> Definizione di matrice <

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1 > Defiizioe di mtrice < Dti due umeri turli m e si defiisce mtrice di tipo (m,) l isieme di m umeri reli disposti orditmete su m righe orizzotli e coloe verticli Se m si h u mtrice qudrt di ordie m m > Elemeti di u mtrice < utti i umeri dell mtrice soo detti elemeti e soo crtterizzti d u coppi di idici: il primo idic l rig e il secodo idic l colo. L umerzioe degli idici iizi i lto siistr m2 2 3 m Per u geeric mtrice si scrive [ ik ] < i < m < k < > Mtrici prticolri < MRICE RIG (,) MRICE COLONN (m,) MRICE NULL Z [z ik ], z ik > Elemeti corrispodeti < b B xy xy wz corrispod ete b wz x w y z MRICI UGULI MRICI SIMILI MRICE OPPOS RSPOS Scmbio ordito di righe e coloe > Relzioe tr mtrici < ( m, ) B( m, ) ik b ik ( m, ) B( r, s) m r [ ik ] [ ik ] ' [ ] [ ki ] ik s

2 > Mtrici qudrte < DIGONLI Priciple: Isieme di tutti gli elemeti che ho i due idici uguli Secodri: Isieme di tutti gli elemeti i cui idici ho somm MRICE DIGONLE utti gli elemeti che o fo prte dell digole priciple soo ulli. i MRICE UNI O IDENIC (I ) Mtrice digole i cui gli elemeti dell digole priciple soo uguli. Il umero di Kroecker rissume i possibili vlori di quest mtrice: δ ik i i k MRICE RINGOLRE Mtrice i cui gli elemeti che si trovo l di sopr o l di sotto dell digole priciple soo ulli. Nel primo cso l mtrice è trigolre iferiore, el secodo trigolre superiore. i k ik > k i < k k ik ik rigolre superiore rigolre iferiore MRICE SIMMERIC Mtrice i cui gli elemeti simmetrici rispetto ll digole priciple soo uguli. ik ki MRICE EMISIMMERIC Mtrice i cui gli elemeti simmetrici rispetto ll digole priciple soo uguli e opposti. ik ki 2

3 > lgebr delle mtrici < Il clcolo mtricile defiisce lcue operzioi eseguibili sulle mtrici e le loro proprietà. Le pricipli operzioi tr mtrici soo somm, differez, prodotto e potez. CONFORMBILI I due operdi soo mtrici simili. > Somm di mtrici < DEFINIZIONE Dte due mtrici e B di tipo (m,), si defiisce somm di e B (+B) l mtrice di tipo (m,) i cui elemeti soo l somm lgebric degli elemeti corrispodeti di e B. S + B [ ik b ik PROPRIE Commuttiv + B B + ssocitiv ( + B) + C + (B + C) Elemeto e utro Mtrice ull (Z) Somm co l oppo sto + (-) (-) + Z > Differez di mtrici < DEFINIZIONE L differez tr due mtrici e B è ugule ll somm di u co l oppost dell ltr. D B + ( B) [ ik + ( bik )] [ ik bik ] CONFORMBILI Il prodotto di u mtrice per uo sclre è sempre possibile. DEFINIZIONE Il prodotto di u mtrice per uo sclre β è l mtrice dello stesso tipo di, i cui ogi elemeto è moltiplicto per l costte β. PROPRIE Distributiv + ] > Prodotto mtrice - sclre < P β β [ β ik ] β ( + B) β + βb α( + B) α([ ij ] + [ bij ]) α([ ij + bij ]) [ α( ij + bij )] [ αij + αbij ] [ αij ] + [ αbij ] αα + αβ ssocitiv (γβ) γ(β) Elemeto eutro Iversioe (-) - 3

4 > Prodotto rig-colo < CONFORMBILI Righe mtrice colo Coloe mtrice rig (,s) B (s,) DEFINIZIONE Il prodotto di u mtrice rig per u mtrice colo dà come risultto u umero rele, quidi uo sclre o u mtrice di tipo (,). P B [ b + 2b + + sbs ] j > Prodotto tr mtrici < CONFORMBILI è di tipo (m,s) e B è di tipo (s,), ossi se il umero di coloe di equivle l umero di righe di B. DEFINIZIONE Dte le mtrici (m,s) e B(s,), si defiisce prodotto tr e B l mtrice del tipo (m,) il cui geerico puto p ik si ottiee moltiplicdo l i-esim rig di per l k-esim colo di B. s PROPRIE Distributiv d estr (B + C) B + C Distributiv siistr ( + B) C C + BC ssocitiv (B)C (BC) rspost (B) + B j b j PROPRIE NON VLIDE Commuttiv ullmeto del prodotto B B No solo o do come risultto Z ELEMENO NEURO L elemeto eutro del prodotto di mtrici è l mtrice uità del tipo opportuo. (m,)i I (,m) Dimostrzioe Si pred cso u geerico elemeto c ik del prodotto, esso srà ugule c δ + δ + + δ + + ik i k i2 2k ik kk i k Ricorddo l defiizioe di δ, risulto ulli tutti gli elemeti tre quello coteete δ kk che risult essere ugule d ik, ossi l elemeto origile di. δ > Potez di u mtrice < L potez di u mtrice si svilupp come prodotto ripetuto. Codizioe ecessri e sufficiete per l eseguibilità dell operzioe l espoete mggiore o ugule 2. è 4

5 > Determiti < DEFINIZIONE Il determite è u vlore umerico ssegto d ogi mtrice qudrt. Esso viee idicto i questi modi det ORDINE L ordie del determite idic l ordie dell mtrice qudrt l qule si riferisce. > Determiti di ordie < Il determite di ordie è, per defiizioe, equivlete ll uico dell mtrice. [ ] det elemeto > Miore complemetre < Vlore umerico ssegto d ogi elemeto di u mtrice. Il miore com plemetre è defiito come il determite che ssume l mtrice sopprimedo l rig e l colo ell qule si trov l elemeto. > Complemeto lgebrico < Il complemeto lgebrico di u elemeto di u mtrice è defiito come il miore complemetre dell elemeto preceduto d u sego più se l somm degli idici dell elemeto è pri, o d u sego meo se quest somm è dispri. d esempio l elemeto x h complemeto lgebrico positivo perché + 2 che è pri, metre l elemeto x 2 h complemeto lgebrico egtivo perché che è dispri. Per ricordre il sego dei complemeti lgebrici si utilizz l cosiddett regol dell sccchier: i complemeti lgebrici seguoo iftti questo schem:

6 > Determiti di -esimo ordie < Il determite geerico di ordie N si ottiee come somm dei prodotti degli elemeti di u lie (rig o colo) qulsisi per i rispettivi complemeti lgebrici. Si può verificre sperimetlmete che l scelt dell lie o ifluez il risultto del determite. i I det (, ) det (, ) i i i xi ix xi ix 2 x > Csi prticolri < determiti di 2 e 3 ordie soo csi prticolri dell regol geerle. SECONDO ORDINE Ecco lo sviluppo del determite di u geeric mtrice di ordie 2 rispetto ll prim rig 2 Si ot che u determite di ordie 2 è ugule ll differez tr il prodotto degli elemeti dell digole priciple e il prodotto di quelli dell digole secodri. ERZO ORDINE Il clcolo del determite di terzo ordie è semplificto dll regol di Srrus: destr dell mtrice si ricopio le prim e secod colo. Il determite si ottiee come somm del prodotto degli elemeti dell digole priciple e delle sue due prllele, cui si sottre l somm del prodotto degli elemeti dell digole secodri e delle sue prllele x Si può verificre che quest formul è corrett clcoldo il determite el modo geerico. 6

7 > Proprietà dei determiti < Le proprietà dei determiti cosetoo di semplificre otevolmete i clcoli. DEERMINNE DELL RSPOS Il determite di u mtrice equivle quello dell propri trspost. det det. LINE NULL Se tutti gli elemeti di u lie soo ulli, il determite è ullo. 2. MRICE UNI Il determite dell mtrice uità, di qulsisi ordie, è. 3. PRODOO CON SCLRE Moltiplicdo u lie di per uo sclre α, che il determite è moltiplicto per α. α α2 α 2 α ( α + α ) α 4. SOMM DI MRICI RIG O COLONN Se i u mtrice qudrt u rig (o u colo) è l somm di due mtrici rig (o colo), il suo determite è l somm dei due determiti che si ottegoo sostituedo quell rig (o colo), rispettivmete le mtrici rig (o colo) di cui è somm. det[,, i + B,, ] det[,, i,, ] + det[,, B,, ] 5. LINEE CONIGUE UGULI Se u mtrice h due liee cotigue uguli, il suo determite è ullo. 6. SCMBIO DI LINE S e si scmbio tr loro due righe (o due coloe), il determite cmbi di sego. 7. LINEE PROPORZIONLI Se due liee prllele soo uguli o proporzioli, il determite è ullo. Quest è u coseguez delle proprietà 3,5, α 2 2 7

8 8. SOMM DI UN LINE D UN LR Se gli elemeti di u rig (o colo) si sommo quelli corrispodeti di u ltr rig (o colo), tutti moltiplicti per u stess costte, il determite o cmbi. det[,,,,] det[, i k i + α,,,] k Per dimostrre quest proprietà si prte dll tesi e si utilizz l proprietà 4, quidi l proprietà 7 che ull uo degli ddedi e port come risultto l ipotesi dell dimostrzioe. 9. COMBINZIONE LINERE S e u lie è i combizioe liere di due o più ltre liee prllele, il determite è ullo. Co combizioe liere si itede u relzioe che itercorre tr gli elemeti. k π 2 π 5 2 Relzioe EOREM DI BINE Il determite del prodotto di due mtrici qudrte dello stesso ordie è ug ule l prodotto dei determiti delle mtrici. B B. MRICI QUDRE E RINGOLRI Il determite di u mtrice trigolre è ugule l prodotto degli elemeti dell digole priciple. Stesso discorso vle per le mtrici digoli, che soo mtrici trigolri prticolri. 8

9 > Mtrice ivers < Si defiisce mtrice ivers di u mtrice qudrt di ordie, u mtrice che, se esiste, è qudrt, dello stesso ordie di, si idic co - e soddisf l codizioe I UNICI L mtrice ivers, se esiste, è uic per u mtrice. Dimostrzioe per ssurdo Su ppoimo che e sio mtrici diverse ed etrmbe iverse di. '' ' ' ' I I '' '' che è i cotrddizioe co l ipotesi. MRICI INVERIBILI Codizioe ecessri e sufficiete ffiché u mtrice si ivertibile è che il suo determite si diverso d zero. Dimostrzioe dell codizioe ecessri Spedo che l mtrici - e I soo equivleti, che i loro determiti lo sro. Ricorddo che il determite dell mtrice uità è e utilizzdo il teorem di Biet, si ottiee che I Il risultto dell espressioe perde di sigificto se il determite di è ugule zero. Pertto si può dire che u codizioe ecessri perché esist l ivers di u mtrice è che il suo determite si diverso d zero. 9

10 DEERMINZIONE DELL INVERS Dt u mtrice, si idic co * l mtrice formt di complemeti lgebrici degli elemeti di. L trspost di quest mtrice gode di quest proprietà: * Possimo esprimere questo risultto come u mtrice uità di ordie moltiplict per uo sclre. Possimo pertto scrivere che Defiimo or u uov mtrice, otteut dividedo ogi elemeto dell trspost di * per il determite di. 2 2 * * * I I 2 Suppoimo che quest mtrice si esttmete l ivers di. Provimo quidi cofermre l tesi moltiplicdol per : se il risultto è quello tteso, otterremo u mtrice uità. * * ( ) I Ricorddo che il prodotto tr mtrici o gode dell proprietà commuttiv, provimo verificre che che il secodo fttore per il primo ci forisce l mtrice ivers. * * I ( ) Si ot quidi che l ostr ipotesi è corrett, possimo ffermre che l ivers di u mtrice è, se è diverso d, l mtrice * I I

11 CLCOLO DELL MRICE INVERS Schem rissutivo per il clcolo dell ivers di u geeric mtrice qudrt di ordie. CLCOLO DELL INVERS INIZIO CLCOLO DI No Sì - o esiste CLCOLO DI * CLCOLO DELL RSPOS di * DIVISIONE DI OGNI ELEMENO DI * PER FINE

12 > Sottomtrici < Dt u mtrice di tipo (m,), possimo crere u sottomtrice di scegliedo rbitrrimete p righe e q coloe. Se l mtrice estrtt è qudrt (formt quidi d p righe e p coloe), il suo determite è detto miore di ordie p di. Se è di tipo (m,) è ovvio che il rggiugere è il miimo tr m ed. mssimo ordie che u miore potrà Esempio: d u mtrice di tipo (5,8) si possoo estrrre miori fio ll ordie 5, visto che o è possibile crere u sottomtrice co più righe. > Rgo di u mtrice < Dt u mtrice, il suo rgo o crtteristic miori o ulli che si possoo estrrre d. è il mssimo ordie dei ORLRE UN MRICE Orlre u mtrice sigific ggiugergli u rig e u colo i u posizioe qulsisi. Se è di tipo (m,) e p u suo miore di ordie p possimo orlre l sottomtrice co le righe o ereditte dll mtrice bse. vremo quidi m p righe d ggiugere p coloe d ggiugere Ci soo quidi (m-p)(-p) modi di orlre co liee di. EOREM DI KRONECKER Il rgo di u mtrice è r se e solo se:. Esiste u miore di di ordie r o ullo 2. utti i miori di ordie r+, otteute orldo i tutti i modi possibili il miore di ordie r co liee di, soo ulli. PSSGGI D ESEGUIRE. Se o esistoo miori di ordie, il rgo è 2. Si orl il miore di ordie i tutti i modi possibili, otteedo sempre miori di ordie 2, fio qudo se e icotr uo o ullo 3. Si procede logmete fio qudo si icotr u ordie y i cui tutti i miori possibili soo ulli. 4. Il rgo dell mtrice è y. 2

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