LEZIONE Numeri complessi. Sappiamo già come sommare le coppie di numeri reali. Se (a, b ), (a, b ) R 2 allora la coppia somma è

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1 LEZIONE Numeri complessi. Sppimo già come sommre le coppie di umeri reli. Se, b,, b R 2 llor l coppi somm è, b +, b = +, b + b R 2. Voglimo or defiire che u operzioe di prodotto i R 2. Defiizioe Defiimo prodotto di, b,, b R 2 l coppi, idict co, b, b, defiit d, b, b = b b, b + b R 2. L isieme R 2 co le operzioi di somm già ot e quell di prodotto sopr defiit srà idicto co C. I suoi elemeti soo detti umeri complessi. Il umero complesso 0, 1 verrà idicto co il simbolo i e verrà spesso chimto uità immgiri di C. Se, b C, Re, b = viee dett prte rele e Im, b = b coefficiete dell immgirio. I umeri complessi dell form 0, b vegoo detti immgiri puri. Si h Ioltre 0, 0 +, b = 0 +, 0 + b =, b, 1, 0, b = 1 0 b, 1 b + 0 =, b, 0, 10, 1 = , = 1, 0., 0 + b, 0 = + b, = + b, 0,, 0b, 0 = b 0 0, b = b, 0, quidi l somm e il prodotto di umeri complessi co coefficiete dell immgirio ullo coicide co l somm ed il prodotto delle loro prti reli. I prticolre l ppliczioe R C defiit d, 0 idetific R co u sottoisieme di C: precismete, l isieme dei umeri reli è idetificto co l isieme dei umeri complessi veti coefficiete dell immgirio ullo. 1 Typeset by AMS-TEX

2 NUMERI COMPLESSI Scriveremo perciò C itededo, 0: per esempio 0, 1 C idico rispettivmete le coppie 0, 0 e 1, 0. Perciò si può scrivere, b =, 0 + 0, b =, 0 + b, 00, 1 =, 0 + b, 0i = + bi. Quest è l cosiddett rppresetzioe crtesi o lgebric del umero complesso, b e si scrive Re + bi = e Im + bi = b. Possimo ffermre che u umero z C è rele se e solo se Imz = 0, è immgirio se e solo se Rez = 0. Co tle covezioe, teedo coto dell ultim delle Relzioi , si può scrivere i 2 = i i = 1. Il vtggio di scrivere i umeri complessi i form lgebric è che le operzioi di somm e prodotto si riducoo ll somm e prodotto di poliomi coefficieti reli ell idetermit i teedo coto dell Codizioe Esempio Per esempio 3 + 4i2 3i = 6 9i + 8i 12i 2 = 18 i. È chiro quto si più fcile clcolre il prodotto di due umeri complessi co quest osservzioe, rispetto ricordrsi l defiizioe di prodotto. Avedo defiito delle operzioi è turle domdrsi quli proprietà vlgo per esse. L precedete osservzioe ci permette di otteere immeditmete l seguete Proposizioe Vlgoo le segueti proprietà: S1 per ogi + b i, + b i C si h + b i + + b i = + b i + + b i l somm è commuttiv; S2 per ogi +b i, +b i, +b i C si h +b i+ +b i+ +b i = + b i + + b i + + b i l somm è ssocitiv; S3 il umero complesso 0 = 0+0i C è l uico elemeto eutro per l somm, cioè è l uic coppi tle che bi = + bi, per ogi + bi C; S4 per ogi + bi C, bi è l uico elemeto opposto di + bi, cioè è l uico umero complesso tle che + bi + bi = 0; P1 per ogi + b i, + b i C si h + b i + b i = + b i + b i il prodotto è commuttivo; P2 per ogi +b i, +b i, +b i C si h +b i +b i +b i = + b i + b i + b i il prodotto è ssocitivo; P3 il umero complesso 1 = 1 + 0i C è l uico elemeto eutro per il prodotto, cioè è l uic coppi tle che 1+bi = +bi, per ogi +bi C; b 2 +b 2 P4 per ogi + bi C co + bi 0, + bi 1 = i è 2 +b 2 l uico elemeto iverso di + bi, cioè è l uic umero complesso tle che + bi b i 2 +b 2 2 = 1; +b 2

3 LEZIONE 14 3 PS per ogi + b i, + b i, + b i C si h + b i + b i + + b i = + b i + b i + + b i + b i il prodotto è distributivo. Co l usule idetificzioe di R 2 co il pio ffie A 2 co fissto sistem di riferimeto, l somm di umeri complessi può essere ppresett geometricmete trmite l regol del prllelogrmm descritt dll figur seguete. Imz b' +b'' b'' z''=''+b''i z'+z'' b' z'='+b'i '' ' ' +'' Rez Figur 14.1 Meo chiro è il sigificto geometrico di prodotto che spiegheremo i seguito, dopo ver descritto l rppresetzioe trigoometric dei umeri complessi. Defiizioe Si z = + bi C. Defiimo: i coiugto di z il umero complesso z = bi; ii modulo di z il umero rele z = 2 + b 2. L dimostrzioe dell seguete proposizioe è immedit ed è solo questioe di coti. Proposizioe Vlgoo le segueti proprietà: C1 z = z se e solo se z R; C2 per ogi z C si h z = z; M1 per ogi z R C il modulo di z R coicide co il modulo di z C; M2 per ogi z, z C si h z + z z + z ; M3 per ogi z, z C si h z z = z z ; CM per ogi z C si h z 2 = zz. Ache l ozioe di coiugto e di modulo ho u evidete iterpretzioe geometric. Iftti il coiugto di u umero complesso z = + bi corrispode l puto del pio simmetrico z rispetto ll sse rele

4 RAPPRESENTAZIONI TRIGONOMETRICA ED ESPONENZIALE Imz b z=+bi Rez -b z=-bi Figur 14.2 Ivece il modulo di z = + bi o è ltro che l lughezz del segmeto vete u vertice ell origie e l ltro i z Rppresetzioi trigoometric ed espoezile. Come osservto sopr ogi umero complesso può essere pesto geometricmete come u puto del pio S 2. I prticolre dto z = + bi C o esso è zero, oppure è secodo estremo di u vettore pplicto ell origie 0, quidi è completmete idividuto dll golo che form co il semisse positivo dei umeri reli e dl suo modulo. Più precismete + bi = 2 + b b + 2 b. 2 + b 2 i Poiché 2 2 b + = b b 2 segue l esistez di u uico ϕ [0, 2π[, detto rgometo priciple di z ed idicto co rgz, tle che cos ϕ = 2 + b, si ϕ = b b, 2 sicché, posto ϱ = 2 + b 2 = z, otteimo l cosiddett rppresetzioe trigoometric di z: z = ϱcos ϕ + i si ϕ. I geerle ogi ϕ R per cui vle l Relzioe viee detto rgometo di z.

5 LEZIONE 14 5 Esempio Ogi umero rele 0 h modulo complesso coicidete co quello rele. Ioltre rg = 0 se è positivo, rg = π se è egtivo. Per esempio 1 = 1cos 0 + i si 0. Similmete ogi umero immgirio bi 0 h modulo complesso coicidete co quello rele del coefficiete dell immgirio. Ioltre rgbi = π/2 se b è positivo, rgbi = 3π/2 se b è egtivo. Per esempio i = 1 cos π 2 + i si π. 2 Il umero z = 4 3i h modulo z = = 5. Il suo rgometo lo si oitiee osservdo che cos z = 4 5, si z = 3 5. I prticolre u rgometo di z è rccos 4 5. Ivece il suo rgometo priciple è 2π rccos 4 5. Simo or i grdo di dre u iterpretzioe geometrc del prodotto di due umeri complessi z = + b i = ϱ cos ϕ + i si ϕ, z = + b i = ϱ cos ϕ + i si ϕ. Utilizzdo le usuli regole si ottiee z z = ϱ ϱ cos ϕ + i si ϕ cos ϕ + i si ϕ = = ϱ ϱ cos ϕ cos ϕ si ϕ si ϕ + icos ϕ si ϕ + cos ϕ si ϕ = = ϱ ϱ cosϕ + ϕ + i siϕ + ϕ. Poiché z z = ϱ ϱ segue che ϕ + ϕ è u rgometo, o ecessrimete priciple, di z z : quidi bbimo provto che il prodotto di due umeri complessi è u umero complesso vete come modulo il prodotto dei loro moduli e come rgometo l somm dei loro rgometi. I prticolre i umeri complessi di modulo 1 soo legti ll ozioe di rotzioe. Iftti se z 0 g e u umero complesso di modulo 1 ed rgometo ϕ, ell idetificzioe stdrd di C co R 2 l ppliczioe δ ϕ : C C z zz 0 corrispode, per quto visto sopr, ll rotzioe dell golo ϕ i seso tiorrio. Se, ivece, fccimo cdere l codizioe che z 0 llor l ppliczioe δ ϕ sopr idict corrispode ll rotzioe dell golo ϕ i seso tiorrio seguit d u risclmeto diltzioe o cotrzioe di u fttore z 0.

6 RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO Quest osservzioe e l defiizioe di somm motivo l uso dell espoezile. Coveziolmete si scrive e iϕ = cos ϕ + i si ϕ sicché se z C è u umero complesso di modulo ϱ ed rgometo ϕ defiimo l rppresetzioe espoezile di z come l scrittur z = ϱe iϕ. Per l crtterizzzioe del prodotto di umeri complessi se z = ϱ e iϕ e z = ϱ e iϕ si h llor ϱ ϱ e iϕ +ϕ = z z = ϱ e iϕ ϱ e iϕ che è formlmete l be ot regol del prodotto di poteze veti l stess bse. Ioltre se ϕ = ϕ = ϕ i due umeri complessi, pesti come vettori del pio R 2 soo prlleli, quidi l loro somm è semplicemete u vettore vete per modulo l somm ϱ + ϱ, cioè ϱ + ϱ e iϕ = z + z = ϱ e iϕ + ϱ e iϕ Si oti che l form espoezile dei umeri complessi permette di scrivere l seguete importtissim Formul di Eulero e iπ + 1 = 0 che coivolge i pricipli umeri otevoli cioè 0, 1, π, e, i. I prticolre se l form trigoometric di z è quell idict ell Formul , per ogi itero 0 si h z = zz 1 = ϱ cosϕ + i siϕ. Se, ivece, è u itero egtivo, dicimo = co > 0, llor si defiisce, come d uso, z = z 1. Poiché si ved l Proposizioe P4 z = z 1 1 = 2 + b bi 2 = 1 cos ϕ i si ϕ ϱ = 1 cos ϕ i si ϕ = ϱ cos ϕ + i si ϕ = ϱ = ϱ cosϕ + i siϕ, ovvero l Formul vle per ogi itero Rdici di u umero complesso. Voglimo sfruttre l Formul per risolvere il seguete problem. Si w C e si 1 u itero. Voglimo determire tutti i umeri complessi z C tli che z = w: si dice, i tl cso, che voglimo determire le rdici esime di w. =

7 LEZIONE 14 7 Esempio Si w = 1 C e si = 3: quli soo le rdici cubiche di w? Chirmete 1 3 = 1 e tle rdice è che l uic rdice cubic di 1 pesto come umero rele: esistoo ltre rdici complesse di 1 C? Predimo d esempio z = i 3. Allor z 3 = i 3 3i i 3 3 = i i = 1. Verificre che che z = i 3 è rdice cubic di 1. Il cso w = 0 è ble: i tl cso esiste u uic rdice esim per ogi che è z = 0. Suppoimo llor che w = rcos ϑ + i si ϑ 0. Allor l Formul ci permette di ffermre che le rdici esime di w soo dell form z = ϱcos ϕ + i si ϕ ove ϱ e ϕ soddifo l equzioe ϱ cos ϕ + i si ϕ = rcos ϑ + i si ϑ. M due umeri complessi o ulli coicidoo se e solo se ho lo stesso modulo e i loro rgometi coicidoo meo di multipli iteri di 2π: quidi l Equzioe si trsform el sistem di equzioi reli { ϱ = r ϕ = ϑ + 2kπ k Z. Segue, pertto, che il modulo di z è esttmete l rdice esim ritmetic del umero rele positivo r = w. Ivece ϕ si ottiee ssegdo k vlori iteri: per esempio se k = 0 si h ϕ = ϑ. Ivece se, per esempio, k = k ± segue che ϕ = ϑ + 2k ± π = ϑ + 2kπ + 2π = ϑ + 2kπ + 2π. Tle umero rele differisce d quello otteuto prim per ±2π: i prticolre ϑ ϑ + 2k ± π ϑ ϑ + 2k ± π cos = cos, si = si. Quidi, pur essedo soluzioi diverse del Sistem , defiiscoo l stess soluzioe dell Equzioe di prtez. D ltr prte se k e k soo iteri distiti tli che k k < llor i corrispodeti rgometi differiscoo per u qutità o ull miore di 2π, quidi i corrispodeti umeri complessi soo distiti. È fcile llor covicersi che Proposizioe Si w C o ullo e si u itero positivo. Allor l equzioe z = w h esttmete soluzioi due due distite veti modulo w ed rgometi rg w + 2kπ, k = 0, 1,..., 1.

8 RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO Esempio Ritorimo l umero complesso w = 1 C. Allor le rdici cubiche di w ho modulo ϱ = 1 e rgometo ϕ che si ottiee d ϕ = 0 + 2kπ, k = 0, 1, 2, 3 ovvero ϕ 0 = 0, ϕ 1 = 2π/3, ϕ 2 = 4π/3. Le rdici cubiche di 1 C perciò soo z 0 = 1, z 1 = cos 2π 3 + i si 2π = i 3, z 2 = cos 4π 3 + i si 4π = i 3. Si oti che le tre rdici soo, per costruzioe, i vertici di u trigolo equiltero iscritto ell circoferez cetrt ell origie di rggio 1 ed vete uo dei vertici i z 0. Imz z 1 z 0 Rez z 2 Figur 14.3 Cosiderimo or il umero complesso w = 1 + 3i C. Si h w = 2 e rgw = 2π/3. Allor le rdici qurte di w ho modulo ϱ = 4 2 e rgometo ϕ che si ottiee d ϕ = 2π/3 + 2kπ 4 = 2π + 6kπ 12 = π + 3kπ, k = 0, 1, 2, 3, 6 ovvero ϕ 0 = π/6, ϕ 1 = 2π/3, ϕ 2 = 7π/6, ϕ 2 = 5π/3. Le rdici qurte di

9 LEZIONE i C perciò soo z 0 = 4 2 z 1 = 4 2 z 2 = 4 2 z 3 = i = i, 8 2 i = i, i i = = i, 1 3i. Si oti che le quttro rdici soo, per costruzioe, i vertici di u qudrto iscritto ell circoferez cetrt ell origie di rggio 4 2 ed vete uo dei vertici i z 0. Imz z 1 z 0 Rez z 2 z 3 Figur 14.4 I geerle le rdici esime di u umero complesso w si possoo rppresetre grficmete come vertici di u goo regolre iscritto ell circoferez cetrt ell origie di rggio w vete uo dei vertici coicidete co u rdice esim qulsisi di w Rppresetzioe mtricile: i quterioi di Hmilto. Oltre lle rppresetzioi crtesi, trigoometric ed espoezile di u umero complesso z si può itrodurre u ltro tipo di rppresetzioe che permette di iterpretre le operzioi fr umeri complessi i termii di loghe operzioi fr mtrici 2 2.

10 RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE: I QUATERNIONI DI HAMILTON Si z = + bi C co, b R. Allor defiimo rppresetzioe mtricile di z l mtrice b Mtz =. b Sio dti due umeri complessi z = + b i, z = + b i. Allor risult z + z = + + b + b i, duque Mtz + z = + b + b b + b + = b = b b + b = Mtz + Mtz. Si h poi z z = b b + b + b i, duque Mtz z = b b b + b b + b b b = b = b b b = Mtz Mtz. Si oti, ifie, che i quest rppresetzioe, il coiugto di u umero complesso corrispode ll mtrice trspost e l iverso, ovvimete, ll mtrice ivers. Ci si può porre il problem se si possibile itrodurre più i geerle delle operzioi di somm e prodotto su R, 3 i modo tle che u proposizioe simile ll Proposizioe cotiui vlere. Si può dimostrre che ciò è possibile, oltre che per = 1, 2, solo per = 4 e, i questo cso, l moltipliczioe o è commuttiv e per = 8 e, i questo cso, l moltipliczioe o è più é commuttiv é ssocitiv: el primo cso si prl dell isiee H dei quterioi di Hmilto, el secodo dell isieme O degli ottoioi di Cyley. I tutti i csi l somm è quell turle di R : si trtt perciò solo di defiire l moltipliczioe i mier opportu. Nel cso dei umeri complessi bbimo visto che l moltipliczioe è defiit el mometo i cui si dà i 2 = i i il vlore 1. Nel cso, per esempio, dei quterioi vle u discorso logo: se scrivimo u umero complesso come + bi + cj + dk l moltipliczioe può essere ftt semplicemete utilizzdo l distributività rispetto ll somm dopo ver posto i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1. Per esempio ij = ijk 2 = ijkk = k. Ache per i quterioi ossimo dre u form mtricile: precismete se z = + bi + cj + dk H si poe b d c Mtz = b c d. d c b c d b

11 LEZIONE Tle rppresetzioe mtricile mette i evidez l iclusioe C H come sottocmpo umerico. I quterioi ho u importte ppliczioe ll grfic computerizzt perché permettoo di rppresetre i mier efficiete le rotzioi ello spzio così come i umeri complessi rppreseto i mier efficiete le rotzioi el pio Algebr liere su C. Cocludimo quest Lezioe osservdo che le ozioi itrodotte, i risultti euciti ed i procedimeti descritti per mtrici, sistemi, equzioi coefficieti i R si possoo ripetere per mtrici, sistemi, equzioi coefficieti el cmpo complesso C. Per questo motivo, d desso i poi, elle defiizioi e egli euciti delle proposizioi spesso sostituiremo il simbolo k l simbolo R: esso idicherà o il cmpo rele R o il cmpo complesso C. Dimo solo u esempio. Esempio Si cosideri l mtrice A = 1 i C 2,2. i 1 Voglimo clcolre, se esiste, l ivers di A. 1 i i i i R 2 R 2 ir 1 1 i i/2 1/2 R 1 R 1 ir 2 R 2 R 2 /2 1/2 i/2 i/2 1/2. Quidi A 1 esiste e si h A 1 = 1/2 i/2. i/2 1/2