Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

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1 Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di un orz clcolo dello spzio percorso.. Integrle Indeinito Prolem inverso del clcolo dell derivt: not l derivt di un unzione clcolre l unzione stess. 1

2 Clcolo delle Aree Are dei poligoni: È l situzione più semplice in qunto qulunque poligono può essere scomposto in tringoli e l su re ricondott ll re di un rettngolo equivlente. Are del Rettngolo A Bst ricoprire l supericie del rettngolo con qudrtini di re unitri 2

3 3 Clcolo delle Aree Poligoni regolri Scomponendoli in tringoli congruenti è cile clcolre l re Are di un Esgono l 2 l A tringolo p n l n l n l A poligono

4 Clcolo delle Aree Poligoni Irregolri Bst scomporli opportunmente in tringoli Are di un Poligono qulsisi A poligono A tringoli n 1 4

5 Clcolo delle Aree Are del Cercio Il clcolo dell re è molto più complesso in qunto non è possiile scomporre il cercio in tringoli. E possiile però clcolre l re per pprossimzioni successive: Indicimo con A l clsse dei poligoni regolri inscritti nel cercio, di 3, 4, 5, 6, n lti rispettivmente e con 3, 4, 5, n le reltive ree; e con B l clsse dei poligoni regolri circoscritti l cercio di 3, 4, 5, 6, n lti e con 3, 4, 5, n le rispettive ree. Se S è l re del cercio incognit srà sempre: n S n 5

6 Clcolo delle Aree e pssndo l limite di ininiti lti : lim lim S n + n n + n Are Cercio Allor: L re del cercio è ugule l limite comune, qundo il numero lti, l qule tendono le successioni ormte dlle ree dei poligoni inscritti e circoscritti l cercio 6

7 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree Are del Trpezoide Voglimo clcolre l re dell igur mistiline determint dl digrmm di un unzione y deinit e continu nell intervllo [, ] y D C A B 7

8 Possimo determinre l re pprossimndol con dei rettngoli inscritti e dei rettngoli circoscritti Utilizzndo lo stesso metodo usto per il cercio. y Dividendo in n prti l intervllo [, ], vremo n rettngoli di se /n D C Indicimo con s n Σ rerett.inscritti A B L re del plurirettngolo inscritto 8

9 Anlogmente possimo determinre l re S n plurirettngolo circoscritto del y Indicimo con S n Σ rerett.circoscritti D C A B L re S del trpezoide srà sempre compres tr s n e S n Σ rerett.inscritti S Σ rerett.circoscritti 9

10 Aumentndo il numero dei rettngoli l pprossimzione di S srà sempre più precis. Considerndo un numero di rettngolini vi vi crescente vremo due successioni di ree di plurirettngoli inscritti s 1, s 2, s n, e di plurirettngoli circoscritti S 1, S 2, S n, ce convergono ll re del trpezoide ABCD Teorem 1. Se y è continu e positiv in [, ], llor le successioni delle ree s 1, s 2, s n, e S 1, S 2, S n, convergono llo stesso limite S ugule ll re del trpezoide ABCD lim n + s n lim n + S n S 10

11 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree y Possimo inlmente giungere l concetto d integrle deinito Integrle Deinito Dt l unzione y deinit e continu in [, ], dopo ver diviso l intervllo in n prti, indicimo con m i min e con M i m nell intervllino i-esimo di mpiezz ARett circo. M i ARett inscr. m i D M i m i C s n ArePluriRett inscr. Σ m i S n ArePluriRett circo. Σ M i A i B 11

12 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree y Allor,indicndo con ε i il vlore dell unzione in un punto qulsisi dell intervllo i-esimo, tenendo conto del teorem del conronto e del teorem 1 m ε M i i i m ε M i i i D A n + M i C ε i ε i m i n + lim n + m ε M n + m lim M S i n + i i i B vremo ce: lim mi lim Mi lim εi S i 12

13 Integrle Deinito - Clcolo delle Aree Allor, possimo dre l seguente deinizione: De. Dt l unzione y deinit e continu in [, ], si dice Integrle deinito di reltivo ll intervllo [, ] il limite lim mi lim Mi lim εi S n + n + n + e si indic con d 13

14 Proprietà dell Integrle deinito Integrle Deinito - Proprietà d d d 0 Proprietà di linerità c d k [ + g ] d d + k d d g d Proprietà di dditività d d + e d c c 14

15 Integrle Deinito - Proprietà y Teorem dell Medi Se y è un unzione continu nell intervllo ciuso e limitto [, ] llor esiste lmeno un punto c, tle ce: d c D c c C Cioè esiste sempre un rettngolo di se AB e ltezz ugule c vente l stess re del rettngoloide. A c c B 15

16 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Funzione Primitiv Il clcolo dell integrle come lim Σ è estremmente complesso e per null conveniente, occorre llor trovre un ltro sistem per clcolrlo. imo isogno di vedere il concetto di primitiv e il teorem di Torricelli-Brrow Il prolem del clcolo dell Primitiv è il prolem inverso del clcolo dell derivt: clcolre l primitiv signiic: l derivt di un cert unzione non not F clcolre l unzione yf, quindi F 16

17 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Derivt F? Primitiv De. Diremo ce F è un primitiv dell unzione y in [, ] sse F è derivile in [, ] e risult: F [, ] 17

18 Primitive, lcuni esempi: Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Primitiv intti D 2 2 Primitiv cos sen --- intti Dsen cos Primitiv 1/ ln --- intti Dln 1/ Primitiv 1/cos 2 tg --- intti Dtg 1/cos 2 Osservimo nce ce: D quindi Primitiv D quindi Primitiv D quindi Primitiv

19 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Oss Se F è un primitiv di llor nce G F + c c R è un primitiv di e vicevers se F e G sono primitive di llor G F + c Allor un unzione mmette ininite primitive ce dieriscono per un costnte rele e costituiscono un migli di ininite curve otteniili per trslzione secondo l sse y. 19

20 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle De L insieme di tutte le primitive di un unzione y si cim INTEGRALE INDEFINITO di, si indic col simolo: d e si legge Integrle indeinito di in d 20

21 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle Allor, riprendendo gli esempi precedenti d 2d cos d { Pr imitive } D d 2 { } 2 Pr imitive 2 + c D + c { Pr imitivecos } sin + c D sin + c 1 1 d Pr imitive ln + c 1 cos 2 1 d Pr imitive tg + c 2 cos D ln + c + c D tg 2 cos cos 21

22 Integrle Deinito - Proprietà Teor. di Torricelli- Brrow unzione Integrle y D Si y unz. continu nell intervllo [, ], considerimo un punto vriile, Al vrire di l integrle ssume vlori vriili, cioè è un unzione di ce indiceremo con F e cimeremo unzione integrle C t F t A B 22

23 In prticolre Se Teor. di Torricelli- Brrow Integrle Deinito - Proprietà F t 0 se F t Avremo llor il seguente Se y è continu in [, ] llor l unzione integrle F t è derivile e risult: F ; cioè F è un primitiv di. 23

24 24 Integrle Deinito - Proprietà Dim L incremento di F re del rettngoloide di se, + è: y C B A D t F t F Considerimo l intervllino [, +]: vremo + + t t F F F

25 25 Integrle Deinito - Clcolo dell integrle sempliicndo t t t t t t F c t F + c F F F + ' lim lim lim c F F F F ' F e, per il teorem dell medi: d cui, vremo il rpporto incrementle e, pssndo l limite per 0, Cioè l derivt di F

26 Clcolo dell Integrle Deinito Formul di Newton-Leiniz Finlmente possimo clcolre l integrle deinito Integrle Deinito - Proprietà t G t + c re trpezoide Considerndo l unzione integrle vremo: e per t G + c 0 D cui c G t G + c G G e per [ ] t G G G 26

27 Integrle Deinito - Proprietà Teorem ondmentle del clcolo integrle L integrle deinito di un unzione continu y, clcolto nell intervllo [, ], è ugule ll dierenz tr i vlori ce un qulunque primitiv di ssume gli estremi superiore e ineriore dell intervllo d integrzione. [ G ] t G G 27

28 Fine Lezione Presentzione scrict dl seguente URL ttp://www.google.it/url?st&rctj&qintegrli%20rettngoli&sourcewe&cd10&ved0cgcqfjaj&url ttp%3a%2f%2fwww-dimt.unipv.it%2ftorre%2fctf %2fintegrli%2520deiniti.ppt&eivglqtv_klm2r- g70lg6cq&usgafqjcngzzwvxpagcvbupp9knkrzpcuog&sig2a93g1ukwzd2- Zyy49qOWA&cdrj Tutti i diritti riservti 28

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