8. Funzioni reali di una variabile reale: integrabilità

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1 8. Fuzioi reli di u vriile rele: itegrilità 8.1 Defiizioi Si f :[, ] R u fuzioe limitt. Si f positiv, cioè x [, ], f x 0, si dice sottogrfico di f l'isieme: A={ x, y :0 y f x, 0 x }. L defiizioe di sottogrfico può ovvimete estedersi i csi i cui l fuzioe si egtiv o o completmete positiv (o o completmete egtiv) operdo opportu trslzioe degli ssi. Si I=[, ] u itervllo chiuso e limitto di R (i.e. [, ] l'isieme: tle che: ={x 0, x 1,..., x } = x 0 x 1 x 2... x =. I R ). Si dice scomposizioe fiit di L'isieme di tutte le possiili scomposizioi fiite su u dto itervllo modo: [, ] :={ 1,...,,...} [, ] R si idic el Si f :[, ] R u fuzioe limitt. Per ogi scomposizioe fiit [, ] poimo: m i =if { f x : x [ x i 1, x i ]} M i =su p { f x : x [ x i 1, x i ]} Si f :[, ] R u fuzioe limitt. Si dice somm iferiore di f rispetto ll scomposizioe fiit γ il vlore: e si dice somm superiore di f, il vlore: s f, = k=1 S f, = k=1 if f x x k x k 1 [ x k 1, x k ] su p f x x k x k 1 [ x k 1, x k ]

2 Si oti che l somm superiore e l somm iferiore soo effettivmete vlori reli; iftti l fuzioe è suppost limitt e ciò ssicur che su tutto il suo domiio [, ] risulti su p f, if f R. Dll limittezz di [, ] segue poi che i vlori x k, x k 1 l vrire di k=1,..., sio cor umeri reli: Emerge pertto che le ipotesi irriuciili sio essezilmete due: itervllo di defiizioe limitto e fuzioe limitt. Tli ipotesi ci ccompgero lugo tutto tle cpitolo reltivo ll'itegrilità di fuzioi reli di u vriile rele e solo i lcui csi prticolri potro omettersi. Ciò che itedimo clcolre è duque il sottogrfico di u fuzioe, cioè l're che il grfico dell fuzioe i esme descrive co l'sse delle scisse: Si è supposto uovmete f x 0, x [, ], m è ee ridire che i tl modo o si ledoo le geerlità, poiché per ltri tipi di fuzioi le trslzioi ci cosetoo di ricodurci l cso che stimo lizzdo. Le somme iferiori e superiori che è possiile clcolre per u dt fuzioe soo ovvimete ifiite, perché ifiite soo le scomposizioi γ d cui dipedoo. È ovvio che più l dt scomposizioe [, ] è ricc di elemeti e più le reltive s(f, γ) e S(f, γ) foriro u're più precis dell're estt che ci propoimo di clcolre.

3 Come si vede le somme iferiori foriscoo u'pprossimzioe dell're i esme per difetto metre quelle superiori per eccesso. Bisog pertto otteere u covergez di tle somm, e ciò srà ovvimete possiile rededo ifiitesimi gli itervlli [ x k 1, x k ] e cioè fr ricorso l clcolo ifiitesimle, studido il tedere zero del vlore x k x k 1 0. Sio due scomposizioi fiite 1, 2 [, ] umero mggiore di elemeti di γ 2. Si scrive:. Si dice che γ 1 è più fie di γ 2 se γ 1 cotiee u 2 1 Si γ u scomposizioe fiit di u itervllo [, ] R. Si dice grdo di fiezz di γ il vlore: Lemm (1.) :=mx {x k x k 1 ; k=1,..., }. Sio 1, 2 [, ] tli che 1 2. Allor dto f :[, ] R limitt, si h: Lemm (2.) 1, 2 [, ], f :[, ] R, risult: s f, 1 s f, 2 S f, 2 S f, 1. s f, 1 S f, 2. I risultti ppe esposti stiliscoo due importti proprietà per le scomposizioi fiite. Il Lemm (2.) dice che comuque prese due scomposizioi l somm iferiore di u è sempre miore o ugule di quell superiore dell'ltr; cioè tutte le somme iferiori o supero essu delle

4 somme superiori. Il Lemm (1.) fferm che umetdo i termii di u scomposizioe, somm iferiore e somm superiore si vvicio. Si h quidi: Corollrio [, ] e f :[, ] R limitt: s f, S f,. Si f :[, ] R limitt. Allor 1, 2 [, ] risult: dove m=if f x, M =sup f x [,] [,] m s f, 1 S f, 2 M. I risultti or euciti cosetoo quidi di stilire che l vrire delle scomposizioi fiite i [, ] le somme iferiori che si ottegoo soo superiormete limitte dlle somme superiori e per cotro le somme superiori soo iferiormete limitte dlle domme iferiori. Possimo llor porre l seguete defiizioe: Si f :[, ] R, limitt, [, ] poimo: f x dx:=s up s f, e f x dx:=sup s f,. Essi si dicoo rispettivmete itegrle iferiore e itegrle superiore dell fuzioe f. L defiizioe dt è e post. Iftti poiché le somme iferiori e superiori soo rispettivmete limitte superiormete e iferiormete si h che: sup s f, R if S f, R È ltresì fcile d otre che f :[, ] R, limitt, risult: f x dx f x dx.

5 8.2 Itegrilità Si f :[, ] R, limitt. Si dice che f è itegrile secodo Riem e si scrive f R [, ] se: I tl cso si poe: e il vlore Si f x dx= f x dx= f x dx. f x dx= f x dx si dice itegrle di f i [, ]. f x dx f :[, ] R, limitt. f è itegrile secodo Riem se e solo se: 0 [, ] tle che S f, s f,. Il teorem precedete stilisce quidi il criterio geerle di itegrilità. Afferm essezilmete quto è stto precedetemete osservto. Cioè vi è itegrilità qudo somme iferiori e somme superiori differiscoo per u ifiitesimo. Ogi fuzioe cotiu, defiit su u itervllo chiuso e limitto è itegrile secodo Riem. Dimostrzioe Si f :[, ] R,[, ] R, f cotiu. Poiché [, ] per il di Weierstrss f h mssimo e miimo ssoluti e duque è limitt. Ioltre si [, ] su ogi itervllo stilito d γ, sempre per Weierstrss risult: sup f I k if f I k =mx f I k =mi f I k e detti α k e β k i puti che determio miimo e mssimo su ogi I k, si h: Aimo llor che: mx f = f k I k mi f = f k I k S f, s f, = [ f k f k ] I k k=1 k=1,...,

6 dove co I k idichimo che l'mpiezz dell'itervllio: I k =[ x k 1, x k ] I k = x k x k 1 Per il di Heie-Ctor, f cotiu su ogi I k, I k comptti, cosete di dire che f è uiformemete cotiu su I k, k =1,...,, cioè: 0 0 t.c. f x f y co x y. δ ε dipededo solo d ε > 0 è uivocmete determito per ogi coppi prticolre per ogi I k. Si [, ] tle che: llor: I k e duque scelto ε > 0 si può determire u δ ε > 0 tle che: qudo: cioè: Aimo llor che: f x f y I k k k, k=1,...,. x, y [, ] e quidi i S f, s f, = f k f k I k f k f k x k x k 1 k=1 dove co γ ε imo idicto l scomposizioe determit dll scelt di ε > 0 co. Per quto detto: e poiché k, k [, ] si h: cioè: k=1 f k f k k k S f, s f, = cioè f R [, ]. Il è così completmete provto. Si f :[, ] R limitt e mooto. Allor f è itegrile secodo Riem. I due risultti sopr esposti crtterizzo le clssi di fuzioi itegrili: le fuzioi cotiue sui comptti (e itervlli) e lì limitte purché mootoe. Iftti sppimo che u fuzioe mooto

7 h l più u qutità umerile di puti di discotiuità e tutti di prim specie. Pertto che se o cotiu ess è itegrile, poiché è possiile cosiderrle sui segmeti di domiio i cui è cotiu. È d esempio delle fuzioi scl : Si f :[, ] R, [, ] e k=1,..., sio k I k. Si dice somm di Riem il vlore: S f,, k = k =1 f k x k x k 1 L somm di Riem dipede oltre che dll fuzioe e dll scomposizioe, che di vlori α k, k = 1,..., scelti egli itervlli I k ; ess cosete di dre u defiizioe più geerle di itegrilità: Si f :[, ] R. Si dice che f è itegrile secodo Riem secodo l secod defiizioe se R, 0 0 t.c. [, ] co e k I k si h: e si poe: S f,, k S f,, = = 1,..., Tle defiizioe è molto importte perché cosete di stilire u codizioe di itegrilità che per le fuzioi o limitte. È ovvio però che, se i prticolre f è limitt, si h:

8 essedo: k =1 s f, S f,, S f, if f I k I k k=1 f k I k k=1 sup f I k I k Si f :[, ] R, limitt. Allor f R [, ] se e solo se f è itegrile secodo Riem secodo l secod defiizioe e si h: f x dx=.

9 8.3 Proprietà degli itegrli Sio le fuzioi f, g :[, ] R tli che f, g R [, ]. Allor: 1. f g R [,] 2. f R [, ], R 3. f g R [, ] 4. f g R [, ] 5. f g R [,] se if g x 0 x [,] Si f :[, ] R, f R [, ] e si l'ppliczioe: f x f x dx dove f(x) idic l fuzioe e o il suo vlore i u dto puto. Se cosiderimo tutte le fuzioi f defiite su u itervllo [,] R ed ivi itegrili secodo Riem, otteimo per il precedete uo spzio liere, detto delle fuzioi itegrili secodo Riem. Idichimo co: l'itegrle di ogi f. Si h che: f 1, f 2 R [, ] si h: 1. f 1 f 2 = f 1 f 2 2. R : f 1 = f 1. f = f x dx Si f :[, ] R, f R [, ] e si c ],[. Allor f R [,c], f R [c, ] e si h: c f x dx= f x dx c f x dx L'ppliczioe itegrle è duque liere e vle ioltre l'dditività. Si P(x) u proprietà reltic i umeri reli, x R. Si dice che P(x) è ver qusi dppertutto se i puti i cui o è verifict soo l più umerili. Si scrive: P x ver q.d.

10 Tle defiizioe o è del tutto corrett. Il cocetto di qusi dppertutto ecessit però di u pprofodimeto e di ltri cocetti che o soo desso opportui d eucire. Sio f, g R [, ] (i.e. f, g :[, ] R ). Suppoimo che: llor: Corollrio f x g x q.d. f x dx g x dx Si f R [, ] f :[, ] R ; llor se f x 0 q.d. : (dell medi itegrle) Si f :[, ] R, f R [, ]. Allor: tle che: i.e.: λ si dice medi itegrle di f. Corollrio Si [ if f [, ] f x dx 0., s up f [,] ] f x dx= = f x dx f :[, ] R, cotiu. Allor [, ] tle che: f x = f x dx U fuzioe itegrile quidi h il suo itegrle esprimiile come il prodotto dell'mpiezz dell'itervllo (-) e u vlore R. Se f è cotiu llor λ è u vlore ssuto dll fuzioe..

11 Proposizioe Sio f, g :[, ] R, f R [, ]. Suppoimo che: Allor g R [, ] e si h: Proposizioe f x =g x q.d. f x dx= g x dx. Si f :[, ] R, f R [, ]. Allor f R [, ] e si h: f x dx f x dx. Si f :[, ] R u fuzioe costte, cioè: x [, ]: f x =c, c R. Allor f è cotiu e quidi f R [, ] e si h: i prticolre se c=1: f x dx=c f x dx=. Proposizioe Sio f :[, ] R, f R [, ] e si f [, ] [c, d ] R, f :[c, d ] R co f R [c, d ]. Si g f :[, ] R, llor g f R [, ] se e solo se g è cotiu. L richiest di cotiuità per l fuzioe g è ecessri (oltreché sufficiete). Iftti se fossero d esempio etrme itegrili m discotiue si vree che lcui puti di f potreero o essere trsformti dll g. Si f :[, ] R, f R [, ] e sio x 1, x 2, x 3 [, ]. Allor: x 3 x 1 x 2 f x dx= x 1 x 3 f x dx f x dx. x 2

12 Corollrio Si f :[, ] R, f R [, ]. Allor x 1, x 2 [,] si h: x 2 x 1 f x dx x1 x 2 f x dx.

13 8.4 L fuzioe itegrle Si f :[, ] R tle che f R [, ]. Si x 0 [, ], llor x [, ] si dice fuzioe itegrle l fuzioe: x x = x 0 f t dt L defiizioe è e post i virtù del ftto che f è itegrile e quidi x [, ] esiste sempre l'itegrle di f. Si f :[, ] R, f R [, ]. Allor l su fuzioe itegrle è Lipschitzi. Quidi per quto detto ei cpitoli precedeti l fuzioe itegrle è uiformemete cotiu e duque cotiu. Si Si f :[, ] R. Si dice primitiv di f u fuzioe :[, ] R tle che: x [, ]: ' x = f x f :[, ] R e si φ u primitiv di f. Allor f h ifiite primitive e soo del tipo: Dimostrzioe c, c R, c=cost. Sio φ 1 e φ 2 due primitive di f. Allor per defiizioe: d cui: x [, ]: 1 '= f x x [, ]: 2 '= f x 1 2 ' x = f f ' x =0 e ciò x [, ]. Ne segue che (φ 1 -φ 2 ) è u fuzioe costte; cioè c R tle che: i.e.: x [, ]: 1 2 x =c x [, ]: 1 x = 2 x c.

14 (fodmetle del Clcolo Itegrle) Si f :[, ] R, f R [, ] e si x 0 [, ]. Dt l fuzioe itegrle: llor Φ è differeziile i [, ] e si h: Dimostrzioe x x [, ]: x = x 0 f t dt, x [, ]: ' x = f x. Si h > 0 e cosiderimo il rpporto icremetle dell fuzioe itegrle di f: Notimo che: x h x 0 = 1 [ x h h h x 0 x f t dt x 0 x h dt=h x x h f t dt] = 1 h x f t dt e ioltre poiché si st itegrdo sull vriile t, f(x) può cosiderrsi costte; quidi si può scrivere: Provimo che: Si h 0, llor: lim h 0 Dove f è itegrile, Φ è cotiu; quidi: Si h > 0 co h < δ ε llor: cioè per t vriile tr x e x+h e duque: cioè: 1 h x x h f x = 1 h x f x dt x h x f x =0. h x h x f x = 1 h[ x h [ f t f h x ]dt] x 0 0 t.c. f t f x dove x t. x h Alogmete per h 0 x t h x h [ f t f x ]dt 1 h x f t f x dt 1 x h h dt= x x h x f h x si ottiee lo stesso risultto e duque l tesi: x [, ]: ' x = f x.

15 (clcolo dell'itegrle defiito) Si f :[, ] R, f R [, ]. Allor per u quluque primitiv di f si h: co :[, ] R primitiv di f. f x dx=

16 TABELLA INTEGRALI 1.) x dx= x 1 c, R { 1} 1 2.) 1 x dx=log x c 3.) six dx= cos x c 4.) cosx dx=six c 5.) dx si 2 x = cotgx c 6.) dx cos 2 x=tgx c 7.) tgx dx = log cosx c 8.) cotgx dx=log six c 9.) e x dx=e x c 10.) x dx= x log c 11.) dx 1 x 2 =rctgx c 12.) dx 2 x 2= 1 rctg x c 13.) dx 2 x 2= 1 2 log x x c 14.) dx 1 x 2 =rcsix c 15.) dx 2 x 2=rcsi x c 16.) dx x 2 ± 2=log x x2 ± 2 c

17 9. LO SPAZIO R 9.1 Cei di topologi Nel cpitolo 2. imo dedotto che l rett rele estes R è uo spzio topologico e imo itrodotto i cocetti di itervlli, perti o chiusi, sfere, puti d'ccumulzioe, etc, reltivmete d R e R. È emerso quidi che il cocetto rispetto cui ruotvo tutte le ostre cosiderzioi er essezilmete quello di perti e chiusi di R e R. Soo iftti proprio tli cocetti che permettoo di defiire, per u geerico isieme, u struttur topologic svicolt dlle prticolri proprietà del detto isieme. Si è visto che idict co U l fmigli degli perti di R, ess verificv le segueti proprietà: 1.), R U 2.) Se U U, I llor U U I 3.) Se U 1, U 2,..., U U llor U i U i=1 cioè er soo perti; u fmigli geeric (ifiit) di perti ll'uioe è cor u perto; u fmigli fiit di perti ll'itersezioe è cor u perto. Tli proprietà o soo u'esclusiv dei reli, m zi esse soo l se per costruire u topologi. Si X u geerico isieme, X. Si Τ u fmigli di sottoisiemi di X, cioè T P X. Si dice che Τ è u topologi su X se ess verific le proprietà (1.), (2.), (3.) prim electe. (è ovvio che l (1.) è, X T ) Notzioi Se Τ è u topologi su X, l coppi (X, Τ) si dice spzio topologico. Gli elemeti di Τ si dicoo perti dell topologi. Si (X, Τ) uo spzio topologico. C X Si dice chiuso per Τ se X C è u perto per Τ. Come si vede perti e quidi chiusi di u topologi soo u covezioe. I R gli perti e chiusi soo ivece proprio ciò che oi cosiderimo perti (ex. Itervlli perti) e ciò che cosiderimo chiusi (ex. Itervlli chiusi). Si (X, Τ) uo spzio topologico, cotiee u perto che cotiee x 0. x 0 X. Si dice itero di x 0 u sottoisieme U di X tle che U Tle ftto permette di evidezire, come già cceto, che l cotiuità di u fuzioe è u spetto vicolto dl cotesto su cui oper l fuzioe. Cioè, si f : X Y co X e Y spzi

18 topologici; si dice che f è cotiu i X se: x 0 X V itoro di f(x 0 ) U itoro di x 0 tle che f U V. Stilito il semplice m fodmetle cocetto di itoro di u puto, è possiile dedurre tutte le defiizioi e le reltive proprietà viste ell topologi su R e R : puti di ccumulzioe, di frotier, puti iteri, puti isolti, etc. Si X spzio topologico, Y X. 1.) y Y si dice itero d Y se esiste V itoro di y tutto coteuto i Y. o 2.) Y idic l'isieme dei puti iteri di Y. 3.) x X si dice d'ccumulzioe per Y se U itoro di X, U Y cotiee puti diversi d x. 4.) D(Y) idic l'isieme dei puti d'ccumulzioe per Y. 5.) x X si dice di derez per Y se U itoro di x, U Y. 6.) Y idic l'isieme dei puti di derez di Y e si dice chiusur di Y. 7.) y si dice di frotier per Y se y Y X Y. 8.) Fr(Y) di dice frotier di Y e cotiee i puti di frotier per Y. Tutte le proprietà di cui godoo gli isiemi sopr descritti soo evidetemete le medesime ote per gli loghi isiemi i R. Studirle per esercizio.

19 9.2 Gli Spzi Metrici Il prolem ovvio tl puto è come defiire u topologi su u isieme. Il metodo rigoroso o può certmete qui essere esposto e é è tto meo prtico d utilizzre. Itroducimo llor u *** proprietà di cui possoo godere gli isiemi: Si X u isieme. Si u'ppliczioe: d si dice distz su X se: 1.) x, y X : d x, y =d y, x 2.) x, y X : d x, y =0 x= y d : XxX R. 3.) x, y, z X :d x, y d y, z d x, z Si X u isieme. Se esiste u distz su X, l coppi (X, d) si dice spzio metrico. Si (X, d) uo spzio metrico e si x 0 X. Si dice sfer pert di cetro x_0 e rggio 0 R, l'isieme: S x 0, ={x X d x, x 0 } Tli semplici cocetti sto per defiire u topologi. Iftti le sfere perte or defiite ricordo molto d vicio le omologhe sfere perte di R. A prtire dlle sfere S x 0,, x 0 X si defiisce u topologi Τ su X che viee dett idott dll distz d; i prticolre le sfere defiiscoo gli perti dell topologi e duque l topologi. È ee ricordre uovmete, come esempio, l proprietà di cotiuità. Dto che lo studio dell topologi può frsi co l distz (dett che metric), dt: co X e Y spzi metrici, f srà cotiu i X se: f : X Y x 0 X, 0 =, x0 tle che se d x, x 0 S si h d ' f x, f x 0 Possimo llor formlizzre il procedimeto. Proposizioe (dove d' è l distz di Y). Si X uo spzio topologico e x X, U x l fmigli di tutti gli itori di x. Allor: 1.) Se U U x llor x U ; 2.) Se U U x eu V llor V U x ;

20 3.) Se U 1,...,U U x llor U i U x ; i =1 4.) Se U U x V U tle che y V si h: U U y. Ivertedo tle proposizioe di stilisce il fodmetle risultto: Si X e si x X, U x u fmigli di sottoisiemi di X verificte le proprietà (1.), (2.), (3.), (4.) dell Proposizioe precedete. Allor esiste u ed u sol topologi Τ su X tle che x X, U x è l fmigli di tutti gli itori di X. Se duque (X, d) è uo spzio metrico, cosiderte x X le sfere perte di cetro x e rggio R, 0 esse difiscoo u topologi su X, dett topologi idott dll distz d.