APPROFONDIMENTI SUI NUMERI

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1 APPROFONDIMENTI SUI NUMERI. Il sistem di umerzioe deimle Be presto, ll operzioe turle del otre, si è ggiut l esigez di «rppresetre» i umeri. I sistemi di umerzioe possiili soo molti; per or i limitimo riordre i oetti fodmetli del sistem di umerzioe deimle, i uso el modo oidetle ormi d ir 800 i (ell Appedie, ivee, eeremo l sistem irio). I u sistem di umerzioe, due soo gli elemeti essezili: l se e l ovezioe di posizioe. L se idi il umero di simoli he si utilizzo per l rppresetzioe dei umeri. Nel sistem deimle, o se diei, i simoli soo i segueti: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Cioè le ifre sigifitive,,, 9 più lo zero. Le ifre 0,,,, 9 si dioo uità itere semplii o del primo ordie, metre si oviee he diei uità semplii formo u dei o uità del seodo ordie, diei deie u etiio o uità del terzo ordie, e osì vi. Ogi umero, poi, viee rppresetto o u lliemeto di ifre seodo l «ovezioe di posizioe»: Quluque ifr post siistr di u ltr rppreset uità dell ordie immeditmete superiore quello rppresetto dll ifr ll propri destr. I umeri turli osì rppresetti si dioo he iteri turli o sempliemete iteri se o è possiilità di equivoi. Esempio L srittur 375

2 rppreset il umero 3 miglii, 7 etii, deie, 5 uità Cioè tremilsetteetovetiique E file osservre quto si somodo srivere i umeri i lettere: ell esempio preedete oorroo e 8 ttute, otro le quttro del sistem deimle! Il sistem deimle, quidi, è he u modo per «odesre le idee»! Eserizio Perhé è eessri l ifr 0 el sistem di umerzioe deimle?. I umeri deimli Dividedo u dt qutità iter ( u segmeto, u tort,..) i diei, eto, mille prti uguli, isu di esse è rispettivmete u deimo, u etesimo, u millesimo, dell qutità dt. U deimo, u etesimo, u millesimo si dioo uità deimli rispettivmete del primo, seodo, terzo ordie e si idio, el sistem deimle, o le sritture: 0,; 0,0; 0,00 Fr le vrie uità deimli esiste u relzioe dello stesso tipo di quell he iterede fr le uità itere dei diversi ordii: ioè diei deimi formo u uità iter, diei etesimi formo u deimo, e osì vi. Come per le uità itere, duque, he per quelle deimli vle he: Diei uità deimli di u ordie quluque formo u uità deimle dell ordie he preede quello osiderto. U umero omposto d uità itere e d uità deimli, o soltto d queste ultime, si die umero deimle. Co l ovezioe preedete, il umero formto d tre deie, ique uità, sette deimi, quttro etesimi, ique millesimi si srive: 35,745.

3 . Frzioi geertrii (Cif. livello p. 40) Aimo detto he u umero periodio è u umero rziole ssoluto, ossi u frzioe (o 0) o equivlete d u frzioe deimle. L domd he questo puto i poimo è: dto u umero periodio i form deimle, ome si può determire l frzioe d ui esso deriv (frzioe geertrie)? Per rislire d u umero periodio ll frzioe geertrie d ui proviee, sez dilugri sull rgometo e sez ripetere l regol già ot, idihimo, ttrverso degli esempi, u proedimeto he port ll soluzioe. Si dto il umero periodio 0,555 () moltiplihimo mo i memri per 00 (perhé due soo le ifre del periodo) 00 5,555 () Or sottrimo dll () l () memro memro: 00 5,555-0, ,00000 Riorddo il oetto di divisioe, l ultim ugugliz die he 5 5 : Eserizio Clolre l frzioe geertrie dei umeri 8, 85, 0, 9,, 9. Questo proedimeto può essere he pplito se il umero periodio possiede u tiperiodo, ioè u gruppo di ifre, prim del periodo. Iftti si 3

4 0,34 moltiplihimo per 000 ( perhé proprio per 000?) 000 3, Sottrimo, memro memro, dll ultim ugugliz l peultim: d ui 999 3,000 3, ( ell ultim ugugliz si è moltiplito umertore e deomitore per 0) Eserizio 3 Spresti euire l regol he forise l frzioe geertrie di u umero periodio semplie? Eserizio 4 Clol l frzioe geertrie di,53. Eserizio 5 Eui l regol he forise l frzioe geertrie di u umero periodio misto. 3. I umeri irrzioli (Cif. livello p. 5-53) Aimo, duque, osttto he ehe o gli strumeti iformtii di lolo riusimo determire tutte le ifre deimli di. Possimo 4

5 dimostrre o u rgiometo detto «per ssurdo» he o otiee u umero fiito o ifiito periodio di ifre deimli, ioè o è u umero rziole. Iftti suppoimo per ssurdo he si u umero rziole, ioè esiste u frzioe ridott i miimi termii, tle he llor elevdo l qudrto etrmi i memri di quest ugugliz si h d ui moltiplido per otteimo Riordimo or he i fttori primi he ompioo i ompioo rddoppiti i e he ogi umero turle diverso d, mmette u ed u sol fttorizzzioe i umeri primi, pur di o teer oto dell ordie dei fttori. Ne osegue he l ugugliz o può essere ver, perhé il fttore ompre u umero dispri di volte el termie siistr dell ugugliz, e u umero pri di volte el termie destr. Allor o possimo supporre he si u umero rziole, ioè o h u form deimle fiit o periodi, m h u form deimle ifiit o periodi. Co i proedimeti di lolo osueti possimo lolre pprossimzioi meo di (u ifr deimle), (due ifre 0 00 deimli) e osì vi. Azi possimo stilire se soo per eesso, ioè più grdi, o per difetto, ioè più pioli. Iftti, se u umero x è tle he x <, riorddo l defiizioe di possimo riteere uo rgioe he x < ; logmete, se x riteimo he x. 5

6 D questo puto di vist imo:,4 3,4 4,44 soo pprossimzioi di per difetto, essedo: < (,4),96< (,4),988< (,44),999396< Se voglimo otteere pprossimzioi per eesso di st ggiugere u uità ll ultim ifr delle preedeti pprossimzioi:,5 3,4 4,45 soo pprossimzioi di per difetto, essedo: 4< (,5),5< (,4),064< (,45),005< quidi risult: < < -,4 < <,5-0, 3,4 < <, ,0 4,44 < <, ,00 6

7 Nturlmete possimo otiure le due suessioi pprossimti loldo: 5, 6, 7,.. 5, 6, 7, Ripitoldo, possimo dire he:. o è u umero rziole, ioè o è esprimiile ome frzioe; l su form deimle è illimitt e o periodi;. possimo lolre pprossimzioi di si per difetto he per eesso, i prtiolre possimo ostruire due suessioi he (l idie ssume i vlori,,3, ioè e quidi o idi u termie qulsisi dell suessioe) tli he: i) < < quluque si ; ii) 0, , ossi dimiuise l resere di e si può idihimo o { } e { } redere piol quto si vuole. Co u liguggio più espressivo, l proprietà i) può essere trdott diedo he le due suessioi { } e { } rhiudoo il umero ; ioltre otimo espliitmete he o esiste lu umero rziole tle he < < quluque si, ioè o esiste lu umero rziole rhiuso dlle suessioi rziole!). { } e { } (se esistesse sree he o è Esempio Clolre l lughezz di u iroferez di rggio. Figur 7

8 Soluzioe Riorddo he l formul he esprime l lughezz dell iroferez i fuzioe del rggio è C π r, m π, ome vri imprto ell suol medi, è u umero deimle illimitto o periodio: π 3,4596 Nell prti usimo pprossimzioi per eesso o per difetto. A tl proposito ( 3 3, 3 3,4 4 3,4 5 3,45 4 3, 3 3,5 4 3,4 5 3,46 soo due suessioi pprossimti π per difetto ({ }) e per eesso { }) e risult < π < quluque si 0, , ossi dimiuise l resere di. Ioltre o esiste lu umero rziole q tle he < q < quluque si, ioè he si rhiuso dlle suessioi { e. } { } E importte, quidi, studire questi umeri e omiimo o l Defiizioe I umeri he ho rppresetzioe deimle illimitt e o periodi si himo umeri irrzioli. 8

9 Le qulifihe di rziole e irrziole o soo stte selte so: il termie rziole, iftti, deriv dl ltio rtio he sigifi, tr l ltro, rpporto o frzioe ; irrziole, ivee, st per o rziole, ioè o esprimiile sotto form di frzioe. Ed è proprio osì. Iftti, sppimo he i umeri rzioli si possoo esprimere sotto form di frzioe, ossi ome quoziete geerlizzto di due iteri; u umero irrziole, l otrrio, ertmete o si può esprimere sotto form di frzioe. È suffiiete riordre, tle proposito, he l lgoritmo dell divisioe tr due iteri termi dopo u umero fiito di pssi (umero di ifre deimli fiito), oppure forise, d u erto puto i poi, sempre lo stesso resto (quidi le ifre del quoziete si ripetoo). Nel so degli esempi osiderti, imo ostruito due suessioi di ) he pprossimvmo per difetto e per eesso umeri rzioli ({ } rispettivmete e { } e π e tli suessioi godevo delle segueti proprietà: () < < 3 < < < + < ; () 3 + < ; (3) < quluque si ; (4) dimiuise l resere di e si può redere piol quto si vuole; (5) < (π) < quluque si I geerle possimo ffermre he u umero irrziole è rtterizzto d: rppresetzioe deimle illimitt o periodi; due suessioi di umeri rzioli, dette pprossimti per difetto { } e per eesso { } he soddisfo le () (5).. Osservimo, però, he he per i umeri rzioli si possoo ostruire suessioi pprossimti per eesso e per difetto he soddisfo le () (5). Iftti: 9

10 Esempio 3 Il umero rziole è pprossimto dlle due suessioi 0,9 0,99 3 0, ,9999,,0 3,00 4,000 he soddisfo le () (4) ed ioltre (proprietà (5)): ioè è rhiuso d { } e { } < < quluque si ; Il umero 9 è pprossimto d 0, 0, 3 0, 4 0, 0, 0, 3 0, 4 0, he soddisfo le () (4) ed ioltre (proprietà (5)): ioè è rhiuso d { } e { } 9 < 9 < quluque si. Sottolieimo, or u volt, he el so delle suessioi { } e { } pprossimti e π, osì ome per ogi umero irrziole, o esiste lu umero rziole x tle he < x < quluque si 0

11 4. L moltiplizioe ell isieme dei umeri reltivi (Cif. livello p. 66) Le motivzioi delle regole he defiisoo l moltiplizioe ei umeri reltivi soo d rierrsi elle segueti odizioi: I) el so di due umeri positivi, l moltiplizioe deve essere quell già defiit i II) he ell isieme dei umeri reltivi, l operzioe di moltiplizioe deve oservre le stesse proprietà he vev ei umeri ssoluti e ioè ssoitiv, ommuttiv, distriutiv rispetto ll somm, esistez dell elemeto eutro ed ifie l vlidità dell proprietà quluque si Dll prim odizioe rivimo suito l seguete regol: Il prodotto (l moltiplizioe) di due umeri positivi è u umero positivo he h ome vlore ssoluto il prodotto dei vlori ssoluti. Esempio ,5 + 0,8 + 0,4 ( 3 ) + ; ( ) ( ). Stilito il prodotto di due umeri positivi, vedimo os deve essere il prodotto per u umero egtivo, d esempio 3 (-6). Riordimo he risult, d esempio 6 + (-6) 0. Se moltiplihimo mo i memri dell ugugliz preedete per 3, imo

12 3 (6+(-6)) 3 0. Applido l primo memro l proprietà distriutiv del prodotto rispetto ll somm, (he deve vlere i se ll II) ed l seodo memro l proposizioe seodo ui 0 0, otteimo (-6) 0. M perhé ugugliz otiui d essere vlid, si rihiede, i se ll proprietà dell ddizioe di ui imo prlto, he 3 (-6) si l opposto di 3 6, e ioè 3 (-6) -(3 6) -8. Possimo, periò, fissre l seguete regol: Il prodotto di u umero positivo per u umero egtivo è u umero egtivo he h ome vlore ssoluto il prodotto dei vlori ssoluti. Esempio 5 (-3) -6, - -,. 5 0 Rest d defiire il prodotto di due umeri egtivi, d esempio (-) (-5). Proedimo ome prim: (-5) Moltiplido mo i memri per - si h (-) ((-5) + 5) (-) 0 (-) (-5) + (-) (+5) 0 d ui (-) (-5) deve essere l opposto di (-) (+5), ioè l opposto di -0. Quidi

13 (-) (-5) +0. Possimo llor stilire l seguete ulteriore regol: Il prodotto di due umeri egtivi è u umero positivo he h ome modulo il prodotto dei vlori ssoluti. Esempio 6 +, ( 0,8) ( ) + 0,8, ( 3) +. Per quto rigurd l elemeto eutro ell moltiplizioe osservimo, he il umero reltivo + soddisf piemete i ostri sopi, i quto ogi ltro umero,, moltiplito per + rest ilterto: (+) quluque si. E possiile dimostrre he o esistoo ltri umeri reltivi diversi d +, he possoo fugere d elemeto eutro per l moltiplizioe. 5. L elevmeto potez ell isieme dei umeri reltivi Così ome imo ftto per l operzioe di ddizioe e di moltiplizioe, he l elevmeto potez ell isieme dei umeri reltivi si defiise i modo he sio rispettte lue odizioi: I) el so di espoete positivo l operzioe deve essere quell già defiit per l isieme ; II) he ell isieme dei umeri reltivi l elevmeto potez deve soddisfre tutte le proprietà euite pg. 4 del volume ( livello), zi ell seod si può sopprimere l ipotesi m. 3

14 Allor, teedo oto dell odizioe I) imo suito... volte 0, o h sigifito o umero rziole reltivo ritrrio ed itero mggiore o ugule zero. Esempio 7 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 8; ; ( 4) + ( 4) ( 4) + 6. Nel so di espoete positivo, di solito si preferise olire il sego «+». Voledo or defiire l potez o espoete egtivo, hirmete o possimo ttriuire il sigifito preedete. Iftti, o vree seso dire he () 5 4 è l qutità he si ottiee moltiplido 5 per se stesso -4 volte, osì ome o h seso dire he il portiere dell Nziole di lio h suito -4 gol. Provimo llor dre u sigifito, per esempio, ll srittur 0 i modo he l odizioe II) si soddisftt. Moltiplihimo l qutità (per il mometo iogit) 0 per 0 3 ed pplihimo l proprietà sul prodotto di potez o l stess se: ; 3 m dl mometo he 0 l divisioe) è ugule mille, llor deve essere (riorddo 4

15 0 0, Ripetedo questo rtifiio o ltri umeri simo portti porre l seguete defiizioe: Dto u umero rziole diverso d zero, e u itero mggiore di zero, si defiise potez di se ed espoete egtivo, l potez vete per se il reiproo di e per espoete l opposto di, ioè Evidetemete risult: def.. m m Esempio ( + 5) ; () 3 7; 8 8 ( ) 356 ; Si dovree or verifire he l elevmeto potez testè defiito soddisf tutte le proprietà euite, m per rgioi di revità lsimo questo ompito llo studete voleteroso. Osservimo, ifie, he osì ome le poteze se 0 o espoete positivo soo prtiolrmete utili per srivere umeri «molto grdi», le poteze se 0, m o espoete egtivo, soo utili per srivere umeri «molto pioli»

16 Esempio 9 0, 0,0 0,00 0,000 0,0000 0,00000 : 0, : Osservzioe Notimo he, operdo o umeri reltivi, l simologi i u espressioe lgeri può risultre peste; è llor il so di erre u semplifizioe sez per ltro geerre equivoi. Cosiderimo, d esempio, l espressioe ) ( 5 ) + ( 3) ( + 6) ( 5) : ( + ) +. Osservimo suito he l prim pretesi può essere elimit sez possiilità di equivoo, per ui l () divet ) 5 + ( 3) ( + 6) ( 5) : ( + ) +. Ioltre, ome già osservto, i umeri positivi si possoo «idetifire» o i umeri ssoluti e quidi possimo srivere 3) 5 + ( 3) 6 ( 5) : +. Eseguedo l moltiplizioe e l divisioe imo 5 4) ( 8). Teedo oto, poi, he u sottrzioe può essere trsformt i u ddizioe e vievers, possimo or srivere 6

17 5) I defiitiv : ( + ) + ( 3) ( + 6) ( 5) : ( + ) Questo esempio i suggerise l seguete regol prti: I u somm lgeri u pretesi preedut dl sego «+», può essere elimit isieme l sego «+» he l preede; se ivee ess è preedut dl, può essere elimit isieme questo, purhé l umero sritto i pretesi si sostituis il suo opposto. Ridimo d ultimo, he l ordie di priorità delle operzioi e dell uso delle pretesi elle espressioi lgerihe è logo quello delle espressioi ritmetihe. Le espressioi lgerihe umerihe possoo essere semplifite he o il softwre Mtos, iftti esistoo i omdi <idetifitore leggiespr.;( e <idetifitore lolespr. (<idetifitore); rispettivmete per itrodurre e semplifire u espressioe lgeri. Per mggiori dettgli si rivi ll Guid dello Studete. 6. L isieme dei umeri reli I umeri irrzioli he fior imo osiderto soo i reltà umeri ssoluti; m, osì ome i rzioli ssoluti, possoo essere filmete dotti di sego + o -, distiguedosi i positivi e egtivi. Otteimo, osì, l isieme I dei umeri irrzioli (o sego). 7

18 Riuedo i u uio isieme i umeri rzioli ed irrzioli otteimo l isieme dei umeri reli, he idiheremo o. I ltre prole, l isieme dei umeri irrzioli e rzioli, ostituise l isieme dei umeri reli e si idi o : I Riorddo le operzioi defiite i ed i I, possimo dire he ell isieme dei umeri reli soo defiite le operzioi fodmetli di ddizioe e moltiplizioe ( quidi differez e quoziete) per le quli vlgoo le segueti proprietà formli: Addizioe Moltiplizioe PROPRIETA ASSOCIATIVA [(+)+][+(+)] [( ) ][ ( )] quluque sio,, R PROPRIETA COMMUTATIVA ++ quluque sio, PROPRIETA DISTRIBUTIVA ( ) + quluque sio,, ESISTENZA DELL ELEMENTO NEUTRO quluque si esiste 0 tle he esiste tle he +00+ ESISTENZA DELL INVERSO OPPOSTO RECIPROCO quluque si esiste u quluque si 0esiste u uio uio elemeto tle he elemeto tle he +(-)0 L ddizioe, poi, uit ll operzioe di opposto defiise l sottrzioe, osì ome l moltiplizioe uit ll operzioe di reiproo defiise l divisioe. Ioltre, i si possoo defiire l ugugliz e l disugugliz, per ui vlgoo le segueti proprietà formli: 8

19 Ugugliz PROPRIETA Disugugliz RIFLESSIVA o esiste { } (*) SIMMETRICA o esiste ( ) { }, TRANSITIVA ( ) ( ) < < <,, { } + + ADDIZIONE + < + < + + { } MOLTIPLICAZIONE ( ) ( ) < < < < < 0 0 Dlle defiizioi e proprietà di ugugliz e disugugliz disede he, dti due umeri reli x e y, può verifirsi u sol delle odizioi: x < y, x y, x y. Ifie, si possoo defiire le operzioi di elevmeto potez e, limittmete i umeri positivi, estrzioe di rdie: 0 0,... volte 0 0 o h sigifito 0 0, 0, 0 k k se k è pri. (*) Il simolo sigifi (e si legge) impli. Per le poteze vlogoo le proprietà: m m + Prodotto di poteze di ugul se ( ) 0 : m m Quoziete di poteze di ugul se 9

20 m m ( ) Potez di u potez ( ) ( : ) : ( 0) Distriutività dell potez rispetto l prodotto Distriutività dell potez rispetto l quoziete Ci si potree hiedere qule si l opportuità di riuire i u uio isieme i umeri rzioli e irrzioli. L rispost può essere di vrio tipo e, speilmete, o motivzioi he, llo stto, o potreero risultre del tutto giustifite. Ci limitimo periò sempliemete dire he ell isieme dei umeri reli tutte le operzioi di ui sopr soo possiili, el seso he il risultto è or u umero rele. Ciò, turlmete, o vle egli ltri isiemi umerii: st riordre l sottrzioe i, l divisioe i, l estrzioe di rdie i. Ioltre i vle l proprietà di ompletezz, he dimo d illustrre. Nei umeri rzioli imo visto he possoo esistere due suessioi, { } e { }, he verifio le proprietà () (4) m he o rhiudoo (proprietà (5)) lu umero rziole. Bst iftti osiderre le suessioi di rzioli pprossimti e π le quli, ome imo osservto, verifio le () (4) m o rhiudoo, ioè o esiste lu umero rziole tle he < <, quluque si. Nell isieme dei umeri reli iò o vviee, ossi due suessioi di umeri reli { } e { }, he soddisfo le proprietà () (4), rhiudoo (proprietà (5)) sempre u umero rele, ovvero, esiste sempre uo ed u solo umero rele tle he < <, quluque si. L seguete figur shemtizz le relzioi fr gli isiemi umerii fior itrodotti: Irrzioli Reli Rzioli No iteri Iteri Iteri Positivi Zero Nturli Figur Iteri egtivi 0