ESERCIZI SULLA MECCANICA DEI SOLIDI

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1 ESERZ SULLA MEANA DE SOLD ESERZO Assegto el puto P di u corpo cotiuo il seguete tesore dell tesioe, si determii il vettore dell tesioe sull gicitur vete per ormle ; i j k i, j, k versori degli ssi crtesii ortogoli,, [ ] [ t ] Dl teorem di uch si ottiee: S S S t 6 4 t 6 4 t 6 ESERZO E ssegto il tesore el riferimeto,, Determire il vettore dell tesioe gete sul pio di equioe 4 ; 4 [ ] 4 [ t ] Dll geometri ricordimo che il versore perpedicolre d u pio di equioe b c d h l form seguete b c i b b c j c b c k i cui

2 b c ; b b c ; c b c ; Si h quidi: ; ; S S S S i j k 7 ESERZO Verificre se il seguete stto di tesioe risult equilibrto, ell ipotesi di fore di volume ulle: ; ( ) ; ( ) ; co cost> Le equioi idefiite di equilibrio, per fore di volume ulle, soo :,,,,,,,,, - Poiché le equioi idefiite di equilibrio soo verificte, lo stto di tesioe ssegto risult equilibrto ESERZO 4 Scomporre il seguete tesore dell tesioe el tesore sferico e el devitore dell tesioe:

3 [ ] [ t ] ; 4 Dto u tesore possimo decomporlo i due prti: d, e precismete ell su compoete isotrop, costituit dll tesioe ormle medi, (o tesore sferico): ( ) tr, i compoeti ( ) δ e el devitore di tesioe d Le compoeti del devitore co idici distiti coicidoo co le compoeti miste del tesore, cioè co le tesioi tgeili, metre le compoeti d idici uguli soo uguli ll differe dell rispettiv compoete e [ ] Quidi: d [ ] 4 ESERZO 5 Dto il seguete tesore dell tesioe, determire l gicitur sull qule il vettore dell tesioe è ullo [ ] Su u geeric gicitur il vettore dell tesioe h compoeti

4 () ( ) S () S S mpoimo or che ciscu compoete del vettore dell tesioe si ull, ossi S S S e otteimo quidi tre equioi, che, uite ll codiioe geometric ( 4), cosetoo di determire, e, Dll () e dll () uguglite ero otteimo e, e sostituedo ell () uguglit ero, ( ) Dobbimo escludere l soluioe perché isieme ll () e ll () o soddisf l codiioe geometric sui cosei direttori (4) Deve essere ugule ero il termie, che forisce ( ) Si oti che porre Sostituedo implic [ ] Det e ell (4) ; ± e l soluioe file è l seguete: m ; m ; ± cosei direttori otteuti idico il versore dell ormle ll gicitur su cui è ullo il vettore dell tesioe ossi dove S 4

5 5 ESERZO 5 Determire le tesioi e le direioi pricipli dell tesioe del seguete tesore dell tesioe [ ] > L F cost co L equioe crtteristic - h coefficieti [ ] 4 Det Det quidi ( ) 4 Le rdici dell equioe crtteristic soo ; ; Le direioi pricipli dell tesioe si ottegoo d due qulsisi delle tre equioi del seguete sistem, ssocido d esse l codiioe sui cosei direttori : ( ) ( ) ( ) e sostituedo per trovre i cosei direttori dell prim direioe priciple Scegliedo l prim e l secod equioe del sistem e ssocido l codiioe geometric sui cosei direttori bbimo:

6 ( ) - ( ) Risolvimo e otteimo: ± ; ± ; ± ; Procededo i modo logo determio, sostituedo elle equioi sostituedo, e ESERZO 6 Determire le tesioi e le direioi pricipli dell tesioe del seguete tesore dell tesioe [ ] t Poiché lo stto di tesioe è bi-ssile Posso risolvere pplicdo il metodo euristico, ttrverso l determiioe delle rdici dell equioe secolre, o il metodo litico-grfico del cerchio di Mohr modo ; 5 5; - Le tre rdici dell equioe secolre soo, t, t L ordie cosueto dottto per le tesioi pricipli > > o verrà usto el cso dell risoluioe co il cerchio di Mohr, i cui, per studire lo stto di tesioe bissile, idicheremo per comodità co e le due tesioi pricipli pprteeti l pio (,) e co l tesioe priciple ull Ossi: 6

7 , t, t Per determire le direioi pricipli procedo come ell Eserciio 5 e ottego, per l prim direioe priciple: ±, 85 ; ±, 5 ; ± ; MODO l cerchio di Mohr corrispodete l tesore dell tesioe ssegto h cetro, rggio e polo: ; ( ) R ( ) 4, M (, ) (, ), Per disegre il cerchio procedo come segue: Nel riferimeto crtesio di scisse e ordite τ idividuo il cetro Sego il puto T (, ), puto rppresettivo dello stto di tesioe Trccio il cerchio di cetro psste per T (i ltertiv posso trccire il cerchio di cetro e di rggio R ) τ α gicitur direioe T (, ) gicitur direioe α α gicitur priciple direioe priciple K M α (, ) Ritrovo per le tesioi pricipli i vlori R,, t R,, t Per determire le direioi pricipli dell tesioe ricordimo che 7

8 tg TK α α rctg 6 4' K α α direioe priciple gicitur priciple ESERZO 7 Determire le tesioi e le direioi pricipli per gli stti di tesioe rppresetti di segueti tesori: [ ] ; [ ] [ ] ; tutti e tre i csi si h che e quidi u tesioe priciple è ugule ero L equioe crtteristic è quidi del tipo ( ) questi csi l risoluioe otteut co il metodo del cerchio di Mohr risult più rpid (per quto rigurd l determiioe delle direioi pricipli) ) L tesioe priciple gisce sull gicitur di ormle 8

9 gicitur τ T gicitur α M α 45 direioe direioe ) Lo stto di tesioe ssegto, co compoeti e è crtterito dll prese delle sole compoeti ormli lle giciture e quidi e soo direioi pricipli l cerchio di Mohr h cetro (, ), R e M (, ) l cerchio si riduce quidi d u puto, il puto questo cso tutti i pii del fscio di pii psste per soo giciture pricipli su cui gisce u tesioe ormle L ltr gicitur priciple è quell di ormle sull qule gisce l tesioe priciple τ M ) 4 tg ossi 4 α 6 8 α cos 6 8, 89 ± ± 5 5 9

10 gicitur τ α T gicitur K M α 6 8 direioe direioe ESERZO 8 Trccire il cerchio di Mohr reltivo llo stto di tesioe 4 [ ] 4 6 [ dn ] 6 ; ( ; ) R ( 6) 4( 4) 895 R 95 dn R 695 dn tg α o ( 4) 6, 5 α 6 56 α τ 4 M O gicitur verso positivo di rotioe α K T α gicitur

11 α misur l golo l cetro di rotioe che dobbimo percorrere dl puto T, (che rppreset le compoeti di rppresettivo dello stto di tesioe ( ) tesioe sull gicitur di ormle, ( α ) ) per rggiugere il puto corrispodete ll prim tesioe priciple questo cso d T (, 6) ruotimo sul cerchio di - 6, ossi ruotimo i seso ti-orrio 8 direioe direioe ESERZO 8 Trccire il cerchio di Mohr reltivo llo stto di tesioe seguete: 6 [ ] 6 [ dn ] Determire: Le tesioi pricipli e le direioi pricipli L tesioe tgeile mssim e l gicitur sull qule ess gisce ) ; ( ; ) R ( ) 4( 6) 6 T (, 6) ; M (, 6)

12 R 6 dn R 4 dn tg α o ( 6) α 9 α 45 gicitur N τ T gicitur 4dN O α P M α 45 6dN direioe direioe ) Per determire l tesioe tgeile mssim è sufficiete otre che i puti del cerchio veti ordit mssim e miim idividuo le coppie di vlori τ τ T,6 è il puto del cerchio che (,, m ) e (,,mi ); i questo cso il puto ( ) idividu l tesioe tgeile mssim, metre il puto (, 6) M è rppresettivo dell tesioe tgeile miim Per determire l gicitur sull qule gisce l tesioe tgeile mssim è sufficiete cogiugere il polo dell rppresetioe M co il puto T questo cso prticolre risult quidi che l gicitur di ormle è l gicitur cerct τ m / 6 dn

13 ESERZO 9 Assegto il po di spostmeti ifiitesimi u u u A B A A co A, B cost dire se il po di deformioe d esso ssocito è pio e clcolre i vlori di ffiché il corpo, dopo l deformioe, mteg il volume iiile A e B Le equioi di cogrue foriscoo: ε ε ε u u u,,, A A ε ε ε ( u, u, ) ( B ) ( u, u, ) ( u u ),, Affiché lo stto di deformioe si pio deve essere ε questo cso ffiché il po di deformioe si pio deve essere: A ( B ) ε Det[ ε ] Det ( B ) A M l codiioe ε è se ltro verifict poiché il tesore dell deformioe[ ε ] h l ter rig (e l ter colo) formt d elemeti ulli l po di deformioe è quidi pio U cubetto di lto uitrio ell cofigurioe iiile rime u prllelepipedo, dopo l deformioe, qudo è orietto secodo le direioi pricipli dell deformioe lti del prllelepipedo misuro rispettivmete ε ε, ε, Defiimo diltioe cubic il rpporto, V V V ( ε )( ε )( ε ) ε ε ε (*) ε (*) Si trscuro i questo modo i termii che risulto ifiitesimi di grdo superiore rispetto lle ε

14 Abbimo quidi dedotto che l vriioe di volume di u elemeto di volume uitrio è espress dll ivrite primo dell deformioe Nel ostro cso ε A A V ε V Questo sigific che i volumi si coservo quluque sio i vlori di A e di B 4