Matrici (array multidimensionali)

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1 Mtrici (rry ultidiesioli) Mtrici I tetic, i prticolre i lger liere, u trice è u tell ordit di eleeti d esepio, l seguete è u trice iter: I geerle rry

2 rry lger delle trici Sulle trici si possoo defiire uerose operzioi: due trici (veti dei ueri opportui di righe e coloe) possoo essere sote, sottrtte, oltiplicte fr loro, e oltiplicte per u uero (detto sclre) So ( ) ij ij ij B B Esepio rry lger delle trici Sulle trici si possoo defiire uerose operzioi: due trici (veti dei ueri opportui di righe e coloe) possoo essere sote, sottrtte, oltiplicte fr loro, e oltiplicte per u uero (detto sclre) Moltipliczioe per uo sclre ( ) ij ij c c Esepio

3 rry ultidiesioli Dichirzioe di rry ultidiesioli tipo-eleeti oe-rry[lug-][lug-] [lug-] Esepio:it t[][]; trice Per ogi diesioe i l idice v d lug-i. Esepio:it rketig[][][] (idici potreero rppresetre: prodotti, veditori, esi dell o) rry Esepio: It ele, t[][];... ele t[][]; t[][] 8; ccesso gli eleeti eleeto di rig e colo (prio eleeto) eleeto di rig e colo (ultio eleeto) t[][] t[][] * t[][]; Coe per i vettori, l uic operzioe possiile sulle trici è l ccesso gli eleeti trite l opertore [] Iizilizzzioe di trici Esepio: it t[][] {{,,}, {,,6}}; it t[][] {,,,,,6}; it t[][] {{,,}}; it t[][] {,,}; it t[][] {{}, {,}}; rry

4 Esepio Esepio: ettur e stp di u trice #iclude <stdio.h> #defie IG #defie CO i() { it t[ig][co]; it i, j; /* lettur trice */ pritf("ettur trice %d %d;\", IG, CO); for (i ; i < IG; i) for (j ; j < CO; j) scf("%d", &t[i][j]); /* stp trice */ pritf(" trice e :\"); for (i ; i < IG; i) { for (j ; j < CO; j) pritf("%d\t", t[i][j]); pritf("\"); } } rry Esercizi Scrivere u progr che cquisisce due trici, chidole e B effettu l so B registrdo il risultto i u terz trice C o Stp il coteuto di C ichiede u vlore sclre c o Effettu il prodotto di per lo sclre c, c, e registr il risultto i C Stp il coteuto delle trici, B e C vettori 8

5 Moltipliczioe di due trici lger delle trici oltipliczioe tr due trici e B è u'operzioe più coplict delle precedeti defiizioe di oltipliczioe è otivt dl ftto che u trice odellizz u ppliczioe liere: il prodotto di trici corrispode ll coposizioe di ppliczioi lieri Esepio rry Moltipliczioe di due trici lger delle trici oltipliczioe tr due trici e B è u'operzioe più coplict delle precedeti defiizioe di oltipliczioe è otivt dl ftto che u trice odellizz u ppliczioe liere: il prodotto di trici corrispode ll coposizioe di ppliczioi lieri #defie M #defie P #defie N it [M][P], [P][N], c[m][n];... /* clcolo prodotto */ for (i ; i < M; i) for (j ; j < N; j) { c[i][j] ; for (k ; k < P; k) c[i][j] c[i][j] [i][k] * [k][j]; } rry

6 rry Mtrici e sistei lieri Grzie lle regole fior dte, le trici soo utili che ell rppresetzioe di sistei di equzioi lieri rry Esercizi Esercizio: eggere due trici (MN) e B(MN) - l utete sceglie l diesioe (coue) delle trici (MX *) Il progr deve poter:. stpre l trice so. stpre l trice prodotto (se possiile). stpre le trici. uscire dl progr

7 Esercizi Esercizio: Progr che legge u trice (MN) (le diesioi soo scelt dell utete diesioi ssie *) e. stp l eleeto ssio co i suoi idici di rig e di colo. costruisce il vettore degli eleeti ssii di ogi rig, e lo stp. costruisce il vettore degli eleeti ssii di ogi colo, e lo stp. clcol l trice T(NM) trspost di, e l stp (il geerico eleeto T ij dell trspost T di è pri d ji ) rry go di u trice Nell'lger liere, il rgo o crtteristic di u trice è il ssio uero di coloe (o righe) lierete idipedeti i Il odo più seplice per clcolre il rgo di u trice è dto dll'lgorito di Guss. 'lgorito trsfor l trice i u trice grdii co lo stesso rgo, dto dl uero di righe o ulle, o equivleteete di pivot Esepio co rgo() 6 rry.

8 lgorito di Guss 'lgorito, ttrverso l'ppliczioe di operzioi eleetri dette osse di Guss, riduce l trice i u for dett grdii trice così ridott perette il clcolo del rgo dell trice oché l risoluzioe del siste liere d ess ssocito e osse di Guss soo operzioi che odifico u trice i uo dei odi segueti: scido due righe; oltiplicdo u rig per u uero diverso d zero; sodo u rig d u ultiplo di u'ltr rig. I u siste di equzioi lieri, le osse corrispodoo : scire l'ordie di scrittur di due equzioi; oltiplicre etri i eri di u'equzioe per u uero diverso d zero; sore d ogi ero di u'equzioe l stess qutità siistr e destr. rry lgorito di Guss 'lgorito, ttrverso l'ppliczioe di operzioi eleetri dette osse di Guss, riduce l trice i u for dett grdii trice così ridott perette il clcolo del rgo dell trice oché l risoluzioe del siste liere d ess ssocito e osse di Guss soo operzioi che odifico u trice i uo dei odi segueti: scido due righe; oltiplicdo u rig per u uero diverso d zero; sodo u rig d u ultiplo di u'ltr rig. E coodo vedreo perché liitrsi due tipi di osse scire l'ordie di scrittur di due equzioi; oltiplicre etri i eri di u'equzioe per u uero diverso d zero; sore d ogi ero di u'equzioe l stess qutità siistr e destr. rry

9 rry lgorito di Guss. Se l pri rig (rig ) h il prio eleeto ullo, scil co u rig che h il prio eleeto o ullo. Se tutte le righe ho il prio eleeto ullo, pss l puto. desso sull pri colo tutte le cifre, eccetto forse l pri, soo ulle. questo puto ritor l puto cosiderdo l sottotrice che ottiei ccelldo l pri rig e l pri colo. Per ogi rig i (eccetto l pri i>) cerc il prio eleeto o ullo (colo k), oltiplic l pri rig per u coefficiete scelto i ier tle che l so tr l pri rig e i i l eleeto k-esio ullo (coefficiete- ik / k ). Sostituisci i co l so ppe ricvt 6 6 k ik i i rry Esepio (I) 6 No ci soo eleeti diversi d zero, psso ll colo successiv. c

10 Esepio (II) No ci soo eleeti diversi d zero, psso ll colo successiv rry... c.. U possiile ipleetzioe. eggo l trice. Per ogi rig (e dll pri ll ulti di esse). devo cotrollre che l rig che ll colo "colo" i u eleeto diverso d zero (se l colo è l ulti, terio il puto (.)).. se h zero, devo cercre u rig successiv che ll colo "colo" i u eleeto diverso d zero Se c è, l porto «i ci» lle righe, scidol di posto co l ttule ltrieti, psso ll prossi colo, e toro l puto (.). se ho otteuto u rig co ll colo "colo" u eleeto diverso d zero.. i tutte le righe successive effettuo l sostituzioe «ll Guss». Clcolo il rgo (uero delle righe coteeti eleeti diversi d zero). Clcolo il deterite (produttori dei terii digoli ttezioe l uero di sci i ()) rry

11 lger delle trici qudrte Fr le trici, occupo u posto di rilievo le trici qudrte, cioè le trici * trici che ho lo stesso uero di righe e di coloe Moltiplicdo fr loro due trici qudrte *, si ottiee u ltr trice qudrt * Di u trice è quidi possiile clcolre *, **, o Fre l potez di u trice,,, Eleeto eutro per l oltipliczioe: I rry lger delle trici qudrte Fr le trici, occupo u posto di rilievo le trici qudrte, cioè le trici * trici che ho lo stesso uero di righe e di coloe I trici qudrte il procedieto di Guss iduce u for prticolre, i cui il «trigolo iferiore» dell trice è coposto d soli zeri Trigolrizzzioe di u trice Not: el processo possoo coprire degli zeri che i ltre posizioi cso prticolre: sull digole rry

12 Deterite delle trici qudrte I lger liere, il deterite è u fuzioe che ssoci d ogi trice qudrt uo sclre che e sitetizz lcue proprietà lgeriche Il deterite è uo strueto usto i vri settori dell tetic: ello studio dei sistei di equzioi lieri el clcolo ifiitesile più diesioi (p.e. Jcoio) el clcolo tesorile, ell geoetri differezile rry Deterite delle trici qudrte I lger liere, il deterite è u fuzioe che ssoci d ogi trice qudrt uo sclre che e sitetizz lcue proprietà lgeriche Il sigificto geoetrico priciple si ottiee iterpretdo l trice qudrt di ordie coe trsforzioe liere di uo spzio vettorile diesioi: il vlore ssoluto di det() è il fttore co cui vegoo odificti i volui degli oggetti coteuti ello spzio se è diverso d zero, il sego del deterite idic ioltre se l trsforzioe preserv o ci l'orietzioe dello spzio rispetto gli ssi di riferieto. rry

13 Clcolo del deterite di trici qudrte (liitioci questi csi). Si utilizz lo sviluppo di plce Se è *: Se è *: ( ) det rry det ( ) ( ) ( ) det det ( ) det Clcolo del deterite di trici qudrte (liitioci questi csi). Si utilizz lo sviluppo di plce Se è *: ( ) det Se è *: Ci si ricoduce l clcolo di deteriti di trici (-)*(-) Coplicto e dispedioso rry

14 Clcolo del deterite di trici qudrte (liitioci questi csi). Si utilizz lo sviluppo di plce Se però fosse i for trigolre : det ( ) ( ) ( ) det det ( ) det rry Clcolo del deterite di trici qudrte (liitioci questi csi). Si utilizz lo sviluppo di plce Se però fosse i for trigolre : det rry ( ) ( ) ( ) det il deterite sree il seplice prodotto dei terii sull digole

15 Clcolo del deterite di trici qudrte (liitioci questi csi). Si utilizz lo sviluppo di plce e osse di Guss (liitte i due tipi precedeteete evideziti) tegoo ivrito il vlore del deterite Ci solo il sego d ogi scio di righe Il procedieto divet quidi seplice: Si trigolrizz l trice (cotdo quti sci di rig soo stti effettuti si «uero_di _sci» il vlore) Si effettu il prodotto dei terii sull digole Si oltiplic il prodotto così otteuto per (-)^(uero_di _sci) rry Esercizi (II) Esercizio: Progr che legge u trice (NN) e. verific se l trice è digole (u trice si dice digole se ij solo qudo i j;. verific se l trice è sietric (u trice si dice sietric se ij ji per ogi coppi di idici i e j);. clcol il rgo dell trice. clcol il deterite dell trice rry

16 rry Esepi Det()79 Det()- Det()8 Det() Det()- ppliczioe: regol di Crer Siste d risolvere Se è ugule zero il etodo di Crer o è pplicile ed il siste è ipossiile o ideterito Mtrice dei coefficieti rry

17 ppliczioe: regol di Crer Siste d risolvere Mtrice dei coefficieti Soluzioi rry ppliczioe: regol di Crer Not: il clcolo del deterite iplic oltissie soe e oltipliczioi (divisioi) è quidi istile è prtico solo per sistei di piccole diesioi è couque iportte, perché idic u vi geerle di soluzioe rry