punto di accumulazione per X. Valgono le seguenti

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1 4 I LIMITI Si f : X R R u fuzioe rele di vribile rele. Si puto di ccumulzioe per X. Vlgoo le segueti DEFINIZIONI ( ε ( ε ε ( ε ε. ( ε { } lim f( = l R : > I I ' X I : f( l <. ( { } lim f( = : > I I ' X I : f( > 3. ( { } lim f( = : > I I ' X I : f( < 4. ( lim f( = l R : ( ε > I I ' X I : f( l < ε 5. ( lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( > ε 6. ( lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( < ε 7. ( lim f( = l R : ( ε > I I ' X I : f( l < ε 8. ( lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( > ε 9. ( lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( < ε OSSERVAZIONE Sotto le ipotesi precedeti, ricorddo il cocetto di itoro di u umero rele e quello di e, le precedeti defiizioi possoo opportumete sitetizzrsi i u sol ( l { } ( lim f( = l : J I I I ' I X : f( J co, l R.

2 DEFINIZIONI Si X R ( ( ( puto di ccumulzioe destr per X : I itoro destro di : X I { } ( puto di ccumulzioe siistr per X : I itoro destro di : X I { } LIMITE SINISTRO E DESTRO Sio f : X R R, R puto di ccumulzioe siistr o destr per X. ( ε lim f( l = : > I I ' X I : f( l < lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( > ε lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( < ε lim f( l = : ( ε > I I ' X I : f( l < ε lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( > ε lim f( = : ( ε > I I ' X I : f( < ε. ε { }. { } 3. { } 4. { } 5. { } 6. { } ESEMPI Verific che. ( lim =

3 Determio il domiio X dell fuzioe: X > I( ' : < ε. che preso ε I X I { } ( D ( < ε, dopo lcui clcoli, si ottiee ε Scelto ε > tle che >, ricvimo è l itoro di cercto. = R. Verificre il limite ssegto sigific provre ε >. ε < ε ε < > ε ε d cui I =, ε ε < < lim = 5 5 Determio il domiio X dell fuzioe: X R { } =. Verificre il limite ssegto sigific 3 provre che preso ε > I I(5 ' X I { 5 }: 5 < ε. ( ε ε > 3 D 5 <ε, dopo lcui clcoli, si ottiee. Risolvo per ε >, ( ε ε < ossi co < ε <, osservdo che se 5, llor è certmete >. ε ( ε > ε > ε Ricvo d cui e quidi, poiché per ε > si h ( ε < ε ε < ε ε ε ε ε <, l itoro di 5 cercto è I =, ε ε ε ε. lim = Determio il domiio X dell fuzioe: X R { } provre che preso ε { } =. Verificre il limite ssegto sigific > I I( ' X I : < ε. Poiché, llor è certmete <, per cui risult < ε < ε ε < < ε e quidi l itoro siistro di cercto è ] ε,].

4 4. lim = Determio il domiio X dell fuzioe: X R { } provre che preso ε { } =. Verificre il limite ssegto sigific > I I( ' X I : < ε. Poiché, llor è certmete >, per cui risult < ε < ε ε < < ε e quidi l itoro destro di cercto è [,ε [. 5. lim3 = Determio il domiio X dell fuzioe: X R { } > I > ε. provre che preso ε I ( ' X I { }: 3 D 3 > ε si ottiee di cercto è 6. lim log ( I = = < ε 3 co ε 3 >. Segue,. ε 3 ε 3 =. Verificre il limite ssegto sigific < <, per cui l itoro ε 3 ε 3 Determio il domiio X dell fuzioe: X = ],[. Verificre il limite ssegto sigific provre che preso ε > I I ' X I : log ( > ε. D log ( > ε si ottiee > e ε d cui < e ε = δ. Quidi l itoro di cercto è I =, e ε. OSSERVAZIONI Sio f : X R R, di ccumulzioe destr e siistr per X. Risult che:. lim f( = l = lim f( ( lim f( l =. lim f( lim f( ( lim f( 3. Se di ccumulzioe solo destr per X, llor lim f( = lim f( 4. Se di ccumulzioe solo siistr per X, llor lim f( = lim f( TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE Sio f : X R R, di ccumulzioe per X. Risult che: ( lim f( = l lim f( = l ( l = l

5 Dim. Dll defiizioe di limite segue: lim f( = l ε > I I ' X I : l ε < f( < l ε. { }. { } lim f( = l ε > I I ' X I : l ε < f( < l ε l l Per ssurdo si l l, d esempio l < l. È possibile llor scegliere ε = >, d cui si ottiee dopo semplici clcoli l ε = l ε. Se cosidero I = I I I, l e l vlgoo cotemporemete, per cui X I { }: l ε < f( < l ε = l ε < f( < l ε f( < f( che è ssurdo. Ad u risultto logo si rriv se suppoimo l < l. Segue, llor, l = l. TEOREMA DI ESISTENZA DEL LIMITE PER CONFRONTO (teorem dei due crbiieri Sio dte tre fuzioi reli f, g e h defiite i X R; sio di ccumulzioe per X ed l R. lim f( = l lim g( = l lim h( = l 3 I I ' I { } X : f( h ( g ( itoro l puto ( Dim. Preso ε > sfrutto le ipotesi e : X I { } : l ε f( l ε I, I I ' < < X I { } : l ε < g ( < l ε Cosidero, or, l itoro I di dto d I = I I I. I questo modo le ipotesi,, 3 vlgoo cotemporemete e risult: X I{ }: l ε < f( h ( g ( < l ε e quidi lim h ( = l. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO Sio f : X R R, di ccumulzioe per X. Risult che: (. ( { } lim f( < I I ' X I : f( < (. ( lim f( > I I ' X I { } : f( > 3. ( I I ' X I { } : f( < ( lim f( 3

6 ( I I ' X I : f( > ( lim f( 4. { } Dim. Provimo l (l si prov i modo logo, ftelo per esercizio Suppoimo lim f( l = <, llor { } ε > I I ' X I : l ε < f( < l ε Scelto ε = l, si h che I I ' X I { }: l l < f( < l l,ossi l( l < f( < l ( l l < f( < Provimo l 3. Suppoimo, per ssurdo, che tesi lim f( = l >. I I ' X I : f( >. Allor, per l, { } Cosidero, or, l itoro di dto d I = I I. I questo modo si h che X I { }: f( > f( < il che è ssurdo. Dimostrte l 4 per esercizio. TEOREMA DEL LIMITE DEL VALORE ASSOLUTO Sio f : X R R, di ccumulzioe per X. Risult che: ( lim f( = l R ( lim f( = l R Dim. Suppoimo l R ed esplicitimo l ipotesi: ε > I I ' X I { }: f( l < ε Ricorddo che per u proprietà del vlore ssoluto si h f( l f( l, otteimo: ε { } ossi ε { } > I I ' X I : f( l f( l < ε > I I ' X I : f( l < ε, che port ll tesi. ESERCIZIO Prov dimostrre il teorem el cso di l = e el cso di l =. OSSERVAZIONI. Sio f : X R R, di ccumulzioe per X. Risult che: ( lim f( = l / ( lim f( = l se Iftti se f( =, risult: se < lim f( =, m o esiste lim f( essedo lim f( = = lim f(. 4

7 . Il teorem del limite del vlore ssoluto si può ivertire solo se l = : ( lim f( = ( lim f( = Dim. ( è ver per il teorem del vlore ssoluto. ( ε { } lim f( = > I I ' X I : f( = f( < ε M, osservto che f( = f(, segue l tesi. ESERCIZIO Sio f, p: X R R, di ccumulzioe per X. Dimostr che: lim f( = ( lim p ( { } = I I ' X I : p ( f( OPERAZIONI CON I LIMITI Come detto si è posto R: = R {, }, idicdo co il simbolo R l isieme dei umeri reli mplito. Siccome e soo dei simboli, per trttre co essi bisog osservre delle covezioi. Covezioe circ l ordie: R: < < ; ioltre si poe < (i questo modo R divet u isieme totlmete ordito. Covezioe per l somm: R, : = = ( b R, : ( c R, : ( ( d R, : ( ( = = = = = = Le scritture ( (, ( (, ( (, ( ( soo prive di sigificto e si chimo forme idetermite per l somm. Esse si idico co il simbolo. Covezioe per il prodotto e ( ( ( ( = = se > = = se < R, : = = se > = = se < 5

8 Le scritture ( e ( l somm, Esse si idico co il simbolo. soo prive di sigificto e si chimo forme idetermite per Covezioe per il quoziete: f Si poe = = g R: = = =, = = = Le scritture,,,, soo prive di sigificto e si chimo forme idetermite per il quoziete. Esse si idico co i simboli e. Scrittur priv di sigificto, m o form idetermit, è pure l, co l umero rele diverso d. Bisog cor ricordre le forme idetermite per l potez, che soo sitetizzte co i segueti simboli,,. È bee osservre che o tutte le proprietà di R possoo essere estese d R, come mette i evidez il successivo ESEMPIO I R è vero che = 3 =. I R è vero che 7= y 7 = y. I R è impossibile che = 3 = 3. Ciò premesso, meo di forme idetermite, vle il seguete TEOREMA Sio f, g: X R R, di ccumulzioe per X. Suppoimo che esisto lim f( = l R e lim g ( = m R, llor risult:. lim ( ( ( f g = l m. lim ( ( ( f g = l m 3. lim ( ( ( f g = lm f( l lim = co m g ( m lim kf ( = kl 6. lim [ ( ( ] kf hg = kl hm 6

9 7. [ ] lim f( = l co N lim = co l i prticolre, se l = o l = si h f( l lim log f( = log l co l > e >, ( lim f = l co >. [ ] α lim f( = l co l > e α R. [ f ] α ( lim ( g m = l lim = ( f Dim. Dimostrimo solo il puto, el cso i cui l ed m soo umeri reli. Poiché esistoo lim f( = l e lim g ( = m, llor fissto u ε > si h: ε I I ' X I : f( l < I I ' X I : g ( m< ε { } b { } Co I I I =, e b vlgoo isieme, pertto ε > I = I I I X I { } ( ( ( ' : f( g ( l m = f( l g ( m f( l g ( m ε ε = ε d cui lim ( ( ( f g = l m. OSSERVAZIONE Sio f, g: X R R, di ccumulzioe per X. Suppoimo che esisto lim f( l R { } = e lim ( =, llor il limite g f( g lim ( si preset ell form l. Si dimostr che: l f( = (risp. se l> (risp. l< e se g ( > itoro d lim = g ( l = (risp. se > (risp. < e se ( < itoro d l l g ESEMPIO Clcol lim 7

10 Il limite si preset ell form l co l = >. Osservto che per risult < e per è >, si h esiste. lim = = = = lim. Segue che il limite dto o LIMITI DELLE FUNZIONI ELEMENTARI. Fuzioe potez co espoete itero positivo Per ogi N si h: lim se è pri = b lim = se è dispri. Fuzioe rdice -sim Per ogi N si h: lim = 3. Fuzioe espoezile Per ogi R, >, si h: lim se > = b se < lim se > = se < 4. Fuzioe logritmic Per ogi R, >, si h: lim log se = > b se < lim log se > = se < 5. Fuzioe potez co espoete rele o itero α R o itero si h: Per ogi { } lim α = se α > b lim α = se α < c lim α = se α < 6. Fuzioi circolri Per ogi k Z si h: lim t = b c π kπ lim ( k π cot = d lim π kπ lim ( k π t = cot = 8

11 7. Fuzioe rcotgete π π lim rct = b lim rct = 8. Fuzioi rzioli Voglimo clcolre lim (..., risult: lim (... = lim... = se > = lim = se < Clcol, per esercizio, lim (.... b Voglimo clcolre... lim m b b b b b m m m..., risult: se > e > m bm se e... m < > lim = lim = b m m m m b... m bm b b b b m se = m bm se < m Clcol, per esercizio,... lim m b b b b b m m m.... 9

12 CRITERI SUI LIMITI Eucimo, sez dimostrrli, lcui criteri utili per il clcolo dei limiti Criterio di divergez: sio f, g due fuzioi reli defiite i X: lim f( = ( risp. lim g ( = risp. I ( ' X I{ } : f( g ( ( risp. g ( f( Criterio di covergez verso zero (per cofroto lim g ( = lim f( = I ( ' X I : f( g ( { } ( ( ( Nei successivi criteri o si richiede che etrmbe le fuzioi reli f e g sio dotte di limite. lim f( = ( lim [ f( g ( ] = I ( ' g ( limitt i I X lim f( = ( lim [ f( g ( ] = I ( ' g ( limitt iferiormete I X lim f( = ( lim [ f( g ( ] = I ( ' g ( limitt superiormete I X lim f( = (risp. ( lim [ f( g ( ] (risp. = I ( ' g ( h u miorte positivo I X lim f( = (risp. ( lim [ f( g ( ] (risp. = I ( ' g ( h u mggiorte egtivo I X 3

13 Eucimo, sez dimostrrlo, il seguete TEOREMA (fodmetle sul limite di u fuzioe mooto Sio f : X R R, di ccumulzioe siistr ( destr per X, R ( f { < } { < } sup f( : X, se f è crescete mooto lim f( = if f( : X, se f è decrescete ( f { > } { > } if f( : X, se f è crescete mooto lim f( = sup f( : X, se f è decrescete. Risult che: if{f(: X, > } sup{f(: X, < } LIMITI NOTEVOLI Ricordimo che per form idetermit si itede ciscuo dei segueti simboli: Vlgoo i segueti limiti otevoli: (i lim = e (ii lim = e α α α α α ( lim = e ( lim = e (3 lim = e I prticolre: ( (3. lim = e ( log (4 lim = (5 lim = log, log ( α α { } ] [ { } 3

14 e, i prticolre ( log e (6 lim = (7 lim = Ioltre: ( α (8 lim = α α si rcsi t rct (9 lim = ( lim = ( lim = ( lim = cos cos (3 lim = (4 lim = p log (5 lim log = (6 lim = p, e p, p (7 lim = lim (8 lim = lim Dimostrimo lcui dei precedeti limiti otevoli. Fissto α { } α (D lim = e, risult: α p ] [ ] [ α t α α α α α α lim = lim = lim = lim = e t= t t α α α (D3. ( lim = e t lim ( = lim = e t= t t lim( t lim ( = lim e = t= t t = e (D4 Fissto ], [ { }, provimo che ( log lim = log log ( ( ( log e lim = lim log lim log = = loge= = log log log ( I prticolre se = e si h lim =, ossi il limite (6 3

15 (D5 lim = log Posto = t, si h t ottiee: = d cui log ( t =. Osservto che per che t, si t lim = lim = lim = = = log t log ( t log ( log ( t t t lim t t t log I prticolre se = e si h e lim =, ossi il limite (7 si (D9 lim = Per si h si < < t, d cui dividedo per si > si ricv: t si < < < < < < si si si cos si si cos Pssdo i reciproci: si cos < <. Applicdo il teorem dei due crbiieri per, si h si lim =. Osservo or che l fuzioe si è pri (provrlo, segue che si lim =. Dimostr i limiti (, (3 e (4 come esercizio. si lim =. Pertto 33

16 ASINTOTI Medite lo studio del limite di u fuzioe è possibile ricvre delle iformzioi rigurdti l disposizioe del suo grfico el pio crtesio rispetto prticolri rette dette sitoti. Gli sitoti si clssifico i: sitoti verticli, orizzotli, obliqui. Asitoti verticli Sio f : X R R, R di ccumulzioe siistr (destr per X. Risult che: l rett di equzioe = è sitoto : lim f ( lim f ( verticle destr (siistr per G( f = ± = ± Asitoti orizzotli Sio f : X R R, X o limitto superiormete (iferiormete, R. Risult che: ( f ( f l rett di equzioe y = è sitoto : lim ( = lim ( = orizzotle destr (siistr per G( f Asitoti obliqui Sio f : X R R, X o limitto superiormete (iferiormete, m, R co m. Risult che: l rett di equzioe y = m è sitoto : ( lim [ f ( m ] = ( lim [ f ( m ] = obliquo destr (siistr per G( f TEOREMA (di crtterizzzioe degli sitoti obliqui f( l rett di equzioe y = m co m lim = m : è sitoto obliquo per G( f lim [ f ( m] = Dim. ( Se l rett di equzioe y = m è sitoto obliquo, si h [ f m ] lim ( =. Osservto che lim =, llor è che f( f( = lim [ f ( m ] lim = lim ( f ( m lim m lim m = = f( f( Segue lim m =, cioè lim = m, ossi l. lim f ( m lim f ( m =. Per provre l, dll ipotesi si h subito [ ] = d cui [ ] ( Dll ipotesi cosegue che l rett è sitoto obliquo; l ipotesi serve clcolre m. OSSERVAZIONE Se esiste u sitoto orizzotle destr (siistr, llor o esiste u sitoto obliquo destr (siistr 34

17 INFINITESIMI E INFINITI Sio f : X R R, R di ccumulzioe per X. Vlgoo le segueti defiizioi:. ( f è u ifiitesimo i : ( lim f( =. ( f è u ifiito i : ( lim f( = oppure lim f( = Sio f, g: X R R, di ccumulzioe per l isieme di defiizioe di f g. Risult: per gli ifiitesimi 3. ( f f( è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto g i : lim = g ( 4. ( f f( è u ifiitesimo di ordie iferiore rispetto g i : lim = g ( 5. ( f f( è u ifiitesimo dello stesso ordie rispetto g i : lim = l R{ } g ( 6. ( f f( e g soo ifiitesimi o cofrotbili i : o esiste lim g ( per gli ifiiti 7. ( f f( è u ifiito di ordie superiore rispetto g i : lim = g ( 8. ( f f( è u ifiito di ordie iferiore rispetto g i : lim = g ( 9. ( f f( è u ifiito dello stesso ordie rispetto g i : lim = l R{ } g (. ( f f( e g soo ifiiti o cofrotbili i : o esiste lim g ( Sio f e g due ifiitesimi o due ifiiti i. Allor: f( g ( e soo ifiitesimi equivleti i : lim = lim = g ( f(. ( f g f( g ( e soo ifiiti equivleti i : lim = lim = g ( f(. ( f g 35

18 Se f e g soo due ifiitesimi o due ifiiti equivleti i.si scrive f( g (. ESEMPI Teedo coto dei limiti otevoli si h: ( log lim = f( = log ( e g ( = soo ifiitesimi dello stesso ordie i log lim = log f( = e g ( = soo ifiitesimi dello stesso ordie i log ( lim = f( = log ( e g ( = soo ifiitesimi equivleti i e lim = f( = e e g ( = soo ifiitesimi equivleti i cos lim = f( = cos è u ifiitesimo di ordie superiore rispetto g ( = cos lim = f( = cos e g ( = soo ifiitesimi dello stesso ordie i Ioltre d si rcsi t rct lim =, lim =, lim =, lim = si deduce che si, rcsi, t, rct soo ifiitesimi equivleti g ( = i. CALCOLO DELL ORDINE DI UN INFINITESIMO O DI UN INFINITO Per determire l ordie di ifiitesimo o di ifiito di u fuzioe che è tle i, si utilizzo degli ifiitesimi o degli ifiiti cmpioe co ], [ α α, se R ifiitesimi cmpioe i co ], [ α α, i ± ifiiti cmpioe i α co α ], [, se α co α ], [, i ± R e si sfrutto le segueti defiizioi 36

19 per gli ifiitesimi ( f è u ifiitesimo di ordie α i : lim l R { } f( = α f( è u ifiitesimo di ordie ifiitmete grde i : α > : lim = α ( f f( è u ifiitesimo di ordie ifiitmete piccolo i : α > : lim = α ( f ( f è u ifiitesimo di ordie α i ± : lim = l R{ } f( f( è u ifiitesimo di ordie ifiitmete grde i ± : α > : lim = α ( f ( f è u ifiitesimo di ordie ifiitmete piccolo i : : lim per gli ifiiti ( f è u ifiito di ordie α i : lim = l R{ } α f( ± α > = α f( α f( è u ifiito di ordie ifiitmete grde i : α > : lim = α ( f f( è u ifiito di ordie ifiitmete piccolo i : α > : lim = α ( f ( f è u ifiito di ordie α i : lim l R { } f( ± = ± α 37

20 f( è u ifiito di ordie ifiitmete grde i ± : α > : lim = ± α ( f f( è u ifiito di ordie ifiitmete piccolo i ± : α > : lim = ± α ( f OSSERVAZIONI f ifiito i f. ( ifiitesimo i f ifiitesimo i f. ( ifiito i 3. L fuzioe f( = e è u ifiito di ordie ifiitmete grde i, metre è u ifiitesimo di ordie ifiitmete grde i. 4. L fuzioe f( = log è u ifiito di ordie ifiitmete piccolo i. ESEMPI Clcolre l ordie di ifiitesimo i di:. f( = cos cos Risult lim = α =, pertto f( = cos è u ifiitesimo di ordie α 3. f( = Risult 5 se α < ( lim = lim = lim = lim = lim = lim = se α α α α α α α = 3 se α > 3 pertto f( è u ifiitesimo di ordie α = 3 3 si 3. f( = si 3 3 si si si se α < Risult lim si lim lim lim = = = = lim = se α α α α α α =, se α > pertto f( è u ifiitesimo di ordie α =. 38