U.D. N 09 I RADICALI

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1 Uità Didttic N 09 I Rdicli 71 U.D. N 09 I RADICALI 01) I ueri reli 0) I rdicli ritetici 0) Seplificzioe di u rdicle 0) Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice 0) Moltipliczioe di rdicli 0) Divisioe di due rdicli 07) Trsporto di u fttore positivo sotto il sego di rdice 08) Trsporto di u fttore positivo fuori dl sego di rdice 09) Potez di u rdicle ritetico 10) So lgeric di rdicli ritetici 11) rziolizzzioe del deoitore di u frzioe 1) Rdicli doppi 1) rdicli lgerici 1) Poteze d espoete frziorio

2 7 Uità Didttic N 09 I Rdicli Nueri reli Dicesi uero rziole u qulsisi uero che può essere scritto sotto for di frzioe. Soo pertto ueri rzioli : 1) tutti i ueri iteri ) tutti i ueri decili liitti ) tutti i ueri decili periodici. Dicesi uero irrziole ogi uero che o può essere scritto sotto for di frzioe. U uero rziole o irrziole dicesi rele. ueri reli 1) Nueri iteri RAZIONALI ( ueri frziori ) ) Nueri decili liitti ) Nueri decili periodici IRRAZIONALI ueri che si possoo scrivere sotto for di frzioe ueri decili illiitti e o periodici OSSERVAZIONE Ogi uero irrziole può essere espresso co esttezz solo edite il siolo che lo rppreset e i co u uero rziole. Ad esepio, soo irrzioli i segueti ueri :, π, 11 Qudo u uero irrziole è dto edite u uero itero o edite u uero decile, il vlore che l esprie è u vlore pprossito. Rdicli Aritetici Se è u uero turle o ullo ed u uero rele o egtivo, defiio rdice eesi ritetic del uero positivo, e l idichio co l scrittur, il uero rele o egtivo l cui potez eesi è ugule d. Sussiste sepre l seguete equivlez :, R, N o L scrittur dicesi rdicle ritetico, dicesi rdicdo, idice del rdicle, il siolo dicesi sego di rdice. Qudo risult scrivio e leggio rdice qudrt di. : ( rdice cuic di o rdice terz di ), : ( rdice qurt di ) 1 1 cioè l rdice pri di u uero è ugule l uero stesso

3 Uità Didttic N 09 I Rdicli 7 << L operzioe edite l qule si pss dl uero rele ll su rdice ritetic si chi estrzioe di rdice >>. OSSERVAZIONE N 1 Se il rdicle ssue l for dicio che è l espoete del rdicdo, se ssue l for k dicio che e k soo gli espoeti dei fttori del rdicdo. OSSERVAZIONE N ( ) cioè l potez eesi dell rdice eesi ritetic del uero è ugule l uero stesso. Iftti : ( ) PROPRIETA INVARIANTIVA Il vlore di u rdicle ritetico o ut se oltiplichio o dividio l idice del rdicle e l espoete del rdicdo per uo stesso uero positivo ( o ullo ). I sioli io : p p p p / / SEMPLIFICAZIONE DI UN RADICALE Per seplificre u rdicle si procede coe segue : 1) Si decopoe il rdicdo i fttori prii ) Si clcol i l M.C.D. fr l idice del rdicle e gli espoeti dei fttori del rdicdo ) Si divide per il M.C.D. trovto l idice e gli espoeti dei fttori del rdicdo ESEMPI ( ) ( ) M. C. D.( 1,, ) 1 7 ( ) 8 8 U rdicle si dice irriduciile o ridotto i iii terii qudo risult ugule d 1 il M.C.D. fr l idice del rdicle e gli espoeti dei fttori del rdicdo.

4 7 Uità Didttic N 09 I Rdicli Riduzioe di due o più rdicli llo stesso idice Per ridurre due o più rdicli llo stesso idice si procede coe segue : 1) Si decopogoo i fttori prii tutti i rdicdi ) Si redoo irriduciili tutti i rdicli ) Si clcol il.c.. fr gli idici di tutti i rdicli e lo si ssue coe iio coue idice per tutti i rdicli ) Si divide il.c.. per l idice di ciscu rdicle e si oltiplic il quoziete otteuto per l espoete di ogi fttore di ciscu rdicdo, ( ) 10, 10, ( ), ( ), 0, c...(,,) 0, ( ) 1 18, 0 1 ( ), 0 ( ) 0 Moltipliczioe di rdicli TEOREMA Il prodotto di due o più rdicli ritetici veti lo stesso idice è u rdicle ritetico che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il prodotto dei rdicdi. I sioli io : ESEMPIO ( ) OSSERVAZIONE Per oltiplicre due o più rdicli veti idici diversi occorre ridurli pri llo stesso idice e poi oltiplicrli. ESEMPIO ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( )

5 Uità Didttic N 09 I Rdicli 7 Divisioe di due rdicli TEOREMA Il quoziete di due rdicli ritetici di ugule idice è u rdicle ritetico che h per idice lo stesso idice e per rdicdo il quoziete dei rdicdi. I sioli io : ( ) : : oppure : ESEMPIO ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) OSSERVAZIONE Per dividere due rdicli veti idici diversi occorre ridurli prevetivete llo stesso idice. : : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Trsporto di u fttore positivo sotto il sego di rdice Qudo u rdicle è oltiplicto per u fttore positivo, tle fttore può essere trsportto sotto il sego di rdice, coe fttore del rdicdo, purchè veg elevto d u potez ugule ll idice del rdicle. I sioli io : ESEMPI ( ) ( ) 1 1 ( )( ), 8 0

6 7 Uità Didttic N 09 I Rdicli Trsporto di u fttore positivo fuori dl sego di rdice Se ed soo due ueri iteri, se per ed r è il resto, llor possio scrivere :, se q è il quoziete dell divisioe di q r q r REGOLA r q U fttore positivo del rdicdo vete espoete o iore dell idice del rdicle può essere portto fuori dl sego di rdice coe fttore che risult essere u potez vete coe espoete il quoziete q ; ll itero del rdicle rie coe fttore u potez vete coe espoete il resto r. Se risult r 0 llor il fttore del rdicdo, essedo ugule d 1, o si scrive ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 18 OSSERVAZIONE Per trsportre u fttore fuori dl sego di rdice isog pri decoporre i fttori il rdicdo ed, evetulete, seplificre il rdicle. ( ) è ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Potez di u rdicle ritetico Per elevre potez u rdicle st elevre quell potez il rdicdo. ( ) 8 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) OSSERVAZIONE Se l idice del rdicle e l espoete dell potez ettoo u M.C.D. llor, pri di elevre il rdicle ll dt potez, isog seplificre.

7 Uità Didttic N 09 I Rdicli 77 / ( ) ( ) 1 / 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rdice ritetic di u rdicle ritetico L rdice ritetic di idice di u rdicle ritetico di idice e rdicdo è u rdicle ritetico di idice e rdicdo. I sioli io : 10 7, So lgeric di rdicli ritetici DEFINIZIONE U rdicle ritetico si dice ridotto qudo sul rdicdo si soo eseguite tutte le seplificzioi possiili e si soo portti fuori dl sego di rdice tutti quei fttori veti espoeti ggiore o ugule dell idice del rdicle. Il fttore che si trov dvti d u rdicle ridotto si chi coefficiete del rdicle. DEFINIZIONE Due o più rdicli ritetici si dicoo siili qudo ho lo stesso idice, lo stesso rdicdo e differiscoo, evetulete, solo per il coefficiete. Soo siili i segueti rdicli :,, 1 REGOLA L so lgeric di due o più rdicli siili è u rdicle siile i dti ed vete per coefficiete l so lgeric dei coefficieti

8 78 Uità Didttic N 09 I Rdicli Rziolizzzioe del deoitore di u frzioe Rziolizzre il deoitore di u frzioe sigific trovre u frzioe equivlete ll dt vete il deoitore privo di rdicli. Si possoo presetre diversi csi : prio cso Il deoitore preset coe fttore il terie L rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per. ( ), secodo cso Il deoitore preset coe fttore il terie co <. L rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per : terzo cso Il deoitore preset coe fttore l so lgeric di due rdicli qudrtici. oppure l so lgeric di u rdicle qudrtico e di u espressioe o coteete rdicli.se il fttore è l rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per, se il fttore è si oltiplic per, se il fttore è si oltiplic per, se il fttore è si oltiplic per. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 ( ) ( ) 9 1

9 Uità Didttic N 09 I Rdicli 79 qurto cso Il deoitore preset coe fttore l so ( differez ) di due rdicli cuici ( ). L rziolizzzioe vviee oltiplicdo uertore e deoitore per ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) c d c ( cd d ) ( c d )( c cd d ) ( ) c cd d c d c d c ( cd d ) ( c d )( c cd d ) ( ) c cd d c d ( 1) ( )( 1) ( ) Rdicli doppi Chisi rdicle doppio ogi espressioe vete l for oppure

10 80 Uità Didttic N 09 I Rdicli Le suddette forule soo utili se è u qudrto perfetto. I questo cso il rdicle doppio si trsfor i due rdicli seplici Rdicli lgerici Fior io supposto che il rdicdo si u uero rele positivo e che il risultto dell estrzioe dell rdice si uico ed espresso d u uero rele positivo, cioè l rdice ritetic di u uero positivo esiste sepre ed è u uero positivo. Adesso doio tle ipotesi restrittiv e suppoio che R. Defiio rdice eesi lgeric del uero rele reltivo, il uero rele reltivo ( se esiste ) che h coe potez eesi il uero., R, Aio visto che l rdice eesi ritetic di u uero positivo esiste sepre e rppreset u solo vlore positivo. Per i rdicli lgerici le cose vo diversete : 1) rdicdo positivo ( > 0 ), pri N o I questo cso rppreset due vlori espressi d due ueri opposti. ± Iftti : ( ) ± ) rdicdo positivo ( > 0 ), dispri L rdice eesi lgeric di u uero rele positivo d idice dispri h u uico vlore positivo, cioè il siolo rppreset u uero positivo 8 ) rdicdo egtivo ( < 0 ), dispri L rdice eesi lgeric di u uero rele egtivo d idice dispri h u uico vlore egtivo, cioè il siolo rppreset u uero egtivo 8 ) rdicdo egtivo ( < 0 ), pri

11 Uità Didttic N 09 I Rdicli 81 L rdice eesi lgeric di u uero rele egtivo d idice pri o esiste el cpo dei ueri reli, cioè se R, il siolo o h sigificto i qudo o esiste essu uero rele l cui potez d idice pri è u uero egtivo. o esiste el cpo dei ueri reli i quto o è possiile trovre u uero rele reltivo il cui qudrto è. CONCLUSIONI 1) per pri, ogi uero rele positivo ette due rdici eesie lgeriche fr loro opposte ; ogi uero rele egtivo o e ette ) per dispri, ogi uero rele ette u rdice eesi lgeric ed u sol, l qule è positiv o egtiv se tle è il uero cosiderto. Il siolo OSSERVAZIONE N 1 è utilizzto tto per idicre u rdicle ritetico quto per utilizzre u rdicle lgerico. Si dovreero usre sioli diversi coe vviee i ltre zioi : _ rdice ritetic del uero rele, rdice lgeric del uero rele * rdice copless del uero rele, o rdice del uero rele el cpo dei ueri coplessi. L cosuetudie itli ttriuisce l siolo il sigificto di rdice ritetic ; el cso i cui il siolo esplicitete. v cosiderto coe rdicle lgerico isog dichirrlo I R il siolo può vere due sigificti : OSSERVAZIONE N 1) quello di rdicle ritetico se R ed llor il siolo rppreset u solo uero positivo ) quello di rdicle lgerico se R ed llor il siolo rppreset due ueri reltivi, u solo uero reltivo, essu uero rele reltivo.

12 8 Uità Didttic N 09 I Rdicli Poteze d espoete frziorio Possio estedere il cocetto di potez l cso i cui l espoete è u frzioe. Questo è possiile solo se l se è u uero rele positivo. R,, N poio : cioè, l potez d espoete frziorio ( positivo ) di u uero rele positivo è ugule l rdicle ritetico che h per idice il deoitore dell frzioe e per espoete del rdicdo il uertore dell frzioe stess. U potez di u uero rele positivo vete coe espoete u uero frziorio egtivo viee defiit dll seguete relzioe : 1 1 Per le poteze d espoete frziorio vlgoo le segueti proprietà forli : p q p q p q : p q p p q q ( c) c 7 7 7, 9 OSSERVAZIONE U potez che si fttore del uertore ( o del deoitore ) di u frzioe può essere portt l deoitore ( uertore ) utdo il sego dell espoete. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )