IL PROBLEMA DELLE AREE

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1 IL PROBLEMA DELLE AREE Il prolem delle ree è uo dei più tichi prolemi dell mtemtic e certmete che uo dei più importti, se si tiee coto che esso è ll se del clcolo itegrle. Nei tempi più remoti dell stori dell'uomo si pesv che l're di u figur pi dipedesse dl perimetro dell stess figur. Già itoro l 2000.C. si cooscevo regole e procedimeti per l determizioe dell're dei poligoi più semplici, come i rettgoli, i qudrti, i trigoli. Successivmete, ll'epoc di Euclide (300.C.), il prolem delle ree dei poligoi, isieme umerosi ltri cocetti e coosceze di ritmetic e di geometri, ee u sistemzioe teoric rigoros. U volt defiit l're di u qudrto Q, rispetto u qudrto uitrio U, il clcolo dell're di u quluque poligoo er ricodotto l clcolo dell're del qudrto equivlete, cioè del qudrto equiscompoiile co il poligoo. Il prolem di trovre l re di figure pie limitte d liee curve, icotrò mggiori difficoltà perché er impossiile, co i metodi elemetri, riuscire trsformre u figur pi co cotoro curvilieo i u qudrto equivlete. I greci si resero coto suito che o si potev ricodurre il cocetto di re del cerchio quello di re di u qudrto. Il prolem fu ffrotto i modo rigoroso e orgico d Archimede. Archimede, medite il metodo di esustioe, trovò che l re del cerchio di rggio r er compres tr 3 r e 3 + r + m o riuscì trovre esttmete l re del cerchio Soltto ell Ottoceto, co l costruzioe rigoros dell isieme dei umeri reli e l itroduzioe dell ssiom dell cotiuità, è stto possiile rggiugere delle coclusioi defiitive sul prolem dell qudrtur del cerchio. Archimede si servì del metodo di esustioe che per il clcolo dell re del segmeto prolico, dell re dell superficie e del volume di lcui solidi di rotzioe. M il metodo di esustioe o permettev di clcolre il vlore estto dell re delle figure cosiderte, per cui cque l esigez di trovre u procedimeto geerle che potesse defiire e determire l re delle superfici pie limitte d cotori curviliei qulsisi Il clcolo degli itegrli defiiti

2 Itegrle defiito Si y = f() l'equzioe di u fuzioe cotiu e positiv ell'itervllo [, ]. Il digrmm dell fuzioe srà llor u rco di curv MN situto sopr l'sse delle scisse. L porzioe di pio delimitt d tle rco, dll'sse e dlle rette prllele ll'sse y e pssti per gli estremi dell'itervllo [, ], è u qudriltero mistilieo chimto trpezoide. Per vlutre l misur dell're del trpezoide MNBA dividimo l'itervllo [, ] i u certo umero di prti uguli, di mpiezz Di puti di suddivisioe coducimo le prllele ll'sse y fio d icotrre l'rco MN i ltrettti puti. D questi puti coducimo, ifie, delle rette prllele ll'sse i modo d formre dei rettgoli. Per vlutre l misur dell're del trpezoide MNBA dividimo l'itervllo [, ] i u certo umero di prti uguli, di mpiezz = Di puti di suddivisioe coducimo le prllele ll'sse y fio d icotrre l'rco MN i ltrettti puti. D questi puti coducimo, ifie, delle rette prllele ll'sse i modo d formre dei rettgoli. Idichimo co m 1, m 2,, m i miimi vlori ssuti dll f() rispettivmete el 1, 2,, itervllio e co M 1, M 2,, M, i mssimi vlori ssuti dll f() ei medesimi itervllii. L'isieme degli rettgoli veti per si gli itervllii i cui è stto suddiviso l'itervllo [, ] e ltezze mi, i miimi vlori ssuti d f(), viee chimto plurirettgolo iscritto e l su re risult: s = m 1 + m 2 + m m L'isieme degli rettgoli veti per si gli itervllii i cui è stto suddiviso l'itervllo [, ] e ltezze M i, i mssimi vlori ssuti d f(), viee chimto plurirettgolo circoscritto e l su re risult: S = M 1 + M 2 + M M Quluque si il vlore di, risult s S Al vrire di le ree dei due plurirettgoli vriero ed vremo perciò vlori diversi di s ed S ; tli vlori costituiscoo rispettivmete u'pprossimzioe per difetto ed u'pprossimzioe per eccesso del vlore dell're S del trpezoide MNBA Quidi, quluque si, srà sempre s < S < S. Fcedo crescere idefiitmete il umero delle suddivisioi dell'itervllo [, ] i modo che ted zero l mpiezz di ciscuo degli itervlli przili, le due successioi s e S,tedoo llo stesso limite: lim s = lim S = S + + Al umero che rppreset il limite comue delle due successioi si dà il ome di re del trpezoide MNBA. Tle limite comue si defiisce che come itegrle defiito dell fuzioe f() reltiv ll'itervllo [, ] e si deot co f ( d ) Quidi per defiizioe è: lim s + = lim S = f ( d ) +

3 L'itegrle defiito è u umero rele e pertto, u volt cosidert l fuzioe f() e l'itervllo [; ] di itegrzioe o h lcu importz il ome dell vriile idipedete; potremo perciò scrivere : f ( d ) = f ( udu ) = f() v dv=... Tutto quto si è detto ell'ipotesi che l fuzioe cotiu f() si positiv e crescete i [, ], si può ripetere per f() positiv e decrescete, oppure per f() positiv i [, ] sez ltre restrizioi, purché si poss suddividere l'itervllo [, ] i itervlli przili i ciscuo dei quli l f() si sempre crescete, o decrescete, o costte. U'ulteriore estesioe sì h per l fuzioe f() egtiv i [, ], il che corrispode ll'ipotesi che il trpezoide si tutto sotto l'sse delle. I questo cso si coviee di cosiderre egtiv l misur dell're di u trpezoide situto sotto l'sse delle. Se ifie i u itervllo [, ] l fuzioe f() o h sempre lo stesso sego, si divide l'itervllo [, ] i itervlli przili i ciscuo dei quli l f() o muti di sego. I questo cso l'itegrle f ( d ) rppreset l somm lgeric delle misure delle ree delle prti di pio che sto sopr e di quelle che sto sotto l'sse delle. Se si deve vlutre u're el seso dell geometri elemetre, occorrerà determire seprtmete le ree delle prti di pio che sto sopr l'sse e quelle delle prti di pio che si trovo sotto l'sse e sommre poi i vlori ssoluti delle loro misure oppure srà sufficiete clcolre l'itegrle: f ( ) d

4 Proprietà dell itegrle defiito P1. Se P2. Se < f( ) d= f( ) d = f( ) d= 0 Teoremi T1. Se f() è cotiu i I e,, c I, si h: c f ( d ) = f( d ) + f( d ) c T2. Se f 1 (), f 2 (),, f () soo cotiu i [, ], si h: f ( d ) = f( d ) + f( d ) f( d ) 1 2 T3. Se k è u costte ed f() è cotiu i [, ], si h: = kf ( ) d k f ( ) d T4. Teorem dell medi L itegrle defiito di u fuzioe cotiu f() è ugule ll mpiezz dell itervllo d itegrzioe, moltiplict per il vlore che l fuzioe itegrd ssume i u coveiete puto di questo itervllo; cioè: f ( d ) = ( f ) ( ) dove 1 idic u coveiete puto dell itervllo [, ]. DIMOSTRAZIONE Idichimo co m ed M rispettivmete il miimo ed il mssimo ssoluto dell f() i [, ]. Diviso [, ] i prti eguli e detto m i il miimo vlore dell f() ell'i mo itervllio [ i-1, i ], si h: m mi M e, dett h = l'mpiezz comue dei sigoli itervllii, mh mih Mh Poedo i = 1, 2. 3,.., mh m h Mh ;mh m h Mh ; ; mh m h Mh 1 2 1

5 Sommdo: i primi memri delle diseguglize soprscritte mh = m = m( ), i terzi memri M(-), i secodi memri m ( ) s M( ) Pssdo l limite per +,risult: lim s = f( ) d m( ) f( ) d M( ) + Di qui si vede che l f ( d ) è compreso fr i due prodotti che si ottegoo moltiplicdo l'mpiezz (-) dell'itervllo [, ], rispettivmete, per i umeri m ed M. Esiste perciò certmete u umero k, compreso fr m ed M tle che si: f ( d ) = ( k ) D'ltr prte, essedo f() cotiu i [, ], esiste sempre u puto 1 dell itervllo [, ], i cui risult: f( 1 ) = k; quidi: f ( d ) = ( ) f( ) 1 c.d.d. Iterpretzioe geometric D u puto di vist geometrico, il teorem esprime il ftto che esiste lmeo u umero c, itero ll'itervllo [, ] tle che il rettgolo l cui se misur - e l cui ltezz misur f(c) h superficie sottes dl grfico dell fuzioe. Il umero f(c) rppreset il vlore m e d i o che h l fuzioe ell'itervllo, el seso che, se ess ssumesse costtemete il vlore f(c), vree lo stesso itegrle defiito i [, ]. Fuzioi itegrli Si f() u fuzioe cotiu ell'itervllo [, ] ed u puto vriile i [, ]. Cosiderimo l'itegrle: f () tdt (1) dove t idic l vriile d'itegrzioe (è stt idict co t per distiguerl dll vriile idipedete ).

6 Questo itegrle è u fuzioe del suo estremo superiore, cioè d ogi vlore dell, dell'itervllo [, ], corrispode uo ed u solo vlore per l'itegrle (1). Esso quidi rppreset u fuzioe F(), del suo estremo superiore, defiit i [, ]. Si può perciò scrivere: F()= f ( tdt ) L F() si chim fuzioe itegrle metre l f() si chim fuzioe itegrd.

7 Teorem fodmetle del clcolo itegrle (TEOREMA DI TORRICELLI BARROW) Se l fuzioe itegrdo f ( ) è cotiu, esiste l derivt dell fuzioe itegrle F(): F()= f ( tdt ) (2) el puto, ed è ugule l vlore che l fuzioe itegrdo ssume ello stesso puto, cioè: F ()=f() DIMOSTRAZIONE. Iftti, si osservi izi tutto che l'icremeto dell F() reltivo l puto ed ll'icremeto + h h, è: F ( + h) F ( ) = f() tdt f() tdt ossi, i se l teorem T 1, : F( + h) F( ) = f() t dt+ f() t dt f() t dt = = + h f() t dt + h Applicdo quest'ultimo itegrle il teorem dell medi, si h: F( + h) F( ) = h f( 1) ove 1 è u coveiete puto dell'itervllo [, + h]. Segue quidi: F( + h) F( ) = f ( 1 ) h Se, teuto fisso, si f tedere h zero, il vlore 1, compreso fr e + h, tede d. Ioltre, essedo l f() cotiu, risult: lim f ( ) = lim f( ) = f( ) 1 1 h 0 1 e perciò si h: e quidi : F( + h) F( ) lim = f ( ) h 0 h F () = f() c.d.d.

8 Formul di NEWTON LEIBNIZ II teorem dimostrto ci permette di clcolre l'itegrle defiito di u fuzioe per mezzo dell'itegrle idefiito dell fuzioe stess. Iftti, se φ() è u qulsisi primitiv di f(), imo: '( ) f( ) ϕ = e siccome imo dimostrto che risult che: F'() = f (), possimo sez'ltro ffermre che le due fuzioi φ() e F() differiscoo per u costte k. Possimo quidi scrivere: ϕ ( ) = F( ) + k e per l (2) si h: ϕ ()= f ( tdt ) + k Se i quest'ultim formul si poe =, e si ricord che è cosicché si h: f () tdt= 0, si ottiee φ () = k, f tdt+ ϕ f () tdt= ( )- ( ) ϕ ϕ ϕ()= ( ) ( ) ed i prticolre, per = : Aimo così l REGOLA: f () tdt= ϕ( )- ϕ( ) Clcolt u primitiv quluque φ() dell fuzioe f (), l'itegrle defiito tr e dell f () è dto dll differez dei vlori ssuti d φ(), rispettivmete, ell'estremo superiore e ell'estremo iferiore dell'itegrle L differez φ() - φ() si idic spesso co l scrittur: [ ϕ ] ( ), o che: [ ϕ ] f () tdt= ( )

9 Sigificto geometrico dell'itegrle defiito. Clcolo di re Aimo visto che se l fuzioe f () è cotiu e o egtiv i [, ], il vlore dell'itegrle: f ( d ) rppreset l're del trpezoide ABNM delimitto dll curv di equzioe y = f(), dll'sse e dlle prllele AM e BN ll'sse y. 1. Se l curv di equzioe y = f() ttrvers l'sse i uo o più puti (i umero fiito), il trpezoide si scompoe i lcue porzioi situte l di sopr dell'sse ed i ltre situte l di sotto; l'itegrle dà llor l somm delle ree poste l di sopr dell'sse, prese positivmete, più quell delle ree poste l di sotto dell'sse, prese egtivmete. 2. L'itegrle defiito si prest però ee che determire l're di u superficie d u curv tle che ogi prllel ll'sse y l icotri l più i due soli puti. Iftti, idichimo co y=f 1 () l'equzioe dell'rco di curv MPN, e co y=f 2 ()l'equzioe dell'rco di curv MQN. Se l superficie S è tutt l di sopr dell'sse, le fuzioi: f 1 ()e f 2 () soo positive ed è f 1 () f 2 ().L superficie S è l differez dei trpezoidi AMPNB e AMQNB. Le ree di questi due trpezoidi soo dte rispettivmete d: f ( ) 1 d, f2 ( d ) Quidi l re di S è dt d: [ 1( ) 2( ) ] (1) re S = f f d d

10 3. Se l superficie S o è tutt l di sopr dell'sse, possimo trsportre l'origie delle coordite lugo l'sse delle y verso il sso di u segmeto h, i modo che l superficie S resti tutt l di sopr dell'sse. Rispetto questo uovo sistem d'ssi, le equzioi degli rchi di curv MPN e MQN soo rispettivmete:f 1 () + h e f 2 () +h; quidi, dopo l'vveuto trsporto dell'origie, l're di S è dt d: {[ f 1( ) + h ] [ f 2( ) + h ]} d = [ f 1( ) f 2( )] d E perciò che prim del trsporto, l re di S è dt d: [ f ( ) f ( )] d 1 2 I ogi cso duque l re di S e dt dll formul re S = [ f1( ) f2( ) d] d