiti
Argometo 9 Itegrli defiiti Premess. Si f u fuzioe cotiu ell itervllo [, ]. L regioe di pio compres tr l sse x, le due rette verticli di equzioe x = e x =, ed il grfico di f è dett trpezoide reltivo d f
Lezioni di Matematica 1 - I modulo
Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti
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ANALISI MATEMATICA STUDIO DI FUNZIONI. RELAZIONI Le fuzioi soo prticolri relzioi; le relzioi (birie) soo sottoisiemi del prodotto crtesio tr due isiemi. L trttzioe prte quidi dl cocetto di prodotto crtesio.